軸-徑向混合磁軸承動態(tài)特性及控制研究

肖 玲 ，趙晨曦 ，竇經(jīng)緯 ，程文杰 ，鄭善棟

（西安科技大學陜西省礦山機電裝備智能監(jiān)測重點實驗室，陜西 西安，710054）

隨著現(xiàn)代工業(yè)的不斷發(fā)展，高速電機對軸承提出了更高的要求.高速電機是依據(jù)電磁感應(yīng)定律實現(xiàn)電能轉(zhuǎn)換或傳遞的一種裝置.在高速運行過程中，對轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速及穩(wěn)定性有很高要求[1].為確保電磁軸承系統(tǒng)能夠穩(wěn)定運行，需要在5個自由度上施加控制力，一般需要兩個徑向磁軸承與一個推力磁軸承，兩個徑向磁軸承提供4個徑向自由度，一個推力磁軸承提供一個軸向自由度.但3個磁軸承增加了系統(tǒng)的軸向長度，限制了轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速，無法滿足高速電機對高轉(zhuǎn)速的要求.

因此，高速電機磁軸承通常采用軸向長度短、推力盤小的結(jié)構(gòu)來提高轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速，減少空氣摩擦損失.將徑向磁軸承與推力磁軸承合并為一個混合磁軸承單元，該方法對由磁軸承支承的高速電機系統(tǒng)尤為重要[2].目前，軸-徑向混合磁軸承主要有兩種結(jié)構(gòu)，一種是將徑向磁軸承固定于推力磁軸承內(nèi)部[3-4]，該結(jié)構(gòu)關(guān)于徑向平面對稱，軸向長度短，能有效提高轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速，但徑向長度較長，不利于散熱；另一種是將徑向磁軸承與推力磁軸承并排放置[5-6]，結(jié)構(gòu)緊湊，能夠有效減少空氣摩擦損失，但由于軸承軸向剖面在徑向方向不對稱，軸向控制磁通一部分會流過徑向磁軸承，推力磁軸承與徑向磁軸承之間存在交叉耦合[7-8].

針對現(xiàn)有的徑向磁軸承與推力磁軸承并排布置結(jié)構(gòu)中交叉耦合產(chǎn)生的不利影響，本文提出一種三自由度軸-徑向混合磁軸承（ARHMB），建立了綜合考慮渦流、漏磁及交叉耦合效應(yīng)的動態(tài)特性模型，并采用不完全微分PID控制對ARHMB進行研究.

1 ARHMB結(jié)構(gòu)設(shè)計

本文所提出的ARHMB結(jié)構(gòu)被視為最適合高速電機的結(jié)構(gòu)之一，其三維結(jié)構(gòu)如圖1所示.它由推力磁軸承與徑向磁軸承通過永磁環(huán)相連接.永磁環(huán)是軸向磁化的，可以為徑向磁軸承和推力磁軸承提供偏置磁通，有效減小線圈電流，從而降低功率損耗.徑向磁軸承包含徑向疊片定子、徑向疊片轉(zhuǎn)子、徑向線圈和導磁環(huán)，導磁環(huán)組裝在徑向定子外側(cè).軸向磁軸承包含軸向定子、軸向線圈和推力盤.

圖1 ARHMB三維結(jié)構(gòu)Fig.1 ARHMB 3D structure

為了減小渦流損耗，工程上常采用高電阻率磁性材料或疊片結(jié)構(gòu).對于徑向磁軸承，由于其磁路在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)，可采用疊片硅鋼材料制備其定子與轉(zhuǎn)子，從而達到減小渦流損耗的目的.但對于推力磁軸承，由于其磁路既包含軸向部分又包含徑向部分，難以使用疊片結(jié)構(gòu)來減小渦流損耗.目前，在工業(yè)應(yīng)用中，常使用碳鋼材料制備推力磁軸承，但其電阻率約為1.0×10-7Ω·m，實際工作時渦流損耗較為嚴重.本文采用軟磁復(fù)合材料（SMCs）[9-10]來制備推力磁軸承，其電阻率約為1.1×10-4Ω·m，在工作時渦流損耗較小.此外，由于許多高轉(zhuǎn)速機械存在較大的軸向荷載，可在推力磁軸承內(nèi)引入具有單邊聚磁性的Halbach永磁陣列，將聚磁側(cè)正對轉(zhuǎn)子氣隙部分，充分利用永磁體，從而增加軸向磁力.

2 ARHMB動態(tài)磁路模型

經(jīng)典磁路模型基于靜態(tài)電磁場，僅考慮氣隙磁阻，忽略了鐵芯磁阻與渦流效應(yīng)的影響[11].但在電磁軸承實際運行過程中，渦流效應(yīng)會引起電磁軸承相位滯后、電磁力減小，影響系統(tǒng)的動態(tài)特性.因此，經(jīng)典磁路模型不適用于高速磁軸承設(shè)計，實際分析中，渦流效應(yīng)不可忽略.如圖1所示，該軸承結(jié)構(gòu)緊湊，不同構(gòu)件之間距離很小，相鄰鐵片之間的漏磁非常嚴重，軸向磁軸承與徑向磁軸承之間還存在交叉耦合.所以，為了精準預(yù)測電磁軸承的高頻特性，需要同時考慮渦流、漏磁以及交叉耦合效應(yīng)的影響，并通過替換材料或改變結(jié)構(gòu)等方式來減小影響.

根據(jù)ARHMB結(jié)構(gòu)特點與功能，將等效磁路分為以下3個部分：偏置磁通等效磁路、徑向控制磁通等效磁路、軸向控制磁通等效磁路.ARHMB的結(jié)構(gòu)參數(shù)如圖2所示，圖中：d1為軸向轉(zhuǎn)子半徑；d2為軸向磁極內(nèi)徑；d3為軸向轉(zhuǎn)子外徑；d4為軸向磁極外徑；d5為軸向定子內(nèi)徑；d6為軸向定子內(nèi)徑與軸向定子外徑之間的距離；d7為徑向定子外徑；d8為導磁環(huán)厚度；x為軸向磁極寬度；y為轉(zhuǎn)子外徑寬度；b為軸向定子腔寬度；c為徑向磁極軸向?qū)挾?；l為徑向磁極徑向?qū)挾?；g為氣隙寬度；hpm為永磁體厚度；e為轉(zhuǎn)子與軸向磁極的距離；r1為徑向轉(zhuǎn)子內(nèi)徑；r2為徑向轉(zhuǎn)子外徑；r3為徑向磁極內(nèi)徑；r4為徑向定子內(nèi)徑；r5為徑向定子外徑；r6為徑向轉(zhuǎn)子軸心與導磁環(huán)外徑之間的距離；其余數(shù)值見表1.

圖2 ARHMB軸徑向剖面結(jié)構(gòu)及參數(shù)Fig.2 ARHMB axail radial section structure and parameters

表1 ARHMB結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 ARHMB structure parameters mm

2.1 偏置磁通等效磁路

圖3所示為Halbach永磁陣列與軸徑向定子之間永磁環(huán)共同作用下的偏置磁通分布.從圖3（a）中可以看出：偏置磁通不僅分布于軸承內(nèi)部與轉(zhuǎn)子內(nèi)部，還存在8條漏磁路徑.其中： L Fpm1是從永磁體到自身的； L Fpm2是從軸向定子到徑向定子的； L Fpm3、LFpm6是從軸向定子到轉(zhuǎn)子的； L Fpm4、 L Fpm5、 L Fpm7、LFpm8是從軸向定子到推力盤的.漏磁路徑 L Fpm1～LFpm8的 漏 磁 效 用 可 用 漏 磁 阻Rlpm1～Rlpm8表 示.從圖3（b）中可以看出：Halbach永磁陣列聚磁效果明顯.此外，由于永磁環(huán)產(chǎn)生的磁通是靜態(tài)的，采用不考慮鐵芯磁阻的靜態(tài)磁路，對應(yīng)的偏置磁通等效磁路如圖4所示.

圖3 ARHMB磁通分布Fig.3 ARHMB flux distribution

圖4 偏置磁通磁路Fig.4 Equivalent magnetic circuit of bias flux

在圖4中：Rpm與Fpm分別為永磁環(huán)的磁阻和磁動勢；RHpm為Halbach永磁陣列的磁阻.紅色虛線區(qū)域總磁阻Rpt如式（1）所示.

式中：Rrg和Rzg分別為徑向、軸向氣隙磁阻；為了描述漏磁的嚴重程度，定義 λpm1、 λpm2為偏置磁通漏磁系數(shù)，如式（2）、（3），|表示兩磁阻為并聯(lián)關(guān)系.

偏置磁通磁路總磁阻可以表示為

因此，徑向氣隙磁通 φrpm與軸向氣隙磁通φzpm可以表示為

2.2 徑向控制磁通等效磁路

由于徑向磁軸承關(guān)于x、y軸對稱，以y方向為研究對象，其控制磁通分布如圖5（a）所示，根據(jù)控制磁通分布可將該軸承分為3個單元，如圖5（b）所示， L Fr是徑向漏磁.其中：單元1為徑向定子環(huán)部分；單元2為磁極部分；單元3為徑向轉(zhuǎn)子部分.

圖5 徑向磁軸承Fig.5 Radial magnetic bearing

根據(jù)徑向控制磁通分布，可繪制出徑向控制磁通等效磁路如圖6所示.

圖6 徑向控制磁通等效磁路Fig.6 Equivalent magnetic circuit of radial control flux path

圖6中：Nx為x方向的線圈匝數(shù)；Ny為y方向的線圈匝數(shù)；、、、分別為轉(zhuǎn)子沿x+ 、x-、y+ 、y-向偏轉(zhuǎn)時的磁阻；ix為x方向上的控制電流；iy為y方向上的控制電流； L Fr為徑向漏磁，用磁阻Rlr表示；Rre1為定子疊片動磁阻；Rre2為徑向磁極動磁阻；Rre3為徑向轉(zhuǎn)子動磁阻，如式（7）.

式中：Ar為徑向磁極的面積； μrf為考慮了渦流效應(yīng)的疊片磁導率； μ0為真空磁導率.

當控制電流沿y方向時，徑向控制磁通總磁阻Rr為

式中：Rg為氣隙磁阻，其大小與、、、相同.

x方向控制磁通總磁阻與y方向計算過程類似，在此不做過多贅述.因此，徑向控制磁通 φr可以表示為

式中：Nr為徑向線圈匝數(shù)；ir為徑向電流.

2.3 軸向控制磁通等效磁路

由于ARHMB軸向剖面在徑向方向不對稱，推力磁軸承產(chǎn)生的軸向控制磁通一部分會流經(jīng)徑向磁軸承部分，與徑向軸承本身產(chǎn)生的磁通相互交叉，從而造成軸-徑向交叉耦合效應(yīng).因此，在實際分析中，應(yīng)考慮徑向磁軸承對推力磁軸承的影響.軸向控制磁通分布如圖7（a）所示，從圖中可以看出，該系統(tǒng)除了軸承及轉(zhuǎn)子內(nèi)部的磁力線外，還包含9條漏磁路徑（ L Fz1～ L Fz9），其漏磁效用可用漏磁阻Rlz1～Rlz9表示.根據(jù)軸向控制磁通分布，可將系統(tǒng)劃分為12個單元，如圖7（b），各單元磁阻可用Rz1～Rz12表示.

圖7 推力磁軸承Fig.7 Thrust magnetic bearing

根據(jù)文獻[12]中的等效磁路分析方法和圖7（a）中的控制磁通分布，建立如圖8所示的軸向控制磁通等效磁路.

在圖8中，虛線區(qū) ① 與虛線區(qū) ② 的總磁阻相等，用Rzt1與Rzt2表示，如式（10）、（11）.

圖8 軸向控制磁通等效磁路Fig.8 Equivalent magnetic circuit of the axial control flux

為了刻畫軸向控制磁通路徑中漏磁效應(yīng)與交叉耦合效應(yīng)的嚴重程度，定義 α1、 α2、 α3為軸向控制磁通漏磁系數(shù)，如式（12） ～ （14）， ε 為交叉耦合系數(shù)[5]，如式（15）.

式中：Rzt3=Rz6+Rz3+Rz5；RHpm=RHpml+RHpmr，RHpml與RHpmr分別為Halbach左側(cè)磁阻與右側(cè)磁阻.

因此，軸向控制磁通的總磁阻Rz為

軸向總控制磁通為

式中：Nz為軸線線圈匝數(shù)；iz為軸向控制電流.

3 動態(tài)特性分析

3.1 等效磁阻頻率響應(yīng)

為了獲取材料類型及交叉耦合效應(yīng)對等效磁阻頻率響應(yīng)的影響，基于ARHMB等效磁路圖，分別分析了軸向和徑向磁阻在0～10 kHz的頻率響應(yīng)圖.圖9為碳鋼材料和軟磁復(fù)合材料制備的軸向磁阻頻率響應(yīng).由圖9可知：隨著頻率的增加，等效磁阻幅值和相位均呈上升趨勢；對于不同材料制備的相同軸承，未考慮交叉耦合效應(yīng)時，碳鋼軸承幅值從0到10 kHz增加了大約290%，SMCs軸承幅值基本沒有發(fā)生變化，僅增加了大約21%；對比相同材料制備的軸承，考慮交叉耦合效應(yīng)時，兩類軸承等效磁阻幅值均有增加，SMCs軸承在10 kHz時幅值增加14%，碳鋼軸承在10 kHz時幅值增加23%；此外，考慮交叉耦合效應(yīng)時，碳鋼軸承相位最大變化率約為30%，SMCs軸承相位最大變化率約為50%；在交變磁場的作用下，軸承損耗與等效磁阻成正比，并且隨著頻率的增加而變得明顯.因此，在較高的磁場下，由SMCs制備的軸承優(yōu)于碳鋼材料，為了使計算模型更加精確，交叉耦合效應(yīng)不可忽略.圖10為ARHMB徑向部分等效磁阻頻率響應(yīng)，當激勵頻率增加時，徑向等效磁阻的幅值和相位在0～1 kHz上升緩慢，在1～10 kHz時上升較快.因此，SMCs可以代替碳鋼材料用于制造ARHMB軸向部分，能滿足0～10 kHz的使用需求.徑向部分采用疊片結(jié)構(gòu)，在0～1 kHz范圍內(nèi)渦流損耗較低，軸承發(fā)熱較少，但在1～10 kHz時動態(tài)特性較差，能滿足中低頻工況.

圖9 軸向等效磁阻頻率響應(yīng)Fig.9 Frequency response of axial equivalent reluctance

圖10 徑向等效磁阻頻率響應(yīng)Fig.10 Frequency response of radial equivalent reluctance

3.2 動態(tài)剛度頻率響應(yīng)

為了驗證ARHMB動態(tài)特性，分別給出軸向和徑向的動態(tài)力-電流剛度、動態(tài)力-位移剛度頻率響應(yīng).圖11為兩種不同材料制備的ARHMB的軸向動態(tài)力-電流剛度的頻率響應(yīng).由圖11可知：當激勵頻率為100 Hz時，碳鋼及SMCs軸承電流剛度曲線相交；在100 Hz之后，SMCs軸承電流剛度遠大于碳鋼軸承；碳鋼軸承下降趨勢較快，當頻率達到10 kHz時，其電流剛度已近似為0，這表明碳鋼軸承在中高頻磁場工況下不能提供支承作用；SMCs軸承在0～10 kHz時電流剛度下降較為緩慢，考慮交叉耦合效應(yīng)時，該軸承電流剛度在10 kHz時降低了19%；對比相位圖還能發(fā)現(xiàn)，SMCs制備的軸承相位與電流剛度幅值變化趨勢一致，考慮交叉耦合效應(yīng)時，SMCs軸承相位最大變化率約為48%.

圖11 軸向力-電流剛度頻率響應(yīng)Fig.11 Frequency response of axial force-current stiffness

將文獻[5-6]中的靜態(tài)剛度實驗值與ARHMB進行比較.在靜態(tài)狀態(tài)下，ARHMB的電流剛度分別比Ren和Le的模型剛度大20%和48%.這是由于ARHMB軸向增加了Halbach永磁陣列，在靜態(tài)狀態(tài)下具有更大電磁力.

圖12為兩種不同材料制備的ARHMB的軸向動態(tài)力-位移剛度的頻率響應(yīng).由圖12可知：與動態(tài)力-電流剛度變化規(guī)律類似，當頻率增加時，位移剛度呈現(xiàn)下降趨勢；此外，碳鋼軸承的位移剛度和相位隨頻率變化很大，在高頻狀態(tài)下表現(xiàn)出極不穩(wěn)定的特性，而SMCs軸承位移剛度更加穩(wěn)定，擁有更加優(yōu)良的動態(tài)特性；對比相同材料制備的軸承，考慮交叉耦合效應(yīng)時，SMCs軸承電流剛度在10 kHz時降低20%，相位最大變化率約為48%；相比由SMCs制備3-DOF PMB[4]，該結(jié)構(gòu)將徑向磁軸承放置于永磁偏置磁軸承內(nèi)部構(gòu)成整體，在10 kHz前軸向動態(tài)位移剛度較本結(jié)構(gòu)降低了17%.因此，綜合電流及位移剛度發(fā)現(xiàn)，交叉耦合效應(yīng)影響電流及位移剛度的模型精度，且在高頻時影響更加顯著，不可忽略.

圖12 軸向力-位移剛度頻率響應(yīng)Fig.12 Frequency response of axial force-displacement stiffness

圖13為徑向動態(tài)剛度頻率響應(yīng)，由于混合磁軸承徑向為疊片結(jié)構(gòu).從圖13中可以看出：激勵頻率在0～1 kHz范圍內(nèi)，徑向動態(tài)電流剛度和相位、徑向動態(tài)位移剛度和相位均由小幅下降.因此，徑向采用能夠減小渦流損耗的疊片結(jié)構(gòu)，能夠使電流剛度和位移剛度在0～1 kHz范圍內(nèi)保持相對穩(wěn)定，具有良好的動態(tài)特性.

圖13 徑向剛度頻率響應(yīng)Fig.13 Frequency response of radial stiffness

4 ARHMB系統(tǒng)控制

傳統(tǒng)PID控制因其原理簡潔、運行方便、穩(wěn)定可靠以及沒有靜態(tài)誤差等許多優(yōu)點而被廣泛應(yīng)用，其傳遞函數(shù)Gc（s）為

式中：kp為比例系數(shù)；TI為積分時間常數(shù)；TD為積分時間常數(shù)；s為頻域相關(guān)量.

但當外界存在干擾時，傳統(tǒng)PID控制的微分調(diào)節(jié)器容易受到影響.因此為了系統(tǒng)可以正常工作，本文在PID算法的基礎(chǔ)上添加用來抵抗干擾的一階慣性環(huán)節(jié)Gd=1/[1+Tds]，從而得到如圖14所示不完全微分形式的PID控制[13-14].其中：Td為滯后時間常數(shù)；E（s）為偏差輸入；U（s）為控制器輸出.

圖14 不完全微分形式的PID控制Fig.14 Non-differential PID control

對于多自由度系統(tǒng)，為了簡化控制策略，通常的處理方式是對每個自由度進行分散獨立的控制[15-16].由于ARHMB軸徑向控制磁通相互影響，不完全微分PID控制參數(shù)考慮渦流、漏磁及交叉耦合效應(yīng)，采用獨立控制方法也可實現(xiàn)軸徑向的控制磁通相互獨立.本文以軸向為例，采用不完全微分PID控制對ARHMB的推力磁軸承進行了研究.

系統(tǒng)傳遞函數(shù)可表示為

式中：m為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)質(zhì)量；ki、kz分別為力-電流剛度與力-位移剛度.

對于ARHMB系統(tǒng)，假設(shè)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)質(zhì)量為1 kg，電流剛度取301.8 N/A，位移剛度取-33 070 N/m，選擇微分時間常數(shù)Td=0.0001 ，并對系統(tǒng)進行控制仿真，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)如圖15所示.從圖中可以看出：系統(tǒng)超調(diào)量約為26%，系統(tǒng)響應(yīng)速度快，達到峰值所用時間約為0.000 4 s，達到穩(wěn)定所需時間短，穩(wěn)態(tài)誤差近似為0，能夠?qū)RHMB實現(xiàn)有效控制，提升系統(tǒng)的控制性能.

圖15 不完全微分PID控制階躍響應(yīng)Fig.15 Step response of incomplete differential PID control

圖16為ARHMB控制系統(tǒng)誤差變化曲線.從圖16中可以看出：隨著系統(tǒng)開始工作，轉(zhuǎn)子位移發(fā)生變化，系統(tǒng)的誤差隨之增加；隨著控制器發(fā)揮作用，誤差快速減小直至到穩(wěn)態(tài)誤差近似為零，達到系統(tǒng)穩(wěn)定時間很短.因此采用不完全微分PID控制能夠有效地對ARHMB實現(xiàn)準確控制，具有優(yōu)良的控制效果.

圖16 不完全微分形式的PID控制誤差變化曲線Fig.16 Error curve of PID control in incomplete differential form

5 結(jié) 論

本文采用有限元與解析法對ARHMB的動態(tài)特性進行了分析，并在此基礎(chǔ)上使用不完全微分PID控制對ARHMB進行仿真控制.具體結(jié)論如下：

1） 建立了考慮渦流、漏磁及交叉耦合效應(yīng)的動態(tài)特性模型，對比分析了材料類型及交叉耦合效應(yīng)對混合磁軸承的影響，結(jié)果表明由SMCs制備的推力軸承渦流損耗低，高頻動態(tài)特性優(yōu)良，可以代替碳鋼材料用于制備ARHMB的軸向部分.

2） 交叉耦合效應(yīng)對SMCs制備的電磁軸承動態(tài)特性影響較大并在高頻時影響更加顯著，不可忽略，但對碳鋼材料制備的電磁軸承影響較小.

3） 采用計及渦流、漏磁及交叉耦合效應(yīng)的不完全微分PID控制對軸承系統(tǒng)進行了仿真控制.結(jié)果表明，采用不完全微分PID控制可對軸承系統(tǒng)實現(xiàn)有效控制.