指向核心素養(yǎng)的幾何定理教學(xué)策略研究

朱敏敏

(江蘇省徐州市銅山區(qū)清華中學(xué) 221116)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教育的靈魂，史寧中教授概括為：用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界.數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)體現(xiàn)出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S態(tài)度和縝密的思維方法.數(shù)學(xué)中的幾何定理是通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评矶C明得到的真命題.幾何定理的教學(xué)主要是由采用由一般到特殊的演繹推理.幾何定理的教學(xué)要經(jīng)歷“定理的引入---定理的驗(yàn)證---定理的應(yīng)用遷移----定理的反思內(nèi)化”的過程.通過這幾個(gè)環(huán)節(jié)的深度教學(xué)，拓展學(xué)生對定理認(rèn)識(shí)的“深度”和“寬度”，促使學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)提出問題，獨(dú)立思考解決問題，合作探究創(chuàng)新解法，勇敢表達(dá)質(zhì)疑的良好品質(zhì)和習(xí)慣，全方位的促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成，使學(xué)生獲得更有潛能，更有發(fā)展空間的能力.本文以“直角三角形斜邊中線定理”為載體，從定理引入、定理推導(dǎo)、定理應(yīng)用和定理的總結(jié)反思四個(gè)方面探究數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實(shí)策略.

1 定理引入——情境驅(qū)動(dòng)，猜想發(fā)現(xiàn)，生成定理

課堂上的情境創(chuàng)設(shè)，是師生之間心靈溝通的第一座橋梁，對后續(xù)的教學(xué)內(nèi)容起著鋪墊的作用，有利于學(xué)生在理論知識(shí)與實(shí)踐應(yīng)用的交互碰撞中有所發(fā)現(xiàn)，啟發(fā)聯(lián)想，理解知識(shí)，提升能力.關(guān)于“直角三角形斜邊中線定理”，通過折紙操作，情境引入.如圖1，剪一張直角三角形紙片，按圖2方式折疊，繼續(xù)折疊如圖3，展平得圖4，觀察圖4，CD與AB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

圖1 圖2 圖3 圖4

學(xué)生借助課前準(zhǔn)備好的直角三角形紙片，按步驟實(shí)際動(dòng)手操作，可反復(fù)操作折紙過程，培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)問題的好習(xí)慣.在感性認(rèn)知的基礎(chǔ)上，組織學(xué)生細(xì)心發(fā)現(xiàn)，猜想交流，并用試著用自己的語言描述這個(gè)發(fā)現(xiàn)，進(jìn)而歸納出定理的內(nèi)容：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.”把高度抽象的幾何定理通過學(xué)生的折紙活動(dòng)直觀的呈現(xiàn)出來，促進(jìn)了學(xué)生的感性知識(shí)向理性知識(shí)的轉(zhuǎn)化升華，為抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)提供了豐富的附著點(diǎn)和切實(shí)的生長點(diǎn).

學(xué)生全員參與是培養(yǎng)核心素養(yǎng)的前提.適宜的問題情境操作，能有效的吸引學(xué)生主動(dòng)參與，引發(fā)學(xué)生對問題的深度思考，強(qiáng)化對知識(shí)本身的認(rèn)知，激活學(xué)生的形象思維，促進(jìn)學(xué)生直觀想象力(素養(yǎng))的發(fā)展，是數(shù)學(xué)知識(shí)通向素養(yǎng)的必然要求.

2 定理驗(yàn)證——洞察思考，合作交流，多樣表達(dá)

從動(dòng)手到動(dòng)腦，由感性到理性，是知識(shí)獲取的一般方式.獲取學(xué)科知識(shí)是培養(yǎng)核心素養(yǎng)的源泉和基礎(chǔ).聚焦于動(dòng)手操作得出的發(fā)現(xiàn)，是激活知識(shí)的主要渠道，被激活的知識(shí)又該怎樣完成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦硇酝茖?dǎo)？這是幾何定理學(xué)習(xí)最重要的環(huán)節(jié)，也是數(shù)學(xué)學(xué)科應(yīng)突顯的理性精神所在.

接下來引領(lǐng)學(xué)生小步調(diào)、多角度，展開對問題解決方法的探尋.首先按照文字命題的證明格式，把定理的文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言.通過“如果……，那么……”的形式，弄清定理的條件和結(jié)論，畫出符合題意的幾何圖形，根據(jù)圖形寫出已知內(nèi)容，求證結(jié)論.

已知：如圖5，在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).

圖5 圖6 圖7 圖8

重難點(diǎn)突破獨(dú)立思考，自主認(rèn)知.學(xué)生通過對圖形的直觀感受，結(jié)合已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，獨(dú)立探尋證明線段關(guān)系的方法，怎樣處理線段中點(diǎn)是核心所在.問題具有一定的挑戰(zhàn)性，能很好的激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.在這個(gè)環(huán)節(jié)上要充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，真正賦權(quán)于學(xué)生，讓學(xué)生自探索、積極思考，這時(shí)的思考是立足于學(xué)生解決問題的基礎(chǔ)之上的.

對話溝通，共同思考.小組成員之間較為熟悉，思考問題的角度、方式都可以與同伴相互啟發(fā).獨(dú)立思考產(chǎn)生的方法與困惑，在小組內(nèi)開展深度互動(dòng).對不同意見，從產(chǎn)生分歧到相互理解，再達(dá)到共識(shí)，很好的鍛煉學(xué)生表達(dá)、傾聽、合作、開放性思考的能力，與此產(chǎn)生的判斷、反思、深度思考也在提高學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì)，更好的促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的養(yǎng)成.

方法一倍長中線.如圖6，延長CD到P，使DP=CD，連接AP、BP.可得四邊形ACBP是矩形，再利用“矩形的對角線相等”的性質(zhì)得出結(jié)論；

數(shù)學(xué)活動(dòng)是形成核心素養(yǎng)的主要渠道.學(xué)生在探索過程中，通過闡釋個(gè)人觀點(diǎn)，傾聽同伴思路，觀察不同成果的展示，創(chuàng)造出更多的解題思路，實(shí)現(xiàn)了知識(shí)、能力和思維的同步發(fā)展，這些都直接聚焦于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成.

3 定理應(yīng)用——深入理解，解決問題，遷移應(yīng)用

對學(xué)生來講，最興奮的莫過于對新知識(shí)的應(yīng)用體驗(yàn).對定理的深刻理解為接下來的解題應(yīng)用鋪平了道路.解題訓(xùn)練是學(xué)生的高階思維活動(dòng)，通過不同層次的問題引領(lǐng)，激勵(lì)思考，活躍思維，把學(xué)生吸納的知識(shí)變成活性知識(shí)，轉(zhuǎn)化為能力.

已知：如圖9，∠DAE=∠DBE=90°，F(xiàn)、H分別是DE、AB的中點(diǎn).

圖9

問題1若DE=10，請你寫出圖中所有等于5的線段有哪些？

題干中有直角，有中點(diǎn)，問題的設(shè)計(jì)是對定理的直接應(yīng)用，答案簡單，所有學(xué)生都能積極的參與進(jìn)來，并能得出正確答案：AF=DF=EF=BF=5.通過問題1的設(shè)計(jì)不僅直接鞏固定理內(nèi)容，還讓學(xué)生進(jìn)一步明確利用“直角三角形斜邊中線定理”，可以把一個(gè)任意直角三角形分成兩個(gè)等腰三角形來研究，為題目向下的深度挖掘做出鋪墊.

問題2判斷△ABF的形狀，并說明理由；

有了問題1的鋪墊，學(xué)生順利發(fā)現(xiàn)△ABF是等腰三角形，并能完成證明.教師進(jìn)一步追問：當(dāng)DE的長度發(fā)生變化時(shí)，這個(gè)結(jié)論是否成立？引導(dǎo)學(xué)生再次體會(huì)AF=BF始終等于DE的一半，與DE的具體長度沒有關(guān)系，所以當(dāng)DE的長度發(fā)生變化時(shí)，△ABF的形狀不變，始終是等腰三角形.

問題3猜想線段FH與AB的位置關(guān)系，并說明理由；直接承接問題2的結(jié)論：△ABF是等腰三角形，利用等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)，得到FH⊥AB.

問題4若∠ADB=75°，求∠AFB的度數(shù).

這個(gè)問題有難度，把前面對圖形中線段之間關(guān)系的探究，轉(zhuǎn)向角度的求解，思維跨度較大.思維上的大跳躍致使大部分學(xué)生頓感困惑，不知如何下手.這時(shí)需要教師的引導(dǎo)點(diǎn)撥，抓住學(xué)生的疑惑點(diǎn)，怎樣把前面探究出的線段之間的關(guān)系轉(zhuǎn)向角之間的關(guān)系？

根據(jù)等腰三角形“等邊對等角”的性質(zhì)得，∠FDA=∠FAD,∠FDB=∠FBD,再通過三角形外角定理可求出∠AFB=150°.

將有代表性的例題，設(shè)計(jì)成問題串的形式，由淺入深，層層遞進(jìn).引導(dǎo)學(xué)生思考、討論、交流，激活他們的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，完成了對知識(shí)的建構(gòu)和重組，促進(jìn)了思維的發(fā)展、進(jìn)階、跳躍，彰顯了學(xué)生的深度思考和批判性精神.例題是核心素養(yǎng)形成的主要載體，其突顯出的綜合性和遷移性，有利于學(xué)生融會(huì)貫通新舊知識(shí)，形成經(jīng)緯交織的知識(shí)網(wǎng)，把知識(shí)的學(xué)習(xí)過程融入知識(shí)的應(yīng)用過程，更有助于知識(shí)向素養(yǎng)的轉(zhuǎn)化.

4 總結(jié)反思——內(nèi)化吸收，思維推進(jìn)，落實(shí)素養(yǎng)

問題解決后的及時(shí)歸納與總結(jié)能有效加強(qiáng)知識(shí)之間的橫向、縱向聯(lián)系，有利于學(xué)生把所學(xué)的新知內(nèi)容擴(kuò)展到系統(tǒng)的知識(shí)面中，形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)中知識(shí)的系統(tǒng)性.本節(jié)課中探索并證明“直角三角形斜邊中線定理”的思想方法對后續(xù)學(xué)習(xí)有很強(qiáng)的指導(dǎo)作用.引導(dǎo)學(xué)生通過新知識(shí)的牽引，結(jié)合已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，歸納總結(jié)與線段中點(diǎn)有關(guān)的數(shù)學(xué)模型和輔助線添加方法，為以后解決此方面問題積累經(jīng)驗(yàn).

反思是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要手段.課堂上組織學(xué)生反思是幫助學(xué)生檢驗(yàn)在自主的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，完成目標(biāo)的達(dá)成度.結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程，同學(xué)們本節(jié)課你學(xué)到了哪些內(nèi)容，我們是怎樣的研究的？ 你是否參與到學(xué)習(xí)中來？發(fā)現(xiàn)定理的策略和方法是什么？對于定理推導(dǎo)你喜歡哪種方法，還有沒有其它方法？例題的解答涉及了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)？蘊(yùn)含了什么數(shù)學(xué)思想？關(guān)于中點(diǎn)應(yīng)用你積累了哪些數(shù)學(xué)模型等等.問題解決之后的不斷反思，不斷質(zhì)疑，不斷改進(jìn)，使學(xué)生的元認(rèn)知水平得到進(jìn)一步提升，思維得到進(jìn)一步發(fā)展，核心素養(yǎng)也得以真正達(dá)成.

數(shù)學(xué)定理教學(xué)具有很強(qiáng)的科學(xué)性和藝術(shù)性.作為數(shù)學(xué)教師，在平時(shí)的課堂教學(xué)中既要眼于學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的獲取，更應(yīng)關(guān)注知識(shí)向方法的轉(zhuǎn)化，思維向能力的升華，使教學(xué)立意于過程教育，通過學(xué)生之間合作探尋和教師價(jià)值引領(lǐng)相結(jié)合，使學(xué)生問題解決能力和高階思維都得以提升.讓我們致力于不給學(xué)生背不動(dòng)的書包，要給他們帶得走的禮物.讓學(xué)生的核心素養(yǎng)在課堂中真正開花結(jié)果！