單自由度磁懸浮系統(tǒng)無模型自適應(yīng)控制的研究

鐘志賢 ，蔡忠侯 ，祁雁英

（桂林理工大學(xué)機(jī)械與控制工程學(xué)院，廣西 桂林 541006）

磁懸浮技術(shù)已廣泛應(yīng)用于航空航天、醫(yī)療設(shè)備、能量回收、透平機(jī)械等領(lǐng)域[1-4].對于單自由度磁懸浮系統(tǒng)而言，其控制精度的高低將直接影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性[5]，因此如何提高控制精度一直是磁懸浮技術(shù)研究的重點(diǎn).

目前，針對磁懸浮技術(shù)的控制問題，已有許多學(xué)者進(jìn)行研究，并取得了豐富的成果[6-9].呂治國等[10]通過狀態(tài)反饋法建立精確線性化磁懸浮小球的數(shù)學(xué)模型，并采用極點(diǎn)配置法與在線參數(shù)辨識相結(jié)合的方法實(shí)現(xiàn)了單自由度磁懸浮系統(tǒng)的自適應(yīng)控制.朱堅(jiān)民等[11]通過在線訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識器，建立單自由度磁懸浮系統(tǒng)誤差與控制量的動態(tài)模型，在PID控制器基礎(chǔ)上進(jìn)一步進(jìn)行反饋補(bǔ)償，該控制方法與PID控制器相比，其控制精度有了很明顯的增加.張井崗等[12]將分?jǐn)?shù)階PDμ（對PD控制中的微分項(xiàng)進(jìn)行μ階求導(dǎo)）作為滑模面函數(shù)進(jìn)行滑模控制，有效解決了單自由度磁懸浮系統(tǒng)在傳統(tǒng)滑?？刂浦械亩墩瘳F(xiàn)象.宋榮榮等[13]通過模糊PID原理構(gòu)造單自由度磁懸浮系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，制定相關(guān)模糊控制規(guī)則，并設(shè)計(jì)出一種可以在線調(diào)整PID參數(shù)的控制器，減小了系統(tǒng)的跟蹤誤差.為避免高速磁懸浮控制過程由于重力使轉(zhuǎn)子發(fā)生小角度的公轉(zhuǎn)，夏長峰等[14]提出一種PID與濾波交叉反饋的方式，通過DSP （digital signal processor）和 FPGA （field programmable gate array）搭建數(shù)字控制系統(tǒng)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，這種方法可以很好地避免轉(zhuǎn)子發(fā)生小角度的進(jìn)動.

以上控制算法都是通過建立精確的模型來實(shí)現(xiàn)單自由度磁懸浮系統(tǒng)的控制，模型越精確，控制效果越好.然而，由于單自由度磁懸浮系統(tǒng)漏磁、磁路程耦合等因素的存在，精確的磁懸浮模型通常難以獲得.因此，針對被控對象數(shù)字模型難以建立的問題，有學(xué)者提出了數(shù)據(jù)驅(qū)動控制的方法，如迭代反饋控制[15]、迭代學(xué)習(xí)控制[16]、虛擬參考反饋控制[17-18]和無模型自適應(yīng)控制（model-free adaptive contorl, MFAC）[19-20]等.在眾多的數(shù)據(jù)驅(qū)動方法中，較為典型的是PID和MFAC.但PID自適應(yīng)差、魯棒性不強(qiáng)，所以不適合用于具有強(qiáng)非線性的系統(tǒng)中.與PID相比，MFAC不僅魯棒性強(qiáng)、自適應(yīng)性好、概念簡單易懂而且算法的穩(wěn)定性與收斂性均具有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明[21-25]，因此，在許多實(shí)際系統(tǒng)中得到了廣泛的應(yīng)用，如地面車輛[26]、氣壓制冷系統(tǒng)[27]、廣域電力系統(tǒng)[28]等，但 MFAC在磁懸浮領(lǐng)域的應(yīng)用較少，文獻(xiàn)[29]提出了一種單自由度磁懸浮系統(tǒng)的無模型自適應(yīng)控制方法，仿真分析了MFAC與PID兩種控制方法對磁懸浮球的控制效果，結(jié)果表明該方法對單自由度磁懸浮系統(tǒng)的控制是有效的.

本文將基于全格式動態(tài)線性化的無模型自適應(yīng)控制方法[29]應(yīng)用于單自由度磁懸浮系統(tǒng)，設(shè)計(jì)單自由度磁懸浮系統(tǒng)無模型自適應(yīng)控制器，仿真分析了MFAC控制參數(shù)對單自由度磁懸浮系統(tǒng)控制效果的影響及對階躍響應(yīng)信號、干擾信號和噪聲信號的響應(yīng)特性，最后在磁懸浮球?qū)嶒?yàn)臺上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.仿真及實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：全格式無模型自適應(yīng)控制方法能夠最大限度地?cái)[脫單自由度磁懸浮系統(tǒng)對精確模型的依賴，優(yōu)化系統(tǒng)動態(tài)性能，且基于跟蹤的全格式無模型自適應(yīng)控制器在穩(wěn)定時間及系統(tǒng)的動態(tài)性能等方面明顯優(yōu)于PID控制器.

1 單自由度磁懸浮系統(tǒng)

多自由度磁懸浮系統(tǒng)在滿足一定假設(shè)條件下，可以等效為多個獨(dú)立的單自由度系統(tǒng).因此，以單自由度磁懸浮系統(tǒng)作為被控對象，分析MFAC對單自由度磁懸浮系統(tǒng)的控制效果具有很好的指導(dǎo)作用.

單自由度磁懸浮系統(tǒng)如圖1所示，主要由電磁鐵、鐵球、激光位移傳感器、驅(qū)動電路和控制器組成，圖中：m為鐵球的質(zhì)量；g為重力加速度；F為電磁力；xT為鐵球的位移.當(dāng)電磁鐵產(chǎn)生的電磁力與鐵球的重力相等時，鐵球即實(shí)現(xiàn)懸浮.

圖1 單自由度磁懸浮系統(tǒng)示意Fig.1 Schematic diagram of single degree-of-freedom magnetically levitated system

1.1 單自由度磁懸浮系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

為簡化計(jì)算，對單自由度磁懸浮系統(tǒng)做出如下假設(shè)[29]：

假設(shè)1每匝線圈中通過的磁通量相同.

假設(shè)2功率放大器不存在時間滯后.

則由圖1可以推導(dǎo)出單自由度磁懸浮系統(tǒng)的動力學(xué)方程為

式中：x為鐵球質(zhì)心到電磁鐵磁極表面的瞬時氣隙；ic為電磁鐵中瞬時電流；x0為鐵球的平衡氣隙；i0為電磁鐵中的平衡電流；F（ic,x）為電磁吸力；μ0為空氣磁導(dǎo)率；A為鐵芯的導(dǎo)磁截面積；N為電磁鐵線圈匝數(shù)；F（i0,x0）為平衡位置（i0，x0）處電磁鐵對小球的電磁吸力.

將式（1）在平衡位置（i0，x0）處進(jìn)行泰勒級數(shù)展開，可得

式中：K=-μ0AN2/4.

將式（2）代入式（1）可得單自由度磁懸浮系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為

對式（3）進(jìn)行拉普拉斯變化，并代入式（1）中，可得單自由度磁懸浮系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

式中：C= -1/Ka，Ka為功率放大器的增益；s為復(fù)數(shù)；A=i0/(2g)；B=i0/x0.

單自由度磁懸浮系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)臺的物理參數(shù)如表1所示.

表1 單自由度磁懸浮系統(tǒng)的物理參數(shù)Tab.1 Physical parameters of a single-degree-of-freedom magnetically levitated system

將表1中的物理量值代入式（4），得到單自由度磁懸浮系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

為確保不失真的恢復(fù)模擬信號，根據(jù)香農(nóng)采樣定理，確定采樣時間T=0.001 s，對式（5）進(jìn)行離散化后可知單自由度磁懸浮系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學(xué)模型為

式中：k為采樣時刻，k=1，2， ··· ，N，N為最大采樣時刻；u(k) 和u(k-1)分別為時刻k和時刻k-1系統(tǒng)的輸入值；y(k)、y(k-1)和y(k+ 1)分別為時刻k、時刻k-1和時刻k+ 1系統(tǒng)的輸出值.

2 全格式無模型自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)

2.1 單自由度磁懸浮系統(tǒng)的動態(tài)線性化

定義HLL(k)∈RLy,Lu為 在 區(qū) 間 [k-Lu+1,ky,u]內(nèi)的所有控制輸入信號以及在區(qū)間 [k-Ly+1,k]內(nèi)所有輸出信號組成的向量，即

當(dāng)滿足k≤0 時，HLy，Lu(k)=0Ly+Lu，其中Ly,Lu（0 ≤Ly≤ny,1≤Lu≤nu）稱為系統(tǒng)的偽階數(shù),ny和nu為系統(tǒng)的階數(shù).

對于單自由度磁懸浮系統(tǒng)（6），滿足如下假設(shè)：

假設(shè)1單自由度磁懸浮系統(tǒng)（6）輸出可控可測.

假設(shè)2除有限的時刻點(diǎn)，f(·) 關(guān)于第（ny+2）個變量的偏導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的[25].

假設(shè)3除有限的時刻點(diǎn)，單自由度磁懸浮系統(tǒng)（6）滿足廣義Lipschitz條件，即任意采樣時刻k1≠k2，k1，k2≥ 0，和HLy，Lu(k1)≠HLy，Lu(k2) ，有

式中：y(kj+1)=f(y(kj),···,y(kj-ny),u(kj),···,u(kjnu))，j=1，2 ；b為大于 0 的常數(shù).

因此，根據(jù)引理[25]可知，給定0≤Ly≤ny,1≤Lu≤nu，當(dāng)HLy,Lu(k)-HLy,Lu(k-1)≠0 時，存在一個稱為偽梯度的時變參數(shù)向量 Φf,LL(k)∈RLy,Luy,u，使得單自由度磁懸浮系統(tǒng)可轉(zhuǎn)變?yōu)槭剑?）的動態(tài)化數(shù)據(jù)模.

式中：ΔHLy,Lu(k)=HLy,Lu(k)-HLy,Lu（k-1）；Φf,Ly,Lu(k)=

Φj（k）為 Φf,Ly,Lu(k) 中第j項(xiàng)的數(shù)值，j=1, ··· ,Ly+Lu.式（7）是單自由度磁懸浮系統(tǒng)（6）的一種等價(jià)的動態(tài)線性化表示，是用于設(shè)計(jì)控制器的線性時變數(shù)據(jù)模型.

2.2 單自由度磁懸浮系統(tǒng)的MFAC控制算法

對式（7）采用式（8）所示的函數(shù)作為控制輸入準(zhǔn)則函數(shù).

式中： λ ＞0 為控制算法的權(quán)重因子，用來控制輸入量變化；y*(k+ 1)為期望的輸出信號.

將式（7）代入式（8）中，對u(k) 求導(dǎo)，并令其等于0，可得到式（9）所示的控制算法.

式中：加入控制算法的步長因子 ρj∈ (0，1]，是為了使控制算法更具有一般性； Δy(k-j+ 1)=y(k-j+1)-y(k-j)；Δx(k-Ly-j+ 1)=x(k-Ly-j+ 1)-x(k-Ly-j).

2.3 偽梯度估計(jì)算法

由式（9）可知，若要完成該控制算法，須知道偽梯度（PG）的值，但是由于單自由度磁懸浮系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型未知，偽梯度是一個時變參數(shù)，很難確定其真實(shí)值.因此，采用如下PG估計(jì)準(zhǔn)則函數(shù)對偽梯度進(jìn)行估計(jì)：

式中：μ＞0，為偽梯度估計(jì)算法的權(quán)重因子；(k)為 Φf,Ly,Lu(k) 的估計(jì)值，

根據(jù)最優(yōu)條件，對式（10）關(guān)于 Φf,Ly,Lu(k) 求極值，可得到PG的估計(jì)算法為

式中：η∈(0，1]，為偽梯度估計(jì)算法的步長因子，可以使該算法有更強(qiáng)的靈活性和一般性

2.4 單自由度磁懸浮系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)

針對本文所應(yīng)用的單自由度磁懸浮系統(tǒng)，最終選取Ly=2,Lu=1 ，為了使2.3中的偽梯度估計(jì)算法在單自由度磁懸浮系統(tǒng)中的位移跟蹤能力更強(qiáng)，需要引入偽梯度重置算法：

通過以上估計(jì)算法和重置算法可知，全格式無模型自適應(yīng)控制方案為

3 仿真分析

為驗(yàn)證上述分析的正確性，對FFDL-MFAC（model-free adaptive control method based on fullformat dynamic linearization）控制器進(jìn)行仿真分析，并以PID控制器作為對照組進(jìn)行對比.FFDL-MFAC控制器如圖2所示，PID控制器如式（14）.

圖2 FFDL-MFAC控制器原理Fig.2 Principle of FFDL-MFAC controllerr

式中：e(k)為采樣時刻k的誤差；Kp、Ki、Kd分別為PID控制器中比例項(xiàng)、積分項(xiàng)、微分項(xiàng)的控制參數(shù).

單自由度磁懸浮系統(tǒng)的參數(shù)如表1所示，兩種算法的采樣時間均為0.001 s.為比較兩種算法的控制性能，參考文獻(xiàn)[30]，采用誤差均方根作為算法控制效果的評價(jià)指標(biāo)，如式（15）.

在全格式無模型自適應(yīng)控制方案中，步長因子和權(quán)重因子分別選取為ρ1=ρ2=0.6，ρ3=2.2，η=0.2，μ=0.1，λ=0.01，ε=0.1，偽梯度估計(jì)值的初始值設(shè)置為Φ^f，2，1(1)=[1000900-0.1+0.1i]T.在 PID控制方案中，通過參數(shù)整定[31]得到最優(yōu)PID控制參數(shù)為：Kp=2 000，Ki=0.1，Kd=0.001.

3.1 FFDL- MFAC自適應(yīng)仿真分析

在控制參數(shù)不變的情況下，僅改變參考位移，則FFDL-MFAC的仿真結(jié)果如圖3所示.在不同的參考位移下，F(xiàn)FDL-MFAC控制器都可以跟蹤期望信號較快地進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài).

圖3 不同參考位移的仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results at different reference positions

3.2 FFDL- MFAC控制參數(shù)對懸浮效果的影響

權(quán)重因子λ、步長因子ρ及偽梯度Φ的初始值是影響MFAC控制效果的主要參數(shù).為探清權(quán)重因子λ、ρ及偽梯度Φ的初始值對控制的影響，分別對其進(jìn)行仿真分析.

參數(shù)λ對懸浮效果的影響如圖4所示，由圖4可知：當(dāng)λ在[0.008 5, 0.012 0]時，MFAC算法的響應(yīng)速度基本不變，其穩(wěn)定時間在0.18 s至0.20 s之間；當(dāng)λ小于0.008 5或大于0.012 0時，MFAC算法的響應(yīng)速度變快，但過快的響應(yīng)速度會使得超調(diào)量增加.

圖4 λ對懸浮效果的影響Fig.4 Impact of λ on the levitation effect

參數(shù)ρ對懸浮效果的影響如圖5所示，MFAC算法的響應(yīng)速度隨ρ1取值的減小而增大，隨ρ2、ρ3取值的增大而增大，但過快的響應(yīng)速度會帶來超調(diào).

圖5 ρ對懸浮效果的影響Fig.5 Impact of ρ on the levitation effect

偽梯度Φ的初始值對懸浮效果的影響如圖6所示，由圖6可知：Φ1的減小或Φ2的增大會增大MFAC算法的響應(yīng)速度，Φ3數(shù)值的變化不會影響系統(tǒng)的響應(yīng)速度，但過大的Φ3會使系統(tǒng)發(fā)生震蕩；偽梯度Φ的取值范圍很大，有利于系統(tǒng)穩(wěn)定性調(diào)節(jié).

圖6 偽梯度對懸浮效果的影響Fig.6 Impact of imaginary part of Φ on suspension effect

3.3 FFDL-MFAC與PID算法的控制效果對比

1） 階躍信號的響應(yīng)對比

FFDL-MFAC與PID控制器對階躍信號的響應(yīng)如圖7、表2所示.可以看出：FFDL-MFAC對于階躍信號的響應(yīng)優(yōu)于PID

表2 階躍信號響應(yīng)下MFAC與PID控制器的性能對比Tab.2 Performances comparison between MFAC and PID controller under step signal response

圖7 MFAC與PID算法對階躍信號的響應(yīng)Fig.7 Response of MFAC and PID algorithm to step signal

2） 干擾信號的響應(yīng)對比

在單自由度磁懸浮系統(tǒng)中加入干擾信號d，

則MFAC和PID控制器對干擾信號的響應(yīng)如圖8、表3所示.對于干擾的抑制，MFAC的算法優(yōu)于PID，超調(diào)量小，穩(wěn)定快速.

表3 干擾信號下MFAC與PID控制器的性能對比Tab.3 Performance comparison between MFAC and PID controller under interfering signal response

圖8 MFAC與PID算法對干擾信號的響應(yīng)Fig.8 Response of MFAC and PID algorithm to interfering signal

3） 噪聲信號響應(yīng)對比

在單自由度磁懸浮系統(tǒng)中加入干擾信號d及噪聲信號[-0.04, 0.04]，則 FFDL-MFAC和PID控制器仿真結(jié)果如圖9.FFDL-MFAC與PID控制器的RMS分別為0.842 2和1.388.在含有噪聲的情況下，F(xiàn)FDL-MFAC仍然對于干擾有很好的抑制作用.

圖9 MFAC與PID算法對白噪聲的響應(yīng)Fig.9 Response of MFAC and PID algorithms to white noise signal

4 實(shí)驗(yàn)分析

為驗(yàn)證FFDL-MFAC控制器對單自由度磁懸浮系統(tǒng)的控制效果，在單自由度磁懸浮實(shí)驗(yàn)平臺上進(jìn)行懸浮實(shí)驗(yàn).單自由度磁懸浮實(shí)驗(yàn)平臺如圖10所示，包含電磁鐵、鐵球、位移傳感器、功率放大器及研華的控制板卡，其中由于板卡已經(jīng)安裝到計(jì)算機(jī)中，所以在圖中并未標(biāo)示出來.自由度磁懸浮實(shí)驗(yàn)平臺的參數(shù)見表1，其測量坐標(biāo)如圖11所示，以電磁鐵吸附平面的中心為原點(diǎn)建立ZOX測量坐標(biāo)系.由幾何關(guān)系可知，懸浮位移x1=x2-x3.

圖10 單自由度磁懸浮系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)臺Fig.10 Magnetic levitation ball experimental platform

圖11 鐵球懸浮位移與傳感器測量位移的關(guān)系Fig.11 Relationship between the suspension displacement of the iron ball and the displacement measured by the sensor

懸浮實(shí)驗(yàn)中，同樣采用FFDL-MFAC和PID算法進(jìn)行對比懸浮實(shí)驗(yàn)，以誤差均方根作為懸浮性能的評價(jià)指標(biāo).FFDL-MFAC與PID的實(shí)時控制程序分別如圖12所示，通過PCI-1711輸入模塊與PCI-1711輸出模塊實(shí)現(xiàn)信號的輸入與輸出.

圖12 控制程序Fig.12 Control program

對于FFDL-MFAC控制器，其控制參數(shù)取Ly=1，Lu=2，μ=0.1，η=0.2，ρ=[0.6 0.6 1]，λ=0.001，Φ（1）=[214 000 21 000 600].PID控制器的最佳控制參數(shù)為Kp=100，Ki=0.000 1，Kd=12.兩種算法的位置跟蹤效果和懸浮效果如圖13、14所示.

從圖13、14可知：FFDL-MFAC算法具有很強(qiáng)的自適應(yīng)性，在懸浮過程中，鐵球的懸浮參考位置從6 mm變成8 mm和10 mm時，F(xiàn)FDL-MFAC能立即響應(yīng)并快速實(shí)現(xiàn)鐵球的穩(wěn)定懸浮；而作為對比組的PID控制算法不具有自適應(yīng)性，所以當(dāng)懸浮參考位置發(fā)生變化時，鐵球發(fā)生墜落.

圖13 位移跟隨測試Fig.13 Displacement following test

從圖14可知：FFDL-MFAC算法的懸浮精度優(yōu)于PID，F(xiàn)FDL-MFAC算法的誤差均方根為0.154 2，而PID算法的誤差均方根為0.414 9.

圖14 算法懸浮性能對比Fig.14 Comparison of algorithm levitation performance

5 結(jié) 論

本文針對單自由度磁懸浮系統(tǒng)的非線性及精確數(shù)學(xué)模型難以建立的問題，通過引入FFDL-MFAC算法設(shè)計(jì)出適合單自由度磁懸浮系統(tǒng)的控制器.仿真及實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，全格式無模型自適應(yīng)控制方法只需采集單自由度磁懸浮系統(tǒng)在工作狀態(tài)下的I/O數(shù)據(jù)，無需建立單自由度磁懸浮系統(tǒng)精確數(shù)學(xué)模型，通過設(shè)定全格式無模型自適應(yīng)控制器參數(shù)即可實(shí)現(xiàn)高精度穩(wěn)定懸浮控制，且控制器具有良好的自適應(yīng)性和魯棒性.與傳統(tǒng)PID相比，F(xiàn)FDL-MFAC具有以下優(yōu)點(diǎn)：

1） FFDL-MFAC算法的控制精度高.在懸浮過程中FFDL-MFAC算法的誤差均方根為0.154 2，而PID算法的誤差均方根為0.414 9.

2） FFDL-MFAC控制參數(shù)的調(diào)整域較大，有利于系統(tǒng)穩(wěn)定性的調(diào)節(jié).