超冷原子中拓撲超流的發(fā)展現(xiàn)狀

馮 鑒，張偉偉，林良偉，蔡啟鵬，張義財，劉超飛*

1. 江西理工大學(xué)理學(xué)院，贛州341000

2. 廣州大學(xué)物理與電子工程學(xué)院，廣州 510006

目 錄

I. 引言

Majorana費米子是意大利物理學(xué)家Ettore ·Majorana在1937 年預(yù)言的[1]， Majorana 費米子源自于狄拉克費米子[2]，通過給狄拉克旋量施加一個現(xiàn)實條件而得到[3]。與狄拉克費米子不同的是， Majorana 費米子的產(chǎn)生算符γ?和湮滅算符γ 相等, 即其反粒子等于自身, 粒子呈電中性。非阿貝爾拓撲序在容錯量子計算中具有潛在應(yīng)用，所以近年來該系統(tǒng)引起了人們的廣泛關(guān)注。研究表明，支持非阿貝爾激發(fā)的拓撲非平庸超流體相既可以從s 波超流體中誘導(dǎo)出來，也可以從具有本征手性p 波配對的系統(tǒng)，例如分數(shù)量子霍爾系統(tǒng)、手性p 波超導(dǎo)體和超冷費米子中的p 波超流體誘導(dǎo)出來。利用對稱性，可以將拓撲超流體分為時間反演不變的拓撲超流體和時間反演對稱破缺的拓撲超流體。具有時間反演不變的拓撲超流體在塊體系統(tǒng)里面存在超流配對能隙，其表面態(tài)具有Majorana 費米子。Kitaev首先指出，具有p 波相互作用的一維無自旋費米子系統(tǒng)具有拓撲上非平庸的超流體相，在邊界處存在零能量Majorana 費米子。

受制于化合物的天然性質(zhì)[4]，人們在尋找固態(tài)結(jié)構(gòu)中的拓撲材料時必須依靠偶然性[5–7]。然而，超冷原子系統(tǒng)提供了一個更方便的研究平臺。人們可以在超冷原子系統(tǒng)中創(chuàng)建各種光學(xué)晶格，在其中調(diào)整躍遷和原子間的相互作用[8]，甚至可以添加雜質(zhì)到光晶格中[9]。光晶格中的超冷原子為研究量子多體問題提供了一個良好的平臺?；诂F(xiàn)有的光學(xué)技術(shù)，超冷原子氣體的高度可控性和有序性，使其成為發(fā)現(xiàn)非平庸拓撲相的理想平臺，這些拓撲相在普通凝聚態(tài)系統(tǒng)中難以實現(xiàn)或被證明[10–12]。因此，超冷原子系統(tǒng)靈活的可調(diào)性，為設(shè)計晶格哈密頓量和實現(xiàn)新型拓撲相提供了更多的機會[13–15]。此外，理論上提出的模擬規(guī)范場在實驗中被成功實現(xiàn)，使得冷原子系統(tǒng)的拓撲量子態(tài)成為當前的研究熱點[16–18]。

另一方面，人們在常規(guī)s 波相互作用費米氣體中合成有效p 波相互作用方面取得了重大進展。沿著這條線的第一個進展是在原子系統(tǒng)中實現(xiàn)了人工自旋軌道耦合，這是Kitaev 模型的推廣[19]。在一個s 波費米氣體中，Rashba 自旋軌道耦合可以誘導(dǎo)自旋三重態(tài)配對，從而在二維系統(tǒng)中產(chǎn)生手性p 波超流體[20,21]。自旋軌道耦合是電子在凝聚態(tài)系統(tǒng)中普遍存在的現(xiàn)象，被認為是拓撲絕緣體[22]、量子自旋霍爾效應(yīng)等許多有趣現(xiàn)象的關(guān)鍵組成部分[23]。超冷原子系統(tǒng)中人工規(guī)范場的實現(xiàn)，使人們能夠利用超冷原子的特點，如清潔的環(huán)境和高度可控的參數(shù)，為研究這些現(xiàn)象開辟了新的途徑。自旋軌道耦合的引入可能有助于解釋從巴丁–庫珀–施里弗理論(Bardeen-Cooper-Schriefer,BCS)到玻色–愛因斯坦凝聚(Bose-Einstein condensation, BEC) 的渡越[24]、極化費米氣體[25]、巡游鐵磁等各種有趣的強相關(guān)系統(tǒng)[26]。自旋軌道耦合超流體是常見的時間反演不變的拓撲超流體。自旋向上的費米子配對為px+ipy態(tài)，自旋向下的費米子配對為px-ipy態(tài)。這類拓撲超流態(tài)在體系統(tǒng)里面有能隙，在材料邊界上有相向傳播的Majorana 費米子。

1956 年，人們首次提出庫珀對來解釋超導(dǎo)體[27]，它描述了一對費米子由于相互作用而結(jié)合在一起。費米子有相反的動量，所以這對費米子的動量完全為零。然而在強磁場中存在有限質(zhì)心動量的庫珀對，這導(dǎo)致了在實空間中具有不統(tǒng)一的序參量的奇異超導(dǎo)體，即Fulde-Ferrell 和Larkin-Ovchinnikov(FFLO)態(tài)[28,29]。FFLO態(tài)有兩種: 相位調(diào)制的FF 態(tài)和空間調(diào)制的LO 態(tài)。在過去幾年中，F(xiàn)FLO 態(tài)在實驗和理論方面都引起了科學(xué)家的極大興趣。自旋軌道耦合已經(jīng)通過超冷原子和光晶格在實驗上實現(xiàn)[30–33]，這為拓撲的FFLO 態(tài)鋪平了道路。理論研究表明，在一維和二維費米氣體中可以誘導(dǎo)出拓撲的FFLO 超流態(tài)，Majorana 費米子有可能存在于其中[34,35]。

同樣地，拓撲超流體的實現(xiàn)和檢測也是目前物理學(xué)最積極追求的目標之一。我們介紹了近幾年的幾種方法：在超冷40K 原子中觀察通用束縛態(tài)的方案[36]、將原子加載到一個自旋相關(guān)的光晶格勢中實現(xiàn)p 波拓撲超流體的方案[37]、研究超流3He 渦旋的方案[38]、使用雜質(zhì)作為探針檢測拓撲相變的方案[39]、還可以利用圓二色性來檢測拓撲超流[40]。通過上述方法可以完成拓撲超流的實現(xiàn)與識別。

II. 光晶格中的拓撲超流

px+ipy超流態(tài)在拓撲量子計算中具有潛在的應(yīng)用價值[41]。Liu 等人證明拓撲的px+ipy超流體相可以在單組分偶極費米氣體中實現(xiàn)[42]。該氣體被束縛在二維正方形光學(xué)晶格中，在低溫下具有吸引相互作用。在偶極費米氣體中，電偶極之間的各向異性相互作用在旋轉(zhuǎn)電場的存在下可以轉(zhuǎn)化為有效的吸引相互作用[43]。他們發(fā)現(xiàn)當相互作用較弱時，除了發(fā)生接近半填充的相分離外，p 波超流體對大多數(shù)填充因素都是穩(wěn)定的[44]。在弱耦合極限下，相分離區(qū)域消失。填充系數(shù)為0 ＜n ＜1時，相互作用強度超過某一閾值時，系統(tǒng)將會發(fā)生相分離。

圖1 展示了系統(tǒng)的零溫相圖。隨著相互作用強度(J)的增加，相分離區(qū)域(PS)增大。在弱耦合極限J →0 時，相分離區(qū)域消失。在臨界相互作用強度下，填充系數(shù)n=0 和n=1 之間發(fā)生相分離，化學(xué)勢滿足μ(0)=μ(1)，其中μ(n)為填充因子處的化學(xué)勢，μ(0)=-4t，t代表跳躍幅度。由于粒子–空穴對稱，μ(0)+μ(1)=V(0)，臨界相互作用強度滿足V(0) = -8t 和J = 0.89t。當相互作用強度超過臨界值，即J ＞0.89t 時，系統(tǒng)變成n=0 和n=1 態(tài)的混合物，這是由于粒子或空穴密度為零而形成的絕緣態(tài)。

圖1.零溫度下的相圖。實線為px+ipy 超流體相(p 波SF)與PS 之間的邊界。PS 消失在弱耦合極限J →0。當J ＞0.89t時，超流相消失。引自文獻[42]。

此外，三角光晶格在實驗和理論方面也得到了廣泛的研究。在三角光晶格中，外場和超冷原子間的不同類型的相互作用可以誘導(dǎo)出豐富的量子相[45–47]。Hao 等人提出可以通過有效的k3Rashba 自旋軌道耦合[48,49]、塞曼場和三角光學(xué)晶格中的s 波Feshbach 共振的共同相互作用來實現(xiàn)奇異手性f 波拓撲超流。其中，有效的k3Rashba 自旋軌道耦合和塞曼場是通過調(diào)制應(yīng)用激光束產(chǎn)生的激光與原子的相互作用誘導(dǎo)的，束縛原子的超流態(tài)是利用s 波(Feshbach 共振)誘導(dǎo)的[50]。他們發(fā)現(xiàn)拓撲超流和常規(guī)超流體之間存在相轉(zhuǎn)變，這是由塊體間(能) 隙關(guān)閉機制[51]決定的。拓撲超流類似于具有f 波配對對稱的常規(guī)超流[52]，這與三角光晶格的幾何對稱性一致。手性f 波拓撲超流在塊體中是全能隙的，并且在邊界上有三個無能隙的手性邊緣態(tài)。更有趣的是，拓撲超流可以通過初始化激光器來調(diào)制。此外，拓撲超流中的每個渦旋上都有一個穩(wěn)定的Majorana 費米子，而常規(guī)超流渦旋晶格結(jié)構(gòu)與三角光晶格之間的兼容性對于研究Majorana 費米子的性質(zhì)具有優(yōu)勢。因此，這些特性使得該系統(tǒng)成為執(zhí)行拓撲量子計算的潛在候選系統(tǒng)。

圖2(a) 展示了系統(tǒng)的能帶結(jié)構(gòu)。圖2(b) 展示了當化學(xué)勢位于μ4區(qū)域時，低能行為主要由哈密頓量和波矢主導(dǎo)，因此不能確定具體的手

性，他們將這些情況歸因于常規(guī)超流。拓撲轉(zhuǎn)變點由塊體的能隙閉合條件決定：，如圖2(d)，遠離這一點的能譜是有能隙的。當表示有效塞曼場)，如圖2(c)，在拓撲上常規(guī)超流是非平庸的，而當如圖2(e)，在拓撲上常規(guī)超流是平庸的。根據(jù)上述分析，在圖2(f)中給出了相圖，結(jié)果表明，拓撲超流與初始參數(shù)任意相位φ 有很大關(guān)系。這意味著可以通過調(diào)制激光的參數(shù)來控制光纖的拓撲特性，這為研究拓撲超流提供了便利。

Liu 等人證明了周期性驅(qū)動的微擾可以引起從平庸超流到拓撲超流的相變[53]，這種相變在系統(tǒng)的邊界上受拓撲保護并且是無能隙的。含時間周期的哈密頓量可以用Floquet 定理來描述，該定理可用于解釋量化絕熱泵浦現(xiàn)象[54]。研究表明，在一維Bose-Hubbard 模型中，超流體向Mott 絕緣體的相變可以由周期性驅(qū)動的光學(xué)晶格誘導(dǎo)[55]。他們將這種相變機制擴展到二維光學(xué)晶格的拓撲相變中，發(fā)現(xiàn)在周期性調(diào)制的光學(xué)晶格里，可以誘導(dǎo)從平庸超流到拓撲超流的拓撲相變。這種可承載Floquet Majorana 費米子的拓撲相被稱為Floquet 拓撲超流[56,57]。還有人提出，在存在Rashba 自旋軌道耦合和大的垂直塞曼場相互作用的超冷費米原子的BCS型s 波超流體中，可以實現(xiàn)拓撲相[58,59]。然而，對于超冷費米原子來說，Rashba 自旋軌道耦合和大的垂直塞曼場很難同時實現(xiàn)[59]。研究證明如果用周期性驅(qū)動的光學(xué)晶格取代塞曼場[55]，自旋軌道耦合的BCS 型s 波超流仍然可以通過改變光學(xué)晶格的振蕩幅度(或調(diào)制強度) 實現(xiàn)拓撲超流。因此，這提供了另一種產(chǎn)生可以容納Majorana 費米子的拓撲超流的方法。

在圖3(a) 中，質(zhì)量M(z) 作為z 的函數(shù)，可以通過改變調(diào)制強度K 來調(diào)節(jié)，點B 是在M(z) = 0和z = 0.299 條件下能帶E2和E3相互接觸的地方。圖3(b)～(d)展示了χ 方向上具有300 個點的幾何條紋帶結(jié)構(gòu)，分別對應(yīng)圖3(a) 中A (z =0)、B (z =0.299)和C (z =0.4)。很明顯，在質(zhì)量M(z)＜0 的區(qū)域I 不存在邊緣態(tài)。所以z ＜0.299 時，它是一個平庸的超流體。相反，在區(qū)域II 中存在一對邊緣態(tài)。在z ＞0.299，且質(zhì)量M(z)＞0 時，它是拓撲超流體。從普通超流體到拓撲超流體的相變發(fā)生在能隙關(guān)閉的B 點。

物質(zhì)的拓撲態(tài)是一種特殊的量子相，通過塊體–邊界對應(yīng)關(guān)系可以表現(xiàn)出不同的塊體輸運特性和邊界輸運特性。實驗上已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了非相互作用費米子拓撲絕緣體，但是用玻色子實現(xiàn)的拓撲狀態(tài)還不是很多。Liberto 等人發(fā)現(xiàn)由相互作用驅(qū)動的物質(zhì)的拓撲態(tài)可能出現(xiàn)在充滿超冷玻色子的Lieb 光晶格中[60,61]。因為系統(tǒng)的單粒子譜表現(xiàn)出明顯的拋物線的帶接觸點，且兩個帶均表現(xiàn)出非負曲率。雖然系統(tǒng)在單粒子層面和相互作用基態(tài)上都不具有拓撲性質(zhì)，但相互作用引起了激發(fā)態(tài)的反?；魻栃?yīng)，其陳數(shù)C 不為零。他們證明在現(xiàn)有的實驗技術(shù)下，穩(wěn)定的BEC 可以在這個高度對稱的帶接觸點出現(xiàn)，它表現(xiàn)出宏觀角動量，這樣時間反演對稱被打破，但是平移對稱被保留了下來。這個相位在拓撲上是平庸的，但是，當Liberto 等人計算Bogolyubov 激發(fā)態(tài)時，發(fā)現(xiàn)能帶結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出非相互作用系統(tǒng)所沒有的拓撲性質(zhì)[62–65]。

圖4(a)顯示了凝聚體的激發(fā)譜。由于U(1)對稱破缺，頻譜的最低分支變成了非簡并的。Liberto 等人發(fā)現(xiàn)cn= 1 是頻譜的最低分支，這個分支的Berry 曲率如圖4(b) 所示。Berry 曲率的非零的k 空間輪廓類似于一個具有明確的時間反演對稱性破缺的二次帶接觸點的自由粒子[60]。根本的區(qū)別是這里的時間反演對稱破缺是突發(fā)的，并且是由相互作用驅(qū)動的。

圖3. 系統(tǒng)的相圖和能帶結(jié)構(gòu)。(a) 質(zhì)量M(z) 作為z 的函數(shù)，M(z) ＜0 的區(qū)域I 是平庸超流體，而M(z) ＞0 的區(qū)域II 是拓撲超流體。(b)～(d) ξ 方向上300 位的條紋幾何中有效哈密頓量的能帶結(jié)構(gòu)，對應(yīng)于(a) 中的A (z =0)、B (z =0.299) 和C (z =0.4) 點。引自文獻[53]。

Lang 等人指出[66]，面心立方光晶格可通過三束激光的簡單方案實現(xiàn)，這為在超冷原子中創(chuàng)建Weyl 點和拓撲節(jié)點超流體提供了一個高度可控的平臺[67–72]。在非相互作用系統(tǒng)中，當振動這種面心立方晶格時，不需要復(fù)雜的隧道設(shè)計，在Floquet 帶結(jié)構(gòu)中會自動出現(xiàn)Weyl 點。在兩個超精細自旋態(tài)之間存在吸引相互作用的情況下，并且經(jīng)歷相同的振動面心立方晶格，將會出現(xiàn)一個三維拓撲節(jié)點超流體，Weyl 點顯示為準粒子譜中的無能隙點。在面心立方光晶格系統(tǒng)中可以創(chuàng)建一個電荷數(shù)為2 的雙Weyl 點，或者將其拆分為兩個帶電荷數(shù)為1 的Weyl 點，可以通過調(diào)節(jié)相互作用使Weyl 點在動量空間中移動。相應(yīng)地，表面上的費米弧[73]可以相互連接，也可以作為單獨的弧分開。

非相互作用系統(tǒng)中Weyl 點的一個特征是表面存在費米弧，它是一條零能態(tài)的未閉合線。然而，在沒有相互作用的情況下，系統(tǒng)中能觀察到如圖5(a) 所示的費米弧。當節(jié)點超流體出現(xiàn)時，探索相互作用的情況更有趣。求解半填充自恰的Bogoliubov-de Genne(BdG) 方程，在半填充自洽(100)表面上ky和kz仍然是好的量子數(shù)，并且零能表面態(tài)如圖5(b) 和5(c) 所示。在面心立方光晶格中引入兩個超精細自旋態(tài)，每個超精細自旋態(tài)都具有相同的單粒子哈密頓量。這對應(yīng)于一個自旋無關(guān)的振動晶格，在動量空間的相同位置有兩個手性相同的Weyl 點。在沒有相互作用的情況下，如果化學(xué)勢正好調(diào)節(jié)到Weyl 點，多體基態(tài)將只由兩個相同的Weyl半金屬組成[67–72,74]。與電子自旋不同，超細自旋在超冷原子中是守恒的，在單粒子能級中會產(chǎn)生兩個為1 拓撲電荷，如圖5(d) 所示。

假設(shè)在圍繞布里淵區(qū)的每個Weyl 點的有限費米曲面上打開一個相互作用，每個費米面上將會有一個點保持無能隙，而超流體能隙在其他任何地方會打開，如圖5(e) 所示。出現(xiàn)的三維節(jié)點超流體是一種拓撲超流體，這從準粒子譜中節(jié)點所攜帶的拓撲電荷可以看出。在圖5(e) 和5(f) 所示的這兩個Weyl 點附近，色散沿三個方向呈線性。由于非相互作用系統(tǒng)圍繞k 軸具有四重旋轉(zhuǎn)對稱性，這樣的分裂使對稱性降低為二重對稱，分裂方向是kx-ky平面內(nèi)任意方向的自發(fā)對稱性破缺的結(jié)果。通過改變相互作用強度，這兩個Weyl 點會在布里淵區(qū)中移動。對于非相互作用系統(tǒng)，調(diào)整參數(shù)會導(dǎo)致Weyl 點的運動而不會打開能隙。另外，調(diào)節(jié)相互作用也為控制布里淵區(qū)中Bogoliubov 準粒子譜中的Weyl點提供了機會。

高階拓撲超流體存在有能隙的塊體[75–77]，并具有不同局域化的受對稱保護的Majorana 零模。Wu 等人研究了一種合成多階拓撲超流體方案[78]，這種超流體在超冷原子氣體中可以支持各種Majorana 零模。在二維光學(xué)超晶格中可以誘導(dǎo)一個受空間調(diào)制的自旋軌道耦合，這給高階拓撲態(tài)提供了額外的自由度。研究發(fā)現(xiàn)了拓撲平庸的超流體，包括一階和二階拓撲超流體，以及在實驗可調(diào)參數(shù)下的不同的拓撲相變。在該系統(tǒng)中不僅發(fā)現(xiàn)了與塊體能隙閉合和重開相關(guān)的陳數(shù)特征的轉(zhuǎn)變，還發(fā)現(xiàn)了可以支持具有Majorana 角模的拓撲超流體[79–81]，但拓撲相變經(jīng)歷了沒有體帶的能隙閉合。相反，這種相變是通過邊緣態(tài)的能隙閉合發(fā)出信號的。該方案基于s 波的相互作用，結(jié)合了一個簡單的真實系統(tǒng)中的多階拓撲相變，并利用現(xiàn)有的實驗技術(shù)得到了驗證。

在圖6(a)中，研究發(fā)現(xiàn)了兩個符號相反陳數(shù)的一階拓撲超流區(qū)域。其中存在陳數(shù)C =0 和四極矩qxy=1/2的理想二階拓撲超流相，并且該相通過一階拓撲超流區(qū)域與普通超流相隔離。在圖6(b) 中，研究了相互作用對相變的影響。當相互作用強度U 超過閾值時，系統(tǒng)轉(zhuǎn)變到超流相。除了傳統(tǒng)的一階拓撲超流相變外，還發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)經(jīng)歷了從平庸的超流相到二階拓撲超流相的直接轉(zhuǎn)變，在此過程中C 仍然為零，但qxy發(fā)生了變化。相圖表明，二階拓撲超流相的拓撲不變量由qxy代替，所以相變不能只由C 來描述。圖6(c) 展示了化學(xué)勢對系統(tǒng)的影響，由于序參量引入了粒子對稱性，相圖相對于μ=0(即半填充) 是對稱的。在大的塞曼場Vz下，近半填充系統(tǒng)的單粒子性質(zhì)表現(xiàn)為帶狀絕緣體[82]，超流相在μ ≈±2t 范圍內(nèi)坍塌，費米超流體的存在被明顯抑制[83]。

圖5.(a)具有自旋向上或自旋向下的非相互作用單粒子表面的費米弧。(b)和(c)Bogoliubov 準粒子(半填充)的費米弧。(d)～(f)沒有交互、只有一個交互和兩個交互的整體節(jié)點示意圖。粉(綠) 點和紅(藍) 點分別為+(-)1 和+(-)2 電荷節(jié)點。(e) 和(f)中包圍節(jié)點的球體最低兩個波段具有相同的總陳數(shù)-2。引自文獻[66]。

圖6.(a)～(c)在(a)α-η、(b)U-η、(c)μ-η 平面的相圖。在相圖(a)中設(shè)置(U,μ)=(6,3t)，在相圖(b)中設(shè)置(α,μ)=(2t,3t),在相圖(c)中設(shè)置(α,U)=(2t,6t)，在所有相圖中設(shè)置Vz =2t 和δμ=0。平庸的SF 和N 分別代表平庸的超流體和正常的氣體相。黑色實線(藍色虛線)對應(yīng)的相位區(qū)域與(沒有)塊體能隙關(guān)閉區(qū)域的邊界。相圖(c)中的顏色代表了填充因子的特征。序參量Δ(藍色實線)、塊體能隙Γ(紅色虛線)和陳數(shù)C(綠色虛線)作為(d)η 和(e)U 的函數(shù)。設(shè)置圖(d)中(α,U,Vz)=(2t,6t,2t)和圖(e) 中(α,η,Vz)=(2t,0.33,2t)。在圖(d) 中用紅色虛線表示臨界溫度Tc。引自文獻[78]。

Wu 等人發(fā)現(xiàn)即使在有限溫度下，超流相也可能存在。圖6(d) 展示了BdG 方法下超流相的臨界溫度Tc。跳躍幅度在緊束縛近似下通常為0.1Er量級。由于反沖能量ER～(π/3)2/3EF[84]，并且Tc(≈0.3t) 的級數(shù)為0.1EF。因此，以目前的實驗技術(shù)，超流相有望在T ～0.05EF下存在[85,86]?，F(xiàn)有的拓撲相變的特征依賴于塊體邊界對應(yīng)，但表現(xiàn)方式不同。為了研究拓撲相變的基本性質(zhì)，還繪制了能隙Γ 和陳數(shù)C 的曲線。通過改變η，能隙會在不同拓撲相之間的轉(zhuǎn)變處關(guān)閉和重新打開。這與傳統(tǒng)的物理圖像是一致的，即在體隙閉合和陳數(shù)改變的同時發(fā)生拓撲相變，拓撲相變是已知一階相變，并且服從明確的塊體邊界對應(yīng)關(guān)系。在一階拓撲超流中，除非體隙關(guān)閉，否則邊緣態(tài)總是會受到拓撲保護。而在圖6(e) 中，在二階拓撲超流相到平庸相的非常規(guī)相變過程中，通過改變相互作用強度U、序參量Δ 和塊體能隙Γ 將在此過程中單調(diào)增長。

III. 自旋軌道耦合誘導(dǎo)的拓撲超流

Zhou 等人研究了二維的自旋軌道耦合費米氣體[87]，在二維空間中，只存在一個總是受到遠離其相邊界的激發(fā)能隙保護的非平庸拓撲超流相[88,89]。當在這一階段產(chǎn)生渦旋時，在其中心就會出現(xiàn)Majorana 零模。由于粒子數(shù)不平衡和配對之間的競爭，在一個外部勢阱中，不同的相會出現(xiàn)在不同的位置。研究的相圖表明了在局域密度近似下寬Feshbach 共振附近典型勢阱中的相分離結(jié)構(gòu)，以及勢阱中存在穩(wěn)定拓撲超流相的參數(shù)區(qū)域。Zhou 等人使用不同相的動量空間密度分布來表征不同相的性質(zhì)。值得注意的是，少數(shù)自旋的動量空間密度分布在拓撲超流體狀態(tài)的原點附近具有下降的特征。對于拓撲超流態(tài)能全部占據(jù)勢阱中心的參數(shù)，動量密度分布下降的特征可以保留在飛行時間成像過程中，從而為拓撲超流態(tài)提供一個明確的信號。

圖7. α-μ 平面上的相圖，一級相變用實心(紅色) 曲線表示，二級相變用虛線(黑色) 曲線表示。拓撲超流區(qū)域的細虛曲線標志著Δ/h=10-3 的閾值。引自文獻[87]。

從圖7 中可以看出拓撲超流相似乎具有明顯的穩(wěn)定區(qū)域，然而這可能會誤導(dǎo)實驗檢測。實際上，在自旋軌道耦合強度較小的拓撲超流相中，配對能隙通常是微乎其微的。這可以從圖7 中穿過拓撲超流相的虛線看出，該虛線由能隙方程通過設(shè)置Δ/h=10-3求解得到。在虛線的左邊，配對能隙Δ/h ＜10-3，且隨著α 趨近于零呈現(xiàn)指數(shù)衰減。只有當α 進一步向拓撲超流和常規(guī)超流的相邊界增加時，序參量Δ 才會變得顯著。在實驗上，考慮到二維系統(tǒng)在有限溫度下的波動，只可能在虛線的右側(cè)觀測到具有大的配對能隙Δ 的拓撲超流相。圖7 還提供了勢阱相分離結(jié)構(gòu)的信息，當自旋軌道耦合較小時，費米氣體相分離為兩個區(qū)域：一個具有大的自旋極化和極小的配對序參量的拓撲超流相包圍了一個常規(guī)的超流相，拓撲超流相與常規(guī)超流相之間是一級相邊界。隨著自旋軌道耦合的增加，拓撲超流態(tài)和常規(guī)超流態(tài)對應(yīng)的熱力學(xué)勢的局部極小值隨著拓撲超流態(tài)的配對能隙的增大而減小。兩個局部極小值在臨界點合并，超過臨界點后，拓撲超流和常規(guī)超流之間的相邊界變?yōu)槎A。進一步增加自旋軌道耦合，可能會有一個拓撲超流相在勢阱中以環(huán)形結(jié)構(gòu)出現(xiàn)的參數(shù)區(qū)間。最后，當自旋軌道耦合足夠大時，不再發(fā)生相分離，勢阱中充滿了Rashbon 超流體[90]。

圖8 展示了系統(tǒng)的殼體結(jié)構(gòu)。拓撲超流相通常出現(xiàn)在勢阱的邊緣或兩個常規(guī)超流相之間的環(huán)上。值得注意的是，在一些參數(shù)區(qū)域，拓撲超流態(tài)可以占據(jù)整個勢阱。如圖8 中最右邊的一列所展示的，對應(yīng)于α-μ 平面相圖中以拓撲超流相為起點的一條垂直線。只有當總極化超過一個臨界值時，拓撲超流相位才會占據(jù)整個勢阱。這為檢測勢阱氣體中的拓撲超流態(tài)提供了理想的條件。當極化P 從臨界值減小時，常規(guī)的超流相將出現(xiàn)在勢阱中心，并逐漸延伸到勢阱邊緣，最終會在較小極化的情況下占據(jù)整個勢阱。此外還存在一個參數(shù)區(qū)域，此區(qū)域中勢阱只被拓撲超流相所占據(jù)。在這種情況下，動量分布中拓撲超流態(tài)的特征可以在勢阱中存活，使信號在飛行時間成像過程中可被檢測到。

同時 Yi 等人研究了在均勻和勢阱情況下三維Rashba 自旋軌道耦合費米氣體的零溫度相圖[91]。與二維情況下不同的是，在三維的情況下，準粒子激發(fā)譜中有兩個不同的拓撲非平庸相，分別存在兩個或四個無能隙點[92,93]。對于均勻氣體，相分離態(tài)的穩(wěn)定區(qū)域更大。此外，他們發(fā)現(xiàn)自旋軌道耦合不僅能誘導(dǎo)出由正常和常規(guī)超流相組成的典型相分離態(tài)，還能誘導(dǎo)出包括拓撲上非平庸的無能隙超流在內(nèi)的更復(fù)雜的相分離。他們的研究表明了不同的相分離以及無能隙超流相、常規(guī)超流相和正常相的穩(wěn)定區(qū)域。中等強度的自旋軌道耦合能穩(wěn)定獨特的無能隙相，而對于足夠大的自旋軌道耦合，系統(tǒng)總是Rashbon 常規(guī)超流體。研究展示了如何通過不同的激發(fā)譜和動量空間密度分布來表征這些相。這項工作通過研究各相的穩(wěn)定區(qū)域，證明了存在勢阱時觀測拓撲上無能隙超流態(tài)的最佳參數(shù)區(qū)域。

圖8. (a)～(e) 粒子數(shù)密度的分布。(k)～(o) 相分離的殼結(jié)構(gòu)。密度子圖中的實黑色(紅色虛線) 曲線表示自旋向上(自旋向下)的部分。(a)～(j) 中的細虛線表示拓撲超流–常規(guī)超流或常規(guī)超流–常規(guī)超流邊界。引自文獻[87]。

圖9 表明當自旋軌道耦合關(guān)閉(α = 0) 時，系統(tǒng)在通過一級相變成為正常態(tài)之前，仍處于正常和常規(guī)超流(PS1) 的相分離態(tài)(P ≈0.93)。隨著自旋軌道耦合強度α 的增加，出現(xiàn)了豐富的相結(jié)構(gòu)，如有能隙的常規(guī)超流相、無能隙的超流相(GP1 和GP2) 以及不同的相分離態(tài)。這些相分離態(tài)被一級相變的相邊界所分開(圖9 中粗體曲線)。除了典型的PS1 階段外，現(xiàn)在還存在一個具有四個無能隙點的超流和常規(guī)超流的相分離態(tài)(PS2)，以及兩個不同的具有四個無能隙點的超流的相分離態(tài)(PS3)。隨著α 的增加，對于中間的P 和α，系統(tǒng)會發(fā)生從PS1 到PS2 再到PS3 的二級相變。

為了理解勢阱中各相的空間分布，他們還給出了α-μ平面上的相圖(圖10)。在局域密度近似條件下，假設(shè)兩種自旋物質(zhì)具有相同的簡諧勢，局域化學(xué)勢μ(r)可以與勢阱中心的化學(xué)勢μ 相關(guān)聯(lián)，即μ(r)=μ-V(r)，其中V(r)為阱勢。因此，圖11 中一條向下的垂直線表示從勢阱中心到邊緣的軌跡，勢阱中心的化學(xué)勢由該線起點的化學(xué)勢所確定。在圖10 中四個無能隙點的超流相與圖9 一致，只存在于勢阱的一個小參數(shù)區(qū)域，而具有兩個無能隙點的超流相似乎有相當大的穩(wěn)定區(qū)域。當α 較小時，勢阱中的費米氣體將相分離為位于核心的常規(guī)超流相和正常相。

圖9. 在(αskF)-1 = 0 處具有種群不平衡的均勻費米氣體的零溫相圖。在粗的相邊界內(nèi)是不同的階段分離狀態(tài)。這些相分離狀態(tài)可以通過一階相變與非相分離狀態(tài)相連接(實心粗體曲線)。細曲線表示各種二階相變。引自文獻[91]。

圖10. 當(αskF)-1 =0 時，在(μ/h,αkh/h) 平面上的相圖。二階相變?yōu)榧毺撉€，一階相變?yōu)閷嵭拇智€，在熱力學(xué)勢雙阱結(jié)構(gòu)消失時結(jié)束(插圖)。真空的邊界(V) 是通過設(shè)置大多數(shù)自旋物質(zhì)的化學(xué)勢在正常相中消失而確定的。引自文獻[91]。

He 等人研究了已經(jīng)在實驗中實現(xiàn)了的由一維耦合線和一維自旋軌道耦合組成的三維光學(xué)立方晶格系統(tǒng)[30–32,94,95]。其中每一根一維導(dǎo)線都具有形式為kxσz的自旋軌道耦合，kx表示沿導(dǎo)線方向的動量，σz表示粒子自旋。這些導(dǎo)線通過簡單的跳躍進行耦合，從而保持粒子的自旋。然而在具有吸引相互作用的情況下[96,97]，系統(tǒng)會進入具有節(jié)點環(huán)的拓撲超流態(tài)。由于節(jié)點環(huán)的存在，在表面布里淵區(qū)存在大量具有零能Majorana 模的Majorana 腔。這里所發(fā)現(xiàn)的節(jié)點環(huán)完全固定在費米能量處，并且與其他能帶很好地隔離。此外，大量的Majorana 模態(tài)因受手性對稱的保護而保持在零能態(tài)。研究表明可以通過打破手性對稱性來打開大部分節(jié)點環(huán)，使系統(tǒng)成為具有節(jié)點和手性Majorana 模的Weyl拓撲超流。通過引入形式為kxσz+kyσx+kzσy的三維合成自旋軌道耦合能進一步降低晶格對稱性，Weyl 超流態(tài)中的Weyl 節(jié)點會在能量上發(fā)生位移，從而出現(xiàn)渦旋的Majorana 邊緣態(tài)。

圖11. 超流相中的環(huán)狀節(jié)點。在kx =0 平面上，超流體的零能譜函數(shù)表現(xiàn)為單環(huán)節(jié)點(a) 和雙環(huán)節(jié)點(b)。沿著表面布里淵區(qū)(kya,kza) = (0,π) →(0,0) →(π,π) 的路徑，繪制了單環(huán)節(jié)點的準能邊譜(c) 和雙環(huán)節(jié)點的邊界能譜(d)。平坦能帶中的態(tài)構(gòu)成表面Majorana 腔。引自文獻[37]。

拓撲節(jié)點環(huán)超流體受到手性對稱性的保護。當引入自旋軌道耦合項的另一組分kzσy形成二維合成自旋軌道耦合時，手性對稱性被破壞。在kx=0 的平面上，對于非零kz，新的自旋軌道耦合場kzσy使原子自旋在k 和-k 上向相反的方向?qū)R，從而形成庫珀對。而在kz=0的平面上，自旋軌道耦合場的消失導(dǎo)致了配對能隙的消失。結(jié)果表明，新的自旋軌道耦合場提高了環(huán)節(jié)的簡并度，而點節(jié)保持原來的簡并度。此時拓撲節(jié)點環(huán)超流進一步驅(qū)動到Weyl 超流，如圖12(a)所示。在二維自旋軌道耦合超流相中形成的Weyl 節(jié)點是非常穩(wěn)定的，除非由于強干擾，相反手性的Weyl 節(jié)點之間發(fā)生相互湮滅，否則無法移除Weyl 節(jié)點。弱干擾只能在動量和能量空間中轉(zhuǎn)移Weyl 節(jié)點。當二維自旋軌道耦合演化為三維合成自旋軌道耦合(kxσz+kyσx+kzσy) 時，也就是所謂的Weyl 自旋軌道耦合[98–100]，BdG 準粒子能譜中的Weyl 節(jié)點會轉(zhuǎn)移到不同的能量，如圖12(b)所示。在表面布里淵區(qū)，Weyl 點由Majorana 弧連接，如圖12(c)所示。自旋軌道耦合場在ky方向上將Weyl 節(jié)點轉(zhuǎn)移到不同的能量。因此，連接手性相反的兩個Weyl 點之間的Majorana 弧得到了一個有限斜率，如圖12(d)所示。

此外，拓撲超流的概念得到了擴展，包括了一類新的無能隙Majorana 邊緣態(tài)的拓撲相，稱為高階拓撲超流相[75,101–103]。二階拓撲超流是一個在(d-1) 維邊界上具有拓撲非平庸能隙的d 維系統(tǒng)，這樣在(d-2)維邊界上就存在受保護的低能模。換句話說，一個二維的二階拓撲超流有Majorana 角態(tài)，即束縛在兩個邊界相交處的Majorana 費米子。人們在近似誘導(dǎo)系統(tǒng)中，已經(jīng)提出了一些關(guān)于實現(xiàn)二階拓撲超流的理論實驗設(shè)置，包括生長在銅超導(dǎo)體或s±波鐵基超導(dǎo)體上的二維拓撲絕緣體[104]，放置在時間反演不變p 波超導(dǎo)體[105]上的銅氧化物超導(dǎo)體或Rashba 半導(dǎo)體和夾在兩個鐵基超導(dǎo)體FeTe0.55Se0.45[105]之間的銅氧化物超導(dǎo)體。

圖12. 在超流相中，Weyl 點由單環(huán)節(jié)點演化而來。在kx =0平面上繪制了(a) 具有相同能量Weyl 點的Weyl 超流體和(b) 具有能量位移Weyl 點的Weyl 超流體的零能譜函數(shù)。圖(a) 和(b) 中的插圖對應(yīng)于穿過Weyl 節(jié)點的塊體能譜。在表面布里淵區(qū)，鼓膜狀的Majorana 邊緣態(tài)被還原為Majorana 弧。圖(c) 中Majorana 弧是能量相等的Weyl節(jié)點之間的平坦帶，而當Weyl 點能量轉(zhuǎn)移時，它支持圖(d)中單向的Majorana 弧。引自文獻[37]。

雖然人們已經(jīng)提出了一些可能的二階拓撲超流系統(tǒng)，但是這些模型中的配對是非常規(guī)的[104,105]。超冷原子間的相互作用通常作用在s 波通道內(nèi)，因此，出現(xiàn)了一個問題: 是否有可能通過控制單粒子能帶結(jié)構(gòu)，在具有s波相互作用的超冷費米氣體中設(shè)計二階拓撲超流？一般來說，控制單粒子的能帶結(jié)構(gòu)應(yīng)該比直接控制復(fù)雜的配對容易。Huang 等人提出的模型可以體現(xiàn)在兩層間自旋軌道耦合沿ky(kx)方向存在π(0)相位差的超冷費米子氣體的雙層模型上[106]，并展示了受新興鏡像對稱保護的能隙拓撲超流。這種受鏡像對稱保護的拓撲超流體意味著存在鏡像反射不變邊界上的Majorana 零模，而在其他邊界是有能隙的[107,107,109,110]?？紤]一對有能隙的邊界，它們是變量，但在鏡像反射下相互映射。塊體的拓撲非平庸性保證了這些邊界上鏡像對稱破缺的質(zhì)量項是唯一的，并表現(xiàn)出符號相反的能隙[102,104]。因此，這對邊界的交點對應(yīng)一個域壁，導(dǎo)致了Majorana 角態(tài)能夠?qū)崿F(xiàn)二階拓撲超流。當系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)時，這些Majorana 角態(tài)也具有魯棒性，因此不再存在任何與鏡像相關(guān)的邊界[102,104]。

圖13 中展示了在鏡像對稱的情況下，當θ = π/4時，沿x 和y 方向相互映射的邊界。對于有能隙的拓撲相，塊體的鏡像拓撲保證了指定的邊緣態(tài)是有能隙的，并且這些邊界上的鏡像對稱破缺質(zhì)量項表現(xiàn)出符號相反的能隙[102,104]。因此，這些邊界的交點對應(yīng)一個域壁，自然導(dǎo)致了Majorana 角態(tài)。圖13(a) 和13(b) 展示了Majorana 角態(tài)在拓撲能隙相對應(yīng)的能譜和波函數(shù)。與有能隙拓撲相類似，ky′= 0 的邊緣態(tài)在有四個狄拉克點的無能隙相中也是打開的。但邊界上Majorana 平坦帶的存在使得相關(guān)能譜，如圖 13(c) 所示，顯示除Majorana 零模之外的一系列低能態(tài)。這些低能態(tài)直接導(dǎo)致Majorana 零模滲透到系統(tǒng)內(nèi)部，如圖13(d) 所示。其他所有無能隙相的能譜和對應(yīng)的波函數(shù)也繪制在圖13 中，并顯示了與具有四個狄拉克點的無能隙相一致的結(jié)論。然而對于具有兩個狄拉克點的無能隙相，低能態(tài)數(shù)相對較少， Majorana 零模的滲透并不嚴重。定性地說，低能態(tài)的數(shù)量與動量空間中Majorana 平坦帶的總寬度一致。這說明兩個狄拉克點的無能隙相中具有少量的低能態(tài)。

圖13.0d 邊緣態(tài)光譜和Majorana 零模的波函數(shù)。在θ =π/4時，其邊界沿x′ 和y′ 方向鏡像對稱下相互映射。引自文獻[106]。

IV. 拓撲FFLO 超流

Cao 等人預(yù)測了二維自旋軌道耦合費米氣體中具有非均勻 Fulde-Ferrell(FF) 配對的無能隙拓撲超流體[111]，該超流體在塊體中具有無能隙激發(fā)態(tài)，并且在邊界處存在非阿貝爾Majorana 費米子。它在有限溫度的條件下存在于廣泛的參數(shù)范圍內(nèi)，不需要特定形式的自旋軌道耦合，因此可以在冷原子實驗室進行實驗觀察。塊體無能隙激發(fā)態(tài)會導(dǎo)致系統(tǒng)擁有更豐富的熱力學(xué)和動力學(xué)性質(zhì)。他們的工作可能為探索冷原子和固態(tài)系統(tǒng)中的拓撲物質(zhì)提供新的見解[31,32,112]。

圖14 為ΩR-δ 平面上Rashba 自旋軌道耦合二維費米氣體的典型低溫相圖。文獻中[36,58,88]對零平面塞曼場(δ =0)的情況進行了很好的探討。平面外的磁場ΩR驅(qū)動了拓撲相變。ΩR的增加不僅通過打破時間反演對稱性和打開自旋軌道能隙改變了兩個螺旋度分支色散關(guān)系的拓撲，還在低螺旋度分支中誘導(dǎo)了有效的p 波費米子配對[88]。因此，有能隙拓撲超流體不斷出現(xiàn)在閾值上方。與此拓撲相變相關(guān)聯(lián)，系統(tǒng)的能隙將首先在ΩR,c精確閉合，然后立即重新打開。非零但很小的平面內(nèi)磁場的存在不會改變這一圖像，但由于低螺旋度分支[58]中的費米面變形，這有利于有限動量的FF 配對。因此，出現(xiàn)了一個有能隙的拓撲FF超流體。

圖14. 二維Rashba 自旋軌道耦合費米氣體在Eb = 0.2EF、λ=EF/kF 和T =0.05TF 條件下的低溫相圖。通過調(diào)整平面外和平面內(nèi)的塞曼場ΩR 和δ，系統(tǒng)可以從有能隙FF (gFF)演化為節(jié)點FF (nFF)，然后是無能隙的拓撲FF(tnFF)，最后是有能隙的拓撲FF (tgFF)。在點虛線之上，序參量Δ 小于0.001EF(因此表示為正常階段)。虛線表示達到臨界Berezinskii-Kosterlitz-Thouless(BKT) 溫度的邊界。在兩者之間，偽能隙區(qū)域由陰影區(qū)域突出顯示。引自文獻[111]。

然而值得注意的是，在足夠大的面內(nèi)塞曼場條件下也會出現(xiàn)無能隙的拓撲FF 超流。在這種情況下，增加ΩR會使得費米氣體首先到達到無能隙狀態(tài)，最終變成有能隙的拓撲超流體，如圖15(a) 所示。圖15(b) 展示了在無能隙狀態(tài)下，較低螺旋度的粒子分支的能量在距離原點k = 0 稍遠的一小塊區(qū)域內(nèi)小于零。圖15(c) 展示了的節(jié)點在動量空間中形成兩個不相交的環(huán)，但在臨界值ΩR處，兩個環(huán)在k =0 處連接。在此條件下，費米面的拓撲結(jié)構(gòu)發(fā)生了變化，意味著出現(xiàn)了無能隙拓撲FF 超流體。

圖15. (a) 當δ = 0.4EF 時，最小激發(fā)能隙Eg 和陳數(shù)隨著ΩR 增加時的演化。插圖展示了FF 配對動量和配對能隙Δ的演化過程。(b)低螺旋度分支的色散關(guān)系：Eνη=2(kx ky)=0在ΩR/EF = 0.24(綠色粗線)，ΩR/EF = 0.325(紅色虛線)，ΩR/EF = 0.38(藍色細線) 經(jīng)過的拓撲相變。(c) kx-ky 平面上對應(yīng)的零能譜(節(jié)點) 等值線。引自文獻[111]。

Zhang 等人提出如果FF 超流體具有有能隙的塊體準粒子激發(fā)和拓撲的非平庸費米面這兩個關(guān)鍵元素[35]，它就可以支持Majorana 費米子。這些新的量子態(tài)是拓撲的FF 超流。在這種情況下，由傳統(tǒng)的大塞曼場誘導(dǎo)的無能隙FF 態(tài)不屬于這一類。在這里，他們提出了一個使用二維(2D) 或一維(1D) 自旋軌道耦合的簡并費米氣體實現(xiàn)拓撲FF 超流體的方案，該氣體受面內(nèi)和面外塞曼場的影響。自旋軌道耦合簡并費米氣體與一個面外塞曼場能支持零動量配對的Majorana 費米子[21,113–115]。在適當?shù)膮?shù)區(qū)域內(nèi)，平面內(nèi)塞曼場可以誘導(dǎo)有限動量配對的Majorana 費米子[116–119]，還能同時保持超流體的激發(fā)能隙以及其費米面的拓撲。拓撲FF 超流的區(qū)域不僅取決于化學(xué)勢和配對強度，還取決于Cooper 對的自旋軌道耦合強度、總動量和有效質(zhì)量，以及塞曼場的方向和大小，從而大大增加了實驗的可調(diào)性。最后，他們還討論了該方案在半導(dǎo)體/超導(dǎo)體異質(zhì)結(jié)構(gòu)中的潛在應(yīng)用。

完整的相圖如圖16 所示。由于Qy和hx兩者具有相同的符號，相圖在hx-hz平面上表現(xiàn)出完全對稱。隨著自旋軌道耦合強度的增加，拓撲FF 相通過膨脹到正常相而大大增大。對于小的自旋軌道耦合，見圖16(a)，總是需要一個有限的hz來誘導(dǎo)拓撲FF 相。圖16(b)展示了存在一個有趣的參數(shù)區(qū)域，可以通過一個極小的hz在hx～0.8EF附近實現(xiàn)拓撲FF 相。然而，在hz=0時，從Berry 曲率和陳數(shù)可以分析得出永遠不可能在此條件下觀察到拓撲FF 相。從圖16(a) 和圖16(b) 可以看出，拓撲能隙FF 相在數(shù)學(xué)上可以看作是拓撲BCS超流在平面內(nèi)塞曼場作用下的絕熱變形，但是它們的物理意義完全不同。在圖16(c) 與16(d) 中，可以發(fā)現(xiàn)在較小的結(jié)合能和較小的hz下能夠觀察到無能隙FF 相，而在足夠大的結(jié)合能下，系統(tǒng)可以是拓撲或非拓撲能隙相。在這種情況下，其中μ ～EF-Eb/2，Δ2～2EFEb，因此hz∝Eb，這需要關(guān)閉和重新打開Eg。

圖16. FF 超流體相圖。用不同的顏色標記不同的相: 拓撲有能隙FF 超流體(紅色)、非拓撲有能隙FF 超流體(黃色)、無能隙FF 超流體(藍色) 和正常氣體(白色)。其他參數(shù)有：(a)Eb =0.4EF，αkF =0.5EF；(b) Eb =0.4EF，αkF =1.0EF；(c) hx = 0.5EF，αkF = 0.5EF 和(d) hx = 0.5EF，αkF =1.0EF。每個圖中的記號都是三臨界點。引自文獻[35]。

圖16 中用符號標記的三臨界點對于理解相圖的基本結(jié)構(gòu)至關(guān)重要。沿著hz軸，系統(tǒng)只支持能隙BCS 超流體(拓撲或非拓撲)和正常氣體[115]，而沿著hx軸，系統(tǒng)只支持平庸的FF 超流體和正常氣體[117–119]。因此，拓撲BCS 超流體與平庸FF 相之間不可能存在絕熱聯(lián)系，需要有一些點來分離不同的相，而這些點這正是三臨界點。在他們的模型中，不同階段之間的相變是一階相變。這里存在的三臨界點應(yīng)該與同一系統(tǒng)中有限溫度下沒有自旋軌道耦合的三臨界點形成鮮明的對比，后者是由一階和二階相變線的偶然相交[121]引起的。因此，雖然圖16 中的三臨界點的具體位置會隨著系統(tǒng)參數(shù)的變化而變化，但它們是不會被移除的。

他們提出的拓撲FF 相可以用半導(dǎo)體/超導(dǎo)體異質(zhì)結(jié)構(gòu)實現(xiàn)。這種異質(zhì)結(jié)構(gòu)已經(jīng)用于實現(xiàn)拓撲的BCS 超導(dǎo)和相關(guān)的Majorana 費米子[58,88]，并且已經(jīng)能觀察到一些初步的實驗特征[122–124]。由于FF 態(tài)可以在大磁場下存在，這可以為實驗上使用許多具有大自旋軌道耦合但小g 因素的半導(dǎo)體納米線(例如GaSb、空穴摻雜InSb 等) 提供了可能性。

Wang 等人探討了受自旋軌道耦合影響的費米氣體的拓撲超流體特性[125]，其中自旋軌道耦合是使用玻色子原子的雙層方案產(chǎn)生的[126,127]。雙層系統(tǒng)的一個特點是，相互作用主要發(fā)生在屬于同一層[126]的原子之間。因此，原子–原子相互作用與自旋軌道耦合方案中涉及四個循環(huán)耦合原子內(nèi)部狀態(tài)的相互作用有很大不同[128]。在后一種情況下，四種內(nèi)部狀態(tài)的原子相互作用的強度大致相同。他們發(fā)現(xiàn)雙層方案提供了一個有趣的超流體相變，在不是很強的原子光耦合下，出現(xiàn)了FFLO 態(tài)[129]。一般來說，F(xiàn)FLO 態(tài)出現(xiàn)在自旋極化系統(tǒng)中，也可以由自旋軌道耦合費米氣體中的面內(nèi)塞曼場誘導(dǎo)[34,35]。他們發(fā)現(xiàn)對于不是很強的原子光耦合，F(xiàn)FLO態(tài)本質(zhì)上出現(xiàn)在沒有任何外部磁場或自旋極化的雙層系統(tǒng)中。隨著原子光耦合的增加，系統(tǒng)會從FFLO 態(tài)轉(zhuǎn)變到拓撲超流態(tài)。他們的這項工作證明了拓撲超流也可以出現(xiàn)在實驗可行的雙層體系中。

圖17. 在Ω =J 和φ=0.6π 條件下的相圖。(a) 中紅色區(qū)域為FFLO 態(tài)，對應(yīng)于Q／=0(Q 為動量空間的有限配對中心)，灰色區(qū)域為平庸超流態(tài)(NS)，對應(yīng)于Q=0 和C =0，黃色區(qū)域為拓撲非平庸態(tài)(TS)，對應(yīng)于Q=0 和C =1。(b) 隨著耦合強度的增加，化學(xué)勢單調(diào)減少的曲線圖。下排為不同的耦合項對應(yīng)于三個相的單粒子能譜圖。引自文獻[125]。

為了研究Ω = J 的雙層系統(tǒng)中拓撲超流體的可行性，他們允許拉曼耦合的相對相位φ 偏離π/2，因此δφ = φ - π/2 ／= 0。在強耦合體系中, 狄拉克點k = 0 處的單粒子能譜中出現(xiàn)了能隙E(δφ) = 2hz=(δφ/2)，相圖如圖17(a) 所示。在強耦合條件下的相圖中可以找到一個拓撲超流相，其特征是陳數(shù)C = 1 和配對動量為0。圖17(a)、(b) 展示了當化學(xué)勢進入能隙時，系統(tǒng)發(fā)生了從正常超流體到拓撲超流體的相變。此外還通過Q ／= 0 和Q = 0、C = 0 來識別FFLO 態(tài)和常規(guī)超流態(tài)。當Ω = J ＜Erec時，雙層系統(tǒng)處于FFLO 態(tài)。當耦合強度增加到Jc1?Erec時，這種FFLO 態(tài)將轉(zhuǎn)變到常規(guī)超流態(tài)。在強耦合條件下，Ω = J ?1.5Erec，對應(yīng)于有效Rashba 自旋軌道耦合的極限，當化學(xué)勢處于能隙(δφ) 范圍內(nèi)時，系統(tǒng)可處于拓撲超流態(tài)。因此，在常規(guī)超流和拓撲超流之間存在另一個臨界耦合強度Jc2。在圖17 中，藍色虛線和紅色實線分別表示FFLO 態(tài)→常規(guī)超流和常規(guī)超流→拓撲超流的相變。值得注意的是，由于化學(xué)勢的增加，常規(guī)超流態(tài)和拓撲超流態(tài)之間轉(zhuǎn)變的臨界耦合值會隨著結(jié)合能的增加而增加。

在二維空間中，正方形晶格中的冷原子可以產(chǎn)生陳數(shù)C = 1 的拓撲FF 態(tài)[34,130]。如果要實現(xiàn)具有更高陳數(shù)的拓撲態(tài)，可以借助于復(fù)雜的跳躍傳導(dǎo)或晶格[131,132]。然而，簡單三角形晶格更有利于實現(xiàn)一些拓撲上的非平庸態(tài)，它僅僅通過最近鄰跳變就可以產(chǎn)生一個陳數(shù)更高的拓撲態(tài)[133,134]。Guo 等人研究了一個三角晶格上具有自旋軌道耦合和平面塞曼場的系統(tǒng)來實現(xiàn)拓撲FF 態(tài)[135]。他們發(fā)現(xiàn)具有最鄰近跳躍的系統(tǒng)在非相互作用的情況下，能夠支持有能隙的陳數(shù)C =1 和C = -2 的絕緣體。拓撲相的邊界在由面內(nèi)磁場和面外磁場構(gòu)成的雙參數(shù)平面上都是橢圓的。在存在吸引s 波相互作用的情況下，非均勻的FF 超流態(tài)可以存在于廣泛的區(qū)域內(nèi)。并證明了所有的FF 態(tài)在拓撲上都是非平庸的，它們的陳數(shù)是C = ±1、±2、±3、±4。他們利用第一布里淵區(qū)高對稱點的一組Pfaffians(Pfs) 符號來表征不同的拓撲相。隨著能隙在相應(yīng)的點閉合和重新打開，Pfs 的每一個符號都發(fā)生了變化。手性邊緣態(tài)的波函數(shù)在開放邊界條件下在邊界空間局部化，計算手性邊緣態(tài)可以確定塊體是否處于非平庸拓撲態(tài)。不同的FF相表現(xiàn)出不同的手性邊緣態(tài)配對，邊界流體直接由邊緣模的手性之和的陳數(shù)決定。

圖18(a)～(d) 總結(jié)了量子相。在這里，量子相的特征是超流序參量Δ、質(zhì)心動量qy、陳數(shù)C 和化學(xué)勢μ。當Δ=0 時，既可以有一個絕緣相(IN)，也可以有一個正常氣體相(NG)。對于前一種狀態(tài)，化學(xué)勢位于帶隙內(nèi)；然而，對于后一種狀態(tài)，化學(xué)勢位于能帶中，因此激發(fā)態(tài)是無能隙的[136]。此外，如果在拓撲上非平庸(這里C =1)，則絕緣相是陳絕緣體(CI)。接下來，具有非零qy的超流體狀態(tài)(Δ=0) 用FF 表示。FF 態(tài)的出現(xiàn)是由于面內(nèi)磁場hx使費米面[116]變形，標準BCS 超流體(qy=0)只在hx=0 時存在。此外，所有超流相在拓撲上都是非平庸的，并進一步用字母“t”和方括號中的陳數(shù)來表示它們。最后，圖中的虛線標出了有能隙超流相與無能隙超流相的邊界。更具體地說，對于較小的hx，有能隙的超流相的低螺旋度粒子分支能量總是正的。但當hx值增大時，值可能小于零，將會形成無能隙超流體相[117,137]。在圖18(a) 和圖18(b) 中，分別繪制了參數(shù)hx-hz平面上的相圖。在圖18(a) 中，當hx= 0 時有3 個拓撲相變，這是由粒子空穴對稱點處的能隙消失引起的。在面內(nèi)場的存在下，粒子空穴對稱點處的能隙不會同時消失，這是相圖如此豐富的主要原因之一。在圖18(c) 中表明通過調(diào)節(jié)化學(xué)勢可以得到小面積具有陳數(shù)C = -3、-4 的FF 相。在圖18(d) 中，展示了吸引相互作用的影響，吸引相互作用有利于形成Cooper 對，從而增強FF 相。

V. 拓撲超流的其他現(xiàn)象

A. 孤子引誘的拓撲超流

Liu 等人研究了塞曼場作用下一維自旋軌道耦合原子費米氣體簡諧勢阱中的暗孤子[138–140]。暗孤子的特征是在序參量改變符號并穿過零點時會在點節(jié)點處發(fā)生180°的相位跳變。由于可以通過改變相位跳變的數(shù)目來控制暗孤子的數(shù)目，因此可以同時考慮單孤子和多孤子(即孤子序列) 的情況。在拓撲超流相中每個暗孤子都能容納兩個Majorana 費米子，并且在孤子的節(jié)點附近具有很好的局域性?？梢酝ㄟ^相位印記的控制來創(chuàng)建和移動Majorana 費米子，使其走向現(xiàn)實應(yīng)用。實驗上，可以利用射頻光譜的局域態(tài)密度或吸收成像的密度分布來探測暗孤子的存在。

值得注意的是，一維的暗孤子與二維的渦旋非常相似。后者也是一種拓撲缺陷，可以在渦核中容納Majorana 費米子，并在局部態(tài)密度和密度分布[141]中表現(xiàn)出來。人們認為拓撲超流中的渦旋晶格是進行拓撲量子信息處理和量子計算的一個很有吸引力的平臺[42,142]。此外，有人研究了一維自旋軌道耦合費米氣體中單個孤子的性質(zhì)[143]。這些作者考慮了一組不同的參數(shù)，通過增加外部塞曼場，使得部分費米云進入拓撲超流相。

為了在實驗上觀察暗孤子的點節(jié)點上的兩個額外的Majorana 費米子，可以使用空間分辨射頻光譜學(xué)來測量局域態(tài)密度。在圖19 中，展示了拓撲相變前后的局域態(tài)密度ρ(χ,ω)。在BCS 超流體相中，如圖19(a)所示，可以很容易地識別出孤子的Andreev 束縛態(tài)。在拓撲非平庸相中，如圖19(b) 所示，可以清楚地看到兩個零能量的Majorana 費米子位于兩個勢阱邊緣。此外，在原點附近存在由兩個Majorana 費米子引起的零能量的響應(yīng)。這個方案與二維拓撲超流體中使用渦旋晶格的想法非常類似，渦旋中心的Majorana 費米子被用作量子單位。在未來的研究中，為了交換不同位置的孤子來證明Majorana 費米子的非阿貝爾統(tǒng)計特性，理解具有復(fù)雜序參量和非零速度特征的旅行灰色孤子將是十分重要的[145–147]。

圖19. (a) 當h=0.4EF 時BCS 超流的局域態(tài)密度和(b) 當h = 0.8EF 時拓撲非平庸超流體的局域態(tài)密度。在拓撲相中，暗孤子(χ1 =0) 點節(jié)點附近的兩個Majorana 費米子，由于波函數(shù)的疊加而不可區(qū)分。顏色圖中以nF/EF 為單位表示局部態(tài)密度的大小。引自文獻[138]。

B. 三組分的拓撲超流

與凝聚態(tài)物質(zhì)系統(tǒng)中的自旋軌道耦合不同，在凝聚態(tài)物質(zhì)系統(tǒng)中，電子的自旋只有自旋向上和自旋向下兩種成分，如40K 和6Li 的冷原子物理中的(贗) 自旋實際上是一個原子的超細態(tài)。因此，可以通過具有兩個以上超細態(tài)的s 波Feshbach 共振制備超流體[148–150]。受此啟發(fā)，Chen 等人研究了具有三個(贗) 自旋的超流體[151]，并著重討論了三組分費米氣體的拓撲性質(zhì)。在平均場近似下的一定的參數(shù)范圍內(nèi)，三組分費米氣體系統(tǒng)可以在更小的磁場條件下實現(xiàn)拓撲超流體。

他們的結(jié)果表明，隨著塞曼場強度的增大，三組分體系除了經(jīng)歷從BCS 超流體到拓撲超流體的相變外，還可能出現(xiàn)一些其他有趣的拓撲相變。例如，通過適當調(diào)整化學(xué)勢，系統(tǒng)可以在整個塞曼場區(qū)域內(nèi)處于非平庸的拓撲超流體中。還有可能最初是一個拓撲超流體，然后隨著磁場的增加轉(zhuǎn)化為一個拓撲上平庸的BCS 超流體。更奇特的是，系統(tǒng)可能會存在重新進入行為[151]，在較大與較小強度的塞曼場上存在拓撲超流體，但在中等強度的塞曼場上存在拓撲平庸的BCS 超流體。因此，系統(tǒng)可以有兩個零能量的Majorana 費米子區(qū)域。在一定參數(shù)范圍內(nèi)，更小的磁場就可以實現(xiàn)這些有趣的拓撲相變，這優(yōu)化了實現(xiàn)拓撲相的實驗。因此，這是一種有希望的實現(xiàn)拓撲相的候選方法。

在圖20 中，展示了在給定序參量Δ = Er下三組分超流體(藍色實線)的相圖。為了進行比較，還繪制了雙組分超流體的相圖(紅色虛線)。根據(jù)Berry 相的不同行為，可以在μ-h 相圖中區(qū)分四個不同的相區(qū)域，稱為I-IV 區(qū)域。

區(qū)域I(μ ≤μc1=0.53Er)：該區(qū)域系統(tǒng)的相變行為與傳統(tǒng)的雙組分超流體情況非常相似，即存在一個臨界塞曼場，系統(tǒng)經(jīng)歷一個拓撲相變，從拓撲平庸相(h ＜hc)到拓撲非平庸相(h ＞hc)。該區(qū)域的二組分和三組分體系相邊界相交于μ1= -4.59Er和μ2= 0.24Er。結(jié)果表明，在μ ＜μ1或μ ＞μ2時，三組分體系拓撲相變的臨界磁場小于雙組分體系。也就是說，它會變得更容易實現(xiàn)這個有趣的具有更小磁場的拓撲相，這是保持有限能隙超流體的必要條件。

區(qū)域II (μ ∈ [μc2,μc3]，μc2= 0.59Er，μc3=3.41Er)：系統(tǒng)在任意h 值處都沒有拓撲相變。為了判斷該區(qū)域的拓撲特征，需要計算Berry 相，即使當磁場h =0 時，該系統(tǒng)也是完全拓撲非平庸的。需要強調(diào)的是，區(qū)域II 的范圍高度依賴于序參量Δ 的值。很容易發(fā)現(xiàn)在Δ=0 時, 區(qū)域II 的范圍是μ ∈(0,4Er)。然而序參量Δ 強度超過臨界值會使這個區(qū)域迅速縮小。

圖20. 在Δ = Er 條件下的相圖。與雙組分超流體(紅虛線)相比，三組分情況(藍線) 更為復(fù)雜。四個區(qū)域被黑色虛線以不同的化學(xué)勢μ 劃分?；疑珔^(qū)域為拓撲非平庸相。引自文獻[151]。

區(qū)域III (μ ∈[μc1,μc2]∪[μc3,μc4],μc4=4Er)：在該區(qū)域存在hc1、hc2兩個臨界塞曼場，與區(qū)域I 中的傳統(tǒng)相變不同，系統(tǒng)首先是拓撲非平庸的，隨著塞曼場的增加，它轉(zhuǎn)變到拓撲平庸(h ∈[hc1,hc2])，最后又變成拓撲非平庸(h ＞hc2)。

區(qū)域IV (μ ≥μc4= 4Er)：與區(qū)域I 相比，它具有相反的拓撲行為; 即系統(tǒng)在小的磁場h 處是拓撲平庸的，而在h ＞hc處則是拓撲非平庸的。對于三組分超流體，即使沒有自旋軌道耦合，系統(tǒng)在區(qū)域II、III 或IV 上也存在拓撲非平庸相，這與雙組分情況有很大不同。原因是對于三組分系統(tǒng)，三個序參量Δ0,-1、Δ1,0、Δ1,-1不會同時滿足規(guī)范不變性。

C. 大陳數(shù)的拓撲超流

大陳數(shù)拓撲相[131,152–155]一直是現(xiàn)代物理學(xué)中的一個重要課題。Huang 等人研究了耦合層系統(tǒng)中的拓撲超流體[132]，在該系統(tǒng)中，可以通過控制結(jié)合能、層間隧穿和層不對稱等方式實現(xiàn)不同拓撲超流體之間的相變。這些拓撲相變的特征是能隙在零動量臨界點處的閉合和重新打開，陳數(shù)和Pfaffian 符號在此處經(jīng)歷一個不連續(xù)的變化。邊界處受拓撲保護的邊模由塊體邊界對應(yīng)保證。在勢阱中，邊模在不同拓撲超流體的界面上具有空間局限性，其中邊模的數(shù)量等于左右兩邊超流體的陳數(shù)差。由于能帶反轉(zhuǎn)和自旋紋理在臨界點上離散變化，可以通過零動量或接近零動量的自旋紋理檢測到這些拓撲轉(zhuǎn)變。該模型可以推廣到陳數(shù)等于任意正整數(shù)的多層系統(tǒng)。這些大陳數(shù)的拓撲超流體為探索超冷原子背景下的奇異量子物質(zhì)提供了肥沃的土壤。

他們發(fā)現(xiàn)在所有的計算中，邊模數(shù)完全等于陳數(shù)C。在圖21(a)中，可以發(fā)現(xiàn)兩種邊模在小ky情況下存在速度不同線性色散。圖21(c)展示了邊模在ky=±0.25kF時對應(yīng)的波函數(shù)，這些位于同一邊界的邊模沿相同方向傳播，見圖21(c)內(nèi)嵌圖，這一結(jié)果與具有時間反演對稱性的固體系統(tǒng)形成了鮮明對比，在固體系統(tǒng)中，位于同一邊界的兩個邊模具有相反的自旋和傳播[156–158]。他們還計算了邊模的速度作為非對稱性的函數(shù)。當δμ ＜0.52EF時，其中一種速度相對于δμ 幾乎線性增加，而另一種速度單調(diào)減小。當2.14EF＞δμ ＞0.52EF時，從C =1 開始，相對速度較大的邊模消失，只剩下一個邊模。值得注意的是，這個速度的演化是一個跨越拓撲邊界的平滑函數(shù)，見圖21(d)。在平庸相區(qū)(δμ ＞2.14EF)，不存在邊模。

圖21. 在陳數(shù)(a) C = 2 和(b) C = 1 的條紋幾何中的邊緣態(tài)。(c)動量ky =±0.25kF 時，各層邊緣態(tài)的波函數(shù)(插圖為同一邊界動量相同的兩種狀態(tài)的傳播方向)。(d) 邊緣態(tài)速度作為非對稱性的函數(shù)。(b) 中參數(shù)Γ =1.28EF，(a) 和(c) 中Γ = 1.43EF，(a)～(c) 中其他參數(shù)εb = 1.2EF 和t = δμ =0.5EF。(d) 在t=0.2EF、εb =0.6EF、Γ =0.97EF 參數(shù)條件下，邊模的速度作為非對稱性的函數(shù)。(e) 勢阱中廣義的塊體邊界對應(yīng)。邊?？臻g中定位在兩個拓撲超流體之間的接口和邊模的數(shù)量N =|CL-CR|，其中CL 和CR 是左右界面超流體的陳數(shù), 以及由于手性相反，所有其他的邊模都被直接耦合出能隙。一般來說，N =1。引自文獻[132]。

Majorana 費米子在ky= 0 時的穩(wěn)定性對于理解邊模的魯棒性至關(guān)重要。同一邊的Majorana 費米子具有明確的手性，這種手性阻止了Majorana 費米子的直接融合。然而，在勢阱中的情況則完全不同，見圖21(e)。由于它們的手性相反，Majorana 費米子可以直接融合，一些邊模將會因此消失。剩余的邊模數(shù)等于界面上左右超流體之間的陳數(shù)差。這是勢阱中大陳數(shù)的拓撲超流體的廣義體邊對應(yīng)的體現(xiàn)。在一般情況下，在每個拓撲邊界上只能觀察到一個手性邊模。這些邊?？梢栽趯嶒炛袉为氂^測，為測量超流體的局部拓撲不變性提供了重要的依據(jù)。

D. 拓撲超流臨界溫度的提高

2016 年，Wu 等人證明了2D-3D 費米–玻色混合物可以在高臨界溫度下實現(xiàn)px+ipy拓撲超流體[159,160]。自旋極化費米子被限制在二維平面上，并通過三維玻色–愛因斯坦凝聚體中密度漲落的吸引誘導(dǎo)相互作用進行相互作用。由于誘導(dǎo)相互作用的頻率依賴性，二維費米氣體的超流相變具有Eliashberg 形式。此外，他們還考慮了遲滯效應(yīng)，并證明遲滯效應(yīng)具有重要作用。然后計算了超流體密度，利用BKT 理論確定了轉(zhuǎn)變的臨界溫度[161–164]。進一步證明了誘導(dǎo)相互作用的強度和范圍是可以通過實驗控制的。這種可調(diào)性可以將超流臨界溫度提高到BKT 理論所規(guī)定的極限值。重要的是，這是在費米–玻色和玻色–玻色相互作用都很弱的情況下實現(xiàn)的，因此三體損失很小。他們的結(jié)果為實現(xiàn)高臨界溫度原子氣體中的拓撲超流體提供了一個路線圖。

圖22. 超流體臨界溫度在(nBa3eff)1/3 = 0.1 和n1/2F /n1/3B =0.1 的混合物下作為玻色–愛因斯坦凝聚體氣體參數(shù)(nBa3B)1/3 的函數(shù)圖，(插入圖)νF/c0 隨(nBa3B)1/3 變化的函數(shù)圖。引自文獻[159]。

在圖 22 中，TMF是40K 和7Li 混合物在和弱費米–玻色相互作用強度條件下的平均場超流轉(zhuǎn)變溫度，可以看到轉(zhuǎn)變溫度在玻色–愛因斯坦凝聚體氣體參數(shù)減小時升高。與較小時的費米能量相比，平均場轉(zhuǎn)變溫度甚至變得顯著，但是很快就會看到相位的漲落大大降低了臨界溫度。他們還通過忽略遲滯效應(yīng)，證明了從BCS 理論得到的臨界溫度TBCS。當νF/c0?1 時TBCS?TMF，而當νF/c0較大時，遲滯效應(yīng)明顯抑制了配對。TBKT是BKT 條件下的超流轉(zhuǎn)變溫度，當(nBa3B)1/3減小，轉(zhuǎn)變溫度迅速達到極限值εF/16。重要的是，這個最大值是在弱費米–玻色耦合時達到的，確保了由于玻色子–費米子二聚體的形成而產(chǎn)生較小三體損失。

他們提出的2D-3D 費米–玻色混合物在實驗上是可行的，幾個實驗小組已經(jīng)實現(xiàn)了玻色–費米混合，并且可以使用光學(xué)勢來產(chǎn)生混合維系統(tǒng)[165–167]。此外，臨界溫度TBKT=εF/16 在實驗范圍內(nèi)。他們的建議也適用于二維玻色介質(zhì)，但在這種情況下，由于二維玻色氣體中的強量子漲落，費米子之間的配對預(yù)計會更弱。

VI. 拓撲超流的實現(xiàn)與檢測

到目前為止，已經(jīng)有許多關(guān)于拓撲超流實現(xiàn)的建議，包括p+ip 超導(dǎo)體[168,169]，三維拓撲絕緣體的表面[88,112]或靠近s 波超導(dǎo)體的一維自旋軌道耦合納米線[58,170]，以及一維或二維Feshbach 共振附近的自旋軌道耦合原子費米氣體[21,36,59]。在與超導(dǎo)電極接觸的磁場中[121]，半導(dǎo)體InSb 納米線隧穿光譜的實驗結(jié)果已經(jīng)表明其中可能存在拓撲超流和Majorana 費米子。然而，這些研究仍然缺乏對納米線的拓撲性質(zhì)的明確描述。Hu 等人提出了一個由強非磁性或磁性雜質(zhì)散射誘導(dǎo)的普適中能隙束縛態(tài)[36]，它可以為拓撲超流的存在提供明確的信號。在固態(tài)中，人們廣泛認為雜質(zhì)是表征其所在系統(tǒng)量子態(tài)的重要局部探針。已經(jīng)可以使用單個雜質(zhì)來確定非常規(guī)非s 波超導(dǎo)的超導(dǎo)配對對稱性，并證明了在Be(0001) 表面上[171]的Friedel 振蕩。在強相關(guān)的多體系統(tǒng)中可以使用雜質(zhì)來固定一個相互競爭的序參，他們預(yù)測了如果一個單一的雜質(zhì)在拓撲超流中具有足夠強的散射強度，就可以創(chuàng)建一個與雜質(zhì)綁定的普適中能隙態(tài)。它類似于渦旋核心內(nèi)能量最低的Caroli–de Gennes-Martricon(CdGM)束縛態(tài)[172]。對于束縛態(tài)能量接近于零的序參量，普適束縛態(tài)的波函數(shù)與Majorana 費米子波函數(shù)的對稱性密切相關(guān)[141]。

根據(jù)Anderson 定理[173]，常規(guī)的s 波超流幾乎不受非磁性雜質(zhì)的影響。相反，磁雜質(zhì)可以打破超流的時間反演對稱性和粒子間的配對。這導(dǎo)致出現(xiàn)一種與配對能隙內(nèi)局部雜質(zhì)有關(guān)的中能隙態(tài)，即所謂的Yu-Shiba態(tài)[174,175]，這種中能隙束縛態(tài)的能量由雜質(zhì)散射勢Vimp的強度決定。當Vimp增大時，自旋向上的原子的Yu-Shiba 態(tài)從更高的能隙邊緣向較低能隙邊緣移動，而自旋向下的原子的Yu-Shiba 態(tài)則與之相反。研究證明在Rashba 自旋軌道耦合的存在下，如果費米云不是拓撲超流體，即使存在塞曼場，上述說法仍然成立。對于典型的磁場參數(shù)h=0.2EF，隨著磁性雜質(zhì)強度的增加，Yu-Shiba 態(tài)的位置從一個能隙邊緣移動得非?？臁Ｏ喾?，一旦塞曼場超過閾值，整個費米云就會變成拓撲超流體，會出現(xiàn)一個完全不同的行為如圖23 所示。對于非磁性雜質(zhì)來說，當雜質(zhì)強度大于臨界強度(Vimp≥0.004r2F)時，一個意外的束縛態(tài)將從能隙邊緣出現(xiàn)。Vimp增加時，束縛態(tài)向零能量方向移動，但永遠不會達到零能量。事實上，它的能量很快就飽和到E ?0.11EF?Δ20/EF。其中Δ0?0.307EF是在沒有雜質(zhì)時勢阱中心的能隙參數(shù)。對于磁性雜質(zhì)來說，Yu-Shiba 態(tài)的位置對雜質(zhì)強度的依賴性則完全不同。在強雜質(zhì)散射時，Yu-Shiba 態(tài)的能量移動至E ?Δ20/EF，這幾乎與強非磁性雜質(zhì)誘導(dǎo)的新束縛態(tài)具有相同的能量。這種束縛態(tài)能量的重合清楚地表明，在拓撲超流中，在強雜質(zhì)散射的極限下出現(xiàn)了一個普適的束縛態(tài)。

圖23. 非磁性三角形雜質(zhì)(a) 和磁性三角形雜質(zhì)(b) 誘導(dǎo)的束縛態(tài)，V σimp(r)=V σimpδ(r)，在拓撲超流中由總局域態(tài)密度的峰值ρ(r,E) 表示。其中ρ(r,E)=Σσρσ(r,E)，ρσ(r,E)=(1/2)Ση[|uση|2δ(E-Eη)+|νση|2δ(E+Eη)]，虛線和虛線突出共振峰的位置是束縛態(tài)的能量。從底部到頂部，雜質(zhì)強度從Vimp =0 至0.011r2FEF，除了Vimp =0 的最低曲線外，其余曲線被清晰度抵消。(c) 束縛態(tài)能量與雜化強度的函數(shù)，以不含雜質(zhì)時勢阱中心的能隙參數(shù)為單位，Δ0 ?0.307EF。引自文獻[36]。

如果雜質(zhì)散射的寬度有限，雜質(zhì)誘導(dǎo)束縛態(tài)的普適性就會消失。在這種情況下，在強雜質(zhì)散射極限下會產(chǎn)生一個空穴，而不是點缺陷。因此，存在一系列的邊緣態(tài)。邊緣態(tài)的波函數(shù)和能量取決于雜質(zhì)勢的形狀和強度。在圖24 中展示了非磁性(a) 和磁性(b) 高斯雜質(zhì)誘導(dǎo)的束縛態(tài)。很容易看出，隨著雜質(zhì)強度的增加，束縛態(tài)永遠不會接近普適極限。對于更大的寬度，隨著越來越多的束縛態(tài)出現(xiàn)，局部態(tài)密度會變得非常復(fù)雜。

圖24. 擴展雜質(zhì)的普適束縛態(tài)的損失。這里取一個高斯散射勢，V σimp(r)=[V σimp/(πd2)]exp (-r2/d2)，從底部到頂部，雜質(zhì)強度從Vimp =0 到0.06r2FEF 增加。引自文獻[36]。

這項研究適用于三態(tài)超導(dǎo)體Sr2RuO4，對于在InSb納米線中可能存在的一維拓撲超導(dǎo)，強雜質(zhì)勢會將一維拓撲超導(dǎo)一分為二。因此，在雜質(zhì)位置預(yù)計有兩個精確的零能普適束縛態(tài)。觀察零能Majorana 費米子可以對InSb 納米線的拓撲性質(zhì)進行明確的識別。

常見的拓撲性質(zhì)表現(xiàn)在支撐拓撲缺陷(如渦旋、孤子等) 和無能隙準粒子態(tài)。3He 的超流相為研究量子物質(zhì)的拓撲性質(zhì)提供了一個通用的平臺[176,177]。非平庸拓撲最引人注目的結(jié)果之一是渦旋，它在超流體中能夠攜帶半個量子的環(huán)流，或在超導(dǎo)體中能攜帶半個量子的磁通量。人們預(yù)測這些渦旋能容納由核心束縛的非配對Majorana 模[142,178]。因為自旋軌道相互作用使得半量子渦旋不穩(wěn)定[179,180]，盡管有很好的理論預(yù)測，3He-A 中的半量子渦旋在實驗中仍然難以觀察。同時在d波銅氧化物超導(dǎo)體[181]、手性超導(dǎo)環(huán)[182]和玻色凝聚體的晶界上已經(jīng)觀測到了半量子渦旋和磁通量[183,184]。然而，在玻色系統(tǒng)中，渦核束縛的費米子態(tài)并不存在，而在超導(dǎo)體中，迄今為止只研究了與渦核無關(guān)的半量子通量(在約瑟夫森渦旋或環(huán)中)。Volovik 等人研究了在超流3He 極性相中發(fā)現(xiàn)的半量子渦旋[38,185,186]。

在μ = π/2 處測量到的信號強度如圖25(a) 所示。對于渦旋對的寬度ξD之間的孤子，期望信號為Isat=(nν/2)gsLξD。在這里，L = bn-1/2ν對應(yīng)于平均孤子長度，其中g(shù)s～1 是一個數(shù)值因子，它取決于孤子內(nèi)被困自旋波的分布。數(shù)值因子b ～1 與渦旋晶格有關(guān)。對于極低渦旋密度和長孤子L →∞，有g(shù)s→2。因此，Isat∝Ω1/2，如圖25(a) 所示?？紤]到擬合參數(shù)的缺失和模型的簡單性，將實測數(shù)據(jù)與理論預(yù)測的Isat進行比較，表明該模型與理論預(yù)測具有良好的一致性。

圖25(a) 中具有一個顯著的特征，在沒有旋轉(zhuǎn)的情況下，信號也會出現(xiàn)在零場間歇期。他們將這種現(xiàn)象歸因于在二階相變跨越到極相過程中形成渦旋(缺陷)的Kibble-Zurek(KZ) 機制[187,188]。KZ 機制預(yù)計將產(chǎn)生各種序參量缺陷，包括各種可能類型的渦旋。在早期對3He-B 中KZ 機制產(chǎn)生渦旋的觀測中，最初形成的渦旋迅速衰減。在Volovik 等人的實驗中，最初形成的半量子渦旋由于強烈的釘扎而凍結(jié)。渦旋間距離的尺度由KZ 長度lKZ= ξ0(τQ/τ0)1/4確定。對于半量子渦旋來說，渦旋間距離決定了相互連接的孤子的長度，從而決定了信號的幅值。實驗中確實觀測到的結(jié)果依賴于如圖25(b) 所示。信號的大小與平均孤子長度1.4lKZ相對應(yīng)，這也被認為是超流3He 的B 相的初始渦旋間距離[189]。圖25(a) 中實驗數(shù)據(jù)高于理論預(yù)期的變化表明，KZ 機制在應(yīng)用旋轉(zhuǎn)的間歇期中也很重要。在未來的研究中，在存在偏置(旋轉(zhuǎn))和磁通釘扎的情況下，詳細分析KZ 機制產(chǎn)生的各種缺陷仍然是一個重要的任務(wù)。

Wang 等人提出了一個非常簡單的方案[37]，在量子氣體中合成p 波超流體[20,21]，不涉及任何自旋軌道耦合或p 軌道原子。其思想的關(guān)鍵成分是一個由兩個空間偏移的子晶格組成的自旋相關(guān)的光學(xué)晶格勢，每個子晶格囚禁不同的原子自旋態(tài)。這種結(jié)構(gòu)已經(jīng)在幾個冷原子實驗室實現(xiàn)了[31,32,95,190]。這種簡單的方案誘導(dǎo)了有效p 波相互作用，其強度與本征s 波相互作用強度成正比，本征s 波相互作用強度可以使用s 波Feshbach 共振來調(diào)節(jié)。他們的建議的簡單性使其在實驗中更可行，并可能為拓撲超流體及其相關(guān)的Majorana 費米子態(tài)的研究開辟新的途徑。

一維光晶格模型：他們的第一個例子涉及一個簡并費米氣體，它有兩個超精細態(tài)(或分別表示為A 和B的贗自旋) 被囚禁在一維光學(xué)晶格勢中。他們的設(shè)置如圖26(a) 所示。標記晶格位置使得VB的第j 個位置位于VA的第j 個位置和(j+1) 個位置之間。費米子被深深地困在它們各自的子晶格中，并且在每個子晶格中隧穿是可以忽略的。然而一個子格的Wannier 函數(shù)與另一個最近鄰子格的Wannier 函數(shù)重疊。這為困在兩個子晶格中的原子建立了相互作用?？梢酝ㄟ^應(yīng)用射頻(rf) 場驅(qū)動A 和B 狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)變進一步誘導(dǎo)兩個子晶格之間的隧穿。

圖26. (a) 實驗建議的說明: 在一維光學(xué)晶格中，超精細態(tài)費米子A(藍色原子云) 和B(紅色原子云) 具有相同的晶格勢，但相互偏移了半個晶格常數(shù)。因此，每個A 原子位于兩個相鄰B 原子的中心，反之亦然。黑色實線為兩個超精細態(tài)之間由射頻場誘導(dǎo)的耦合。綠色波浪線為原子與原子之間的相互作用，來自不同自旋之間的吸引s 波相互作用。(b) 映射到新的表征表示后的一維無自旋鏈模型。引自文獻[37]。

二維格點模型：他們的第二個例子涉及二維光晶格中自旋為1/2 的費米氣體。設(shè)置如圖27(a) 所示。在這樣的二維光學(xué)晶格中，每個贗自旋態(tài)的費米子都位于四個費米子的中間。再次使用射頻場誘導(dǎo)子晶格間的隧穿，而子晶格內(nèi)的隧穿則被忽略。在前面的例子中，每個原子可以通過兩個子晶格勢阱VA(r)和VB(r)的Wannier函數(shù)的空間重疊與四個最近鄰的原子相互作用。為了更清楚地理解系統(tǒng)的拓撲性質(zhì)，他們將x-y 平面逆時針旋轉(zhuǎn)45°，并通過重新定義費米算符標記將原來自旋1/2的系統(tǒng)映射為具有最近鄰p 波相互作用的無自旋費米氣體系統(tǒng)，如圖27(b) 所示。

圖27. (a) 二維晶格模型說明。一個Asite(藍色原子云) 被四個Bsite(紅色原子云) 包圍，反之亦然。與一維模型相似，兩個超細態(tài)之間的耦合(黑實線) 是由射頻場誘導(dǎo)的，原子與原子之間的相互作用(綠波線) 是由不同自旋之間的接觸s 波相互作用產(chǎn)生的。(b) 映射到新的索引表示后的二維無自旋晶格模型。引自文獻[37]。

利用現(xiàn)有技術(shù)，Wang 等人的研究很容易實現(xiàn)。在此，他們對其實施提出了兩點構(gòu)想。最直接的方法是使用駐波激光場，適當調(diào)諧其頻率，使其在一種自旋態(tài)下為藍色失諧，在另一種自旋態(tài)下為紅色失諧。這樣，兩個自旋態(tài)的晶格勢將相差180°。第二個想法是利用激光場的偏振。例如，在線⊥線構(gòu)型中，使用兩個偏振相互垂直的反向線性極化行波，將形成兩個具有σ±偏振和交替最大值和最小值的駐波。這一想法已在一些用來創(chuàng)建自旋相關(guān)的晶格勢的實驗中實現(xiàn)了[191,192]。

Qin 等人研究了雜質(zhì)與二維p+ip 費米超流體相互作用引起的極化子激發(fā)[39,193,194]。他們的結(jié)果表明，利用雜質(zhì)作為探針可以檢測背景中的拓撲相變，還揭示了系統(tǒng)中各種多體狀態(tài)之間有趣的競爭。隨著p 波費米–費米相互作用的調(diào)諧[97]，超流體在化學(xué)勢μ ＞0 的弱耦合范圍內(nèi)是拓撲非平庸的。相比之下，在μ ＜0 的強耦合狀態(tài)下，超流體在拓撲上是平庸的。在μ=0 處發(fā)生拓撲相變，此時系統(tǒng)是無能隙的[195,196]。Qin 等人假設(shè)一個可調(diào)諧的雜質(zhì)–費米相互作用，并計算了能量、雜質(zhì)殘量和極化子[197–200]態(tài)的波函數(shù)。當調(diào)諧拓撲相變中的背景費米超流體時，極化子能量出現(xiàn)了不連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，這與拓撲相變的順序一致。另一方面，當調(diào)節(jié)雜質(zhì)與費米子的相互作用時，因為雜質(zhì)殘量在有限的相互作用強度范圍內(nèi)迅速減少，極化子態(tài)可以渡越到三聚體態(tài)。這種極化子到三聚體的轉(zhuǎn)變只在背景費米超流體處于拓撲上平庸的強耦合狀態(tài)下才會發(fā)生。此外，隨著雜質(zhì)–費米子相互作用的增加，極化子態(tài)可以變成亞穩(wěn)態(tài)而不是分子態(tài)，在分子態(tài)中雜質(zhì)與單個Bogoliubov 準粒子形成局域束縛態(tài)。在強耦合狀態(tài)下，極化子到分子的轉(zhuǎn)變發(fā)生在極化子態(tài)與三聚體態(tài)交渡越之前，因此三聚體態(tài)為亞穩(wěn)態(tài)。在弱耦合極限下，極化子態(tài)保持基態(tài)。通過比較系統(tǒng)中的極化子–分子轉(zhuǎn)變和非相互作用費米海中的雜質(zhì)–分子轉(zhuǎn)變，研究發(fā)現(xiàn)費米超流體背景中的配對相互作用有效地促進了雜質(zhì)–費米結(jié)合。

圖28(a) 和28(b) 展示了能量最低的極化子分支，極化子結(jié)合能|Ep| 隨雜質(zhì)費米子相互作用強度的增加或費米子相互作用的增加而增加。然后在圖28(c) 中展示了Ep對μ 的一階導(dǎo)數(shù)。無論雜質(zhì)–費米子相互作用如何，在μ = 0 處都會出現(xiàn)轉(zhuǎn)折，這表明了極化子能量二階導(dǎo)數(shù)的不連續(xù)性。這與背景中的拓撲相變是一個三階相變的事實相一致。這樣，背景拓撲相變的信息被傳遞到極化子激發(fā)中，由此可以作為相變的探針。在圖28(d)中，還展示了雜質(zhì)殘量隨Eb變化的函數(shù)圖。當費米超流體處于拓撲上非平庸的強相互作用態(tài)(μ ＜0)時，雜質(zhì)殘量在一個很小的Eb范圍內(nèi)急劇下降，在較大的雜質(zhì)費米相互作用下，雜質(zhì)殘量基本消失。這是極化子到三聚體渡越的一個明顯特征，并且是首次在以s波費米超流體為背景的雜質(zhì)問題中研究[201]。然而，因為雜質(zhì)殘量的單調(diào)減少，但在較大的Eb下仍然是有限的，所以極化子到三聚體的渡越在拓撲上非平庸的弱相互作用區(qū)域(μ ＞0) 會變得更加平滑。

圖28. (a) 最低分支極化子能量隨Eb 變化的函數(shù)。(b) 最低分支極化子能量隨μ 變化的函數(shù)。(c) 最低支極化子能量對μ 的一階導(dǎo)數(shù)。(d) 雜質(zhì)殘量。參數(shù)為Q=0，mb =m，動量截至kc = 20kF。(a) 和(d) 中，綠色實線為μ = 0.5EF，藍色實線為μ = 0.2EF，黑色虛線為μ = 0，藍色虛線為μ = -0.2EF，綠色虛線為μ = -0.5EF。在(b) 和(c) 中，綠實線為Eb = 0.5EF，藍虛線為Eb = 0.75EF，黑虛線為Eb =EF。引自文獻[39]。

最近有人提出并通過實驗證明了通過圓形二色性[202–204]，即通過分析應(yīng)用圓形驅(qū)動的激發(fā)率可以在原子氣體中檢測到拓撲不變的陳數(shù)。這種拓撲探針最初用于非相互作用的陳絕緣體[202]，后來應(yīng)用于相互作用的多體系統(tǒng)[205,206]。受此啟發(fā)，Midtgaard 等人通過超流體的圓二色性證明了px+ipy配對的手性[40]。對于弱耦合配對，從相反驅(qū)動方向獲得的微分激發(fā)率由拓撲超流體的陳數(shù)決定[202]，這與陳絕緣體十分相似。然而，與陳絕緣體相比，超流體能隙平方的非拓撲貢獻對于強耦合配對變得非常重要。利用強耦合Eliasberg 方程結(jié)合BKT 理論，可以確定一個較大的和可觀測的參數(shù)范圍，其中具有較高的超流體臨界溫度，并且二向色信號由拓撲陳數(shù)控制。結(jié)果表明，二色探針提供了一種很有前景的檢測拓撲超流體的實驗途徑。

玻色–費米混合物的一個吸引人的特征是可以調(diào)節(jié)二維超流體的臨界溫度到接近BKT 理論所允許的最大值Tc/TF= 1/16。然而，最大化Tc也將增加能隙，從而增加偏離陳數(shù)的微分積分率修正。為了分析這種張力，在圖29 中展示了微分積分率ΔΓ 在零溫下，當和兩種不同的玻色–費米相互作用強度下的臨界溫度隨氣體參數(shù)變化的函數(shù)圖。結(jié)合Eliashberg 強耦合理論和BKT 理論計算臨界溫度。發(fā)現(xiàn)臨界溫度隨著氣體參數(shù)的減小而增大，這反映了由玻色–愛因斯坦凝聚體相干長度給出的相互作用范圍的增大。因此，能隙也會增加，導(dǎo)致微分積分率偏離ΔΓ = AE2C/2 的修正項更大。但從圖29 中可以看出，存在一個明顯的區(qū)域，在該區(qū)域微分積分率均接近拓撲值，且臨界溫度均接近最大值Tc/TF=1/16。

圖29. 在兩種不同的玻色–費米相互作用強度下，臨界溫度(紅色) 和微分積分率ΔΓ(黑色) 隨BEC 氣體參數(shù)變化的函數(shù)。引自文獻[40]。

為了進一步說明最大化臨界溫度和測量值ΔΓ 的競爭由底層拓撲決定，在圖30 中展示了零溫下ΔΓ 隨Tc的變化函數(shù)圖。這表明，為了使二向色探針產(chǎn)生接近陳數(shù)給定值的值，應(yīng)該冷卻到T ≈0.06EF。由于二維費米氣體的溫度已經(jīng)可以降至T ?0.03EF[207,208]，使Midtgaard 等人的方案在目前的技術(shù)范圍內(nèi)有希望檢測拓撲超流體。結(jié)果還表明，盡管兩者的相互作用強度相差不大，但是玻色–費米相互作用強度越強越有利于檢測到拓撲超流體。

對于T =0，即使在強耦合中Cooper 對緊密結(jié)合，系統(tǒng)處于所謂的BEC 狀態(tài)[29]，人們也證明BCS 理論是驚人的精確。由此可見，即使在校正項O(Δ2/μ2) 與量化值相差較大的情況下，他們對微分積分率的計算也是可靠的。然而，由于微分積分率在具有時間反演對稱性的相中為零，因此任何非零值都表示手性配對。因此，他們的方案還提供了一種方法來觀察當μ 在BEC 區(qū)域深處變?yōu)樨摃r，拓撲相轉(zhuǎn)變到一個平庸相。

VII. 結(jié)語

自1970 年人們發(fā)現(xiàn)超流體3He-A 相以來，拓撲超流體和超導(dǎo)體的研究一直是凝聚態(tài)物理學(xué)的一個前沿領(lǐng)域，盡管人們將超導(dǎo)體與拓撲基板混合取得了一些進展，但是在實驗上拓撲量子氣體還存在著粒子數(shù)易損失和壽命短等諸多問題，因此人們對本質(zhì)上具有拓撲超流性的材料(自然的或人工的) 的探索仍在繼續(xù)。目前關(guān)于拓撲超流的最新研究是在六方氮化硼光學(xué)晶格中實現(xiàn)了87Rb 原子的長壽命玻色–愛因斯坦凝聚體并證明了這個手性超流的準粒子激發(fā)的能帶是拓撲的，且存在邊緣激發(fā)。尋找新型的晶格材料以及使用新的實驗技術(shù)是目前探尋拓撲物質(zhì)的一個主流方向，并且隨著人工自旋軌道耦合、塞曼場、光晶格等人工規(guī)范場的逐步實現(xiàn)與應(yīng)用，我們相信在未來會有更多的拓撲材料被專家學(xué)者開發(fā)出來，應(yīng)用到更廣闊的領(lǐng)域中去。

致 謝

本文得到國家自然科學(xué)基金項目(No. 11875149 61565007)、江西省青年井岡學(xué)者計劃以及江西理工大學(xué)清江拔尖人才計劃的資助。