化“隱”為明巧解題
——談隱含條件在初中數(shù)學(xué)解題中的價(jià)值

陳海平

(江蘇省灌云縣小伊中學(xué) 222202)

對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題正確求解是初中生在考試中立于不敗之地的一大“利器”，加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題解題能力專項(xiàng)培養(yǎng)顯得尤為重要.相較于小學(xué)階段的數(shù)學(xué)問(wèn)題，初中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中遇到的問(wèn)題在知識(shí)綜合性方面的特點(diǎn)更加顯著，尤其是對(duì)學(xué)生解題中思維的能動(dòng)性活動(dòng)具有更高要求，如果無(wú)法在解題中進(jìn)行靈活思考，有效挖掘題干中的隱含條件等有價(jià)值信息，那么必然在解題中容易出錯(cuò).因此，如何有效培養(yǎng)及發(fā)展初中生的數(shù)學(xué)問(wèn)題解題能力值得深入探討.

1 挖掘初中數(shù)學(xué)解題中隱含條件

思維在初中生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中扮演著非常關(guān)鍵的角色，如思維的靈活性、發(fā)散性以及嚴(yán)謹(jǐn)性等都會(huì)直接影響最終解題的效率與準(zhǔn)確度.隱含條件主要是指數(shù)學(xué)問(wèn)題中那些沒(méi)有進(jìn)行直接表述出來(lái)的解題條件，需要經(jīng)過(guò)有效思考活動(dòng)，借助推理、轉(zhuǎn)換等來(lái)得到.比如，有的隱含條件藏在數(shù)學(xué)概念或性質(zhì)中，有的藏在函數(shù)值域或定義域中，有的藏在特殊的幾何圖形位置中等等，它們常常成為數(shù)學(xué)問(wèn)題求解的突破口及關(guān)鍵所在.如果可以順利挖掘數(shù)學(xué)問(wèn)題中的隱含條件，那么可以引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，并且快速確定自己解題的突破口所在，最終可以快速求解出問(wèn)題的答案.反之，如果無(wú)法通過(guò)有效思考活動(dòng)挖掘出數(shù)學(xué)問(wèn)題求解中的隱含條件，這時(shí)候就容易因?yàn)槿狈Ρ匾慕忸}條件而使得許多學(xué)生不知道該如何求解問(wèn)題，容易造成錯(cuò)誤解題.因此，為了助力學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力發(fā)展，就要指導(dǎo)他們?cè)趯忣}中注意挖掘出其中有價(jià)值的隱含條件.

2 挖掘策略初中數(shù)學(xué)解題中隱含條件

2.1 基于數(shù)學(xué)概念，挖掘隱含條件

隱含條件存在于數(shù)學(xué)概念當(dāng)中是數(shù)學(xué)問(wèn)題求解中比較常見(jiàn)的一種情況，并且這些隱含條件主要是各種數(shù)學(xué)概念得以成立或者順利解題的根本條件.在實(shí)際的數(shù)學(xué)解題中可以指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真解讀問(wèn)題中涉及到的數(shù)學(xué)概念，并挖掘其中有價(jià)值的隱含條件，力求可以降低錯(cuò)誤.比方說(shuō)，教師在對(duì)解二元一次方程這部分內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)指導(dǎo)時(shí)，教師可以把探究解析法應(yīng)用到教學(xué)實(shí)踐當(dāng)中.課程教學(xué)開(kāi)始之前，教師先要把涵蓋不同數(shù)學(xué)概念知識(shí)的習(xí)題整理出來(lái)，然后制成多媒體課件，方便在課堂當(dāng)中進(jìn)行展示.在課堂教學(xué)當(dāng)中，教師把學(xué)生分成多個(gè)人數(shù)相等的學(xué)習(xí)小組，并把題目隨機(jī)分配給各個(gè)小組，讓他們根據(jù)已有知識(shí)分析題目當(dāng)中包含的隱含條件.在學(xué)生踴躍交流討論的過(guò)程中，教師要做的就是認(rèn)真聆聽(tīng)，記錄下學(xué)生在討論過(guò)程當(dāng)中存在的偏差，把這些信息整理成班級(jí)統(tǒng)一問(wèn)題，以便在課堂的中進(jìn)行深入講解與討論.教師在整個(gè)教學(xué)指導(dǎo)環(huán)節(jié)需要始終保持積極的態(tài)度，給予學(xué)生更多的耐心，給學(xué)生留出討論空間，避免過(guò)度干涉小組探究?jī)?nèi)容.學(xué)生在組內(nèi)討論完畢之后，教師可鼓勵(lì)學(xué)生闡明題目當(dāng)中涉及到的知識(shí)點(diǎn)和隱含條件，展示各個(gè)小組問(wèn)題解答的成果，并進(jìn)行小組評(píng)比.

解析：在求解本道方程組有關(guān)的數(shù)學(xué)題中，如果學(xué)生無(wú)法對(duì)題干中的隱含條件進(jìn)行挖掘，那么會(huì)給出19這一錯(cuò)誤的結(jié)果，但是這個(gè)結(jié)果是不正確的.因?yàn)榉匠探M有2個(gè)實(shí)數(shù)根，那么可以確定“△≥0”這一隱含條件，故可以借此來(lái)明確實(shí)數(shù)k的相應(yīng)取值范圍，之后方可在此基礎(chǔ)上進(jìn)行計(jì)算，這樣才能夠正確求解本道題，避免因?yàn)殡[含條件挖掘不充分而直接造成錯(cuò)解.

例2已知某一函數(shù)y=mx2-6x+2在直角坐標(biāo)系中的圖像和x軸之間僅有一個(gè)公共點(diǎn)，試求m是多少？

由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)概念與性質(zhì)常常是解題隱含條件比較常見(jiàn)的突破口，平時(shí)要在數(shù)學(xué)概念及性質(zhì)教學(xué)中指導(dǎo)學(xué)生深入理解概念內(nèi)涵及其他注意事項(xiàng)，如反比例函數(shù)的分母不能夠?yàn)榱愕鹊?，這些都是求解某些數(shù)學(xué)問(wèn)題中非常有價(jià)值的隱含條件，如果運(yùn)用得當(dāng)，則可以幫助學(xué)生快速求解問(wèn)題.

2.2 基于代數(shù)公式，挖掘隱含條件

“數(shù)”和“式”是構(gòu)成數(shù)學(xué)知識(shí)體系的兩個(gè)核心組成部分，不僅是初中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)中的重點(diǎn)，也是中考數(shù)學(xué)考試中必考內(nèi)容.在代數(shù)相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題求解中，許多學(xué)生在審題及解題的過(guò)程中常常會(huì)忽視題干所給出數(shù)學(xué)公式中包含的隱含條件，致使最終的求解答案不準(zhǔn)確或不完整.因此，在指導(dǎo)學(xué)生求解相關(guān)類型題的過(guò)程中也要借助認(rèn)真審題來(lái)挖掘出代數(shù)公式之中包含的隱含條件.初中數(shù)學(xué)教師為了訓(xùn)練和增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，有必要指導(dǎo)學(xué)生扎實(shí)掌握數(shù)學(xué)公式定義及其意義，讓學(xué)生從公式當(dāng)中找到突破口，挖掘隱含條件，繞過(guò)題目中設(shè)下的陷阱，提高計(jì)算準(zhǔn)確度.例如在教學(xué)整式乘法與因式分解時(shí)，教師可利用學(xué)生容易接受的游戲法優(yōu)化課堂教學(xué).教師在課前可以把當(dāng)前階段學(xué)生學(xué)習(xí)掌握的數(shù)學(xué)公式用圖文資料的表現(xiàn)形式上傳到班級(jí)學(xué)習(xí)群，讓學(xué)生重新熟悉這些內(nèi)容，增進(jìn)對(duì)這部分材料的認(rèn)識(shí).到了課上教師需要把難易度不同的問(wèn)題分配給能力層次不同的學(xué)生，把各層次學(xué)生集中為一組運(yùn)用接力賽游戲找到題目當(dāng)中的隱含條件，計(jì)算出問(wèn)題的答案.緊接著教師需要結(jié)合各組的解題狀況，就隱含條件與數(shù)學(xué)公式的關(guān)聯(lián)度逐一拆分與指導(dǎo)，讓學(xué)生順利掌握此類題目的解題方法和技巧，提升解題效率.

例3已知(a2+b2)2-3(a2+b2)-10=0，試求a2+b2=？

解析本題較為簡(jiǎn)單，但是在許多初中生審題過(guò)程中卻常常忽視本道題中所給出的隱含條件，以至于直接采用換元法來(lái)求解問(wèn)題，即將x=a2+b2，之后將原方程相應(yīng)地轉(zhuǎn)換成了x2-3x-10=0，之后再對(duì)這一方程進(jìn)行因式分解來(lái)求解出相應(yīng)的x=-2或5的答案.實(shí)際上，這個(gè)求解結(jié)果是不準(zhǔn)確的，因?yàn)槔脫Q元法x=a2+b2中得到的x的定義域?qū)嶋H上是x≥0，故最終得到的結(jié)果x=-2<0應(yīng)該排除，故本道題的正確答案應(yīng)該是5.

解析本道數(shù)學(xué)題中已經(jīng)給出了函數(shù)y的代數(shù)式，在求解中也要指導(dǎo)學(xué)生在分析問(wèn)題中首先根據(jù)數(shù)學(xué)公式來(lái)挖掘出其中包含的隱含條件，即：x2-1≥0，1-x2≥0和x3+1≠0.這樣一來(lái)就可以確保前期解題條件分析的充足性與全面性，避免因?yàn)槿狈@些限定解題的隱含條件挖掘不全面而直接影響了后續(xù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的順利求解.因?yàn)橥ㄟ^(guò)聯(lián)立上述3個(gè)公式即可求出x=1時(shí)，y=0，故可知23x+1990y=8.

由此可見(jiàn)，在解決初中數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生應(yīng)該高度關(guān)注數(shù)學(xué)公式中的隱含條件，根據(jù)給出的公式挖掘出隱含條件，對(duì)自己在解題過(guò)程當(dāng)中忽略的問(wèn)題進(jìn)行重點(diǎn)把握，完善整個(gè)解題過(guò)程，讓學(xué)生的難題解決效果更為突出.教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣，改變過(guò)去馬虎大意的學(xué)習(xí)態(tài)度，學(xué)會(huì)在解題當(dāng)中總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，避免在以后解題當(dāng)中出現(xiàn)相同失誤.

2.3 基于關(guān)鍵詞句，挖掘隱含條件

在求解數(shù)學(xué)問(wèn)題中，一般學(xué)生很難找出全部的隱含條件.在對(duì)所求解問(wèn)題的題干信息進(jìn)行審讀期間，如果初次無(wú)法挖掘出有價(jià)值的隱含條件，那么可以鼓勵(lì)學(xué)生多次進(jìn)行閱讀并要在閱讀中積極思考和分析，尤其是要調(diào)用自己的理性思維來(lái)挖掘出數(shù)學(xué)問(wèn)題當(dāng)中的關(guān)鍵詞句信息，以此來(lái)基于相應(yīng)的語(yǔ)義來(lái)對(duì)隱含條件進(jìn)行挖掘.因此，在平時(shí)指導(dǎo)學(xué)生求解數(shù)學(xué)問(wèn)題中要注意讓他們保持足夠的耐心，結(jié)合題目中的那些關(guān)鍵詞或語(yǔ)句來(lái)對(duì)隱含條件進(jìn)行挖掘，這樣就可以降低他們求解數(shù)學(xué)問(wèn)題的難度.教師可以為學(xué)生查找諸多具備代表性的經(jīng)典數(shù)學(xué)題，專門訓(xùn)練學(xué)生依托關(guān)鍵詞句挖掘隱含條件的能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)總結(jié)規(guī)律，形成一套自己的學(xué)習(xí)方法體系.

由此可見(jiàn)，在求解數(shù)學(xué)問(wèn)題期間要注意指導(dǎo)學(xué)生在審題的過(guò)程中重點(diǎn)關(guān)注那些對(duì)解題有價(jià)值的關(guān)鍵詞句，并且挖掘它們背后隱含條件，這樣就可以結(jié)合題干中給出的已知條件來(lái)更為便捷地找到求解問(wèn)題的突破口，同時(shí)整個(gè)思考過(guò)程也有效鍛煉了學(xué)生的思維能力和問(wèn)題求解能力.

總之，隱含條件是初中生求解數(shù)學(xué)問(wèn)題中非常有價(jià)值的解題信息，是確保數(shù)學(xué)問(wèn)題正確、高效求解中不可或缺的解題信息.在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中滲透隱含條件教學(xué)，要注意指導(dǎo)初中生基于數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)公式以及數(shù)學(xué)問(wèn)題關(guān)鍵詞句等信息來(lái)進(jìn)行隱含條件挖掘，之后要結(jié)合數(shù)學(xué)問(wèn)題已經(jīng)給出的題干信息來(lái)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化，確?？梢杂行Ы鉀Q這些數(shù)學(xué)問(wèn)題.