NAPLAN九年級數(shù)學(xué)可用與不可用計算器的試題比較研究

吳紅德　林子植

【摘 要】計算器是時代發(fā)展的必然產(chǎn)物，具有便捷和高效的顯著特點(diǎn).文章從考查內(nèi)容與認(rèn)知水平兩方面對澳大利亞NAPLAN2016九年級數(shù)學(xué)測試中可用與不可用計算器的試題進(jìn)行比較研究.結(jié)果表明加入計算器后的試題不僅使考查內(nèi)容更加全面，體現(xiàn)出輔助工具應(yīng)有的魅力，還使試題考查的認(rèn)知水平更加均衡，試題更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想、初具數(shù)學(xué)建模的雛形.

【關(guān)鍵詞】NAPLAN數(shù)學(xué)測試;認(rèn)知水平;試題比較;計算器使用

0 引言

關(guān)于“中學(xué)數(shù)學(xué)測試中試題是否應(yīng)該加入計算器”一直是中國乃至世界數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域爭鳴不休的話題.例如在1997年加州數(shù)學(xué)戰(zhàn)爭中就存在這樣的爭鳴：計算器要不要引入學(xué)校的數(shù)學(xué)教育，如果允許引入，該怎么引入等[1].然而，我國數(shù)學(xué)試題的考查一直以來都注重培養(yǎng)學(xué)生的計算能力，并不廣泛鼓勵學(xué)生使用計算器進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算，但這是我們真正要追求的數(shù)學(xué)教育嗎？正如張奠宙先生所說：“我有時在想，高科技在現(xiàn)今數(shù)學(xué)教育中的應(yīng)用已相當(dāng)深入，而我們?nèi)怨潭ㄈ斯び嬎?，踏步不前，這似乎像當(dāng)年用大刀長矛對付火炮火槍一樣，雖然功夫了得，卻仍然敗下陣來，我們縱然可以拿數(shù)學(xué)奧林匹克冠軍，到頭來卻在技術(shù)使用上落在后面，豈不是又要挨打？”[2]21世紀(jì)的今天，計算器作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的輔助性工具越來越受到各界的廣泛關(guān)注，同時，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》也明確指出：“合理利用現(xiàn)代信息技術(shù)，提供豐富的學(xué)習(xí)資源，設(shè)計生動的教學(xué)活動，促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)方式方法的變革.”[3]因此，如何在數(shù)學(xué)測試中使用計算器，怎樣設(shè)計使用計算器的試題，需要借助已有測試項(xiàng)目的成功經(jīng)驗(yàn).

從2008年開始實(shí)施的澳大利亞全國讀寫與數(shù)學(xué)能力評估項(xiàng)目（National Assessment Program Literacy and Numeracy，NAPLAN）[4]就充分展現(xiàn)了試題加入計算器后的特點(diǎn).NAPLAN是澳大利亞每所學(xué)校的重要日程之一[5]，主要包括：閱讀、寫作、語言和數(shù)學(xué)能力等測試內(nèi)容，是由澳大利亞課程、評估與報告局（Australian Curriculum、Assessment and Reporting Authority，ACARA）統(tǒng)一安排，各州負(fù)責(zé)具體實(shí)施的測試項(xiàng)目.在其測試中，澳大利亞九年級的學(xué)生分別需要完成兩份試卷，一份可以借助計算器進(jìn)行作答，而另一份則不能借助計算器進(jìn)行作答，但在試題數(shù)量和答題時間要求上均相同，且NAPLAN測試自2017年起采取線上測試，傳統(tǒng)的線下測試只保留到2016年.因此，本文選取NAPLAN2016九年級數(shù)學(xué)測試中可用與不可用計算器的試題，分別從考查內(nèi)容與認(rèn)知水平兩個視角進(jìn)行比較研究，提取試題加入計算器后的特征，以期對我國初中數(shù)學(xué)試題未來加入計算器的命題提出一些研究啟示.

1 NAPLAN九年級可用與不可用計算器的試題比較分析

1.1 基于考查內(nèi)容的試題比較

NAPLAN數(shù)學(xué)試題的考查內(nèi)容以《澳大利亞數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（The Australian Curriculum：Mathematics，8.4 Version）[6]為參考，其內(nèi)容領(lǐng)域主要包含三個，分別為“數(shù)與代數(shù)”“測量與幾何”“統(tǒng)計與概率”，文章首先分析兩份試題在這三個內(nèi)容領(lǐng)域的分布情況.1.1.1 不可用計算器的試題考查內(nèi)容

按照《澳大利亞數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的內(nèi)容劃分，現(xiàn)將NAPLAN2016九年級不可用計算器的試題考查內(nèi)容進(jìn)行統(tǒng)計分類，具體分布如表1所示.

表1數(shù)據(jù)顯示，NAPLAN2016九年級不可用計算器的試題較側(cè)重于對“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容領(lǐng)域的考查.“數(shù)與代數(shù)”是數(shù)學(xué)知識的根基，其中“數(shù)”包括：數(shù)、數(shù)數(shù)、計算、心算、估算，數(shù)的計算、數(shù)的應(yīng)用和數(shù)字模型及關(guān)系等內(nèi)容;而“代數(shù)”是建立在“數(shù)”的基礎(chǔ)上，包括：一般代數(shù)表達(dá)式、方程與不等式、函數(shù)等內(nèi)容[7].由此，為了進(jìn)一步探究不可用計算器的試題中有關(guān)“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容知識的考查，現(xiàn)以具體試題為例進(jìn)行分析.

例1 紅細(xì)胞的直徑為0.0076毫米，以下哪個科學(xué)記數(shù)法可以顯示它的直徑？

（A）7.6×10 （B）7.6×10（C）7.6×10 （D）7.6×10

評析 該題屬于“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容領(lǐng)域.根據(jù)題意，該題要求學(xué)生理解、掌握科學(xué)記數(shù)法的概念，會用科學(xué)記數(shù)法表示較大或較小且位數(shù)較多的數(shù).因此，該題主要考查“數(shù)”領(lǐng)域中的數(shù)字關(guān)系.以對基礎(chǔ)知識的認(rèn)識和把握為主，屬于基礎(chǔ)性題目.

例2 湯姆報名了一家每月收費(fèi)56美元的健身房，如果湯姆想與健身教練一起學(xué)習(xí)，則每節(jié)課需要額外支付6美元.如果湯姆每月與一位教練一起學(xué)習(xí)x節(jié)課，則哪個表達(dá)式可以代表湯姆每月的健身費(fèi)用？

（A）6x （B）56x （C）56x+6 （D）56+6x

評析 該題屬于“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容領(lǐng)域.根據(jù)題意，它要求學(xué)生辨別、掌握代數(shù)表達(dá)式的概念，在實(shí)際中運(yùn)用代數(shù)表達(dá)式準(zhǔn)確地描述問題.因此，該題主要考查“代數(shù)”領(lǐng)域中代數(shù)表達(dá)式的應(yīng)用.仍然以對基礎(chǔ)知識的理解和把握為主，屬于基礎(chǔ)性題目.

1.1.2 可用計算器的試題考查內(nèi)容

按照上述不可用計算器的試題分析思路，再對NAPLAN2016九年級可用計算器的試題考查內(nèi)容進(jìn)行分類匯總，具體分布如表2所示.

表2數(shù)據(jù)表明，NAPLAN2016九年級可用計算器的數(shù)學(xué)試題仍側(cè)重于對“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容領(lǐng)域的知識考查.而在分析過程中發(fā)現(xiàn)，其中有兩題進(jìn)行了跨內(nèi)容模塊的混合考查.為深入探析，現(xiàn)以具體試題為例.

例3 如圖1所示，盒子（上圖）里有巧克力塊，每塊巧克力（下圖）的大小為75cm3，則盒子里可以放多少塊巧克力？ 圖1

評析 該題屬于“數(shù)與代數(shù)”和“測量與幾何”兩個內(nèi)容領(lǐng)域.根據(jù)題意，學(xué)生需要熟練掌握相應(yīng)幾何體的體積表達(dá)式，通過求出幾何體的體積再進(jìn)行數(shù)的除法運(yùn)算，且允許學(xué)生使用計算器，相對弱化了數(shù)的計算.因此，該題側(cè)重于考查學(xué)生的解題思路，較不可用計算器試題的解題步驟更多，難度更高.

例4 制作一個藝術(shù)品需要用到大珠子與小珠子兩種.每顆大珠子的質(zhì)量為120毫克，每顆小珠子的質(zhì)量為80毫克，使用所有珠子的總質(zhì)量為32克.請問總共使用了多少顆珠子來制作該藝術(shù)品？

評析 該題仍屬于“數(shù)與代數(shù)”和“測量與幾何”兩個內(nèi)容領(lǐng)域.根據(jù)題意，學(xué)生首先需要清楚掌握單位之間的換算關(guān)系，將單位統(tǒng)一化后再列出方程進(jìn)行運(yùn)算求解.計算器的加入也相應(yīng)弱化了計算技能的要求，更多地聚焦于方程的建立.因此，該題側(cè)重于對學(xué)生思維能力的考查，若該題不可用計算器則解題步驟更多，技能考查不聚焦.1.2 基于認(rèn)知水平的試題比較

《澳大利亞數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》[6]為各年級劃分了相應(yīng)的認(rèn)知水平，按程度由低到高依次劃分為：理解、熟練、問題解決、推理四個水平.澳大利亞課程中對這四種認(rèn)知水平的描述如表3所示.

1.2.1 不可用計算器試題的認(rèn)知水平

在充分了解上述認(rèn)知水平劃分依據(jù)的基礎(chǔ)上，將NAPLAN2016九年級不可用計算器的試題作為樣本，三名專家（兩名中學(xué)高級教師和一名數(shù)學(xué)教育研究者）與作者一起標(biāo)定每道試題的認(rèn)知水平，結(jié)果如表4所示.

由表4數(shù)據(jù)可知，NAPLAN2016九年級不可用計算器的試題在認(rèn)知水平方面考查最多的是“理解”與“熟練”兩個認(rèn)知水平，兩者共占比約為總試題數(shù)的72%，而“問題解決”“推理”兩個認(rèn)知水平的考查試題較少.由此可知，不可用計算器的試題偏重于低層次的認(rèn)知水平，注重于考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識、基本技能的熟練掌握.為此，現(xiàn)以具體試題為例進(jìn)行深入分析.

例5 蒙蒂和塔拉為學(xué)校買鉛筆.塔拉購買的鉛筆數(shù)量是蒙蒂購買鉛筆數(shù)量的2倍再加上4支.設(shè)m為蒙蒂購買的鉛筆數(shù)量，下列哪個表達(dá)式表示塔拉購買的鉛筆數(shù)量？

（A）（2×m）+4 （B）2+（4×m）（C）（m÷2）-4（D）2-（m÷4）

評析 該題屬于“理解”認(rèn)知水平.根據(jù)題意，該題主要考查學(xué)生描述問題結(jié)果與代數(shù)表達(dá)式之間的關(guān)系，學(xué)生只要理解代數(shù)表達(dá)式的意義，便可迎刃而解.因此，該題注重考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識的理解與掌握，屬于基礎(chǔ)性題目. 圖2

例6 如圖2所示，點(diǎn)P向下移動4個單位，則點(diǎn)P新位置的坐標(biāo)是什么？

（A）（2，-1）（B）（2，7）

（C）（6，3）（D）（-2，3）

評析 該題屬于“熟練”認(rèn)知水平.根據(jù)題意，該題主要考查的是學(xué)生對笛卡爾平面坐標(biāo)系的認(rèn)識與描述，與“熟練”認(rèn)知水平的描述內(nèi)容相對應(yīng).學(xué)生只要掌握了笛卡爾平面坐標(biāo)系中點(diǎn)位置的判斷與相關(guān)知識，便可找到答案.因此，該題仍偏重于考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握.

1.2.2 可用計算器的試題認(rèn)知水平

以上述認(rèn)知水平的劃分依據(jù)為基礎(chǔ)，再將NAPLAN2016九年級可用計算器的試題為樣本，研究者又共同標(biāo)定每道試題的認(rèn)知水平，得出以下可用計算器的試題認(rèn)知水平分布統(tǒng)計表，如表5所示.

表5數(shù)據(jù)顯示，NAPLAN2016九年級可用計算器的試題對“理解”“熟練”“問題解決”與“推理”四個層次認(rèn)知水平的考查占比比較均衡，與不可用計算器試題的考查情況不盡相同.因此，為更直觀、有效地驗(yàn)證這一狀況，再以具體試題為例進(jìn)行分析.

例7 如圖3所示，法國巴黎的盧浮宮金字塔由四個三角形和一個正方形組成.羅蘭受雇清潔盧浮宮金字塔的內(nèi)部和地板，則羅蘭需要清潔的區(qū)域有多大？

評析 該題屬于“問題解決”認(rèn)知水平.根據(jù)題意，該題從生活實(shí)例出發(fā)，要求學(xué)生在準(zhǔn)確理解題意的基礎(chǔ)上，進(jìn)行相應(yīng)圖形的表面積計算，涉及了直角三角形，符合“問題解決”的考查目標(biāo).因此，該題不僅注重學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握，還注重將其運(yùn)用到日常生活中，計算器的使用幫助學(xué)生節(jié)省了繁瑣的計算時間.

例8 如圖4所示，詹姆斯要轉(zhuǎn)動輪子上的箭頭來贏得獎品，且箭頭停留在每個部分都有相同的機(jī)會，則箭頭停留在筆記本電腦上的概率是多少？

（A）0.125（B）0.200（C）0.375（D）0.380（E）0.600

評析 該題屬于“推理”認(rèn)知水平.根據(jù)題意，該題以習(xí)以為常的“抽獎”活動為背景，考查的是學(xué)生對概率知識的運(yùn)用，學(xué)生首先需要找出目標(biāo)部分?jǐn)?shù)量和總部分?jǐn)?shù)量，然后運(yùn)用統(tǒng)計學(xué)知識表達(dá)概率結(jié)果（分?jǐn)?shù)），再直接運(yùn)用計算器將分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)與選項(xiàng)相對應(yīng)，符合“推理”的考查目標(biāo).因此，該題將基礎(chǔ)知識、生活情境與思維能力的考查結(jié)合起來，計算器作為輔助工具節(jié)省了轉(zhuǎn)化計算的時間.2 結(jié)論與啟示2.1 結(jié)論

基于上述NAPLAN2016九年級可用與不可用計算器的試題對比分析結(jié)果表明，可用與不可用計算器的試題雖在一定程度上存在某些共性，但仍顯現(xiàn)出了各自不同的特點(diǎn)，其中二者的認(rèn)知水平分布如圖5所示.

2.1.1 不可用計算器的試題考查內(nèi)容單一、難度等級偏低

表1中不可用計算器的試題考查內(nèi)容分布的數(shù)據(jù)與所呈現(xiàn)的具體例題表明，不可用計算器的試題在考查內(nèi)容方面較為單一.主要表現(xiàn)在不可用計算器的試題偏重對“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容領(lǐng)域的考查，在“測量與幾何”“統(tǒng)計與概率”兩個內(nèi)容領(lǐng)域的考查較少.而從內(nèi)容的難度等級上看，不可用計算器的試題所考查的內(nèi)容主要強(qiáng)調(diào)學(xué)生對基礎(chǔ)知識的認(rèn)識與掌握，多屬于基礎(chǔ)性題目.因此，其難度等級偏低.

2.1.2 不可用計算器的試題側(cè)重于對低層次認(rèn)知水平的考查

圖5的認(rèn)知水平分布數(shù)據(jù)顯示，NAPLAN2016九年級不可用計算器的試題主要集中于對學(xué)生“理解”與“熟練”兩個低層次認(rèn)知水平的考查.多體現(xiàn)在掌握知識、回顧知識的層面，而對于“問題解決”與“推理”兩個高層次認(rèn)知水平的考查占比較小，甚至不足三成.這再次表明，不可用計算器的試題更側(cè)重于學(xué)生對基礎(chǔ)知識的理解與把握.因此，它屬于對低層次認(rèn)知水平的考查.2.1.3 可用計算器的試題展現(xiàn)了輔助工具的魅力

NAPLAN2016九年級可用計算器的試題深刻展現(xiàn)了輔助工具的獨(dú)特優(yōu)勢.在同樣題目數(shù)量、同樣解題時間的條件下，解題步驟的增多、試題難度的增加不得不使學(xué)生在準(zhǔn)確掌握基礎(chǔ)知識的同時，還要學(xué)習(xí)并熟練運(yùn)用輔助工具提高自身解題效率，以幫助他們?nèi)缙谕瓿稍囶}的解答.由此，有效提高了學(xué)生對輔助工具的使用要求，展現(xiàn)出了輔助工具應(yīng)有的魅力.

2.1.4 可用計算器的試題認(rèn)知水平分布較為均衡

表5與圖5的數(shù)據(jù)顯示，NAPLAN2016九年級可用計算器的試題在四個認(rèn)知水平分布上總體一致.這表明，可用計算器的試題注重對四種認(rèn)知水平的平衡考查.在試題的編排上，它既強(qiáng)調(diào)對基礎(chǔ)知識的理解，也注重對知識運(yùn)用與思維能力的整合，顯現(xiàn)出不同水平中對知識掌握的不同要求.因此，可用計算器的試題認(rèn)知水平分布較為均衡.

2.1.5 可用計算器的試題初具數(shù)學(xué)建模雛形

深入探究試題的內(nèi)容可以發(fā)現(xiàn)，可用計算器的試題在一定程度上顯現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的雛形.計算器的使用在使試題認(rèn)知水平分布較為均衡的情況下，為學(xué)生節(jié)省了很多繁瑣的計算時間，有效促進(jìn)學(xué)生深入研究試題并建立起知識與試題間的聯(lián)系.它使得學(xué)生對數(shù)學(xué)建模有了簡單、基本的認(rèn)識，這不僅為學(xué)生日后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，也潛移默化地提升了他們自主學(xué)習(xí)和探索數(shù)學(xué)的興趣與能力.

2.2 啟示

教育信息化是教育現(xiàn)代化的根本要求，而計算器的使用則是教育信息化的基礎(chǔ).隨著時代的進(jìn)步，學(xué)生走上工作崗位后都需要使用計算器輔助運(yùn)算.考試允許學(xué)生使用計算器，是信息時代的根本要求，也是社會發(fā)展的必然趨勢[8].2.2.1 計算器的使用有助于使試題內(nèi)容考查更全面

“計算器和算籌、珠算盤一樣，都屬于計算工具，它們應(yīng)該在不同歷史時期發(fā)揮對數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)教育發(fā)展的推動作用.”[9]在一直強(qiáng)調(diào)“雙基”能力培養(yǎng)的今天，計算器的加入使得數(shù)學(xué)試題的命制在更多關(guān)注基礎(chǔ)知識的同時，也促進(jìn)了學(xué)生對輔助工具的使用，即對基本能力的培養(yǎng).當(dāng)試題的成功作答不再過度依賴于對運(yùn)算能力的要求時，就會使學(xué)生擺脫高強(qiáng)度的重復(fù)訓(xùn)練，從這個視角看計算器的使用會使得試題考查的內(nèi)容屬性更加全面.

2.2.2 計算器的使用有助于使試題編制更貼近現(xiàn)實(shí)

弗賴登塔爾認(rèn)為：數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實(shí)，應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)[10].計算器的使用不僅會提高學(xué)生的解題效率，也會使試題在編制時不會刻意注重對書本知識的“生搬硬套”，學(xué)生在解題時會不自禁的將自己帶入到生活情境中去，從而使他們發(fā)現(xiàn)生活中的樂趣，打破對數(shù)學(xué)“枯燥無味”的刻板印象，更易拉近試題與生活的距離.這不僅有助于提高學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主動性，也會有效增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣與信心.當(dāng)學(xué)生從生活中發(fā)現(xiàn)知識又將知識應(yīng)用于生活中時，數(shù)學(xué)就顯得格外有價值，從這個視角看計算器的使用使得試題的編制更加貼近了現(xiàn)實(shí).2.2.3 計算器的使用有助于考查、發(fā)展學(xué)生的高階思維能力

澳大利亞莫納什大學(xué)（Monash University）教育學(xué)院Gilah Leder教授曾說過：“適當(dāng)?shù)氖褂糜嬎闫?，確實(shí)能夠讓學(xué)生從繁瑣的計算中解脫出來，使學(xué)生能夠把更多的精力放在數(shù)學(xué)知識上，這樣學(xué)生也會對數(shù)學(xué)知識本身有更好的理解.”[5]因此，計算器的使用在減少試題計算量的同時，試題的認(rèn)知水平也得以相應(yīng)的提高、綜合，使得學(xué)生有了更多時間對試題本身進(jìn)行思考，從而發(fā)散思維、推理論證，提高他們的認(rèn)識，促進(jìn)他們思維能力的發(fā)展.當(dāng)學(xué)生有了充足的時間進(jìn)行思考時，解題過程與思維邏輯就顯得格外重要，從這個視角看計算器的使用有助于考查、發(fā)展學(xué)生的高階思維能力.

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作者簡介 吳紅德（1999— ），男，碩士研究生;主要從事數(shù)學(xué)教育研究.

林子植（1983—），男，博士，副教授，碩士生導(dǎo)師;主要從事數(shù)學(xué)教育研究.

基金項(xiàng)目 2021年江西省高等學(xué)校教學(xué)改革研究課題“基于TPACK理論的數(shù)學(xué)教師教育類課程改革與實(shí)踐研究——以‘學(xué)科教學(xué)論（數(shù)學(xué)）’為例”