談一道幾何例題的變式應用與方法探究

陳結洪

摘 要：通過深挖教材例題的教學功能和引導思考的作用，發(fā)現(xiàn)圓的證明與計算在初中階段的圖形與幾何中占據(jù)重要地位。廣州市中考題在探究圓的基本性質的基礎上，對四邊形與圓進行綜合應用和滲透數(shù)學思想方法，考查學生對綜合知識的掌握程度。文章以人教版九年級數(shù)學教材第24章圓周角的例題4，結合各地中考題的變式應用，談圓背景下的例題變式應用與方法探究。

關鍵詞：教材例題;圓變式應用;方法探究

一、問題提出

例題呈現(xiàn)：如圖，⊙O的直徑AB為10cm，弦AC為6cm，∠ACB的平分線交⊙O于點D，求BC，AD，BD的長。

點評：解答此題需要抓住兩個關鍵。

（1）判斷出△ABC和△ABD是直角三角形，以便利用勾股定理;

（2）判斷出線段AD=DB，然后將各個線段轉化到直角三角形中利用勾股定理解答，注意掌握數(shù)形結合思想的應用。

（一）夯實基礎，剖析研學內(nèi)容

本例題是在學生學習圓周角定理知識后，根據(jù)學生的知識水平和認知能力，編寫的一道既能鞏固圓周角定理又能把代數(shù)與幾何相互運用的基礎題。題目雖然是求弦BC，AD，BD的長，但是沒有圓的知識，則沒有辦法把弦AD和BD的關系求出來。題目已知條件是通過∠ACB的平分線得到兩個圓周角相等，從而鞏固弦、弧、圓心角、圓周角的關系，再利用直徑得到相應的直角，得到直角三角形由勾股定理則可求得相應的長度。

（二）層層遞進，設置研學問題

例題以圓為背景，強化核心知識點的運用，例如本題中的角平分線的作用是什么？它能讓學生得到什么結論？怎樣才能把線段和弦建立關系？圓周角和弦是怎樣聯(lián)系在一起的？圓中的直徑能為學生搭建怎樣的關聯(lián)？從而找到計算相關的直角三角形，尋找直角三角形的目的是什么？

內(nèi)化引導。通過例題涵蓋的知識點和實際考查的意義，設置一系列的研學問題，逐層遞進引導學生進行思考。把問題設置由淺入深，有梯度地引導不同層次的學生，既能全面普及，又能激發(fā)學生的學習熱情，同時能引導中上生開發(fā)思維，呈現(xiàn)螺旋式思維上升，讓學生在不斷體會相關知識的同時，又能鞏固對相關知識點的考查形式，從而達到學以致用的目的。

外圍概括。本例題的具體目標是考查學生求相關線段的長度，通過審題分析可以發(fā)現(xiàn)，只用到已知的數(shù)據(jù)是不能求到相應線段的長度。因此，要培養(yǎng)學生要建立起數(shù)形結合的思想方法，要有方程的思想意識為突破口進行解題。在思維活動中要有列方程解方程的思想意識，從而再結合題意通過直徑找到直角三角形進行勾股定理運算。“數(shù)缺形時難直觀，形缺數(shù)時難入微”，所以，教師在日常的教學中要適當培養(yǎng)學生通過關注知識點，深入研究例題的功能和作用，養(yǎng)成獨立思考，獨立提煉的習慣。

二、變式應用

（一）探究教材談變式，深入實踐教學

題目呈現(xiàn)：如圖，⊙O的直徑AB，弦BC為6cm，弦AC為8cm，∠ACB的平分線交⊙O于點D，

（1）求AB，BD的長;

（2）若點E是△ABC的內(nèi)心，求證：DE=DB.

點評：題目變式源于教材124頁總復習的習題，考查的知識點仍然是教材例題弦、弧、圓心角、圓周角的關系的已知條件，只是把直徑長改為弦長。

內(nèi)化引導。通過教學實踐過程中發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)的學生都沒有證明三角形為直角三角形就使用勾股定理，忽略了該定理使用的前提條件。因此，在課堂教學中，我們要核心培養(yǎng)學生關注解題過程的因果關系，否則很容易會造成丟分。其次就是學生沒有意識去證明△ABD為等腰直角三角形。

外圍概括。變式中針對第（2）小問若點E是△ABC的內(nèi)心，是學生解題能力的提升。要求學生在深入理解什么是三角形的內(nèi)心，它是由什么條件來產(chǎn)生的？它能得到什么樣的結論？怎樣把內(nèi)心與角平分線結合使用？設置研學問題上要層層提升，逐步引導學生往內(nèi)心這個已知條件方向思考。

方法提煉。從學生層面思考，證明兩條線段相等，常規(guī)的證明方法有哪些？學生普遍都朝著證明全等三角形的方向思考，但在圓背景下的幾何圖形里，卻找不到兩對全等的三角形。因此，在引導和思考方向上要尋找其他的方法進行證明，聯(lián)系證明邊相等的角度可以證明該三角形為等腰三角形則可以證畢。

（二）從中考題談變式，淺出教學細節(jié)

題目呈現(xiàn)：如圖，AC是⊙O的直徑，點B在⊙O上，∠ACB=30°。

（1）利用尺規(guī)作∠ABC的平分線BD，交AC于點E，交⊙O于點D，連接CD（保留作圖痕跡，不寫作法）;

（2）在（1）所作的圖形中，求△ABE與△CDE的面積之比。

點評：本題選自2015年廣州市中考數(shù)學第23題，主要考查尺規(guī)作圖、三角形相似的判定與性質、圓的有關性質、特殊三角形三邊的關系、解直角三角形，等腰直角三角形的性質、勾股定理等基礎知識，考查推理能力、計算能力和轉化思想。通過數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)當年的中考情況，為教學帶來參考。

內(nèi)化引導。如右圖所示，通過作∠ABC的平分線BD，從形的角度可以發(fā)現(xiàn)圖形的基本構造與教材例題的背景相仿，得到的知識點弦、弧、圓心角、圓周角的關系也就明確了。圓周角定理、勾股定理的作用也是相當核心的。因此，我們深入理解教材題目和研究題目的知識點，在中考一輪復習，把各個知識點串聯(lián)在一起，例如相似三角形的判斷，同時做到精講精練是相當有價值的。

方法提煉。層層深入，抓好常規(guī)教學，從學困生到中上生，再到尖子生，有針對性地做好腳手架引導，有思維性的深度，又要有技術性的指導，從而提高學生的得分率和教師的教學水平。

例如，本題第（2）求△ABE與△CDE的面積之比，在日常的教學中，讓學生體會圓內(nèi)接四邊形相交的對角線容易得到兩組相似三角形，然后對照問題直接剖析目標△ABE ∽△CDE，即便不能把證明思路往下寫，但找到相關的得分點。再深入研究相似三角形的面積比，如果兩個三角形的面積難于逐一計算，可以嘗試轉化為線段比的平方即可。正如本小問可以轉化為線段AB與CD比的平方，那么問題的核心就轉化為求線段AB和CD即可。這與教材例題是如出一轍，在例題的基礎上深入變式，通過對中考題目和教材例題一系列的深入研究，能不斷拓展我們的學習能力和提升自身的教學水平。

三、方法探究

（一）玩轉變式，螺旋提升

題目呈現(xiàn)：如圖，點C為△ABD的外接圓上的一動點（點C不在[ABD]上，且不與點B，D重合），∠ACB=∠ABD=45°

（1）求證：BD是該外接圓的直徑;

（2）連結CD，求證：[2]AC=BC+CD;

點評：本題選自2016年廣州市中考數(shù)學25題，屬于典型的中考壓軸題，主要考查圓的綜合問題，涉及圓周角定理、等腰三角形的性質、全等三角形的性質與判定、勾股定理等知識，綜合程度較高，解題的關鍵就是構造等腰直角三角形。

剖析本題與教材例題的共性分析，首先是背景圖與例題極度相似。其次，弦、弧、圓心角、圓周角的關系是解答本題過程的紐帶，同時直徑是中心橋梁，作為已知條件與隱含條件的一個關鍵，教材例題是已知條件給出直徑，中考題則要證明弦BD是外接圓的直徑，讓學生體會知識的可逆性。再次，題目把教材當中的角平分線條件改編成含45°這個已知條件，帶有共性的特點。

能力提升。中考題源于教材例題背景但又高于例題的難度，是一道相當優(yōu)秀的壓軸題，既考查相關的基礎知識，鞏固所學知識，又能拓展學生的思維。探究由例題背景知識所產(chǎn)生的變式訓練，達到分層考查的目的，有利于選拔性篩選不同層次的生源。第（2）小問與第（3）問又有梯度和共性聯(lián)系，但又有形式的不同，解決這兩小問的方法較多，但在教學上可以適當培養(yǎng)學生一題多解的同時，可以訓練最優(yōu)解法，讓學生節(jié)省大量的考試時間，達到效率最大化。

（二）分解變式，由淺入深

如圖，已知△ABD為等邊三角形，點C為圓周上的動點，則線段CA，CD，CB滿足怎樣的數(shù)量關系，請說明過程。

點評：含60°的三角形外接圓周上的動點，探究由動點所在的三條線段的數(shù)量關系。

研學問題：（1）觀察線段CA，CD，CB位置關系呈現(xiàn)怎樣的分布形式？（2）怎樣處理零散的線段關系？（3）目前已掌握哪些方法可以遷移應用到本問題中？（4）等邊三角形能得到什么結論？（5）圓的背景能帶來哪些中間的橋梁關系？（6）能否聯(lián)想其他相關的知識和方法突破本問題？

研學思路：（1）嘗試把零散的線段遷移到一個特殊的三角形中理解？（2）能否構建相關全等的三角形來探究相關的線段關系？（3）借助哪些隱含條件進行破題？

截長法探究生成（見表1）。

旋轉法生成再探（見表2）。

（三）回歸題意，遷移應用

如圖，點C為△ABD的外接圓上的一動點（點C不在[ABD]上，且不與點B，D重合），∠ACB=∠ABD=45°，連結CD，求證：[2]AC=BC+CD。

點評：通過引導學生深入思考例題的核心思路，觀察對比分解變式題可以得到，題目由等邊三角形轉化為等腰直角三角形，培養(yǎng)學生對符號感和圖形感產(chǎn)生變化作出判斷，聯(lián)系問題的結論中帶有[2]。因此，聯(lián)想等腰直角三角形三邊的數(shù)量關系1∶1∶[2]，便能快速定位到常規(guī)的截長法和旋轉的方法來突破解題。

（四）課外知識拓展，探究深層知識聯(lián)系

托勒密定理認為圓的內(nèi)接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和。

例題：在四邊形ABCD中，若A、B、C、D四點共圓，則AC·BD=AB·CD+AD·BC。

點評：證明的方法有多種，根據(jù)學生的已有認知水平，選擇構造相似三角形的方法來證明結論（如表3）。在學生學有余力時可以探究與教材背景相關的知識拓展學生的思維能力。

說明：按考綱要求，托勒密定理不能直接應用到平時的幾何證明題當中，若要使用則需要先證明其結論后才直接使用。探究本定理的相關結論，遇到相類似的選擇填空題時可以快速應用，縮短做題的用時，達到事半功倍的效果。

四、感悟

通過探究教材的每一道題目，深挖題目內(nèi)涵和外延，深度研究題目蘊含的知識點，熟練掌握題目的變式訓練。

1. 能快速提升教師的教學水平，讓教師能多維度思考知識點的聯(lián)系，結合實踐教學更能了解學生對于本知識點存在哪些思維性的障礙，學生能思考到哪些內(nèi)容，而哪些知識點又不能建構。

2. 教師可以做到精準把握，以便在日常的教學過程中更有針對性地開展教學，哪些環(huán)節(jié)需要加強講解。研究題目的變式應用，探究一題多解，一題多變，多題一解等方法與應用，培養(yǎng)學生思維能力，增強多法歸一，提高學習效率。

3. 深入研究教材題目，對提升學生的學習效率也有很大幫助，減少題目訓練，切斷以往低效的教學模式，落實教育的“雙減”目標有著積極的意義。