對(duì)一道平面向量?？碱}的探究與思考

華志遠(yuǎn) (江蘇省無錫市第一中學(xué) 214031)

在無錫市2021年秋學(xué)期高三期中考試中，第20題是一道以三角形為背景的平面向量試題．統(tǒng)計(jì)表明，該題難度系數(shù)僅為0.15，得滿分者更是寥若晨星．從題面上看，試題內(nèi)容看似平實(shí)，實(shí)則內(nèi)涵極為豐富；試題呈現(xiàn)方式簡(jiǎn)潔，提出問題逐級(jí)深入；涉及知識(shí)綜合有度，方法靈活多樣；具有較強(qiáng)的探索性，深度檢測(cè)了數(shù)學(xué)素養(yǎng)，充分體現(xiàn)了新高考評(píng)價(jià)體系的精神，即把關(guān)鍵能力作為高考評(píng)價(jià)的核心指標(biāo)和因素．從題干上看，本題從三角形的基本量和點(diǎn)線的位置關(guān)系出發(fā)，通過引入向量語言，使數(shù)與形有機(jī)結(jié)合．第(1)問是求兩條線段的比值，屬于幾何問題；第(2)問是求兩個(gè)向量數(shù)量積的最小值，屬于代數(shù)問題，從而使試題具有較強(qiáng)的探索性和開放性，學(xué)生可以從平面向量的多個(gè)維度尋找解題突破口，并利用向量共線定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，而數(shù)量積的最值可利用基本不等式或求導(dǎo)獲得答案．由于學(xué)生解答情況較差，因此我們對(duì)本題作重新研究、評(píng)估和反思．本文試圖通過探索該題的命題背景，嘗試一般的解題策略，依托數(shù)學(xué)思想方法，引領(lǐng)學(xué)生走出思維誤區(qū)，以發(fā)展學(xué)生的能力和素養(yǎng)．

1 試題及背景分析

試題

在△

ABC

中，已知為

BC

的中點(diǎn)，

E

為邊

AB

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

AD

與

CE

交于點(diǎn)

O

．設(shè)

(1)若求的值；

(2)求的最小值．

分析

從幾何維度去分析，本題第(1)問求兩線段的比值，容易想到構(gòu)造相似三角形求解，因

D

是

BC

的中點(diǎn)，故可以取

CE

的中點(diǎn)

F

，則

DF

∥

BE

，且(圖1)．再由△

ODF

∽△

OAE

，得到的值，進(jìn)而求得的值．事實(shí)上，若將△

BEC

看成被直線

AD

所截，則由梅涅勞斯定理可直接得出結(jié)論，這正是這道試題的平面幾何背景．

圖1

從向量維度去分析，本題首先可以選定一組基向量然后將

C

,

O

,

E

和

A

,

O

,

D

三點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為向量的共線，再利用共線向量定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化．也可以利用三點(diǎn)共線的一個(gè)重要模型，即以為基向量，則

C

,

O

,

E

三點(diǎn)共線的充要條件是其中

λ

+

μ

=1，從而實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo)．從建系維度去分析，根據(jù)三角函數(shù)定義，應(yīng)以

A

為原點(diǎn)，

AB

為

x

軸，這樣有利于寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而將向量問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的代數(shù)運(yùn)算．

2 解法探究

(1)

解法1

(利用相似三角形性質(zhì))由題設(shè)，得取

CE

的中點(diǎn)

F

，連結(jié)

DF

，則

DF

∥

BE

，且由△

ODF

∽△

OAE

，得于是

解法2

(利用梅涅勞斯定理)在△

BEC

中，直線

AD

與三邊所在直線分別相較于

O

,

A

,

D

，得由條件得故

解法3

(利用基向量法)由

C

,

O

,

E

三點(diǎn)共線，可設(shè)即得同理，可設(shè)由此得解得所以

解法4

(利用重要模型)設(shè)因故由

C

,

O

,

E

三點(diǎn)共線，可設(shè)由得于是故即

解法5

(建立坐標(biāo)系法)以

A

為坐標(biāo)原點(diǎn)，

AB

為

x

軸，建立直角坐標(biāo)系(圖2)．由三角函數(shù)的定義得的中點(diǎn)設(shè)

O

(

x

,

y

)，由而故解得設(shè)解得

λ

=4，于是

圖2

解法6

(利用解析幾何法)建系寫坐標(biāo)與解法5類似，只是在求點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，由直線及直線求得它們的交點(diǎn)坐標(biāo)再利用距離公式，求得(2)

解法1

(與(1)中解法1類似)由題意，得

AE

=2

x

，

BE

=2-2

x

，

DF

=1-

x

．由△

AOE

∽△

DOF

，得故于是從而令

x

+1=

t

，由

x

∈[0,1]，得

t

∈[1,2]．于是當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，的最小值為-4．

解法2

(與(1)中解法3類似由(1)中解法3得解得代入上式，得設(shè)則令

f

′(

x

)=0，得故當(dāng)時(shí)，

f

′(

x

)<0，

f

(

x

)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，

f

′(

x

)>0，

f

(

x

)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，

f

(

x

)有極小值，也是最小值.由得的最小值為-4．

解法3

(與(1)中解法4類似由

C

,

O

,

E

三點(diǎn)共線，得于是后面同上．

解法4

(與(1)中的解法5、6類似)設(shè)

O

(

x

,

y

)，

E

(2

x

,0)，則由得解得(也可用解析幾何求交點(diǎn)的方法求得答案)．于是求得后面同上．

3 解法評(píng)價(jià)

數(shù)學(xué)解題中，不同的思維視角對(duì)解題的長度、邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算產(chǎn)生較大影響，其中確立思維的起點(diǎn)最為重要．以《平面向量》一章為例，通?？梢詮膸缀畏ā⒒蛄糠?、坐標(biāo)法、數(shù)量積等作為思維的開啟，在解題目標(biāo)的驅(qū)使下作合理的選擇、調(diào)整和實(shí)施．如本題若從圖形上加以整體分析，則利用平面幾何知識(shí)，可使解題顯得一氣呵成、簡(jiǎn)潔明了，這對(duì)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)提出了要求；若從向量角度思考，則要選好基向量，并通過其線性運(yùn)算，結(jié)合向量的共線找到其中的內(nèi)在聯(lián)系，但由于本題圖形中涉及的點(diǎn)線較多，許多學(xué)生解題時(shí)產(chǎn)生了“原地打轉(zhuǎn)”的現(xiàn)象，思維缺乏進(jìn)階；若從坐標(biāo)法去分析思考，則關(guān)鍵要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)及向量的坐標(biāo)，同時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的目的性、條理性及準(zhǔn)確性提出了較高的要求．由此可見，只有讓學(xué)生形成大單元的視野，掌握主干知識(shí)結(jié)構(gòu)和體系，依據(jù)數(shù)學(xué)思想方法，才能自然地找到思維的起點(diǎn)，并在思維導(dǎo)圖的引領(lǐng)下，實(shí)現(xiàn)解題的目標(biāo)．從考試卷面上看，首先眾多學(xué)生面對(duì)問題無所適從，因而零分率超過60%，說明在復(fù)習(xí)教學(xué)中，學(xué)生的認(rèn)知體系構(gòu)建存在不足；其次是解題的目標(biāo)意識(shí)不強(qiáng)，在探尋結(jié)論與條件的關(guān)系時(shí)，找不到中間轉(zhuǎn)化的量(線段長、向量或坐標(biāo))，從而使思維受挫；再次是邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等數(shù)學(xué)素養(yǎng)有待進(jìn)一步提高，尤其是利用坐標(biāo)法求解的學(xué)生，無論從坐標(biāo)系的建立，還是運(yùn)算的正確率都有待加強(qiáng)．

4 走出解題困境

著名數(shù)學(xué)及教育家G·波利亞在《怎樣解題》一書中，將數(shù)學(xué)解題分為四個(gè)步驟，即審題聯(lián)想、擬定計(jì)劃、實(shí)施解答和回顧反思．審題聯(lián)想是從宏觀上要求解題者理解題意，弄清條件與結(jié)論，并產(chǎn)生有效聯(lián)想，從而找到解題目標(biāo)，其中包括信息的獲取與檢索、題目與知識(shí)的關(guān)聯(lián)性以及思維起點(diǎn)的確立等；擬定計(jì)劃是從中觀上要求解題者在明晰方向后，形成具有可操作性的解題步驟，即從條件與結(jié)論的聯(lián)系出發(fā)，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法作引領(lǐng)，盡量將復(fù)雜的、陌生的問題化歸為簡(jiǎn)單的、熟悉的問題；實(shí)施解答是從微觀層面上動(dòng)手操作，要求解題者利用數(shù)學(xué)知識(shí)和通性通法，進(jìn)行有條理的推理和演算，并在解題過程中加以監(jiān)控、調(diào)整和優(yōu)化；回顧反思則是指既要總結(jié)解題成功的經(jīng)驗(yàn)，又要反思解題失敗的教訓(xùn)，并從認(rèn)識(shí)論、方法論、價(jià)值論的維度加以提煉，促進(jìn)解題者理性思維的發(fā)展，從而不斷積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高“元認(rèn)知”能力．以這道模擬考題為例，如果我們從這一解題理論去指導(dǎo)學(xué)生分析和解決問題，那么對(duì)學(xué)生構(gòu)建《平面向量》一章的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、優(yōu)化思維品質(zhì)、提升關(guān)鍵能力，都會(huì)起到積極的引領(lǐng)作用．