基于自適應(yīng)尺度變換-雙穩(wěn)態(tài)隨機共振模型的BPSK信號檢測算法

劉 斌, 范翔宇, 張自偉, 張 燁

(1. 國防大學(xué)聯(lián)合作戰(zhàn)學(xué)院, 北京 100091; 2. 空軍哈爾濱飛行學(xué)院, 黑龍江 哈爾濱 150088)

0 引 言

二進制相移鍵控(binary phase shift keying, BPSK)信號已被廣泛應(yīng)用于現(xiàn)有的通信協(xié)議之中,如IEEE 802.11a以及第二代數(shù)字地面電視廣播系統(tǒng)[1],用于保證較差的無線信道的服務(wù)質(zhì)量(quality of service, QoS)。由于實現(xiàn)簡單技術(shù)成熟,BPSK信號與其調(diào)制樣式在光學(xué)、通信等領(lǐng)域中有都著廣泛的應(yīng)用[2-4]。因此,對BPSK信號的檢測技術(shù)一直是學(xué)術(shù)界研究的熱點。

學(xué)者們致力于相關(guān)應(yīng)用領(lǐng)域的研究并取得了豐碩的成果。文獻[5]利用相敏放大器(phase sensitive amplifiers,PSAs)的低噪聲放大以提升BPSK信號的功率,有利于信號的檢測。文獻[6-7]在PSAs的基礎(chǔ)上對信號進行相位再生,得到BPSK信號相位維度的信息以提升檢測效能。受到電子元件帶寬的限制,此類方法只適用于單通道操作。文獻[8]對上述方案加以改進,然而依舊受到帶寬的影響。文獻[9-10]基于應(yīng)用物理層網(wǎng)絡(luò)編碼(physical-layer network coding,PNC)設(shè)計了信號傳輸系統(tǒng),其中文獻[9]利用PNC的改進算法抑制載波頻率偏移所產(chǎn)生的載波間干擾,從而降低了BPSK信號傳輸?shù)恼`碼率。文獻[11-12]利用Cramer-Rao下限(Cramer-Rao lower bound, CRLB)來估計BPSK信號的信噪比(signal to noise ratio, SNR)。文獻[13]基于最小誤碼率準(zhǔn)則對信道進行估計,上述方法均為提升系統(tǒng)輸出SNR奠定了理論基礎(chǔ),提升BPSK信號的估計準(zhǔn)確性。文獻[14]理論推導(dǎo)出BPSK信號在干擾條件下的誤碼率的表達式,通過提升Rice因子的方式改善信號的誤碼率,但該方法受SNR影響較大。文獻[15]指出,BPSK信號在傳輸過程中,通過保證傳輸矩陣為滿秩即可實現(xiàn)最大的SNR,其滿足恒定模數(shù)約束,然而該方法需要保證協(xié)方差矩陣滿秩。文獻[16]利用對Godard函數(shù)簡單修正來改進恒模算法(constant modulus algorithm,CMA)實現(xiàn)對具有相同的速率和相同的載波頻率的BPSK信號的盲分離,然而該方法需要知道接收器的BPSK源頻率偏移。文獻[17]利用正交頻分復(fù)用的BPSK(BPSK-orthogonal frequency division multiplexing,BPSK-OFDM)信號的在時變信道中實值特性來精確設(shè)計,該方法具有更準(zhǔn)確的檢測能力和更低的計算復(fù)雜度,然而該方法需要知道均衡矩陣結(jié)構(gòu)中BPSK-OFDM信號的先驗信息,在實際中是難以實時得到。文獻[18]通過增加子帶階數(shù)增強系統(tǒng)性能,來降低BPSK信號在多諧波干擾條件下的誤碼率,該方法性能受系統(tǒng)參數(shù)影響較大。文獻[19]采用自適應(yīng)窗口交叉Wigner-Ville分布方法來檢測BPSK信號,其結(jié)果在特定情況下接近Cramer-Rao下限。然而不同應(yīng)用背景條件下核函數(shù)的選取與參數(shù)設(shè)置,以及時頻分辨率彼此之間的矛盾,制約著時頻分析方法性能。文獻[20]利用壓縮感知理論以遠(yuǎn)小于奈奎斯特采樣率的頻率對BPSK信號進行采樣,降低對存儲資源的需求,提升了處理速度,削弱了迭代干擾對BPSK信號檢測的影響。然而,壓縮感知理論要求信號自身具有稀疏性,限制了該方法在實際中的應(yīng)用。文獻[21]利用循環(huán)自相關(guān)將信號轉(zhuǎn)換到循環(huán)平穩(wěn)維度上,提取信號特征以實現(xiàn)對BPSK信號的檢測,但在非高斯噪聲背景下,方法的效能下降。

上述方案在其設(shè)定的背景下具有良好的性能,然而3個共性的問題制約上述方法性能的進一步提升:一是在抑制噪聲的同時,信號的能量也被削減甚至丟失了部分信息,只是相較于噪聲被削弱的程度,信號被削弱的程度較小。在低SNR條件下,很容易在處理過后混合信號SNR依舊不理想,從而影響后續(xù)的信號檢測。二是信號處理系統(tǒng)自身也是噪聲源,在抑制背景噪聲的過程中,系統(tǒng)內(nèi)部產(chǎn)生的噪聲,在處理過程中出現(xiàn)的高次諧波、鏡像信號等也影響著信號的檢測。三是隨著噪聲強度的增加,上述系統(tǒng)效能惡化明顯,檢測效能大幅衰落。這3個問題產(chǎn)生的根源是學(xué)者們認(rèn)為噪聲始終不利于信號的檢測。鑒于此,提升弱信號檢測性能的方法,主要通過降低噪聲的影響以及改善信號特性兩方面進行。在這種思想下,提出的方法始終會受到上述3個問題的限制。

在傳統(tǒng)的線性理論中,噪聲對于信號而言是有害的。而在非線性理論的雙穩(wěn)態(tài)隨機共振(bistable stochastic resonance, BSR)系統(tǒng)中,當(dāng)系統(tǒng)、信號和噪聲三者達到某種匹配關(guān)系時,系統(tǒng)產(chǎn)生隨機共振,其效果在宏觀上看是噪聲的能量向弱信號移動,即信號自身的能量不僅沒有損失,反而得到增強,從而提升了信號的SNR,更有益于信號檢測?，F(xiàn)有的方法分為調(diào)節(jié)噪聲特性[22-23]與系統(tǒng)參數(shù)[24-25]兩種。而在實際中,噪聲很難設(shè)定或調(diào)節(jié),為此,論文借鑒隨機共振理論,將其運用到BPSK信號檢測中,并基于Neyman-Pearson準(zhǔn)則設(shè)計非線性檢測器,對系統(tǒng)的輸出信號進行進一步的檢測。

論文結(jié)構(gòu)安排如下,首先第1節(jié)簡要介紹BPSK、BSR以及Neyman-Pearson準(zhǔn)則,然后第2節(jié)利用尺度變換改進BSR并構(gòu)建信號檢測的完備流程,并在第3、4節(jié)中采用基于Neyman-Pearson準(zhǔn)則設(shè)計非線性檢測器,并推導(dǎo)出系統(tǒng)的輸出SNR和BER,最后利用仿真證明所提方法的有效性,并與主流方法對比突出算法的優(yōu)勢。

1 相關(guān)理論

1.1 BPSK信號模型

對于長距離通信和無線傳輸,通常使用帶通調(diào)制,也稱載波調(diào)制,通過一串?dāng)?shù)字符號用來改變高頻正弦載波的參數(shù)。正弦信號有3個參數(shù):幅度、頻率和相位。所以在帶通調(diào)制中有3種基本的調(diào)制方式:幅度調(diào)制、頻率調(diào)制和相位調(diào)制。圖1給出了3種基本的二進制載波調(diào)制,分別是振幅鍵控(amplitude shift keying, ASK)、頻移鍵控(frequency shift keying, FSK)和相移鍵控(phase shift keying, PSK)。在ASK調(diào)制中,當(dāng)發(fā)送的符號是“1”時調(diào)制器輸出載波,當(dāng)發(fā)送的符號是“0”時沒有輸出,所以這種調(diào)制又稱為通斷鍵控(on off keying, OOK)。在一般的ASK調(diào)制方案中,發(fā)送符號為“0”時的載波幅度也不一定是“0”。在FSK調(diào)制中,當(dāng)發(fā)送的符號是“1”時輸出一個較高頻率的載波,當(dāng)發(fā)送的符號是“0”時輸出一個較低頻率的載波,或者反過來也可以。在PSK調(diào)制中,當(dāng)發(fā)送的符號是“1”時輸出初始相位為“0”的載波,當(dāng)發(fā)送的符號是“0”時輸出初始相位為180的載波。

相移鍵控是一種通過改變載波相位進行數(shù)據(jù)傳輸?shù)臄?shù)字調(diào)制方案。通過特定的相位表示由比特形成的符號。其中,BPSK只有兩個相位表示數(shù)據(jù)比特“0”和“1”。BPSK信號通常定義為

(1)

式中:A為信號的幅度;fc為載波頻率;θ0和θ1分別為0比特和1比特的相位偏移。

BPSK復(fù)合調(diào)制信號由于具有大時寬帶寬積、高分辨率和低截獲概率的特性,在信號處理領(lǐng)域引起了學(xué)者們的廣泛關(guān)注[26-27]。典型的疊加高斯白噪聲的信號模型如下所示:

x(n)=Aexp[j(2πfΔtn+θ(n))]·rect(n)+ω(n)

(2)

式中:rect(·)為矩形方波;f為BPSK信號的頻率編碼;Δt為采樣間隔;θ(n)為相位編碼;ω(n)為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的高斯白噪聲序列。BPSK信號調(diào)制方式主要體現(xiàn)在相位函數(shù)上,其中

θ(n)=π·d(n)

(3)

1.2 雙穩(wěn)態(tài)隨機共振

具有雙勢阱性質(zhì)的郎之萬方程是最為經(jīng)典的雙穩(wěn)態(tài)非線性系統(tǒng),該系統(tǒng)模型可以表示為

(4)

式中:U(x)為雙穩(wěn)態(tài)隨機共振系統(tǒng)的勢函數(shù);系統(tǒng)的輸入信號為s(t)設(shè)系統(tǒng)背景是均值為0、方差為D、幅度為N(t)的高斯白噪聲(white Gaussian noise, WGN),a,b為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)且均為大于0的實數(shù);x為系統(tǒng)的輸出變量,用于描述在系統(tǒng)的影響下,信號和噪聲發(fā)生共振后系統(tǒng)的輸出,且統(tǒng)計均值及自相關(guān)函數(shù)為

(5)

式中:δ(t)為沖激函數(shù)。

當(dāng)D=0時,假設(shè)只有在信號輸入時才有噪聲,系統(tǒng)在勢阱的阱底具有兩個穩(wěn)態(tài)。兩個阱底之間有一個勢壘ΔU,只有越過勢壘系統(tǒng)才能在兩個阱底之間產(chǎn)生共振,勢壘的高度為

(6)

為了越過該勢壘,輸入信號的幅度需要超過閾值A(chǔ)c。令式(4)中勢函數(shù)的極點與拐點重合,即

(7)

得到閾值A(chǔ)c的表達式為

(8)

將系統(tǒng)的輸出看作在勢函數(shù)曲線上運動的質(zhì)點。當(dāng)信號輸入系統(tǒng)后,勢阱在信號的調(diào)制驅(qū)動下,按信號的頻率發(fā)生周期性的傾斜變化,如圖2和圖3所示。

當(dāng)輸入信號的幅度小于閾值A(chǔ)c時,質(zhì)點不能從一個勢阱躍遷到另外一個勢阱,此時只能在這兩個勢阱之間進行周期運動。只有當(dāng)輸入信號的幅度大于閾值A(chǔ)c時,質(zhì)點才能從一個勢阱躍遷至另外一個勢阱,然而由于需要向系統(tǒng)中添加噪聲,此時則會因為信號與噪聲的相互作用,導(dǎo)致勢阱的傾斜程度將會逐漸變大,最終同樣能夠使質(zhì)點從一個勢阱躍遷到另外一個勢阱。此外,對于添加的噪聲而言,當(dāng)其為最佳的噪聲強度時,此時能夠保證輸出的SNR達到最大,有利于后續(xù)的信號檢測。而在此強度上繼續(xù)增加則會導(dǎo)致質(zhì)點的運動會失去規(guī)律性,使得系統(tǒng)輸出SNR明顯下降。

但這里對信號和噪聲是有相應(yīng)要求的。對于信號來說,由于雙穩(wěn)態(tài)隨機共振系統(tǒng)存在如式(6) 所示的勢壘,信號能量只有在超過勢壘時才能激發(fā)隨機共振,即要求信號的幅值超過式(8)中的閾值,否則系統(tǒng)不會產(chǎn)生隨機共振效應(yīng)。從前文敘述中可知,雖然向隨機共振系統(tǒng)中添加噪聲能夠有效增強信號能量,但是所添加的噪音強度并不是越高越好,一旦信號SNR低于可檢測SNR下界,任何處理方法都無法實現(xiàn)對于信號的檢測。因此,對所添加噪聲的要求是不能使SNR低于可檢測SNR下界。

雙穩(wěn)態(tài)隨機共振可以將噪聲的能量轉(zhuǎn)換為信號的能量,從而不僅保留了原始信號的信息同時更有利于對其實現(xiàn)檢測。然而經(jīng)典的雙穩(wěn)態(tài)隨機共振只能應(yīng)用于強度小、頻段低的周期信號,上述3個條件一旦缺失其一就會導(dǎo)致系統(tǒng)不能匹配工作。這樣的條件嚴(yán)重的限制了隨機共振理論的應(yīng)用。而在實際應(yīng)用中,信號強度的大小、頻段的高低都只是背景中的相對值,同時基于傅里葉變換的思想,非周期信號也可以看成周期無限大的信號。因此,有可能將雙穩(wěn)態(tài)隨機共振理論的適用范圍進一步拓展,論文也將利用尺度變換的思想來拓展雙穩(wěn)態(tài)隨機共振理論的適用性。

1.3 Neyman-Pearson準(zhǔn)則

雷達信號檢測本質(zhì)上是將輸入信號x(t)進行處理后與檢測門限做比較,判斷目標(biāo)是否存在。其中有兩種情況,一是包含信號和噪聲,即x(t)=s(t)+n(t),此時稱為H1假設(shè);二是僅含有噪聲,即x(t)=n(t),稱為H0假設(shè),表示為

(9)

如圖4所示,二元檢測的過程也是劃分觀測空間D的問題,即根據(jù)判決門限將D劃分為判決域D1(有信號)和判決域D2(無信號)兩個子空間,且D=D1∪D0,D1∩D0=?。H0假設(shè)成立的條件是觀測量(x|H1)或(x|H0)處于D0子空間;同樣,H1假設(shè)成立的條件是觀測量處于D1子空間。

根據(jù)檢測判決情況,可將結(jié)果表示為

(10)

式中:Pd稱為檢測概率;Pn稱為正確不發(fā)現(xiàn)概率;Pfa稱為虛警概率;Pm稱為漏警概率。P(H1|H1)代表H1假設(shè)下判決目標(biāo)存在的概率,其他表達式類似。

設(shè)H1出現(xiàn)的先驗概率為P(H1),H0出現(xiàn)的先驗概率為P(H0),則P(H1)=1-P(H0)。若觀測信號x(t)的兩種概率密度函數(shù)分別為p(x|H1)和p(x|H0),檢測門限為VT,則有:

(11)

(12)

檢測門限VT取決于采用的檢測準(zhǔn)則,在雷達信號檢測中最常用的是Neyman-Pearson準(zhǔn)則,即在虛警概率一定的情況下,使檢測概率最大化。用數(shù)學(xué)表示如下:在Pfa=α(α為常數(shù))的約束條件下,使得Pd最大化。

2 基于變尺度隨機共振的信號處理流程

2.1 尺度變換模型與證明

隨機共振系統(tǒng)的理論分析和定量推導(dǎo)是以絕熱近似理論和線性響應(yīng)理論為基礎(chǔ)的,上述理論均要求待測信號在頻率極低且幅度極小的雙重限定條件下進行。因此,經(jīng)典的隨機共振理論只能處理不超過幾個赫茲的小振幅低頻信號[28-30]。然而在實際的科學(xué)研究與工程應(yīng)用中,信號的中心頻率較高且頻帶較寬。因此,為提高所提算法的適用性,本節(jié)引入雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)模型的歸一化尺度變化,并在結(jié)合推導(dǎo)證明的基礎(chǔ)上,論證可通過調(diào)整參數(shù)拓展BSR的適用范圍。

本節(jié)對式(4)進行變量替換,即實現(xiàn)尺度變換。令

(13)

τ=at

(14)

將式(4)和式(5)代入式(2)中,整理可得

(15)

令

(16)

則式(16)滿足

(17)

將式(17)代入式(15)中可得

(18)

將式(18)整理可得

(19)

式(19)是式(4)的歸一化形式,即兩者是等價關(guān)系,此時的信號頻率為原始信號頻率的1/a。因此,對于高頻信號可以通過選擇加大系統(tǒng)參數(shù)a,同時提高信號的采樣頻率,即可使待檢測信號歸一化為等效的低頻信號,進而可以利用隨機共振理論進行分析與求解。且由于信號與噪聲均乘相同的比例因子,因此對于原始系統(tǒng)而言,其SNR并沒有改變。

2.2 算法流程

第2.1節(jié)論述了利用尺度變換方法拓展隨機共振的可行性,本節(jié)構(gòu)建基于雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的信號處理流程。其流程如圖5所示。

該算法步驟可歸納總結(jié)為如下6個步驟:

步驟 1根據(jù)郎之萬方程構(gòu)建BSR系統(tǒng),初始化BSR系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)a0=b0=1,選取信號振幅A0=0.5,頻率f0=0.5,噪聲標(biāo)準(zhǔn)偏差σ0=0。

步驟 2估計待檢測BPSK信號頻率fBPSK為f1量級,設(shè)置采樣頻率fs為f1量級的100倍,即使待檢測信號的頻率f1遠(yuǎn)小于采樣頻率fs,并保證尺度變換后信號轉(zhuǎn)換為等價的低頻區(qū)。

步驟 3利用a1?a0(f1/f0),并令b1?a1,得到尺度變換后的雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)參數(shù)a1、b1,從而構(gòu)建隨機共振系統(tǒng)。其中，?表示約等為此量級。

步驟 4對待檢測的混合信號進行采樣,并計算信號的均方根(root mean square, RMS)值σ1。由于本節(jié)設(shè)定為低SNR條件,即設(shè)定混合信號的均方根值與噪聲的均方根值幾乎相同,利用K=σ0/σ1,可以得到比例因子K。

步驟 5將待檢測混合信號乘以比例因子K,并將結(jié)果輸入到隨機共振系統(tǒng)中,然后將共振系統(tǒng)輸出的結(jié)果輸入信號檢測系統(tǒng),得到系統(tǒng)的誤碼率,若誤碼率未達到理想值,則以此微調(diào)a1并返回步驟3進行重新計算,以降低結(jié)果的誤碼率,若達到理想值則進行步驟6。

步驟 6調(diào)整參數(shù)使誤碼率最低,此時信號處理結(jié)果最為理想。輸出系統(tǒng)的檢測波形與對應(yīng)的誤碼率即可實現(xiàn)對于BPSK信號的檢測。關(guān)于信號檢測與誤碼率的計算部分,將會在后文進行詳細(xì)論述。

3 基于Neyman-Pearson準(zhǔn)則的非線性閾值系統(tǒng)檢測流程

為了進一步有效地從噪聲中提取弱信號,本節(jié)基于Neyman-Pearson準(zhǔn)則設(shè)計了信號檢測器,以實現(xiàn)信號處理流程中的信號檢測部分,即為圖5中的信號檢測部分。

由于通過BSR系統(tǒng)的BPSK信號與噪聲的混合信號會受到非線性作用的影響,導(dǎo)致噪聲的概率密度函數(shù)發(fā)生變化。本節(jié)設(shè)定在較高的SNR條件下進行仿真實驗,輸入信號為0.03 Hz,SNR為-10 dB,所得結(jié)果如圖6所示。

通過對比圖6中的結(jié)果可以看出,在經(jīng)過隨機共振系統(tǒng)的非線性處理后,噪聲的功率向著信號所在頻點方向聚集,即通過隨機共振系統(tǒng)后,噪聲已經(jīng)不再服從正態(tài)分布。為此,利用Neyman-Pearson準(zhǔn)則設(shè)計非線性閾值系統(tǒng)(nonlinear threshold system, NTS),其函數(shù)模型如圖7所示。

其表達式如下:

(20)

式中:T和P是兩個常數(shù),其值在后文給出。由于本節(jié)要檢測BPSK信號是否存在,對其離散化處理可得

(21)

式中:N為采樣點數(shù)。

由于BPSK信號每個碼元會持續(xù)一段時間,且采樣頻率遠(yuǎn)高于信號的頻率,即當(dāng)BPSK信號存在時,系統(tǒng)會連續(xù)采集到s1(k)與噪聲或s2(k)與噪聲的混合信號,本節(jié)將以此作為信號檢測的依據(jù)。

如果存在信號時,系統(tǒng)接收到s1(k)與s2(k)的概率均為0.5。先假設(shè)系統(tǒng)接收到的是s1(k),噪聲為n(k),則信號的有無可用二元假設(shè)檢驗表示,即

(22)

由于高斯白噪聲通過BSR系統(tǒng)時,其概率密度函數(shù)會發(fā)生變化,此外,由于非線性系統(tǒng)的處理機制難以通過理論分析得到,且非線性系統(tǒng)具有初值敏感性,故本節(jié)不推導(dǎo)高斯白噪聲通過雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)后的概率密度函數(shù)。為設(shè)計檢測器,且保證算法的普適性,假設(shè)噪聲服從廣義高斯噪聲,其概率密度函數(shù)如下:

(23)

式中:μn、σn分別為噪聲的均值和方差;p>0、β>0;Γ(x)和β的表達式為

(24)

(25)

式中:p的值表示噪聲類型,不同的p值對應(yīng)于不同的噪聲概率密度函數(shù)。根據(jù)BSR的輸出結(jié)果,分析噪聲特性并對其進行參數(shù)化建模,根據(jù)所得結(jié)果來確定近似的噪聲分布模型,從而確定p的取值。

本節(jié)假設(shè)T=1、P=-1,則此時閾值系統(tǒng)可以看作為一個符號函數(shù),可表示為

(26)

首先,計算輸出信號y的均值,可以表示為

E[y]=P(y=1)-P(y=-1)=P(s1+n≥θ)-P(s1+n<θ)=1-2Fn(θ-s1)

(27)

式中:

(28)

式中:fn(u)是式(23)中廣義高斯噪聲的概率密度函數(shù)。

計算輸出信號y的方差為

E[y2]=(1)2P(y=1)+(-1)2P(y=-1)=1

(29)

(30)

得到非線性閾值系統(tǒng)的檢驗統(tǒng)計量為

(31)

在H0與H1假設(shè)條件下,檢驗統(tǒng)計量具有不同的均值和標(biāo)準(zhǔn)差,分別設(shè)為μ0、σ0、μ1、σ1。根據(jù)檢驗統(tǒng)計量的性質(zhì),其值分別為

μ0=1-2Fn(θ)

(32)

μ1=1-2Fn(θ-s1)

(33)

(34)

(35)

由于BPSK信號的第一個碼元會存在一段時間,且系統(tǒng)的采樣率足夠高,即對信號的采樣點數(shù)足夠大,根據(jù)中心極限定理,在上述兩種假設(shè)條件下,檢驗統(tǒng)計量均服從高斯分布,其概率密度函數(shù)為

(36)

(37)

為提升檢測系統(tǒng)對于信號處理的效能,本節(jié)采用Neyman-Pearson準(zhǔn)則來設(shè)計檢測器,以保證有用的信息盡可能多地進入系統(tǒng),同時也避免了過多的虛假數(shù)據(jù)進入檢測器,從而影響系統(tǒng)的工作效率。即當(dāng)虛警概率PF恒定時,使檢測概率PD最大。兩者表示為

(38)

(39)

由于Neyman-Pearson準(zhǔn)則是在設(shè)定虛警概率PF后,對式(38)進行變下限定積分,從而得到門限值α的。本節(jié)假設(shè)PF已設(shè)定,將式(36)代入式(38)中,可得

(40)

對式(40)進行變量代換,令

(41)

則式(27)可表示為

(42)

式(42)沒有理論解,而在實際應(yīng)用中,可結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)函數(shù)的分布表,即下式所對應(yīng)的函數(shù)值,進行輔助計算:

(43)

則虛警概率可表示為

(44)

即當(dāng)虛警概率設(shè)定后,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)函數(shù)的函數(shù)值可以確定,則μ0、σ0可通過計算得到,最終通過查表和簡單計算即可以得到門限值α,進而可以得到檢測概率為

(45)

經(jīng)過隨機共振系統(tǒng)處理后的混合信號檢測流程即如圖8所示。利用Neyman-Pearson準(zhǔn)則,能夠在沒有先驗信息條件下,進一步對BPSK信號的檢測能力。由于上述的推導(dǎo)是基于接收到的信號為“+1”進行的,通過上述計算可以得到檢測概率PD。然而,在實際應(yīng)用中BPSK信號的第一個碼元可正可負(fù)。為此本節(jié)采用兩套相同檢測系統(tǒng),第一套正常處理,將信號倒轉(zhuǎn)輸入到第二套檢測系統(tǒng),即將s(t)變成-s(t),雙系統(tǒng)同時工作,得到第二套檢測系統(tǒng)的檢測概率PDv,對比PD與PDv,兩者大小區(qū)別會很大,取較大值為此時的信號檢測概率,同時也可以確定信號為正或為負(fù)。即第一套系統(tǒng)只檢測正信號,第二套檢測負(fù)信號,將兩者檢測出的信號序列相加,即可得到BPSK信號的完整序列。

4 算法性能分析

4.1 檢測性能分析

為定量分析算法性能,本節(jié)將對所提算法對于信號檢測能力的提升進行量化描述。

由BPSK信號的表達式可以看出,在每個碼元之間信號為正弦波,此時雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的單邊輸出功率譜密度(power spectral density, PSD)函數(shù)可以表示為

(46)

式中:A是BPSK信號的幅度;D是WGN的噪聲強度;ωc=2πfc是BPSK信號的角頻率,fc是信號的調(diào)制載波頻率。在絕熱近似的條件下,要確保雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)能夠產(chǎn)生隨機共振,BPSK信號調(diào)制頻率應(yīng)滿足:

(47)

則輸出信號功率Ps可以表示為

(48)

噪聲功率Pn可表示為

(49)

則通過整理可得,輸出信號的信噪比SNRout可以表示為

(50)

輸入信號的SNRin為

(51)

則雙系統(tǒng)信號輸入前后的SNR增益為

(52)

為保證G大于1,式(52)應(yīng)滿足:

0

(53)

求解上述關(guān)于D的一元二次不等式組,可得

(54)

即當(dāng)原始噪聲強度滿足上述條件時,系統(tǒng)的輸出SNR會提升。

為研究噪聲與系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系,設(shè)

(55)

由式(55)可以看出,系統(tǒng)增益與參數(shù)a呈正相關(guān)。為保證增益大于1,參數(shù)a應(yīng)滿足:

(56)

求解可得

(57)

由于系統(tǒng)增益是關(guān)于a的單調(diào)遞增函數(shù),因此,當(dāng)a的取值接近上限時,系統(tǒng)的增益會達到最大。

從式(52)中也可以看出,隨著a的增大SNR也在逐步提升,此外本節(jié)所提出的尺度放縮也要求a盡可能大,即增大a既可以拓展隨機共振的適用性,同時也可以提升系統(tǒng)的增益,這也是所提的尺度放縮方法的一個重要優(yōu)勢。

4.2 誤碼率與系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化匹配分析

通過雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)后信號的SNR得以提升,為評估檢測器的性能,本節(jié)利用誤碼率Pe作為評判指標(biāo),同時也作為信號處理系統(tǒng)中的反饋量。其表達式如下:

Pe=P0P(0|1)+P1P(1|0)

(58)

式中:P1和P0分別表示有無碼元的概率。在Neyman-Pearson準(zhǔn)則的條件下,本節(jié)將BPSK信號轉(zhuǎn)換為兩組二元檢測,即P(0|1)表示為漏警概率,P(1|0)為虛警概率,有:

(59)

結(jié)合第3節(jié)的推導(dǎo)結(jié)果,檢測器的誤碼率可以表示為

(60)

由式(60)可得,虛警概率PF設(shè)置的越高,檢測門限α越低,檢測概率PD越高,漏警概率越低,反之亦然。因此,式(60)表明,誤碼率會隨著人為設(shè)定虛警概率的降低而呈現(xiàn)出先降低后上升的過程,即存在一個理想的虛警概率PFopt,使系統(tǒng)的誤碼率最低。同時也可從Φ函數(shù)看出,誤碼率Pe與通過檢測器前的噪聲強度相關(guān),而經(jīng)過雙穩(wěn)態(tài)隨機共振系統(tǒng)的處理,輸出信號的SNR得到了提升,從而降低了檢測信號的誤碼率。上述過程即為信號處理流程中誤碼率計算的部分,根據(jù)誤碼率的大小調(diào)整系統(tǒng)參數(shù),以實現(xiàn)最優(yōu)檢測。

在步驟3中,a1近似為a0的f1/f0倍,雖然可以實現(xiàn)比例縮放,但并不需要實現(xiàn)最優(yōu)的參數(shù)匹配。因此,應(yīng)該調(diào)整a1與a0的比例。式(60)表明,系統(tǒng)的誤碼率與信號的傳輸概率P0和P1以及所設(shè)定的虛警率PF有關(guān)。同時,根據(jù)Neyman-Pearson準(zhǔn)則,當(dāng)設(shè)置了接收器的虛警概率時,其檢測概率PD也可以根據(jù)觀測者操作特征(receiver operating characteristic, ROC)曲線來確定。

為了實現(xiàn)a1的最優(yōu)匹配,可以在對信號進行檢測前將接收機的參數(shù)進行調(diào)整。首先,設(shè)置P0、P1和PF,用已知的編碼方法構(gòu)建與待檢測信號的幅度和頻率相似的BPSK信號,然后將其輸入到強噪聲檢測系統(tǒng)中。根據(jù)信號和噪聲參數(shù)計算PD,進而得到式(60)的結(jié)果,即理想條件下的誤碼率Peopt,并計算系統(tǒng)在第q次調(diào)整后的實際誤碼率為Per(q),算得這兩個值之間的誤差為err(q)。根據(jù)所得誤差對a1和a0的比值進行調(diào)整,并設(shè)計控制律如下所示:

(61)

初始條件為

(62)

式(61)是比例控制的經(jīng)典方法,技術(shù)成熟且易于實現(xiàn)。當(dāng)誤差為0時,調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)并記錄調(diào)整次數(shù)Q,這里有q∈[1,Q]。在確保在此系統(tǒng)參數(shù)的條件下對參數(shù)a1進行調(diào)整,可有效降低誤檢測率。

4.3 算法復(fù)雜度分析

算法流程表明,所提算法首先通過雙穩(wěn)態(tài)隨機共振系統(tǒng)對混合噪聲信號進行處理,然后根據(jù)Neyman-Pearson準(zhǔn)則對輸出信號進行檢測,再根據(jù)誤檢測率對雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的參數(shù)進行調(diào)整,直至獲得最低的誤碼率。因此,有必要對隨機共振和檢測算法的疊加計算量進行分析,然后進行Q次迭代以獲得最優(yōu)解的次數(shù),即為算法的復(fù)雜度。

首先,分析經(jīng)過尺度變換的雙穩(wěn)態(tài)隨機共振系統(tǒng)。第一步是尺度變換,即式(13)和式(14),將信號的尺度和頻率變?yōu)樵贾档?/a,該算法的復(fù)雜度為O(n)。然后將尺度變化的結(jié)果輸入到雙穩(wěn)態(tài)隨機共振系統(tǒng)中即式(4),該步驟的計算量主要來源于bx3,其復(fù)雜度為O(n3)。因此,該雙穩(wěn)態(tài)隨機共振系統(tǒng)的算法復(fù)雜度為O(n+n3),即O(n3)。

其次,對信號檢測進行分析。在確定概率密度函數(shù)中的廣義噪聲分布后,根據(jù)雙穩(wěn)態(tài)隨機共振系統(tǒng)的輸出結(jié)果選擇p的值,進而實現(xiàn)對噪聲的近似描述,則算法復(fù)雜度為O(1),然后計算參數(shù)μ0、σ0、μ1、σ1的值。式(32)～式(35)表明該σ算法的復(fù)雜度比μ更高,因此,我們只研究σ的算法復(fù)雜度。Fn由式(28)進行積分計算得到的,被積函數(shù)和積分的界是已知的,且被積函數(shù)是一個典型的分布函數(shù),因此,可以通過查表來確定Fn的值,其計算復(fù)雜度為O(n)。對于σ復(fù)雜度的計算可以通過式(34)和式(35)得到,則計算σ的復(fù)雜度為O(n3)。接下來,通過設(shè)定的PF推導(dǎo)出閾值α。同樣,式(42)表明被積函數(shù)和積分的界是已知的,且被積函數(shù)滿足典型的高斯分布,則閾值α可以通過查表和簡單的計算得到,其計算復(fù)雜度為O(n2)。最后,對檢驗統(tǒng)計量進行分析。根據(jù)式(31),將檢驗統(tǒng)計量為輸出信號的平均值與閾值進行比較,這兩部分的算法復(fù)雜度為O(n)。綜上所述,信號檢測部分的算法復(fù)雜度為O(1+n+n3+n2+n),即O(n3)。

最后,根據(jù)圖5中的算法流程,除雙穩(wěn)態(tài)隨機共振和信號檢測外,其余大部分都是簡單的四項操作和賦值,只有計算環(huán)境中的噪聲方差算法的復(fù)雜度為O(n2)。因此,系統(tǒng)的整體算法復(fù)雜度為O[Q(n3+n3+n2)],即O(2Qn3)。因此所提的非線性檢測算法與大多數(shù)信號檢測算法復(fù)雜度相近,并且能夠顯著提高弱信號的檢測能力,具有較好的性能。

5 仿真驗證

5.1 尺度變換模型

尺度變換的可行性已在前文進行過推導(dǎo)論述,為驗證其可行性,本節(jié)對其進行仿真實驗。這里利用典型的BPSK信號,對尺度變換方法進行仿真驗證。

系統(tǒng)的采樣頻率為600 kHz,系統(tǒng)參數(shù)a=b=107,BPSK信號的載波頻率為200 kHz,基帶頻率20 kHz,初始碼元任取,初始相位隨機,+1、-1碼元隨機等概率隨機變換,噪聲與信號強度相同。仿真環(huán)境為I7-4960,主頻2.60 GHz,16 G內(nèi)存,基于Matlab 2014a為平臺進行仿真實驗。將BPSK信號通過上述雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng),得到前后的波形對比如圖9所示。

圖9中由上至下依次為調(diào)制后的BPSK信號、與等強度噪聲混合的雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)輸入信號以及雙穩(wěn)態(tài)的輸出信號。通過觀察圖9可以直觀地看出,上述設(shè)定的參數(shù)可以使系統(tǒng)產(chǎn)生隨機共振,即通過實驗驗證,本節(jié)的尺度放縮方法具有可行性。將上述混合信號與輸出信號進行快速傅里葉變換分析其頻譜,如圖10所示。對比兩圖可得,信號在其頻點上的強度明顯增強,約為原始信號強度的11倍,輸出信號的SNR得到明顯提升,有利于信號的檢測。且從圖10中的第一幅圖可以看出,原始噪聲為WGN,以一定強度均勻分布在整個頻段內(nèi),而經(jīng)過隨機共振系統(tǒng)處理過后,其分布明顯朝向信號頻點聚集,這也驗證了在經(jīng)過變尺度隨機共振系統(tǒng)后,噪聲的分布改變,不再服從正態(tài)分布。為此,需要研究與設(shè)計非WGN背景下檢測器,對雙穩(wěn)態(tài)隨機共振的輸出信號進行進一步的檢測。

5.2 BPSK信號檢測分析

為保證隨機共振的效果,本實驗設(shè)定接收信號采樣點數(shù)足夠大,根據(jù)中心極限定理,檢驗統(tǒng)計量服從近似的高斯分布。系統(tǒng)參數(shù)和仿真環(huán)境與第5.1節(jié)仿真條件幾乎相同,SNR為-10 dB,虛警概率設(shè)為0.01,令廣義高斯白噪聲參數(shù)p=1,即假設(shè)噪聲經(jīng)過BSR系統(tǒng)后服從拉普拉斯噪聲分布。設(shè)定BPSK信號的時間長度為0.1 s,且在該段時間內(nèi)進行1 000次幅值轉(zhuǎn)換,將其通過第5.1節(jié)設(shè)定好參數(shù)的雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng),將系統(tǒng)輸出信號通過非線性檢測器,解調(diào)雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)輸出信號與檢測器輸出信號。為易于觀察,取0.01 s內(nèi)的波形,如圖11所示。通過對比兩條曲線可得,雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)能夠有效提升信號的能量,信號特性進一步得到了凸顯,有利于非線性檢測器進行后續(xù)檢測。將輸出信號通過非線性檢測器,得到檢測后的BPSK信號波形。

為進一步評估檢測器輸出結(jié)果的正確性與計算系統(tǒng)的誤碼率,這里作出原始純凈信號與檢波器輸出信號之間的關(guān)系圖,如圖12所示。

對比上述兩組點,可以看出在第28次信號調(diào)制時,系統(tǒng)沒有檢測成功,其余99次全部實現(xiàn)了正確檢測。在整段1 000次調(diào)制的序列中,失敗檢測了6次,其誤碼率較低。將上述流程進行100次蒙特卡羅仿真實驗,得到檢測系統(tǒng)的平均誤碼率為0.007 6?？梢?在-10 dB及拉普拉斯噪聲背景條件下,所提算法具有良好的檢測性能。

5.3 算法性能對比

為進一步衡量所提算法性能并體現(xiàn)算法優(yōu)勢,在低SNR條件下,調(diào)整p的參數(shù)值,并將所設(shè)計的檢測器與最佳線性檢測器(best linear detection, BLD)進行對比,仿真環(huán)境與參數(shù)值設(shè)定不變,仿真SNR為[-30, 0] dB,以3 dB為步進,所得仿真結(jié)果如圖13所示?？梢钥闯?所提的基于Neyman-Pearson準(zhǔn)則設(shè)計的非線性檢測器在低SNR條件下具有良好的檢測性能,且隨著SNR的提升檢測效能也明顯提升。同時,在多數(shù)情況下,該檢測器性能優(yōu)于最佳線性檢測算法。當(dāng)p=2時,此時噪聲為WGN,BLD對WGN背景下的檢測性能最優(yōu),且隨著p值的變化,所設(shè)計的檢測器性能優(yōu)勢逐步顯現(xiàn),誤碼率的下降更為明顯。

本文我們將所提算法與文獻[31]算法進行了比較,采用與文獻[31]中圖9相同的仿真參數(shù),將虛警率設(shè)為0.05,進行200次蒙特卡羅實驗,并對仿真結(jié)果進行平均計算,則所提算法與其對比結(jié)果如圖14所示。橫軸為輸入信號的SNR,縱軸是輸出信號的信干噪比(signal to interference plus noise ratio, SINR)。

圖中Rp1、Rp2為文獻[31]所構(gòu)建發(fā)射波形的協(xié)方差矩陣，該矩陣的形式影響著信號檢測能力，其對應(yīng)的形式如下：

(63)

(64)

式中:Mt是發(fā)射端天線的個數(shù)。

可以看出,與文獻[31]所提算法相比,采用所提算法可獲得更高的SNR。這是因為在低SNR的情況下,所提算法可以通過非線性作用將噪聲能量轉(zhuǎn)化為信號能量。因此,所提算法具有比文獻[31]算法更好的檢測性能。

由于參數(shù)調(diào)整算法(parameter adjusted algorithm, PAA)的非線性特性,其檢測性能與SNR呈線性相關(guān),很難得到具體的解析表達式,這是與文獻[31]所用方法的主要不同,但這種算法的檢測效率卻有顯著的提升。然而,從圖13可以看出,隨著SNR的提高,PAA的檢測能力的提升是要慢于其他兩種方法的,即使隨著SNR的提高,所提算法的檢測性能也幾乎被其他兩種方法所超越。這是因為PAA算法的效率與噪聲強度相關(guān),噪聲能量降低,檢測效率自然也就越低。換句話說,在高SNR條件下,PAA類似的檢測性能與主流方法相似甚至更差,然而,在低SNR條件下,這種算法的檢測性能顯然是比主流方法更好。因此,該方法更適合于弱信號的檢測。

為更具有針對性地比較論文所提算法性能,在此對于同樣基于隨機共振優(yōu)化的檢測算法進行對比,即與文獻[32]中的檢測算法進行對比,仿真參數(shù)的設(shè)置與文獻[32]中圖6仿真條件一致,并設(shè)虛警概率為0.1,同樣進行200次蒙特卡羅實驗并對結(jié)果取平均值,其對比結(jié)果如圖15所示。

由以上對比可以看出,參數(shù)調(diào)整算法的檢測性能雖然略優(yōu)于改進的能量檢測(improved energy detection, IED),同樣也優(yōu)于經(jīng)典的能量檢測(energy detection, ED),但結(jié)果上并沒有明顯的改善。這是因為文獻[32]中所提的IED方法需要知道待測信號的參數(shù),然后在隨機共振系統(tǒng)中設(shè)置參數(shù)a和b。所提方法不需要知道待測信號的所有參數(shù),只需要估計信號的頻帶即可實現(xiàn)信號檢測,減少了對先驗信息的依賴性,放寬了適用條件。因此,所提方法具有更高的適用性。

此外,當(dāng)先驗信息少于IED方法時,所提算法的檢測結(jié)果略優(yōu)于IED方法的另一個原因是,IED方法致力于在高于SNR下界的情況下取得良好的效果,且該算法在SNR低于SNR下界情況其相應(yīng)的參數(shù)調(diào)整較為困難。因此,在實際應(yīng)用中適用范圍相對較窄。提出的算法以誤碼率作為反饋量,根據(jù)BPSK信號的參數(shù)特征自適應(yīng)地調(diào)整系統(tǒng)參數(shù),并進行參數(shù)的動態(tài)匹配,從而更好地實現(xiàn)信號的檢測。因此,盡管先驗信息少于IED方法的信息,但是檢測結(jié)果可以優(yōu)于IED方法。

綜上,論文所構(gòu)建的信號處理與檢測流程可以在低SNR條件下對BPSK信號實現(xiàn)良好的檢測與解調(diào),使得在強噪聲背景下的弱信號檢測性能明顯提升。

6 結(jié) 論

(1) 利用BSR系統(tǒng)構(gòu)建了一套基于尺度變換的BSR模型,提升了對BPSK信號的檢測性能,并基于Neyman-Pearson準(zhǔn)則構(gòu)建了非線性信號檢測器。將兩者結(jié)合,構(gòu)建了一套完整的信號檢測流程,實現(xiàn)了在強噪聲與無先驗信息條件下對弱BPSK信號的檢測。

(2) 針對經(jīng)典的BSR系統(tǒng)只能處理低頻段、小幅度周期信號的局限性,本章借鑒尺度變換的思想,將隨機共振模型進行改進,拓展其適用范圍,通過理論推導(dǎo)與實驗驗證證明了所提方法的有效性。

(3) 在強噪聲背景下對BPSK信號進行檢測,首先要確定信號的有無,然而由于針對BPSK信號的先驗知識有限,同時在經(jīng)過隨機共振系統(tǒng)后,噪聲的概率密度函數(shù)發(fā)生改變。為此,基于Neyman-Pearson準(zhǔn)則設(shè)計非線性檢測器,并在廣義高斯噪聲的背景下,給出了檢測器的構(gòu)建及參數(shù)確定的完備流程,實現(xiàn)了在不同噪聲背景下相應(yīng)檢測器的設(shè)計。

(4) 通過理論分析與公式推導(dǎo),對所提出的系統(tǒng)算法性能進行定量分析,此外,基于算法性能的表達式構(gòu)建反饋系統(tǒng),使檢測性能達到最優(yōu)。所提算法不僅適用于BPSK信號,還可應(yīng)用于其他通信、光學(xué)甚至故障信號等,為后續(xù)的信號檢測理論與實際工程應(yīng)用提供了良好的借鑒。

所提方法由于基于二項極化的檢測方式,因此對于正交相移等多鍵控的信號檢測性能,會隨著鍵的增多而逐步降低,這也是后續(xù)的研究方向,將論文方法進行修改與完善,推廣到不同鍵控的信號。