“模型”少一點(diǎn) “積累”多一層

陳建洲 李玉榮 (江蘇省南京金陵中學(xué)河西分校 210019)

文[1]由一道幾何試題引發(fā)深度思考，給出了9個(gè)問題的解題分析，其中對問題1—3的求解引發(fā)了筆者的進(jìn)一步思考：為何要那樣求解？有沒有更自然、適切的解法？深度思考的意義何在？在此與作者商榷.

問題1

如圖1，在矩形

ABCD

中，

CD

=3，

AD

=4，在

AD

邊上取點(diǎn)

E

，

H

，在

AC

上取點(diǎn)

F

，作正方形

EFGH

，連結(jié)

AG

，點(diǎn)

E

′是點(diǎn)

E

關(guān)于

AG

的對稱點(diǎn)，

AE

′交

BC

于點(diǎn)

P

，則

PC

的長為

.

圖1

文[1]給出了此題的一個(gè)解答過程后指出：“解法利用點(diǎn)

E

與點(diǎn)

E

′相對稱的性質(zhì)，得出

AK

平分∠

DAJ

，利用角平分線得出線段的比例關(guān)系，列出方程求解，但解題思路不容易想到，且角平分線的這個(gè)性質(zhì)不在初中要求范圍之內(nèi)，所列方程煩且難解.”接著作者在解答反思部分借助構(gòu)圖探索出一個(gè)結(jié)論“若則并指出可以方便地求出一些與“二倍角”有關(guān)的問題.筆者不禁要問：這是從學(xué)生的角度思考問題嗎？此題怎么想到與二倍角有關(guān)聯(lián)呢？這個(gè)結(jié)論有實(shí)用的價(jià)值嗎？對教師而言，顯然沒有任何價(jià)值，因?yàn)樗麄兪煜す綄W(xué)生而言，或許記憶這個(gè)結(jié)論一時(shí)并不困難，但畢竟其適用的機(jī)會(huì)有限，所以真正遇到幾何問題，學(xué)生哪里會(huì)想到用這個(gè)結(jié)論？況且還不能直接用來求解問題(除填空題、選擇題).因此，筆者思考：此題有更自然、適切的求解方法嗎？分析 要求

PC

的長，只需求

BP

，既然

BP

的大小最終能確定，可推斷∠

APB

大小確定，而∠

APB

=∠

DAP

=2∠

DAG

，說明∠

DAG

大小確定，事實(shí)上，易知

解法1

如圖1，因?yàn)?p>EF

∥

CD

，所以△

AEF

∽△

ADC

，可得

圖1

設(shè)

EF

=3

k

，則

HG

=

EH

=3

k

，

AE

=4

k

，所以

AH

=7

k

，可得連結(jié)

EE

′交

AG

于點(diǎn)

M

，作

EN

⊥

AP

于點(diǎn)

N

，則設(shè)

EM

=3

x

，則根據(jù)面積公式

EN

×

AE

′=

E

′

E

×

AM

，可得進(jìn)而易證△

AEN

∽△

PAB

，可得即所以進(jìn)而

解法2

同解法1得如圖2，延長

AG

,

BC

交于點(diǎn)

M.

因?yàn)?p>AD

∥

BM

，所以即因?yàn)?p>AB

=3，所以

BM

=7.

圖2

又∠

PAM

=∠

DAG

=∠

M

，所以

PA

=

PM

，設(shè)

PA

=

x

，則

BP

=7-

x.

在Rt△

ABP

中，根據(jù)勾股定理得3+(7-

x

)=

x

，解得所以進(jìn)而

解法3

如圖3，同解法1得

圖3

作

PM

⊥

AD

于點(diǎn)

M

，

PM

交

AG

于點(diǎn)

Q

，則

PM

=

AB

=3，

BP

設(shè)

QM

=3

k

，則

AM

=7

k

，

PQ

=3-3

k.

作

QN

⊥

AP

于點(diǎn)

Q

，則

AN

=

AM

=7

k

，

QN

=

QM

=3

k.

易證△

PNQ

∽△

PMA

，可得所以所以解得所以進(jìn)而

解法4

如圖4，延長

GF

交

AB

于點(diǎn)

M

，交

AP

于點(diǎn)

N

，則∠

NAG

=∠

HAG

=∠

AGN

，所以

NA

=

NG.

圖4

易證△

AMF

∽△

ABC

，可得設(shè)

AM

=3

k

，則

EF

=

FG

=3

k

，

MF

=4

k

，

MG

=7

k

，設(shè)

NG

=

x

，則

MN

=7

k

-

x.

在Rt△

AMN

中，根據(jù)勾股定理得(3

k

)+(7

k

-

x

)=

x

，解得即易證△

AMN

∽△

ABP

，可得即所以進(jìn)而

評注 解法1—4添加的都是樸實(shí)的輔助線，構(gòu)造出“角平分線+平行線=等腰三角形”等與角平分線有關(guān)聯(lián)的基本圖形，使用了面積法、勾股定理、相似三角形等基本計(jì)算工具，貼近學(xué)生思維發(fā)展區(qū)，解法自然、適切.

問題2

如圖5，正方形

ABCD

中，

AB

=6，

E

是

BC

邊中點(diǎn)，將△

ABE

沿

AE

對折，使得點(diǎn)

B

與點(diǎn)

F

重合，

AF

與對角線

BD

交于點(diǎn)

G

，求線段

GF

的長．

圖5

分析 此題文[1]是利用之前探究的結(jié)論求解的，筆者以為作為解答題顯然不妥.有更自然的求解方法嗎？要求線段

GF

的長，只需求線段

AG

的長，需借助△

AGB

或△

AGD

求解，但條件暫時(shí)不足．注意到∠

AFE

=90°，于是有兩個(gè)基本思路：一是構(gòu)造“一線三等角型”相似三角形；二是構(gòu)造“雙垂直共角型”相似三角形，最后借助“X型”相似三角形求解.

解法1

如圖5，過點(diǎn)

F

作

MN

⊥

AD

于點(diǎn)

M

，交

BC

于點(diǎn)

N

，則

MN

=

AB

=6，

AM

=

BN.

易證△

AMF

∽△

FNE

，可得設(shè)

EN

=

k

，則

MF

=2

k

，

FN

=6-2

k

，

AM

=

BN

=3+

k

，所以3+

k

=2(6-2

k

)，解得所以進(jìn)而易證△

ABG

∽△

FHG

，可得所以

解法2

如圖6，延長

AF

,

BC

交于點(diǎn)

H.

圖6

易證△

EHF

∽△

AHB

，可得設(shè)

FH

=

k

，則

BH

=2

k

，

EH

=2

k

-3，

AH

=6+

k

，所以6+

k

=2(2

k

-3)，解得

k

=4，所以

AH

=10，

BH

=8.易證△

ADG

∽△

HBG

，可得所以進(jìn)而

解法3

如圖7，延長

AF

交

DC

于點(diǎn)

H

，連結(jié)

CF.

圖7

因?yàn)?p>EF

=

BE

=

EC

，所以∠

EFC

=∠

ECF

，可得∠

HFC

=∠

HCF

，所以

CH

=

FH.

設(shè)

FH

=

x

，則

AH

=6+

x

，

DH

=6-

x

，在Rt△

ADH

中，根據(jù)勾股定理得6+(6-

x

)=(6+

x

)，解得所以易證△

ABG

∽△

HDG

，可得所以進(jìn)而

解法4

如圖8，延長

AE

,

DC

交于點(diǎn)

H

，延長

AF

交

DC

于點(diǎn)

M.

圖8

易證△

ABE

≌△

HCE

，可得

CH

=

AB

=6，

DH

=12，∠

BAE

=∠

EHC

=∠

HAM

，所以

AM

=

HM.

設(shè)

DM

=

x

，則

AM

=12-

x

，在Rt△

ADM

中，根據(jù)勾股定理得6+

x

=(12-

x

)，解得易證△

ABG

∽△

DMG

，可得所以進(jìn)而

評注 筆者分別給出了問題1、問題2的4種解法，或許還有更多的解法可以探索，這不遠(yuǎn)比套“公式”求解更能啟迪思維？

問題3

如圖9，在平面直角坐標(biāo)系

xOy

中，直線

y

=2

x

+

b

經(jīng)過點(diǎn)

A

(-1，0)，與

y

軸正半軸交于點(diǎn)

B

，與反比例函數(shù)交于點(diǎn)

C

，且

BC

=

AB

，點(diǎn)

D

是反比例函數(shù)上一點(diǎn)，連結(jié)

AD

，若則點(diǎn)

D

的橫坐標(biāo)為

.

圖9

分析 文[1]刻意配制了問題2、3用以說明之前探究的結(jié)論的應(yīng)用價(jià)值，但問題3的選取顯然不夠貼切，求解方法給人以“殺雞用牛刀”的感覺，由為何不用更自然的解法呢？

解法1

因?yàn)橹本€

y

=2

x

+

b

經(jīng)過點(diǎn)

A

(-1，0)，所以如圖9，設(shè)直線

AD

交

y

軸于點(diǎn)

F

，過點(diǎn)

F

作

FE

⊥

AB

于點(diǎn)

E

，則設(shè)

EF

=

k

，則

AE

=2

k.

易證△

BEF

∽△

BOA

，可得故有

BE

=2

k

，從而解得所以進(jìn)而可求出經(jīng)過

A

，

F

的直線為易知

C

(1，4)，所以所以解得(舍去負(fù)根)，即

D

的橫坐標(biāo)為

評注 這個(gè)解法看似繁瑣，但解法自然且具有一般性(如此時(shí)不存在二倍角，文[1]利用之前探究的結(jié)論算得無法 解決問題).當(dāng)然，如果能結(jié)合已知條件從圖形中發(fā)現(xiàn)下面的解法更為簡潔.

解法2

如圖10，因?yàn)橹本€

y

=2

x

+

b

經(jīng)過點(diǎn)

A

(-1，0)，所以

b

=2，

OA

=1，

OB

=2，進(jìn)而所以

AF

=

BF

，設(shè)

AF

=

m

，則

OF

=2-

m.

在Rt△

AFO

中，根據(jù)勾股定理得1+(2-

m

)=

m

，解得進(jìn)而以下同解法1.

評注 這個(gè)解法無需添加輔助線，更無需套什么“公式”或“模型”，獨(dú)具匠心.

不知從何時(shí)起，應(yīng)對考試的“模型”充斥數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，如“豬蹄”模型、“手拉手”模型、“12345”模型……讓人眼花繚亂，教學(xué)年歲較長的教師甚至聞所未聞、莫名其妙.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》明確指出：“課程內(nèi)容的組織要重視過程，處理好過程與結(jié)果的關(guān)系.”基于此理念，曾經(jīng)耳熟能詳?shù)纳溆岸ɡ怼⑾嘟幌叶ɡ?、垂徑定理等重要定理在教材上都已刪去，那我們還有什么理由去編制所謂的模型(充其量也只能算基本圖形)讓學(xué)生去記憶、套用？解題是數(shù)學(xué)教師的最常見活動(dòng)，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)更離不開解題，建立數(shù)學(xué)模型，對模型進(jìn)行分析、求解，最終達(dá)到解決問題的目的無可厚非，甚至極為重要，但模型不能泛化，數(shù)學(xué)解題不能依賴并不常用的所謂“模型”或“結(jié)論”，更不宜在初中解題教學(xué)中大肆渲染一些遠(yuǎn)離教材的“模型”甚至是超標(biāo)的內(nèi)容，美其名曰“拓展延伸”，實(shí)際上是加重了學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān).泛化的模型等同于“拿來主義”：拿現(xiàn)成的“模型”去解難度大、思維含量高的數(shù)學(xué)題，表面上看解題過程簡化了，但失去的是更有價(jià)值的數(shù)學(xué)思維，實(shí)在得不償失.解題方法的教學(xué)理應(yīng)遵循教材知識(shí)，執(zhí)行課程標(biāo)準(zhǔn)，探尋貼近學(xué)生的發(fā)展區(qū)的自然解法，機(jī)械的“模型”或“結(jié)論”慎教、慎用，著力點(diǎn)應(yīng)是強(qiáng)化過程性教學(xué)，讓學(xué)生更多地思考、探究，體驗(yàn)獲取知識(shí)的樂趣，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維能力的提升，增效減負(fù)才能真正落到實(shí)處.

完稿之余，恰好看到廣東省2021年中考數(shù)學(xué)試卷第23題：

如圖11，邊長為1的正方形

ABCD

中，點(diǎn)

E

為

AD

的中點(diǎn)．連結(jié)

BE

，將△

ABE

沿

BE

折疊得到△

FBE

，

BF

交

AC

于點(diǎn)

G

，求

CG

的長．

圖11

此題與問題2極為相似，考生該用什么樣的思路來求解呢？讀者自有分辨．