鋼桁腹混凝土組合梁撓度計(jì)算方法研究

陳建兵,蔣明利,周 晨,匡冠樺

(1. 蘇州科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，江蘇 蘇州 215011； 2. 中交一公局第二工程有限公司，江蘇 蘇州 215011)

0 引 言

鋼桁腹混凝土組合梁橋是近年來(lái)新興的弱腹式鋼-混組合結(jié)構(gòu)橋梁，構(gòu)造形式如圖1。其特點(diǎn)是用鋼桁腹桿代替?zhèn)鹘y(tǒng)的混凝土箱梁腹板，解決了傳統(tǒng)箱梁腹板容易開(kāi)裂的問(wèn)題，并有效減少了箱梁的自重。鋼管桁架可工廠化預(yù)制，施工方便，并有造型美觀、側(cè)面通透性好等優(yōu)點(diǎn)[1]。

為適應(yīng)鋼桁腹混凝土組合梁在橋梁建設(shè)中的發(fā)展，國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)鋼桁腹混凝土組合梁的變形計(jì)算進(jìn)行了研究。張巖等[2]通過(guò)對(duì)鋼桁腹桿的縱向彈性模量研究,得出鋼桁腹桿的縱向彎曲剛度非常小，可近似認(rèn)為其抗彎作用僅由混凝土頂、底板承擔(dān)；黃華琪等[3]為了能夠使組合梁采用統(tǒng)一的截面進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析，提出了組合截面等效抗彎慣性矩的概念，并推導(dǎo)了組合截面等效抗彎慣性矩的計(jì)算公式；王彤等[4]在對(duì)桁腹式組合桁梁結(jié)構(gòu)計(jì)算理論的研究中，提出根據(jù)剪切變形相等的原則，將不連續(xù)的鋼桁腹桿等效成連續(xù)的鋼腹板，再運(yùn)用薄壁箱梁理論對(duì)該類(lèi)型結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析；張?jiān)５萚5]通過(guò)分析剪力滯效應(yīng)對(duì)箱梁撓度的影響，提出了薄壁箱梁在考慮剪力滯影響下的撓度公式。筆者將利用換算薄壁箱梁法，按照剪切變形相等原則，對(duì)鋼桁腹桿進(jìn)行換算，利用Timoshenko梁理論與能量變分原理，擬提出在考慮剪切變形影響下，鋼桁腹混凝土組合梁沿跨徑任意位置撓度的計(jì)算方法。

圖1 構(gòu)造示意Fig. 1 Structure diagram

1 鋼桁腹桿的等效換算

采用換算薄壁箱梁法，按剪切變形相等原則對(duì)鋼桁腹桿進(jìn)行換算，換算方法如圖2(a)。長(zhǎng)度為d的鋼桁腹桿，其豎向高度和水平投影分別為h和b，將其換算成邊長(zhǎng)為h和b的薄鋼板，等效換算后的結(jié)果如圖2(b)。

圖2 等效鋼腹板的換算Fig. 2 Conversion of equivalent steel web

單根鋼桁腹桿受到剪力Q作用時(shí)，節(jié)點(diǎn)B和節(jié)點(diǎn)A會(huì)發(fā)生豎向移動(dòng),相對(duì)位移為η，則：

(1)

式中：Δd為鋼桁腹桿伸長(zhǎng)量；φ為鋼桁腹桿的豎向夾角；Ew為鋼桁腹桿的彈性模量；Ad為鋼桁腹桿的截面面積。

邊長(zhǎng)為h和b的薄鋼板受到剪力Q作用時(shí)，節(jié)點(diǎn)B和節(jié)點(diǎn)A的相對(duì)豎向位移為η，則：

(2)

式中：Gw為鋼桁腹桿的剪切模量；t為等效鋼腹板厚度。

根據(jù)剪切變形相等原則，即式(1)、式(2)相等，得：

(3)

盡管鋼桁腹桿的彈性模量比混凝土的彈性模量大，考慮其提供的抗剪面積卻很小，鋼桁腹桿的剪切變形對(duì)鋼桁腹混凝土組合梁的撓度不可忽略。

2 基于剪切變形規(guī)律的剪滯翹曲位移函數(shù)

鋼桁腹混凝土組合梁在豎向荷載作用下，會(huì)發(fā)生豎向的彎曲變形，包括3個(gè)部分：鐵木辛柯梁理論變形、歐拉伯努利梁理論變形、剪力滯翹曲變形，如圖3。

圖3 箱梁豎向荷載下的變形Fig. 3 Deformation of box girder under vertical load

其豎向位移可用公式表達(dá)為：

U(x,y,z)=-zw′(x)+zα(x)+f(y,z)u(x)

(4)

式中：z為梁上一點(diǎn)的z軸坐標(biāo)；w′(x)為梁體豎向位移w(x)引起的縱向位移轉(zhuǎn)角，即歐拉-伯努利理論梁變形；α(x)為箱梁剪切變形引起的轉(zhuǎn)角,即鐵木辛柯梁理論變形；f(y,z)為箱梁截面剪力滯翹曲位移函數(shù)；u(x)為頂、底板翹曲位移差。

式(4)中w′(x)和u(x)為待求變量。α(x)為反應(yīng)鋼桁腹混凝土組合梁在其面內(nèi)的剪切位移函數(shù)，其表達(dá)式為：

(5)

式中：Q(x)為截面剪力；Aw為未埋入混凝土的等效鋼腹板的截面面積。

f(y,z)為反應(yīng)箱梁頂、底板在其面內(nèi)的翹曲位移函數(shù)，需要提前定義。定義頂、底板的翹曲位移函數(shù)為經(jīng)典的三次拋物線(xiàn)[7]，則：

(6)

式中：b1和b3分別為頂板和底板的內(nèi)側(cè)寬度；b2為懸臂板的寬度；h1和h2分別為頂板形心和底板形心到組合截面形心的距離，如圖4；ξ為滿(mǎn)足截面軸向內(nèi)力平衡引入的應(yīng)力均勻函數(shù)，由軸向內(nèi)力平衡條件可得：

(7)

式中：As為箱梁橫截面面積；At、Ac、Ab分別為箱梁頂板、兩側(cè)懸臂板、底板的面積。

圖4 箱梁截面尺寸示意Fig. 4 Schematic diagram of box girder section size

引入截面特征值Iu、If和Af，Iu為剪滯翹曲慣性矩，If為剪滯翹曲慣性積，Af為剪滯翹曲面積。計(jì)算公式為[10]：

(8)

(9)

(10)

3 能量變分法計(jì)算

3.1 基本微分方程的建立

在對(duì)鋼桁腹混凝土組合梁進(jìn)行變形計(jì)算前，做如下假定：

1)忽略鋼桁腹桿的縱向彎曲剛度，其縱向彎曲應(yīng)變能僅由混凝土頂、底板承擔(dān)。

2)鋼桁腹混凝土組合梁頂、底板及懸臂板在豎向荷載作用下滿(mǎn)足平截面假定。

3)忽略鋼桁腹混凝土組合梁頂、底板及懸臂板的豎向應(yīng)變和橫向應(yīng)變及其面外的剪切應(yīng)變。

4)鋼桁腹混凝土組合梁在彈性工作范圍內(nèi)，忽略鋼筋的影響。

根據(jù)最小勢(shì)能原理，當(dāng)結(jié)構(gòu)處在平衡狀態(tài)時(shí)，體系總勢(shì)能的一階變分為零[14]，即：

δ(V-W)=0

(11)

式中：V為體系的應(yīng)變能；W為外力勢(shì)能；δ(·)是一階變分函數(shù)。

梁受彎時(shí)的外力勢(shì)能:

(12)

式中：l為鋼杵腹混凝土組合梁的計(jì)算跨徑；M(x)為外荷載作用下的梁段彎矩；φ′為彎矩作用產(chǎn)生的變形，其表達(dá)式為：

φ′=w′(x)-α(x)

(13)

箱梁的應(yīng)變能包括腹板、頂板、底板及懸臂板的應(yīng)變能。頂板、底板及懸臂板的應(yīng)變能可表示為：

(14)

式中：ψ=1,2,3，分別代表頂板、底板和懸臂板；E為混凝土的彈性模量；Gc為混凝土的剪切模量；ε為彎曲應(yīng)變；γ為剪切應(yīng)變。ε、γ的表達(dá)式為：

(15)

等效鋼腹板的應(yīng)變能表示為：

(16)

鋼桁腹混凝土組合梁整體的應(yīng)變能為：

(17)

式中：I為豎向彎曲慣性矩。

將式(12)、式(17)帶入式(11)，利用變分原理，可得控制微分方程及邊界條件：

(18)

(19)

由式(19)的邊界條件，整理可得:

(20)

式中：k0和k為瑞納斯參數(shù)，其表達(dá)式為：

(21)

(22)

3.2 不同荷載作用下的撓度解析解

當(dāng)簡(jiǎn)支梁任意位置受到集中荷載F作用時(shí)，如圖5，梁的內(nèi)力和位移需要分段表達(dá)，集中荷載F左、右兩邊的梁段用下標(biāo)i和j標(biāo)注，m、n分別為集中荷載下左、右長(zhǎng)度。

圖5 集中荷載作用下的簡(jiǎn)支梁Fig. 5 Simply supported beam under concentrated load

求解微分方程(20)，并考慮u(x)的連續(xù)條件和邊界條件：

(23)

可得：

(25)

將式(24)、式(25)代入式(18)，即可得到集中荷載作用下簡(jiǎn)支鋼桁腹混凝土組合梁的撓曲線(xiàn)微分方程：

(26)

(27)

(28)

當(dāng)0≤x≤l/2時(shí)，有：

(29)

同理可得簡(jiǎn)支鋼桁腹混凝土組合梁在均布荷載作用下的u(x)及撓度方程w，均布荷載作用下的簡(jiǎn)支梁如圖6。

圖6 均布荷載作用下的簡(jiǎn)支梁Fig. 6 Simply supported beam under uniform load

式(26)、式(27)、式(29)的撓度方程可表達(dá)為：

w=w1+w2+w3

(30)

式中：w1為材料力學(xué)中按初等梁理論求得的簡(jiǎn)支鋼桁腹混凝土組合梁的彎曲變形產(chǎn)生的豎向撓度；w2為剪切變形產(chǎn)生的豎向撓度；w3為剪力滯效應(yīng)引起的附加撓度。

4 算例分析

4.1 截面參數(shù)

為驗(yàn)證式(26)、式(27)、式(29)的準(zhǔn)確性及適用性，利用ABAQUS軟件建立簡(jiǎn)支鋼桁腹混凝土組合梁有限元模型，分析其在集中荷載和均布荷載兩種不同加載工況下的豎向撓度，具體尺寸和有限元模型如圖7。計(jì)算跨徑l=3.36 m，頂、底板混凝土采用C30，彈性模量為3.0×104MPa,腹桿采用直徑為50 mm，壁厚為5 mm的Q345B級(jí)鋼管，彈性模量為2.06×105MPa，腹桿的水平傾角為60°，直腹桿與斜腹桿的豎向夾角為30°，節(jié)點(diǎn)間距為420 mm。加載工況分別為跨中F=100 kN的集中荷載和q=10 kN/m的均布荷載。

圖7 截面尺寸與有限元模型Fig. 7 Sectional size and finite element model

由式(3)可得換算后的等效鋼腹板的厚度為1.89 mm，由材料力學(xué)知識(shí)及式(8)～式(10)求得其截面特征值，如表1。

表1 截面特征值Table 1 Section characteristic value

4.2 集中荷載作用下的簡(jiǎn)支鋼桁腹混凝土組合梁

集中荷載作用下，簡(jiǎn)支鋼桁腹混凝土組合梁的加載形式如圖8。集中力F=100 kN，加載點(diǎn)在L/2處，有限元分析的結(jié)果如圖9。

將截面特征值、荷載和相關(guān)參數(shù)代入推導(dǎo)的式(26)、式(27)中，并與有限元分析提取出來(lái)的撓度值f比較，結(jié)果如圖10和表2。

圖8 集中荷載作用下的簡(jiǎn)支鋼桁腹混凝土組合梁Fig. 8 Simply supported steel truss web concrete composite beam under concentrated load

圖9 集中荷載作用下有限元分析變形Fig. 9 Deformation diagram of finite element analysis under concentrated load

圖10 集中荷載作用下梁的豎向撓度曲線(xiàn)Fig. 10 Vertical deflection curve of beam under concentrated load

由圖10可知：對(duì)于集中加載工況，簡(jiǎn)支鋼桁腹混凝土組合梁的撓度公式計(jì)算結(jié)果與有限元分析誤差較小，沿橋的縱向方向，有限元分析值與理論計(jì)算值基本吻合，式(26)、式(27)可靠。越靠近加載點(diǎn)，剪變形產(chǎn)生的撓度與彎曲變形產(chǎn)生的撓度差值越大，剪切變形效應(yīng)越明顯，而剪力滯效應(yīng)引起的附加撓度對(duì)鋼桁腹混凝土組合梁的撓度影響較小，幾乎可以忽略不計(jì)。

表2 集中荷載作用下的撓度對(duì)比Table 2 Deflection comparison under concentrated load %

由表2可知：集中荷載作用下?lián)隙扔邢拊治鲋蹬c理論分析值誤差最大為4.4%，在加載點(diǎn)處的誤差僅為1.0%，滿(mǎn)足工程中變形計(jì)算的精度要求。

4.3 均布荷載作用下的簡(jiǎn)支鋼桁腹混凝土組合梁

均布荷載作用下的簡(jiǎn)支鋼桁腹混凝土組合梁的加載形式如圖11。均布力的大小q=10 kN/m,有限元分析的結(jié)果如圖12。

圖11 均布荷載作用下的簡(jiǎn)支鋼桁腹混凝土組合梁Fig. 11 Simply supported steel truss web concrete composite beam under uniform load

圖12 均布荷載作用下有限元分析變形Fig. 12 Deformation diagram of finite element analysis under uniform load

將截面特征值、荷載和相關(guān)參數(shù)代式(29)，并與有限元分析提取的撓度值f比較，結(jié)果如圖13和表3。

圖13 均布荷載作用下梁的豎向撓度曲線(xiàn)Fig. 13 Vertical deflection curve of beam under uniform load

由圖13可知：均布荷載作用下，簡(jiǎn)支鋼桁腹混凝土組合梁的撓度公式計(jì)算結(jié)果與有限元分析誤差較小，沿橋的縱向方向，有限元分析撓度曲線(xiàn)與理論分析撓度曲線(xiàn)基本吻合，式(29)可靠。剪切變形對(duì)撓度的影響在全跨范圍內(nèi)都高于彎曲變形對(duì)撓度的影響，而剪力滯效應(yīng)的影響較小，幾乎可以忽略不計(jì)。

表3 均布荷載作用下的撓度對(duì)比Table 3 Deflection comparison under uniform load %

由表3可知：均布荷載作用下?lián)隙扔邢拊治鲋蹬c理論分析值誤差最大為2.9%，最小僅為0.2%，同樣滿(mǎn)足工程中撓度計(jì)算的精度要求。

對(duì)比表2與表3發(fā)現(xiàn)：

1) 剪切變形和彎曲變形對(duì)鋼桁腹混凝土組合梁的撓度影響最大在98%以上，剪力滯效應(yīng)引起的附加撓度僅為1.2%左右。

2) 集中荷載作用下，在加載點(diǎn)處的剪切變形較為嚴(yán)重;均布荷載作用下，剪切變形對(duì)撓度的貢獻(xiàn)值在跨徑范圍內(nèi)均超過(guò)50%。

因此，在進(jìn)行鋼桁腹混凝土組合梁的撓度計(jì)算時(shí)，剪切變形對(duì)撓度的影響必須予以考慮。

5 結(jié) 論

考慮鋼桁腹混凝土組合梁剪切變形對(duì)撓度的影響，利用能量變分法，對(duì)鋼桁腹混凝土組合梁撓度計(jì)算進(jìn)行分析，得到如下結(jié)論：

1) 考慮剪切變形影響得到的鋼桁腹混凝土組合梁的撓度值與有限元分析結(jié)果吻合較好，在集中荷載和均布荷載兩種加載工況下的撓度誤差較小，可靠性強(qiáng)。

2) 均布荷載作用下的簡(jiǎn)支鋼桁腹混凝土組合梁，全跨范圍內(nèi)的剪切變形對(duì)撓度的影響都大于彎曲變形；集中荷載作用下的簡(jiǎn)支鋼桁腹混凝土組合梁，剪切變形在跨中位置較彎曲變形明顯。

3) 在集中荷載和均布荷載兩種不同的加載工況下，剪切變形與彎曲變形產(chǎn)生的豎向撓度為鋼桁腹混凝土組合梁撓度的主要部分，在98%以上，而剪力滯產(chǎn)生的附加撓度僅為1.2%左右，幾乎可以忽略不計(jì)。

4) 對(duì)于鋼桁腹混凝土組合梁這種弱腹式組合梁橋，剪切變形對(duì)該類(lèi)型橋梁的撓度影響必須予以考慮。