函數(shù)思維在中學數(shù)學解題中的有效應用

孫高傳

(江蘇省南通市東方中學 226010)

中學生在進行數(shù)學解題時離不開解題思維的建立，而解題思維是學生在進行數(shù)學知識學習及內(nèi)化時所形成的解題思路.一般來說，中學生在進行數(shù)學解題時所具備的解題思維包含抽象思維及函數(shù)思維等，但函數(shù)思維是中學生解題過程的核心，也是中學生學習時的重點及難點，其不僅可以加強各數(shù)學對象的聯(lián)系，還可實現(xiàn)數(shù)學對象之間的轉(zhuǎn)化，促進學生對數(shù)學本質(zhì)變化的了解，提升學生數(shù)學解題能力，使其具備更加靈活及豐富的解題思路，促進其數(shù)學知識運用能力的提升.

1 關于函數(shù)思想

1.1 國內(nèi)外的研究現(xiàn)狀

解決數(shù)學問題的方法大家各顯神通，但函數(shù)思想在國內(nèi)外數(shù)學專家的眼中仍占據(jù)不可小覷的重要地位.數(shù)學家王太青曾說，中學教學過程中函數(shù)思想的運用十分重要.無獨有偶，據(jù)國外學者們研究表明，函數(shù)作為一個備受數(shù)學家歡迎的概念，在教學實踐中，對學生困惑的“變量”與“常量”的問題，引起大家學習的熱潮.綜上所述，在中學的數(shù)學教材中，函數(shù)的思維占據(jù)很大的比重，構(gòu)建學生的函數(shù)思維體系，搭建數(shù)學整體的知識網(wǎng)絡，是學生學習的重點.

1.2 國內(nèi)教學大綱的要求

函數(shù)思想是數(shù)學思想中一種重要的思維方式，在教學中，也是一種重要的解題方式.在中學生學習函數(shù)的過程中，掌握函數(shù)相關的知識，可以幫助學生利用量變思維及函數(shù)思維分析問題，將數(shù)學問題進行巧妙的轉(zhuǎn)化、歸納，利用邏輯，實現(xiàn)快速解題的目的.掌握函數(shù)的相關知識，可以指導學生將函數(shù)作為一種思維工具，更加多元、全面的應對數(shù)學難題，從函數(shù)性質(zhì)作為切入點，構(gòu)建函數(shù)的模型，分析是否能從函數(shù)的角度突破壁壘，順利解決問題.

2 函數(shù)思維的特性

2.1 辯證性較強

函數(shù)思維隸屬于辯證思維，具有較強的辯證性.在探討各數(shù)學對象之間具備的聯(lián)系以及其是否存在一定轉(zhuǎn)化關系的過程中，加強對其辯證關系的了解，促進解題方法多樣性建設，提升學生對數(shù)學的動態(tài)感知能力，培養(yǎng)學生的鉆研精神，促進其解題能力的提高.

2.2 邏輯性較高

函數(shù)思維具有較高的邏輯性.相較于抽象思維而言，函數(shù)思維的邏輯性不僅強調(diào)其具有統(tǒng)一性及可調(diào)整性，還強調(diào)其應具有變化性，加強數(shù)與形的結(jié)合，推動二者關系的互相轉(zhuǎn)化，促進代數(shù)與幾何的聯(lián)系性的提高，助推解題思路的拓寬.

2.3 變化性較多

函數(shù)思維具備的最基本特征就是變化性.函數(shù)思維具有一定的靈活性，可實現(xiàn)對各數(shù)學對象之間關系的反映，以函數(shù)的形式進行數(shù)學本質(zhì)內(nèi)涵的表達，提升其與數(shù)學發(fā)展的適應性，促進解題方法豐富性的研發(fā).

3 函數(shù)思維在中學數(shù)學解題中的有效應用

3.1 函數(shù)思維在解方程題方面的應用

在解方程問題時，應以函數(shù)思維為指導促進已知關系與未知關系的轉(zhuǎn)化，將函數(shù)性質(zhì)作為解題的工具，加強函數(shù)的構(gòu)造，將該方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，促進解題方式的簡化.

解析由已知條件可知a+b=6，ab=6，所以a、b為方程x2-6x+6=0的根.

當x=a時，a2-6a+6=0，2a2-12a+1=2(a2-6a+6)-11=-11

當x=b時，b2-6b+6=0，3b2-18b+1=3(b2-6b+6)-17=-17

由上可知(2a2-12a+1)(3b2-18b+1)=-11*(-17)=187.

3.2 函數(shù)思維在不等式解題方面的應用

在進行不等式解題時，通過對函數(shù)思維的利用，可加深學生對不等式意義及性質(zhì)的了解，促進學生對不等式解題思路的掌握，提升其數(shù)學邏輯思維，加強圖形與數(shù)學的結(jié)合，促進學生對問題深刻含義的理解，提高學生的函數(shù)構(gòu)造能力.

例2x屬于一些實數(shù)，而不等式|x+1|+|x-2|>m恒成立，求m的取值范圍.

解析根據(jù)該題目可設f(x)=|x+1|+|x-2|,若f(x)=1-2x，則x≤-1，若f(x)=3，則-1

在進行不等式問題解答時，可有效借助函數(shù)思維，將圖形與數(shù)學進行有機結(jié)合，促進對不等式問題的有效解答，實現(xiàn)數(shù)學思維的架構(gòu).

3.3 函數(shù)思維在二元函數(shù)解題方面的應用

在進行二元一次函數(shù)解題時，可通過對函數(shù)性質(zhì)的充分掌握，有效結(jié)合函數(shù)思維，促進解題技巧的提升.

例3 已知y與2x+1成正比例，當x=3時，y=10，求y與x的函數(shù)表達式.

3.4 函數(shù)思維在數(shù)列解題方面的應用

很多數(shù)列問題的解題思路與函數(shù)思維息息相關，通過運用函數(shù)思維的分析思路，能幫助問題更加簡化，提高做題的效率.

例4 已知的等差數(shù)列一共有10項，其中偶數(shù)項之和為40，奇數(shù)項之和為25，求公差.

解析此題可以將公差這個變量進行賦值，通過等差數(shù)列的定義，列方程組進行求解.設等差數(shù)列的首相為a1，公差為d，根據(jù)題目，可以得到兩個方程式，分別是a1+a3+…+a9=25和a2+a4+…+a10=40，簡化后的方程組為a1+4d=5和a1+5d=8，從而學生可以得出結(jié)果a1=-7，d=3.

4 在不同解題方面培養(yǎng)函數(shù)思維的教學策略

4.1 加強方程與函數(shù)之間的聯(lián)系

在進行方程問題的解答時，將函數(shù)思維應用到其中，可有效促進問題解決程序的簡化，降低學生對數(shù)學知識掌握的難度，加強函數(shù)與方程的聯(lián)系，促進學生對相應問題思維導圖的構(gòu)建，提升學生知識的運用程度，使其主動投身入問題的解答中，促進自身數(shù)學思維的拓展.因此，教師應充分掌握每節(jié)課的教學內(nèi)容，促進課程的合理化安排，提升函數(shù)與方程的聯(lián)系，幫助學生架構(gòu)合理的函數(shù)思維，引導其掌握構(gòu)造函數(shù)的技巧，提高學生的想象力.

4.2 促進不等式中函數(shù)關系的明確

在進行數(shù)學不等式解題時，應加強對函數(shù)思維的利用，在掌握函數(shù)的定義域及值域等基礎上，進行零點及極值的探索，促進不等式問題的解決.一方面，教師應加強對函數(shù)關系的明確，促進學生對未知關系的掌握.另一方面，教師在進行不等式解題時，可加強其與函數(shù)圖像的聯(lián)合，使學生對其具有一定的直觀性，促進學生對解題條件的明確，使其充分了解題目的核心思想，提升將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的效率，實現(xiàn)以函數(shù)思維進行問題解答的目標，促進解題步驟的減少，避免對學生解題思維的限制，提升學生圖形與數(shù)學結(jié)合的能力，促進其學習水平的提高，從而充分展現(xiàn)相應的教學成果及成效.

4.3 加強對二元函數(shù)性質(zhì)的掌握

二元函數(shù)具有較為復雜的性質(zhì)及解題條件.為提升學生的解題效率，學生應提高自身的認知結(jié)構(gòu)及認知水平，促進函數(shù)思維的升級.首先，教師應引導學生對二元函數(shù)表達形式的明確，加強對相應基礎知識的掌握，如對稱軸基本知識，圖像基本知識以及交點式等，對繁多的知識點予以梳理，對學生進行逐步的灌輸.其次，教師應促進二元函數(shù)復雜內(nèi)容的簡化.教師應具備豐富的專業(yè)知識，明確如何對學生加以引導，建立一定的切入點進行教導，如函數(shù)性質(zhì)等，促進學生對知識結(jié)構(gòu)的合理建設，使學生逐漸明晰教學內(nèi)容.

4.4 與數(shù)形聯(lián)系的解題思路

傳統(tǒng)的數(shù)學研究對象，一般分成兩個部分，分別是數(shù)與形，雖然兩者之間直觀感受并無相通之處，其實不盡然.數(shù)與形的結(jié)合或者形與數(shù)的鏈接，是尋找問題解決方式的最佳切入點，提供給學生解決數(shù)學思路的雙向路徑，所以教師需要教導學生在應對數(shù)學題目以及解決函數(shù)問題的時候，最好的方法是數(shù)形并用，在了解題干的同時，簡要畫出圖形，方便自己正確理解題目內(nèi)容，高效繪制答案.

初中生的函數(shù)思維亦是如此，函數(shù)的定義概念勾勒出框架，而函數(shù)的性質(zhì)展示函數(shù)的圖像，兩者之間缺一不可，教學過程中，培養(yǎng)學生數(shù)形的思維模式，借圖修文，不僅可以提高學生學習的積極性，還能培養(yǎng)學生的邏輯思考能力.

4.5 函數(shù)思維在生活中的應用

很多學生或家長認為，函數(shù)思維只應用于當前階段學生復雜的學習壓力上，對解決生活中的實際問題毫無幫助，其實不然，學科的題目也偏生活化，將考試問題與函數(shù)思想聯(lián)系起來，幫助學生建立場景，提高解題的效率.

總而言之，在進行數(shù)學教學時，不僅應注重學生對理論知識的掌握，更應注重學生對知識的應用，提高其知識應用的靈活性.教師應加強對函數(shù)思維的重視，并將其作為教學中的重點，促進教學方式的創(chuàng)新，加強學生函數(shù)思維的優(yōu)化建設，促進教學質(zhì)量的提升，還應加強對學生函數(shù)思維的訓練，強化教學手段，在教學過程中加強函數(shù)思維的滲透，引導學生架構(gòu)科學性的數(shù)學思維，促進其解題效率的提升，加強對學生探究式學習的培養(yǎng)，提升其解題水平.