基于自抗擾技術(shù)的機(jī)械-電磁懸浮復(fù)合隔振控制

黃翠翠 ，李曉龍 ，楊 洋 ，龍志強(qiáng)

（國防科技大學(xué)智能科學(xué)學(xué)院，湖南 長沙 410073）

低頻微幅振動會對空間高分辨率對地成像、重力梯度測量、空間微重力實驗等產(chǎn)生影響，需要采用隔振裝置減少其影響.在此環(huán)境下，要求在低頻段（頻率 ＜ 10 Hz）被隔振對象跟蹤系統(tǒng)運(yùn)動，在高頻段被隔振對象實現(xiàn)振動隔離[1].常見的隔振裝置有被動隔振和主動隔振.被動隔振主要由彈簧、橡膠等實現(xiàn)機(jī)械隔振效果，針對特定對象使用機(jī)械隔振設(shè)計的隔振系統(tǒng)，其隔振頻率帶寬固定，隔振參數(shù)不可調(diào)，針對高頻干擾隔振效果好.電磁懸浮隔振作為一種主動振動控制技術(shù)，可以克服被動隔振的缺點，具有無接觸、無機(jī)械摩擦、電磁力及支承參數(shù)（剛度、阻尼等）隨控制參數(shù)的變化可控可調(diào)等優(yōu)點，因此，基于機(jī)械隔振和電磁懸浮技術(shù)的非接觸隔振的復(fù)合隔振是一種優(yōu)選方案.針對此隔振方案國內(nèi)外學(xué)者展開了大量研究.

文獻(xiàn)[2-3]研究了零剛度系統(tǒng)隔振相關(guān)的問題；文獻(xiàn)[4]利用Halbach永磁陣列，設(shè)計了基于音圈電機(jī)的六自由度的隔振系統(tǒng)，從提升電磁力的角度進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化及系統(tǒng)控制設(shè)計；文獻(xiàn)[5]建立了六自由度非線性模型，提出具有加速度補(bǔ)償?shù)腜D控制器，并在主動隔振平臺中驗證了該控制器的可行性；文獻(xiàn)[6]采用同軸永環(huán)形磁體和矩形線圈設(shè)計了基于電磁力的負(fù)剛度彈簧，用有限元方法分析了該彈簧模型.海軍工程大學(xué)的研究團(tuán)隊將磁懸浮作動器并聯(lián)集成到氣囊隔振器內(nèi)部，組成正負(fù)剛度并聯(lián)的主被動混合隔振器；文獻(xiàn)[7]研究了該復(fù)合隔振器的控制寬頻和低頻線譜的振動傳遞；文獻(xiàn)[8]采用多通道Fx-Newton算法對磁懸浮-氣囊隔振控制進(jìn)行實驗研究；文獻(xiàn)[9]針對氣磁主被動混合隔振的浮筏分別從時域和頻域?qū)Ω粽駥嶒炁_的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行辨識，并設(shè)計了H∞ 控制器進(jìn)行振動控制；文獻(xiàn)[10]研究了復(fù)合隔振系統(tǒng)的自適應(yīng)前饋控制，改善了收斂速度和收斂精度之間的矛盾；文獻(xiàn)[1]對純電磁懸浮隔振系統(tǒng)機(jī)理進(jìn)行了研究，并設(shè)計基于狀態(tài)反饋的控制策略.較大的隔振控制帶寬和較好的隔振控制效果一直都是復(fù)合隔振追求的目標(biāo)，但目前的研究還有很大的提升空間.

為使系統(tǒng)寬頻帶有較好的隔振效果，本文將電磁主動隔振控制與彈簧機(jī)械隔振相結(jié)合.該隔振系統(tǒng)具有電磁主動控制的電磁力可調(diào)節(jié)和彈簧被動隔振高頻隔振性能好的優(yōu)點.復(fù)合隔振系統(tǒng)通常采用經(jīng)典PID控制，調(diào)節(jié)PID參數(shù)能達(dá)到一定的隔振效果，但總體上存在兩點不足：一是當(dāng)系統(tǒng)的低頻跟隨參數(shù)調(diào)好時，在該組參數(shù)下控制器帶寬較大，導(dǎo)致高頻隔振效果不好；二是由于系統(tǒng)存在諧波擾動，經(jīng)典PID控制器中誤差積分項有一定抑制擾動作用，但是積分項常常使閉環(huán)系統(tǒng)反應(yīng)遲鈍、容易產(chǎn)生振蕩和控制量飽和等副作用.

本文對復(fù)合隔振系統(tǒng)進(jìn)行分析及建模，進(jìn)而為提高隔振控制系統(tǒng)的抗干擾能力提出基于自抗擾技術(shù)的復(fù)合隔振控制方法，通過仿真實現(xiàn)了復(fù)合隔振系統(tǒng)的自抗擾控制，最后實驗驗證該控制方案的可行性.

1 系統(tǒng)描述

本文提出的復(fù)合隔振系統(tǒng)是將電磁主動隔振控制與彈簧機(jī)械隔振相結(jié)合，該隔振系統(tǒng)具有電磁主動控制的電磁力可調(diào)節(jié)和彈簧被動隔振高頻隔振性能好的優(yōu)點.復(fù)合隔振平臺基本結(jié)構(gòu)如圖1所示.

圖1 復(fù)合隔振平臺示意Fig.1 Schematic diagram of a compound vibration isolation platform

該復(fù)合隔振系統(tǒng)主要包括需要隔離振動的部分（被隔振物體）、產(chǎn)生振動的部分（振動臺）和支撐部分（振動臺面）.基座上裝有上、下兩個電磁線圈，與被隔振物體上的銜鐵互相吸引.基座可沿豎直方向在一定范圍內(nèi)做往復(fù)運(yùn)動，振動臺可以產(chǎn)生單頻穩(wěn)態(tài)正弦運(yùn)動，振動臺與基座固連，因此，基座也產(chǎn)生單頻穩(wěn)態(tài)正弦振動.基座與被隔振物體之間通過電磁力和彈簧支撐力相互作用.被隔振物體所受的電磁力是通過控制器實現(xiàn)差動控制調(diào)節(jié)，因此，控制器的控制性能直接影響被隔振物體的隔振效果.

2 系統(tǒng)分析與建模

2.1 模型假設(shè)

為了描述系統(tǒng)的運(yùn)動規(guī)律、分析設(shè)計系統(tǒng)控制器，需要對隔振系統(tǒng)建立數(shù)學(xué)模型.針對復(fù)合隔振系統(tǒng)模型提出以下假設(shè)：

1） 忽略漏磁通，磁通全部通過電磁鐵的外部磁極氣隙；

2） 磁通在氣隙處均勻分布，忽略邊緣效應(yīng)；

3） 忽略電磁鐵鐵芯的磁阻，電磁鐵與銜鐵所組成的磁路磁阻主要集中在兩者之間的氣隙上；

4） 假設(shè)磁浮隔振系統(tǒng)所受的電磁力集中在電磁鐵的中心，且該中心與系統(tǒng)的質(zhì)心重合；

5） 彈簧是一種機(jī)械連接形式，大多數(shù)情況下，其質(zhì)量和阻尼是可忽略不計的.

2.2 系統(tǒng)建模與分析

復(fù)合隔振系統(tǒng)是典型的非線性系統(tǒng)，系統(tǒng)中的電磁力與電磁鐵繞組中的瞬時電流、電磁鐵與銜鐵間的氣隙存在著較為復(fù)雜的非線性關(guān)系.

2.2.1 系統(tǒng)動力學(xué)方程

復(fù)合隔振系統(tǒng)受力分析如圖2所示.圖中：z為被隔振物體的位移；r為電磁鐵的位移；m為電磁鐵等效質(zhì)量；Fe1、Fe2為下、上兩個電磁鐵的電磁力；k、q分別為彈簧的等效剛度和等效阻尼；i1、i2分別為下、上電磁線圈通入的總電流；h1、h2分別為下、上電磁鐵和被控對象之間的間隙；u1、u2分別為下、上電磁鐵通入的總電壓；R1、R2分別為下、上電磁鐵線圈的等效電阻，R1=R2=R.

圖2 復(fù)合隔振系統(tǒng)受力分析Fig.2 Force analysis of compound vibration isolation system

忽略系統(tǒng)其他方向上的微小振動，只研究豎直方向的單自由度運(yùn)動.規(guī)定向下為被隔振物體受力與運(yùn)動的正方向，系統(tǒng)的動力學(xué)方程為

式中： Δz為彈簧的初始壓縮量.

不考慮電磁力作用的情況下，系統(tǒng)豎直方向的等效剛度和阻尼完全取決于彈簧的自身特性k和q，無法動態(tài)調(diào)節(jié).此時系統(tǒng)靜止時滿足

2.2.2 電磁鐵受力分析

下端電磁鐵和被控對象之間的間隙為h1，則

上、下兩個電磁鐵的結(jié)構(gòu)參數(shù)相同，同理可得

2.2.3 系統(tǒng)模型線性化處理

在可允許的誤差范圍內(nèi)，可以把非線性系統(tǒng)進(jìn)行線性化處理，而線性化后的模型可借助疊加原理等性質(zhì)簡化系統(tǒng)分析，同時方便應(yīng)用線性系統(tǒng)理論進(jìn)行系統(tǒng)分析及控制器設(shè)計.

系統(tǒng)在平衡位置時，上、下電磁鐵與被隔振對象之間的間隙有h1=h2=h0，由于該間隙是在平衡位置附近的小范圍內(nèi)運(yùn)動，可以對系統(tǒng)進(jìn)行線性化處理，即將系統(tǒng)中的非線性部分在平衡點（i0,h0）處作泰勒級數(shù)展開，省略高階項，其中：i0為系統(tǒng)偏置電流；h0為靜平衡時電磁鐵與被控對象之間的工作間隙.

系統(tǒng)中的上、下兩個電磁線圈用差動方式連接，兩個電磁線圈中的電流滿足

式中：i3為控制電流.

系統(tǒng)中i0是常數(shù)，則式（5）求導(dǎo)可得

系統(tǒng)中電磁鐵位移偏離中心位置量為

則由式（7）可知

系統(tǒng)中h0是常數(shù)，則式（8）求導(dǎo)可得

對式（3）進(jìn)行線性化后可以得到

式中：F1(i0,h0) 為下端電磁鐵在通入偏置電流i0、間隙為h0時的電磁鐵吸力；

同理，式（4）進(jìn)行線性化后可得

式中：F2(i0,h0) 為上端電磁鐵在通入偏置電流i0、懸浮間隙為h0時的電磁鐵吸力；

由于上、下兩塊電磁鐵的線圈匝數(shù)、電阻、電感及結(jié)構(gòu)尺寸等制造參數(shù)一致，則在線性化過程中，其電流系數(shù)和位移系數(shù)都是一致的，故有

式中：Ki為上、下兩電磁鐵電流系數(shù)的統(tǒng)一表示；Kh為位移系數(shù)的統(tǒng)一表示；F(i0,h0) 為上、下兩電磁鐵的偏置力的統(tǒng)一表示.

將式（12）代入式（10）、（11）可化簡為

將式（13）代入式（1）可得

由此系統(tǒng)從控制電流到被控對象位移輸出的傳遞函數(shù)可表示為

2.2.4 系統(tǒng)電學(xué)方程

復(fù)合隔振上、下兩個電磁鐵的電學(xué)方程為

上、下兩塊電磁鐵采用差動控制，則其輸入電壓有

式中：u0為偏置電壓；u3為控制電壓.

由于下、上電磁鐵線圈的等效電阻相等，在此統(tǒng)一用R表示，將式（16）中的兩式相減可得

由于h1、h2遠(yuǎn)大于 h3，可得

則式（18）可化簡為

由式（20）可得到控制電壓輸入量與控制電流輸出量之間的傳遞函數(shù)為

由此傳遞函數(shù)可知：該部分為一階慣性系統(tǒng)，其時間常數(shù) τ =2K/(h0R).

i3和u3之間存在延時，該延時過大會引起系統(tǒng)不穩(wěn)定，因此引入電流反饋目的是使電磁鐵中的電流能夠快速跟蹤控制電壓.

加入電流反饋的開環(huán)系統(tǒng)模型如圖3所示.圖中：kc1、kc2為電流反饋的配置參數(shù).

圖3 帶電流反饋的開環(huán)系統(tǒng)模型Fig.3 Open loop system model with current feedback

通過配置電流反饋環(huán)節(jié)參數(shù)kc1、kc2，使該反饋環(huán)節(jié)近似為一個比例系數(shù)為1的比例環(huán)節(jié)，如圖3中的前半部分u3到i3，可得到其傳遞函數(shù)為

系統(tǒng)輸入為u3，輸出為z，在頻域中控制輸入與位移之間的傳遞函數(shù)可表示為

在此二階系統(tǒng)中，Kh項的值很大且為負(fù)，系統(tǒng)具有正極值點，所以系統(tǒng)的本質(zhì)是不穩(wěn)定的，需要通過設(shè)計控制器實現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定.

3 系統(tǒng)控制器設(shè)計

隔振系統(tǒng)控制器設(shè)計實現(xiàn)的目標(biāo)是：振動臺在低頻（頻率 ＜10 Hz）振動時，被隔振對象跟隨系統(tǒng)振動；振動臺在高頻振動時，被隔振對象保持不動，高頻振動信號被隔離.電磁鐵的電磁力隨間隙變化呈現(xiàn)非線性變化，這種非線性會引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定.另外由于系統(tǒng)的懸浮間隙較小，不允許系統(tǒng)在動態(tài)調(diào)整過程中出現(xiàn)較大的超調(diào)量.因此隔振系統(tǒng)的控制器不僅需要較強(qiáng)的魯棒性還需要具有較高的控制精度.

目前的隔振系統(tǒng)控制器大多是基于現(xiàn)代控制理論的方法和PID控制方法設(shè)計，基于自抗擾控制技術(shù)的隔振系統(tǒng)控制器較少有人研究.自抗擾控制能估計系統(tǒng)擾動，設(shè)計系統(tǒng)的自抗擾控制主要由跟蹤微分器、非線性誤差反饋和擴(kuò)張觀測器3個部分組成[11-13].

跟蹤微分器能實現(xiàn)信號的跟蹤和微分，在控制系統(tǒng)中使用跟蹤微分器安排過渡過程能夠降低系統(tǒng)在初始狀態(tài)由于誤差較大造成系統(tǒng)的超調(diào)現(xiàn)象.

擴(kuò)張狀態(tài)觀測器把作用于開環(huán)系統(tǒng)的加速度的實時作用量擴(kuò)張成新的狀態(tài)變量，則

式中：x1、x2、x3均為系統(tǒng)狀態(tài)變量；y為系統(tǒng)輸出；ω(t)為系統(tǒng)擾動；u為系統(tǒng)輸入；b為系統(tǒng)輸入系數(shù).

對于此被擴(kuò)張的系統(tǒng)建立擴(kuò)張狀態(tài)觀測器

式中：e為系統(tǒng)誤差；z1、z2、z3均為系統(tǒng)估計狀態(tài)；β01、β02、β03分別為e、f1、f2的系數(shù)；f1和f2均為關(guān)于誤差e的函數(shù)，該函數(shù)關(guān)系可以用 f al(e,α,δ) 表達(dá)[13]：

其中： α 、 δ 均為可調(diào)整參數(shù).

根據(jù)系統(tǒng)特性選用不同的 α 、 δ 參數(shù)值，在擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測器中f1和f2是參數(shù) α 、 δ 取不同值得到的結(jié)果.該函數(shù)是一個非線性函數(shù)，擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的非線性就體現(xiàn)在此函數(shù)中，擴(kuò)張狀態(tài)觀測器中變量z3為系統(tǒng)擴(kuò)張變量，也是擾動估計項.

本文提出的自抗擾控制器采用擴(kuò)張狀態(tài)觀測器進(jìn)行系統(tǒng)擾動估計，利用PD控制實現(xiàn)系統(tǒng)的誤差反饋，積分環(huán)節(jié)由系統(tǒng)擾動補(bǔ)償取代，在保證系統(tǒng)跟蹤精度的前提下，提高系統(tǒng)的動態(tài)性能.

本文提出的基于自抗擾技術(shù)的控制系統(tǒng)架構(gòu)如圖4 所示.圖中：zd為系統(tǒng)理想輸入；zd1、zd2分別為理想信號的跟蹤和微分.

圖4 控制系統(tǒng)架構(gòu)Fig.4 Framework of control system

由圖4可知：系統(tǒng)采用微分跟蹤器實現(xiàn)理想信號的跟蹤和微分，應(yīng)用擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對輸出的位移信號進(jìn)行跟蹤和微分，同時估計系統(tǒng)的擾動.設(shè)計PD控制器為誤差信號和誤差微分信號的線性組合，即u0，將擴(kuò)張觀測器獲得的擾動信號補(bǔ)償系統(tǒng)的控制量u0，得到最終輸入到電磁鐵懸浮位置控制系統(tǒng)的控制量u，如式（27）.

在控制器設(shè)計中，擴(kuò)張狀態(tài)觀測器存在一定的帶寬，在低頻信號干擾情況下能夠準(zhǔn)確估計擾動，并補(bǔ)償至控制率中，提高控制精度.在高頻信號干擾情況下，擾動的估計值衰減較大，所以無法準(zhǔn)確估計，進(jìn)而對控制率的補(bǔ)償很小，因此，高頻干擾信號主要由彈簧阻尼系統(tǒng)和PD控制器進(jìn)行高頻濾波.

應(yīng)用所提出的控制系統(tǒng)架構(gòu)，對前文得到的系統(tǒng)模型進(jìn)行仿真.通過調(diào)整PD控制器的Kp、Kd參數(shù)，以及擴(kuò)張狀態(tài)觀測器中的 f al(e,α,δ) 函數(shù)的 α 和δ，對系統(tǒng)模型進(jìn)行仿真.

在仿真系統(tǒng)中，為模擬實驗環(huán)境中由于模型參數(shù)不確定所引起的擾動，在仿真模型中加入擾動項，該擾動項頻率受系統(tǒng)輸入頻率影響，且能夠影響系統(tǒng)輸出響應(yīng).在擾動作用下，分析本文所提出的控制器隔振效果.

系統(tǒng)振動輸入信號zd(t)=0.005sin（2πft），仿真實驗中輸入信號頻率f從2 Hz到300 Hz變化，系統(tǒng)擾動n(t)=3sin(2πft) ，Kp=2000 ，Kd=15.控制系統(tǒng)仿真結(jié)果如圖5所示.

由圖5可知：在低頻信號干擾區(qū)，自抗擾控制器在1～10 Hz低頻區(qū)的控制效果達(dá)到0.6 dB，應(yīng)用自抗擾控制器有較好的跟蹤效果；之后隨著信號的頻率增加，擴(kuò)張觀測器信號開始衰減，在120 Hz高頻信號輸入下，控制系統(tǒng)的高頻隔振效果達(dá)到 -13.8 dB.在260 Hz高頻信號輸入下，控制系統(tǒng)的高頻隔振效果達(dá)到 -22.3 dB.

圖5 控制系統(tǒng)仿真圖Fig.5 Simulation results of control system

4 隔振系統(tǒng)實驗

為提高主動隔振實驗及算法調(diào)試的效率，實驗中選用Speedgoat公司的實時目標(biāo)機(jī)作為主動隔振控制器.控制器在使用中運(yùn)行Simulink Real-time，并調(diào)用相應(yīng)的IO接口模塊，通過IO接口，將控制器產(chǎn)生PWM （pulse width modulation）信號輸入到斬波板，實現(xiàn)系統(tǒng)的控制.

復(fù)合隔振平臺如圖6所示，在復(fù)合隔振系統(tǒng)實驗中，上、下兩電磁鐵始終工作在單頻正弦穩(wěn)態(tài)激振的環(huán)境下，實驗時基座的振動頻率為2～300 Hz，振動加速度為0～5g，通電時間為1～30 min.

圖6 復(fù)合隔振平臺實物Fig.6 Photograph of compound vibration isolation platform

利用本文所提出的控制方法，在復(fù)合隔振平臺上進(jìn)行驗證.由圖7所示的仿真和實驗的對比結(jié)果可知：2～10 Hz頻段能實現(xiàn)低頻跟隨，10～100 Hz頻段內(nèi)幅值衰減逐漸增大，100～300 Hz頻段內(nèi)的隔振效果超過-14.9 dB；仿真結(jié)果與實驗結(jié)果的趨勢一致，證明了基于自抗擾控制的方法用于復(fù)合隔振系統(tǒng)的可行性.但是由于仿真模型的不準(zhǔn)確、傳感器測量精度限制等因素的影響，基于誤差反饋控制的控制精度會受到影響，導(dǎo)致實驗效果與仿真效果之間有一定差別.

圖7 自抗擾控制仿真與實驗結(jié)果對比Fig.7 Comparison between simulation and test results of the active disturbance rejection control

5 結(jié) 論

針對電磁主動隔振與彈簧機(jī)械隔振相結(jié)合的磁浮復(fù)合隔振系統(tǒng)進(jìn)行了系統(tǒng)分析并建立了系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型.為提升系統(tǒng)對干擾的抑制能力，提出了基于自抗擾技術(shù)的控制器設(shè)計方案.對所提出的控制方案進(jìn)行仿真，最后通過實驗驗證了所設(shè)計的控制器的有效性.實驗驗證了本文所提的控制方法滿足寬頻帶的振動控制需求，避免了應(yīng)用PID控制得到的系統(tǒng)寬頻帶隔振效果不足以及由積分環(huán)節(jié)引起的系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)特性降低，隔振系統(tǒng)在低頻段具有跟隨效果，在高頻段振動衰減達(dá)到-14.9 dB.