基于大地坐標(biāo)系的IMM航空器短期航跡外推

湯新民, 鄭鵬程

(南京航空航天大學(xué)民航學(xué)院, 江蘇 南京 211106)

0 引 言

隨著空域內(nèi)航空器密度的增加,管制員的負(fù)荷不斷增加,當(dāng)管制員負(fù)荷高于一定水平之后,空域內(nèi)產(chǎn)生運(yùn)行不安全事故的可能性會(huì)大大增加。對(duì)于在航路運(yùn)行的航空器,飛行員的工作內(nèi)容少、工作負(fù)荷低,因此,如果在航路飛行階段將部分間隔保持責(zé)任由管制員移交給飛行員,可以在降低管制負(fù)荷的同時(shí)保證運(yùn)行安全。

將間隔保持責(zé)任轉(zhuǎn)移到飛行員的前提是該空域范圍內(nèi)的航空器具有感知周圍環(huán)境態(tài)勢(shì)的能力,在當(dāng)前及可預(yù)見的未來一段時(shí)間內(nèi),航空器能夠通過廣播式自動(dòng)相關(guān)監(jiān)視(automatic dependent surveillance-broadcast, ADS-B)的接收功能(簡(jiǎn)稱為ADS-B-IN)獲取周圍航空器的狀態(tài)信息,但目前沒有關(guān)于飛機(jī)廣播意圖信息的技術(shù)規(guī)范,所以難以獲取周圍航空器的意圖信息,而周圍航空器的意圖信息使得本機(jī)能夠預(yù)測(cè)他機(jī)在未來一段時(shí)間內(nèi)的軌跡,若在計(jì)算間隔保證策略時(shí)能夠獲得他機(jī)的意圖信息,將會(huì)極大地提升間隔保持策略的安全與效率。因此,需要根據(jù)航空器的歷史狀態(tài)信息推測(cè)航空器的意圖信息,并根據(jù)航空器的意圖信息進(jìn)行外推,得到航空器在未來一段時(shí)間的外推航跡。

單運(yùn)動(dòng)模型跟蹤算法在跟蹤目標(biāo)發(fā)生機(jī)動(dòng)時(shí)會(huì)產(chǎn)生跟蹤模型的失配問題,交互式多模型 (interacting multiple model, IMM)算法是在廣義偽貝葉斯基礎(chǔ)上提出的一種具有馬爾可夫轉(zhuǎn)移概率的算法,IMM算法考慮了目標(biāo)可能處于的多種運(yùn)動(dòng)狀態(tài),分別建立多個(gè)運(yùn)動(dòng)子模型,并考慮子模型之間的交互作用,以達(dá)到對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的自適應(yīng)跟蹤。

IMM算法的優(yōu)劣取決于模型集的選取是否恰當(dāng),目前常用的模型集包括勻速運(yùn)動(dòng)模型、勻加速運(yùn)動(dòng)模型、協(xié)同轉(zhuǎn)彎模型等,對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)加入Singer模型可以在目標(biāo)發(fā)生機(jī)動(dòng)時(shí)無需進(jìn)行機(jī)動(dòng)檢測(cè),就能進(jìn)行無時(shí)間滯后的機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤。Singer模型是一個(gè)零均值的一階相關(guān)模型,該模型認(rèn)為目標(biāo)在加速度的均值為0,然而目標(biāo)在機(jī)動(dòng)過程中,下一時(shí)刻加速度的均值應(yīng)該是當(dāng)前時(shí)刻加速度的均值,因此,根據(jù)Singer模型進(jìn)行改進(jìn)得到的“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型被廣泛用于IMM算法運(yùn)動(dòng)模型集中。為了提高目標(biāo)跟蹤的精度,會(huì)盡量選取更多的模型加入到模型集中,從而使該算法能夠覆蓋盡可能多的運(yùn)動(dòng)情況,但是隨著模型數(shù)量的增加,在每個(gè)時(shí)間段內(nèi)的計(jì)算量會(huì)大量增加。此外,模型數(shù)量過多會(huì)導(dǎo)致模型間出現(xiàn)競(jìng)爭(zhēng)問題,導(dǎo)致算法的性能下降。為了在保證跟蹤準(zhǔn)確率的情況下減小計(jì)算量,提出了一系列的變結(jié)構(gòu)模型集的IMM算法,例如自適應(yīng)網(wǎng)格算法、機(jī)動(dòng)判別算法、有向圖切換算法等。針對(duì)多普勒雷達(dá)目標(biāo)跟蹤中非線性的特點(diǎn),以IMM算法為基本框架,根據(jù)最佳線性無偏估計(jì)的卡爾曼濾波和序貫濾波器更新模型概率,最后的估計(jì)是序列濾波器輸出和模型概率的加權(quán)和,仿真結(jié)果表明該算法能實(shí)現(xiàn)較好的機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤精度。針對(duì)復(fù)雜機(jī)動(dòng)情況下跟蹤精度低、易發(fā)散的問題,文獻(xiàn)[21-22]對(duì)IMM算法中的濾波算法進(jìn)行了改進(jìn),文獻(xiàn)[21]提出了一種基于增益矩陣和轉(zhuǎn)移概率矩陣實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)調(diào)整思想的IMM強(qiáng)跟蹤平方空間卡爾曼濾波;文獻(xiàn)[22]提出了一種改進(jìn)的IMM自適應(yīng)強(qiáng)跟蹤隨機(jī)加權(quán)容積卡爾曼濾波;文獻(xiàn)[23]提出了使用極限梯度提升(extreme gradient boosting, XGBoost)方法來替代最大似然估計(jì)方法計(jì)算目標(biāo)最終的狀態(tài)估計(jì),從而最大化利用系統(tǒng)的先驗(yàn)信息。針對(duì)傳統(tǒng)恒速度子模型和恒加速度子模型在降噪方面的不足,文獻(xiàn)[24]改變了狀態(tài)空間的結(jié)構(gòu),使用了動(dòng)態(tài)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,從而提高模型的收斂速度并降低噪聲影響。

當(dāng)目標(biāo)的觀測(cè)數(shù)據(jù)丟失,IMM算法采用的軌跡外推算法是將記錄最后時(shí)刻各模型的概率取值,并根據(jù)模型的馬爾可夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣進(jìn)行概率矩陣的外推,得到各個(gè)模型的概率取值后,各個(gè)模型交互得到該時(shí)刻目標(biāo)的狀態(tài)信息。

本文采用IMM算法,首先跟蹤航空器的飛行航跡,并辨識(shí)航空器子模型的概率分布,然后預(yù)測(cè)航空器關(guān)鍵運(yùn)動(dòng)參數(shù)的變化趨勢(shì),最后根據(jù)末時(shí)航空器狀態(tài)和子模型概率分布對(duì)航空器進(jìn)行合理的短期航跡外推。

1 問題描述和目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型

1.1 問題描述

機(jī)載ADS-B的發(fā)射功能(簡(jiǎn)稱為ADS-B-OUT)可以將航空器的經(jīng)度、緯度、高度、速度、航向、爬升率等信息編碼后進(jìn)行廣播,本機(jī)的ADS-B-IN設(shè)備接收到ADS-B報(bào)文后進(jìn)行解碼,能夠獲取周圍他機(jī)的狀態(tài)信息,用于對(duì)周圍空域內(nèi)的他機(jī)進(jìn)行追蹤監(jiān)視。對(duì)于機(jī)載自主間隔保持系統(tǒng)來說,周圍航空器狀態(tài)信息的準(zhǔn)確性至關(guān)重要,因此本文采用IMM算法結(jié)合卡爾曼濾波對(duì)ADS-B報(bào)文中的航空器狀態(tài)信息進(jìn)行處理,辨識(shí)航空器的關(guān)鍵運(yùn)動(dòng)參數(shù),最后根據(jù)航空器的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)進(jìn)行短期航跡的外推。

1.2 坐標(biāo)系的選擇

圖1 空間直角坐標(biāo)系中的航空器位置坐標(biāo)Fig.1 Aircraft position coordinates in rectangular coordinate system

圖2 空間直角坐標(biāo)系中的線性外推航跡與理想外推航跡的對(duì)比Fig.2 Comparison between linear and ideal extrapolation track in rectangular coordinate system

圖3 航空器在大地坐標(biāo)系中的位置示意圖Fig.3 Position of aircraft in geodetic coordinate system

1.3 目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型

航空器的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以用如下的離散系統(tǒng)方程表示:

狀態(tài)方程:

(+1)=()()+()()

(1)

觀測(cè)方程:

()=()()+()

(2)

式中:()為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣;()為噪聲驅(qū)動(dòng)矩陣;()∈為狀態(tài)方程白噪聲,其協(xié)方差矩陣為();()為觀測(cè)矩陣;()∈為觀測(cè)噪聲,其協(xié)方差矩陣為();()∈為系統(tǒng)在時(shí)刻的狀態(tài)向量;()為時(shí)刻航空器狀態(tài)的觀測(cè)向量。其中,()與()為互不相關(guān)的零均值高斯白噪聲。

在大地坐標(biāo)系中,選取的目標(biāo)航空器的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變量為

(3)

利用IMM算法跟蹤目標(biāo)航空器的關(guān)鍵在于選取適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動(dòng)模型作為子模型,模型集應(yīng)當(dāng)能夠覆蓋航空器所有可能的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。本文的模型集中共選取3個(gè)方向上的6個(gè)運(yùn)動(dòng)子模型,如表1所示。

首先對(duì)巡航階段航空器運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行分析,判斷模型集能否滿足覆蓋性要求。

巡航階段飛機(jī)可能的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)及模型集組合如表2所示。

表1 IMM算法模型集

表2 飛機(jī)可能的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與子模型組合的關(guān)系

根據(jù)分析,可以看出表1中的模型集能夠覆蓋巡航階段航空器的各種運(yùn)行狀態(tài)。

1.3.1 勻角速度-零速運(yùn)動(dòng)模型

(1) 經(jīng)度方向,目標(biāo)做勻角速度運(yùn)動(dòng)時(shí),其連續(xù)時(shí)間狀態(tài)方程為

(4)

(+1)=()()+()()

(5)

(2) 緯度方向,目標(biāo)的勻角速度運(yùn)動(dòng)模型與經(jīng)度方向的勻角速度運(yùn)動(dòng)模型一致,所以可得緯度方向的離散時(shí)間狀態(tài)方程為

(+1)=()()+()()

(6)

其中,

=[2,, 1]

(3) 高度方向,由于零速運(yùn)動(dòng)模型中,航空器高度方向的速度為0,所以離散時(shí)間狀態(tài)方程為

(+1)=()()+()()

(7)

其中,

132 “當(dāng)前”運(yùn)動(dòng)模型

“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型是對(duì)Singer模型的改進(jìn),Singer模型是零均值的時(shí)間相關(guān)模型,而實(shí)際上航空器下一時(shí)刻的加速度的均值是當(dāng)前時(shí)刻的加速度,隨機(jī)加速度在時(shí)間軸上仍然符合一階時(shí)間相關(guān)過程,即

(8)

(9)

加速度的方差為

(10)

(11)

(12)

(1) 經(jīng)度方向,目標(biāo)做變加速運(yùn)動(dòng)時(shí),根據(jù)式(11)與式(12)可得其連續(xù)時(shí)間狀態(tài)方程為

(13)

相應(yīng)的離散形式的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)方程為

(14)

其中,

=[2,, 1]

(2) 緯度方向,目標(biāo)的變加速運(yùn)動(dòng)模型與經(jīng)度方向的變加速運(yùn)動(dòng)模型一致,所以可得緯度方向的離散時(shí)間狀態(tài)方程為

(15)

其中,

=[2,, 1]

(3) 高度方向,目標(biāo)做變加速升降運(yùn)動(dòng)時(shí),根據(jù)式(11)與式(12)可得其連續(xù)時(shí)間狀態(tài)方程為

(16)

相應(yīng)的離散形式的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)方程為

(17)

其中,

=[2,, 1]

133 目標(biāo)運(yùn)動(dòng)解耦

本文采用大地坐標(biāo)系進(jìn)行建模,在使用IMM算法跟蹤目標(biāo)航空器時(shí),如果將經(jīng)度、緯度和高度3個(gè)方向上運(yùn)動(dòng)模型結(jié)合在一起,可能會(huì)導(dǎo)致航空器在3個(gè)方向上的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生耦合現(xiàn)象。子模型的耦合作用會(huì)導(dǎo)致3個(gè)方向上的“勻角速度-零速運(yùn)動(dòng)模型”的概率取值相同,3個(gè)方向上的“當(dāng)前”運(yùn)動(dòng)模型的概率取值也相同,這種耦合現(xiàn)象會(huì)導(dǎo)致跟蹤效果較差,因此本文將3個(gè)方向上的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行解耦。

具體的解耦方法如下:

(1) 經(jīng)度方向,對(duì)軌跡數(shù)據(jù)中的經(jīng)度數(shù)據(jù)使用經(jīng)度方向的“勻角速度運(yùn)動(dòng)模型”和“當(dāng)前”運(yùn)動(dòng)模型進(jìn)行跟蹤;

(2) 緯度方向,對(duì)軌跡數(shù)據(jù)中的緯度數(shù)據(jù)使用緯度方向的“勻角速度運(yùn)動(dòng)模型”和“當(dāng)前”運(yùn)動(dòng)模型進(jìn)行跟蹤;

(3) 高度方向,對(duì)軌跡數(shù)據(jù)中的高度數(shù)據(jù)使用高度方向的“零速運(yùn)動(dòng)模型”和“當(dāng)前”運(yùn)動(dòng)模型進(jìn)行跟蹤。

將3個(gè)方向的跟蹤數(shù)據(jù)進(jìn)行合并,即可得到IMM算法的跟蹤結(jié)果。

2 IMM算法

IMM算法是在廣義偽貝葉斯基礎(chǔ)上提出的一種具有馬爾可夫轉(zhuǎn)移概率的算法,其本質(zhì)是將前一時(shí)刻多個(gè)模型的輸出進(jìn)行加權(quán)組合作為各個(gè)模型的當(dāng)前輸入,多個(gè)模型并行估計(jì),最后得到組合狀態(tài)估計(jì)。

完整的IMM 循環(huán)由以下4 部分組成: 輸入交互、濾波、模型概率更新、輸出交互。

假設(shè)IMM算法模型集包含有個(gè)模型,在時(shí)刻,從模型轉(zhuǎn)移到模型(1≤,≤)服從一個(gè)給定狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的馬爾可夫矩陣:

={()|(-1)}

(18)

2.1 輸入交互

-1時(shí)刻,模型轉(zhuǎn)移到模型的概率為

(-1)=·(-1)

(19)

因此,-1時(shí)刻,由其他模型轉(zhuǎn)移到模型的總概率(歸一化常數(shù))為

(20)

模型到模型混合概率為

(21)

模型的混合狀態(tài)估計(jì)為

(22)

模型的混合協(xié)方差估計(jì)為

{(-1|-1)+

(23)

2.2 狀態(tài)濾波

本文采用卡爾曼濾波算法作為各個(gè)子模型的濾波器對(duì)輸入交互的結(jié)果進(jìn)行濾波,首先根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程計(jì)算模型的估計(jì)狀態(tài),然后將目標(biāo)的觀測(cè)數(shù)據(jù)作為先驗(yàn)信息來對(duì)狀態(tài)估計(jì)進(jìn)行修正,得到濾波后的狀態(tài)估計(jì)。卡爾曼濾波的執(zhí)行步驟如下。

根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程進(jìn)行狀態(tài)一步預(yù)測(cè):

(24)

一步預(yù)測(cè)的協(xié)方差矩陣為

(25)

卡爾曼濾波的增益矩陣為

()=(|-1)··[(|-1)+]

(26)

使用觀測(cè)數(shù)據(jù)作為先驗(yàn)信息對(duì)目標(biāo)狀態(tài)進(jìn)行更新:

(27)

協(xié)方差矩陣更新:

(|)=[-()()](|-1)

(28)

2.3 模型概率更新

對(duì)于第個(gè)模型,其似然函數(shù)為

(29)

模型的概率更新方程為

(30)

2.4 輸出交互

濾波器的總輸出為對(duì)各個(gè)模型進(jìn)行濾波后的估計(jì)結(jié)果的加權(quán)值,加權(quán)的狀態(tài)估計(jì)為

(31)

加權(quán)后的協(xié)方差估計(jì)為

(32)

3 航空器航跡外推算法

IMM算法可以提供周圍他機(jī)的當(dāng)前狀態(tài)信息,但是他機(jī)在未來一段時(shí)間內(nèi)的航跡對(duì)于航空器自主間隔保持也是同等重要的,本節(jié)的主要內(nèi)容是根據(jù)航空器的歷史軌跡信息外推得到他機(jī)未來一段時(shí)間的航跡,為航空器自主間隔保持算法提供數(shù)據(jù)支持。

對(duì)于單一運(yùn)動(dòng)子模型的系統(tǒng),可以根據(jù)最近一段時(shí)間的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣使用式(24)進(jìn)行狀態(tài)的一步預(yù)測(cè),但對(duì)于含有多個(gè)子模型的系統(tǒng),狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣難以確定。

(33)

(34)

式中:()是時(shí)刻子模型的概率。由于子模型之間的轉(zhuǎn)移概率服從馬爾可夫過程,因此可以通過-1時(shí)刻各個(gè)子模型的概率(-1)和得出()：

(35)

4 仿真

4.1 航跡跟蹤仿真

本文使用2021年3月3日,航班號(hào)為CCA1516的航空器的ADS-B軌跡數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波跟蹤。首先,將采集過的數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化,判斷軌跡數(shù)據(jù)是否連續(xù),然后將采集到的ADS-B數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)清洗,然后使用分段3次 Hermite 插值將離散的軌跡點(diǎn)插值成時(shí)間間隔=1 s的采樣點(diǎn),得到1 113個(gè)軌跡點(diǎn)。仿真采用的參數(shù)如下。

仿真得到的IMM跟蹤軌跡和觀測(cè)軌跡曲線圖如圖4所示。

圖4 航空器觀測(cè)航跡和IMM跟蹤軌跡曲線圖Fig.4 Observation track and IMM tracking curve of aircraft

IMM算法跟蹤誤差曲線圖如圖5所示,可以看出,大部分時(shí)間段內(nèi),IMM算法跟蹤的誤差小于50 m,僅在極少數(shù)位置會(huì)出現(xiàn)大于250 m的誤差,總體的跟蹤效果較好。

圖5 IMM軌跡跟蹤誤差曲線圖Fig.5 IMM trajectory tracking error curve

IMM跟蹤過程中,3個(gè)方向上,各個(gè)子模型的概率變化曲線圖如圖6所示。

圖6 子模型概率變化曲線圖Fig.6 Probability variation curve of sub model

4.2 航跡外推仿真

選取某一時(shí)刻航空器的狀態(tài)作為初始狀態(tài),外推時(shí)間為250 s,外推航跡與觀測(cè)航跡的對(duì)比如圖7(a)所示,外推航跡的誤差隨時(shí)間變化的關(guān)系如圖7(b)所示。

圖7 基于大地坐標(biāo)系的航跡外推結(jié)果Fig.7 Track extrapolation result based on geodetic coordinate system

第1.2節(jié)僅從理論上說明了空間直角坐標(biāo)系在航跡外推方面的不足,本節(jié)使用兩種參考系,針對(duì)同一初始狀態(tài)、使用相同的外推方法計(jì)算航空器的外推航跡?；诳臻g直角坐標(biāo)系的外推航跡與觀測(cè)航跡的對(duì)比如圖8(a)所示,外推航跡的誤差隨時(shí)間變化的關(guān)系如圖8(b)所示。

圖8 基于空間直角坐標(biāo)系的航跡外推結(jié)果Fig.8 Track extrapolation result based on spatial Cartesian coordinate system

基于大地坐標(biāo)系和空間直角坐標(biāo)系的航跡跟蹤誤差對(duì)比如圖9所示,在航跡跟蹤過程中,二者相對(duì)于觀測(cè)航跡的誤差均保持在較低的水平。

圖9 大地坐標(biāo)系和空間直角坐標(biāo)系下的跟蹤誤差對(duì)比Fig.9 Tracking error comparison between geodetic coordinate system and spatial cartesian coordinate system

基于大地坐標(biāo)系和空間直角坐標(biāo)系的航跡外推的誤差對(duì)比如圖10所示?？梢钥闯?隨著外推時(shí)間的增加,基于空間直角坐標(biāo)系的航跡外推的誤差在70 s的時(shí)候已經(jīng)增長(zhǎng)到大約1 000 m,而此時(shí)基于大地坐標(biāo)系的航跡外推的誤差僅為50 m左右;在第250 s時(shí),基于空間直角坐標(biāo)系的航跡外推的誤差超過了7 000 m,而基于大地坐標(biāo)系的航跡外推的誤差為700 m左右。仿真結(jié)果表明,基于大地坐標(biāo)系在航跡外推方面比基于空間直角坐標(biāo)系具有更好的性能。

圖10 大地坐標(biāo)系和空間直角坐標(biāo)系下的外推誤差對(duì)比Fig.10 Extrapolation error comparison between geodetic coordinate system and spatial cartesian coordinate system

5 結(jié) 論

本文研究了航路飛行階段的航跡跟蹤和短期航跡外推的問題:

(1) 針對(duì)航路運(yùn)行狀態(tài)下的航空器,使用IMM算法結(jié)合卡爾曼濾波跟蹤航空器的運(yùn)動(dòng)軌跡,通過對(duì)大地坐標(biāo)系與空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行比較后,采用大地坐標(biāo)系來定位航空器的位置;

(2) 基于大地坐標(biāo)系,將航空器的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)解耦成3個(gè)方向上的獨(dú)立運(yùn)動(dòng),分別推導(dǎo)各個(gè)方向上可能的運(yùn)動(dòng)模型,建立航空器運(yùn)動(dòng)方程;

(3) 基于線性外推的思想,根據(jù)航空器末時(shí)狀態(tài)和子模型的概率進(jìn)行航跡外推,同時(shí)對(duì)比大地坐標(biāo)系和空間直角坐標(biāo)系下航跡外推的性能。結(jié)果表明,在跟蹤性能相近的情況下,采用大地坐標(biāo)系進(jìn)行航跡外推的性能優(yōu)于空間直角坐標(biāo)系。

本文提出的基于大地坐標(biāo)系的IMM算法的跟蹤效果在與基于空間直角坐標(biāo)系的IMM算法性能相近的情況下,其外推性能有了很大的提升,為航空器短期航跡外推提供了可靠的方法。未來的工作會(huì)基于本文提出的短期航跡外推算法進(jìn)行航空器之間潛在沖突的探測(cè)。