橋梁柔性對中低速磁浮車輛平曲線通過的影響

李 苗 ，尚賢洪 ，李 鐵 ,2，陳曉昊 ，羅世輝 ，馬衛(wèi)華 ，雷 成

（1.西南交通大學(xué)牽引動力國家重點實驗室，四川 成都 610031；2.中車大連機車車輛有限公司，遼寧 大連116022；3.鄭州鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院河南省軌道交通智能安全工程技術(shù)研究中心，河南 鄭州 451460）

為緩解由于城市化進程的提速帶來的日益嚴重的交通擁堵問題，我國聚焦于多樣化的城市軌道交通發(fā)展，并取得了顯著成效[1].其中，中低速磁浮交通具有運行安全性高、選線靈活、對環(huán)境友好等優(yōu)點，近年來在國內(nèi)的發(fā)展獲得了廣泛關(guān)注[2]，廣東清遠和湖南鳳凰的中低速磁浮線路也正在如火如荼地建設(shè)和試運行中.然而，中低速磁浮車輛的導(dǎo)向功能主要依靠懸浮力的橫向分力被動提供，這給車輛通過平曲線實現(xiàn)穩(wěn)定懸浮、導(dǎo)向和保障良好的動力學(xué)性能帶來了挑戰(zhàn).

中低速磁浮車輛的電磁力具有固有的開環(huán)不穩(wěn)定特性，車輛與橋梁是一個典型的強耦合非線性系統(tǒng)[3-5]，懸浮控制與車輛-橋梁耦合動力學(xué)研究獲得了研究人員的大量關(guān)注.在懸浮控制方面，眾多學(xué)者基于自適應(yīng)控制、滑?？刂?、模糊控制、卡爾曼濾波器、非線性理論等方法研究了車輛的懸浮穩(wěn)定性及車輛-橋梁耦合系統(tǒng)的分岔特征[6-10].此外，輪軌交通中車輛-軌道耦合動力學(xué)理論的日臻完善[11]，也促進了磁浮交通在該領(lǐng)域的發(fā)展和應(yīng)用.基于車輛-橋梁系統(tǒng)耦合振動模型，車速、軌道不平順、軌道結(jié)構(gòu)、橋梁高度、撓跨比等因素對耦合系統(tǒng)動態(tài)性能的影響研究取得了積極的進展[12-17].而在曲線通過研究方面，Yim等[18]利用車輛多體動力學(xué)模型評估了曲線通過性能，并研究了使橫向偏移變化最小的懸浮架設(shè)計方向.趙春發(fā)等[19-20]研究了低速磁浮車輛以不同速度通過不同半徑曲線時的動態(tài)響應(yīng)，并分析了被動、主動導(dǎo)向方式對懸浮模塊橫向動態(tài)特性的影響.Cui等[21]推導(dǎo)了低速磁浮車輛在直線上和曲線上時的最大承載能力公式，分析了曲線半徑、橫坡角、車輛重心高度等因素對車輛承載能力的影響.曾佑文等[22]基于導(dǎo)向力平衡分析了三懸浮架磁浮車輛通過曲線時的運動學(xué)規(guī)律.

盡管取得了上述進展，但橋梁柔性對中低速磁浮車輛通過平曲線的影響還鮮有報道.當(dāng)前，針對車輛通過平曲線的研究通常不考慮橋梁結(jié)構(gòu)的柔性變形，主要基于剛性軌道模型研究車輛系統(tǒng)的曲線通過能力.鑒于此，本文建立考慮橋梁柔性影響的車輛-橋梁系統(tǒng)耦合動力學(xué)模型，模型中采用二維磁軌關(guān)系，將車輛視為多剛體系統(tǒng)，研究車輛通過小半徑平曲線時橋梁的柔性變形對車輛系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的影響.

1 耦合系統(tǒng)動力學(xué)模型

1.1 車輛模型

以作者所在團隊提出的應(yīng)用（懸掛）中置式懸浮架技術(shù)方案的中低速磁浮車輛為例（該懸浮架的結(jié)構(gòu)組成見圖1）[2]，考慮車體、懸浮模塊、防側(cè)滾梁、吊桿、移動滑臺、固定滑臺、牽引桿等部件，建立具有如下微分代數(shù)方程形式的車輛系統(tǒng)動力學(xué)模型[23]：

圖1 （懸掛）中置式懸浮架Fig.1 Levitation frame with mid-set air spring (suspension)

式中：q為各剛體的廣義坐標(biāo)；M為各剛體的質(zhì)量矩陣；S為廣義慣量；Q為作用在各剛體上的廣義力矩陣；λ為拉格朗日乘子；Ф為約束雅克比矩陣；η為約束條件的加速度矢量；t為時間.

車輛空間動力學(xué)模型的拓撲關(guān)系如圖2所示，圖中各剛體的自由度說明見表1，車輛系統(tǒng)共有122個自由度.表2為車輛的主要計算參數(shù)，車輛總重為30 t.

表1 車輛系統(tǒng)自由度Tab.1 Degrees of freedom of vehicle system

表2 主要計算參數(shù)Tab.2 Main calculation parameters

圖2 車輛拓撲關(guān)系Fig.2 Topological relationships of vehicle

1.2 懸浮控制模型

根據(jù)中低速磁浮交通系統(tǒng)的懸浮原理，懸浮電磁鐵位于軌道下方，可在一定范圍內(nèi)進行垂向和橫向運動，懸浮力F為線圈電流i和懸浮間隙δ的函數(shù)[10]，如式（2）.

式中：μ0為真空磁導(dǎo)率；A為磁極正對面積；N為線圈匝數(shù).

根據(jù)基爾霍夫定律，線圈電流i與控制電壓V的關(guān)系可寫為

式中：R為線圈電阻.

在實際的工程應(yīng)用中，傳感器可同時獲得懸浮間隙和加速度信號，但缺少速度信號，一般還需要引入狀態(tài)觀測器來重構(gòu)速度信號[15]：

式中：a為傳感器測得的垂向加速度； ξ0和ω0分別為觀測器的阻尼比和特征頻率； δ? 和 θ? 分別為觀測的間隙和速度.

通過對懸浮間隙和垂向速度進行反饋得到目標(biāo)懸浮電流ie，并進一步采用比例反饋控制確定控制電壓V，如式（6）、（7）.

式中：kp、ki、kd、ke、i0、δ0分別為間隙反饋系數(shù)、積分系數(shù)、速度反饋系數(shù)、電流反饋系數(shù)、額定懸浮電流、額定懸浮間隙.相關(guān)參數(shù)的取值可參考文獻[24].

中低速磁浮車輛的運行速度相對較低，沒有像上海高速磁浮車輛那樣配置專門的導(dǎo)向電磁鐵，而是采用了U型電磁鐵的設(shè)計方案，該方案可使車輛具有被動導(dǎo)向能力.當(dāng)懸浮電磁鐵與F軌存在橫向錯位時，懸浮力在垂向和橫向方向上的分力Fz、Fy可分別表示為[25]

式中：wm和y分別為磁極寬度和電磁鐵橫向偏移.

由式（2） ～ （9）可搭建出系統(tǒng)的控制邏輯框圖，如圖3所示.

圖3 控制邏輯框圖Fig.3 Block diagram of control logic

1.3 橋梁模型

采用文獻[26]給出的三維鐵木辛柯梁參數(shù)化建立方法，搭建包含直線、緩和曲線和圓曲線的柔性橋梁（均為簡支梁）有限元模型，橋梁的彈性模量和泊松比分別取36.5 GPa和0.2，其中圓曲線半徑為70.0 m，最大橫坡角為 6°，如圖4（a）所示.跨徑為17.0 m的曲線橋梁前二階橫向和垂向彎曲模態(tài)如圖4（b）所示，13.20 Hz顯然大于 90/L（L為跨徑），滿足《磁浮鐵路技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)（試行）》（TB 10630—2019）[27]對橋梁垂向一階固有頻率的要求.

圖4 柔性橋梁組成及圓曲線橋梁模態(tài)Fig.4 Composition of flexible bridge and modal of circle curved bridge

1.4 模型耦合及求解

通過車輛-橋梁耦合系統(tǒng)之間力的平衡及變形協(xié)調(diào)關(guān)系，耦合系統(tǒng)動力學(xué)方程可表示為

式中：下標(biāo)v、b分別表示車輛和橋梁；C、K分別為阻尼、剛度矩陣；、X分別為加速度、速度、位移向量；Fbv、Fvb分別為橋梁作用于車輛和車輛作用于橋梁的載荷向量.

建立的車輛-曲線橋梁耦合系統(tǒng)可視化動力學(xué)模型如圖5所示，并在UM （universal mechanism）中采用基于二階變步長隱式求解器進行數(shù)值計算，該方法對剛?cè)狁詈夏Ｐ椭邪瑒傂晕⒎执鷶?shù)方程的求解十分有效[28].

圖5 可視化的車輛-曲線橋梁耦合系統(tǒng)動力學(xué)模型Fig.5 Visualized dynamic model of vehicle-curve bridge coupled system

2 仿真計算結(jié)果及討論

2.1 工況設(shè)置

為滿足車輛通過平曲線時的安全性和平穩(wěn)性要求，《磁浮鐵路技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)（試行）》（TB 10630—2019）[27]還指出：車輛通過曲線時的未平衡離心加速度不超過0.59 m/s2.綜合考慮橫坡角和未平衡離心加速度的影響，車輛運行速度取30 km/h，對車輛通過剛性軌道和柔性橋梁2種模型進行對比計算，并采用文獻[16]提到的軌道不平順譜（見式（11））生成本文仿真計算所需的軌道不平順樣本，如圖6所示，高低不平順幅值不超過3.5 mm.

圖6 軌道不平順Fig.6 Track irregularity

式中： Ω 、Ar、n分別為空間波數(shù)、表面粗糙度系數(shù)、頻率特征參數(shù)，本文中分別取為3 000 rad/m、8 × 10-7m、2.波長范圍設(shè)定為0.5～50.0 m.

2.2 結(jié)果與討論

為探究圓曲線橋梁的動態(tài)響應(yīng)特性，圖7給出了車輛以30 km/h的速度運行時，17.0 m跨徑圓曲線橋梁跨中的動位移、加速度響應(yīng)時間歷程以及加速度頻譜計算結(jié)果.

從圖7中可知：橋梁跨中在垂向上的動位移和加速度響應(yīng)幅值均比橫向的更高（垂向動位移和加速度幅值分別不超過0.8 mm、0.16 m/s2），這主要是因為車輛通過圓曲線時在垂向方向上分解的載荷更大；橋梁跨中的橫向、垂向加速度優(yōu)勢頻率集中在11.00～15.00 Hz區(qū)間，且兩個方向的優(yōu)勢頻率相同，這是因為電磁鐵和F軌之間的懸浮力和導(dǎo)向力具有強耦合關(guān)系.由前述分析，17.0 m跨徑圓曲線橋梁的動位移滿足2.1節(jié)提到的標(biāo)準(zhǔn)和《中低速磁浮交通設(shè)計規(guī)范》（CJJ/T 262—2017 ）[29]中的相關(guān)要求，該柔性橋梁模型可以進一步用于與車輛通過剛性軌道（不考慮線路上彈性體的參振作用）模型的對比分析.

圖7 圓曲線橋梁跨中的動態(tài)響應(yīng)Fig.7 Dynamic response of mid-span at circular-curve bridge

圖8所示為車輛在剛性軌道和柔性橋梁上運行時電磁鐵的橫向位移和懸浮間隙響應(yīng)時程曲線.圖中：#11_f 為控制點#11前端線圈對應(yīng)位置（即懸浮模塊 5第3個線圈對應(yīng)位置）；#15_r 為控制點#15后端線圈對應(yīng)位置（即懸浮模塊7第4個線圈對應(yīng)位置）.

圖8 電磁鐵動態(tài)響應(yīng)Fig.8 Dynamic response of electromagnet

計算結(jié)果表明，該工況下這兩處位置的橫向偏移最大，為避免贅述，其余觀測點的響應(yīng)不再給出.從圖8（a）可以看出：車輛在通過緩和曲線和圓曲線的過程中，第3個線圈向曲線內(nèi)側(cè)偏移，第4個線圈則與之相反，且這兩個位置偏移的最大幅值基本相等；觀測點的橫向位移最大值不超過6.0 mm，電磁鐵與F軌不會發(fā)生機械碰撞；車輛處在緩和曲線及圓曲線上時，柔性橋梁下的電磁鐵橫向位移波動比剛性軌道下的計算結(jié)果更為劇烈，且懸浮模塊 5比懸浮模塊 7存在更明顯的波動變化差異，這一方面與懸浮模塊 5采用移動滑臺（懸浮模塊 7為固定滑臺）多出的橫向移動自由度有關(guān)，移動滑臺處的空氣彈簧在橫向方向上的阻尼效果相對較弱；另一方面與被動導(dǎo)向方案下控制算法無法提供橫向阻尼效果有關(guān).從圖8（b）可以看出：柔性橋梁比剛性軌道作用下的懸浮間隙響應(yīng)略大，但兩者相差較小，這與懸浮控制的主動調(diào)節(jié)影響有關(guān)；懸浮間隙波動范圍在± 4.0 mm以內(nèi)，表明車輛通過剛性軌道和柔性橋梁的曲線線路時具有良好的懸浮穩(wěn)定性.

圖9所示為懸浮模塊 1上方的移動滑臺相對車體和懸浮模塊 3、7上的空氣彈簧橫向位移響應(yīng)時間歷程曲線.

圖9 移動滑臺和空氣彈簧的橫向位移Fig.9 Lateral displacement of sliding table and air spring

計算結(jié)果表明移動滑臺相對車體向曲線內(nèi)側(cè)滑動，柔性橋梁和剛性軌道作用下的最大滑動量分別為190.4、188.2 mm；空氣彈簧的橫向位移響應(yīng)在-6.0～5.0 mm之間變化，且車輛在緩和曲線上的空氣彈簧橫向位移比在圓曲線上更大，這是因為車輛以30.0 km/h的速度通過圓曲線時，車輛的未平衡離心加速度很小.相比于在剛性軌道上運行，柔性橋梁作用下移動滑臺和空氣彈簧的橫向位移波動更大，且這種差異主要體現(xiàn)在緩和曲線和圓曲線的交界處與前半段圓曲線上.

圖10所示為車輛通過圓曲線階段時的車體地板中心振動加速度時間歷程曲線.整體上看，車輛通過剛性軌道和柔性橋梁的圓曲線時，車體的橫向、垂向振動加速度響應(yīng)幅值均較小，表明車輛在圓曲線上運行時具有較好的平穩(wěn)性.此外，從圖10中也可以觀察出一些區(qū)別，柔性橋梁模型下計算得到的車體橫向加速度響應(yīng)波動比剛性軌道模型對應(yīng)的結(jié)果更為劇烈，而在垂向方向上的振動加速度差異并不明顯（整體上看，仍然是考慮了柔性橋梁時略大）.

圖10 車體振動加速度Fig.10 Vibration acceleration of car body

進一步地，綜合圖8 ～ 10的結(jié)果可知：車輛通過由柔性橋梁組成的平曲線線路時，電磁鐵、移動滑臺和空氣彈簧等的橫向位移均相比剛性軌道模型對應(yīng)的結(jié)果有所加劇，相對而言，懸浮間隙和車體垂向加速度的響應(yīng)波動的差異較小.造成這些結(jié)果差異的原因主要與磁軌關(guān)系和懸浮控制特性有關(guān).一方面，橋梁在橫向和垂向兩個方向上的柔性變形將使軌道不平順相對更加惡劣，而中低速磁浮車輛的導(dǎo)向能力主要依靠電磁鐵相對F軌的自動對中效應(yīng)被動提供，因此盡管橋梁的橫向動位移比垂向動位移小，但電磁鐵、移動滑臺和空氣彈簧的橫向位移響應(yīng)在柔性橋梁影響下相比剛性軌道時更大，這也意味著采用剛性軌道模型將高估車輛的曲線通過性能.另一方面，懸浮控制系統(tǒng)在垂向方向上有主動調(diào)節(jié)作用，對橋梁的小變形和正常的軌道不平順具有較好的適應(yīng)性，故在兩種計算模型下車輛系統(tǒng)的垂向響應(yīng)差異相對較小.

3 結(jié) 論

1） 車輛以30 km/h的速度通過圓曲線半徑為70.0 m的平曲線時，17.0 m跨徑圓曲線橋梁的振動加速度優(yōu)勢頻率集中在11.00～15.00 Hz，其自振頻率和跨中動位移響應(yīng)滿足相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)要求.電磁鐵相對F軌的橫向位移幅值小于6.0 mm，車輛具備足夠的橫向安全間隙通過該曲線線路.

2） 相比于剛性軌道線路模型，考慮柔性橋梁作用時，電磁鐵、移動滑臺、空氣彈簧的橫向位移以及車體的橫向加速度響應(yīng)更加劇烈，而由于懸浮控制器的主動調(diào)節(jié)影響，懸浮間隙和車體垂向加速度波動僅略有增大，兩種模型所得結(jié)果差異較小.

3） 在評估中低速磁浮車輛的平曲線通過能力時，建議在未來的數(shù)值計算中考慮柔性橋梁對車輛系統(tǒng)橫向動態(tài)響應(yīng)的影響，從而避免高估車輛的曲線通過能力.

致謝：感謝牽引動力國家重點實驗室自主研究課題（2020TPL-T01，2020TPL-T04）、河南省軌道交通智能安全工程技術(shù)研究中心開放基金（2019KFJJ001）的資助.