斜對(duì)角算子矩陣的Weyl譜

李燕清，黃俊杰，*，阿拉坦倉(cāng)

(1.內(nèi)蒙古大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古呼和浩特 010021;2.內(nèi)蒙古師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古呼和浩特 010022)

§1 引言

算子矩陣常常出現(xiàn)于系統(tǒng)理論，最優(yōu)控制，應(yīng)用力學(xué)以及數(shù)學(xué)物理等研究領(lǐng)域.眾所周知，算子矩陣的Fredholm理論，特征向量展開(kāi)定理等譜問(wèn)題的研究比較復(fù)雜，一直沒(méi)有徹底解決.為研究這類問(wèn)題，往往需要引入一些有效的工具和研究方法.通常，算子矩陣可以分解為一個(gè)斜對(duì)角算子矩陣和一個(gè)具有良好性質(zhì)的算子矩陣之和.因此，斜對(duì)角算子矩陣有望成為研究這些譜問(wèn)題的有力工具，其中譜性質(zhì)是亟需解決的關(guān)鍵問(wèn)題之一.

近年來(lái)，許多學(xué)者研究了斜對(duì)角算子矩陣H的譜性質(zhì)，并得到一些有意義的結(jié)論.在文[1]中，當(dāng)B和C均自伴，即H為Hamilton算子矩陣時(shí)，得到了點(diǎn)譜的描述

并且0(H)當(dāng)且僅當(dāng)0(B)∪σp(C);而當(dāng)其同時(shí)滿足(BC)*CB時(shí)，有剩余譜和連續(xù)譜的刻畫(huà)

對(duì)于一般的有界算子B和C，文[2]給出近似點(diǎn)譜的描述

在文[3]中，當(dāng)B和C是自伴算子時(shí)，

當(dāng)B和C是可逆算子時(shí)，文[4]給出了本質(zhì)譜的刻畫(huà)σe(H){C|λ2(BC)∪σe(CB)}.

綜上所述，在一定的條件下，可以通過(guò)斜對(duì)角算子矩陣中兩個(gè)斜對(duì)角元的之積BC和CB的譜性質(zhì)刻畫(huà)整個(gè)算子矩陣的譜性質(zhì).目前為止，未見(jiàn)斜對(duì)角算子矩陣的左(右)Weyl譜和Weyl譜的相關(guān)研究，本文基于算子積的Fredholm性與各因子的關(guān)系解決了這個(gè)問(wèn)題.

§2 預(yù)備知識(shí)

本文涉及的算子均為線性算子，對(duì)于算子T，分別以N(T)和R(T)表示零空間和值域;記n(T)dimN(T)，d(T)codimR(T).

定義2.1(見(jiàn)[5])X，Y為Banach空間，若T:X →Y是具有閉值域的稠定閉算子，n(T)＜∞，則稱T為左Fredholm算子;而若零性條件替換為d(T)＜∞，則稱T為右Fredholm算子;若T既是左Fredholm算子又是右Fredholm 算子，則稱T為Fredholm算子;若T是左Fredholm算子或者右Fredholm算子，則稱T為半Fredholm算子，此時(shí)可定義它的指標(biāo)i(T)n(T)-d(T)，其中i(T)取值可為±∞.

定義2.2(見(jiàn)[5])X為Banach空間，T是X中的算子.若T -λI不是左(右)Fredholm算子，則λ稱為T(mén)的左(右)本質(zhì)譜，左(右)本質(zhì)譜的全體記為σle(T)(σre(T));若T -λI不是Fredholm算子，則λ稱為T(mén)的本質(zhì)譜，本質(zhì)譜的全體記為σe(T).

定義2.3(見(jiàn)[5–7])X，Y為Banach空間，若T:X →Y為左Fredholm算子且i(T)≤0，則稱T為左Weyl算子;若T為右Fredholm算子且i(T)≥0，則稱T為右Weyl算子;若T為Fredholm算子且i(T)0，則稱T為Weyl算子.

定義2.4(見(jiàn)[5–7])X為Banach空間，T為X中的算子.若T-λI不是左(右)Weyl算子，則λ稱為T(mén)的左(右)Weyl譜，左(右)Weyl譜的全體記為σlw(T)(σrw(T));若T-λI不是Weyl算子，則λ稱為T(mén)的Weyl譜，Weyl譜的全體記為σw(T).

定義2.5(見(jiàn)[8])X為Hilbert空間，H:D(H)?X ⊕X →X ⊕X是稠定閉算子，其中A為閉算子，B和C均為自伴算子，則稱H為Hamilton算子矩陣.

引理2.1(見(jiàn)[5])X，Y，Z為Banach空間，S:X →Y和T:Y →Z均為Fredholm算子，則TS:X →Z是Fredholm算子且i(TS)i(T)+i(S).

引理2.2(見(jiàn)[5])X，Y，Z為Banach空間，若S:X →Y和T:Y →Z均為左Fredholm算子且D(TS)在X中稠定，則TS:X →Z是左Fredholm算子;若S:X →Y和T:Y →Z均為右Fredholm算子且TS可閉，則TS:X →Z是右Fredholm算子.

引理2.3(見(jiàn)[5])X，Y，Z為Hilbert空間，S:X →Y是右Fredholm算子，T:Y →Z是稠定算子，則TS:X →Z稠定且(TS)*S*T*.

引理2.4(見(jiàn)[9])X，Y，Z為Hilbert空間，S:X →Y，T:Y →Z均為稠定閉算子.若TS:X →Z是右Fredholm算子，則T是右Fredholm算子;若TS:X →Z是左Fredholm算子且(TS)*S*T*，則S是左Fredholm算子.

引理2.5(見(jiàn)[10])X，Y是Hilbert空間，T:X →Y是稠定閉算子，則T*T，TT*均為自伴算子.

§3 主要結(jié)果

在本節(jié)中，如無(wú)特別說(shuō)明X均為無(wú)窮維Hilbert空間，首先考慮斜對(duì)角算子矩陣

Weyl譜的刻畫(huà).

證假設(shè)λ不在上式等號(hào)右端的集合中，則H -λI為Fredholm算子且

注意到斜對(duì)角算子矩陣H滿足

顯然H+λI為Fredholm算子，應(yīng)用引理2.1有H2-λ2I是Fredholm算子且

因?yàn)?/p>

所以

結(jié)合(1)，(3)，(5)得

另一方面，又由(2)顯然

從而

因此

結(jié)合(7)，(8)得

進(jìn)而由(6)，(9)有i(H -λI)0. 于是H -λI為Weyl算子，即(H).綜上證明了

下面證明相反的包含關(guān)系.為此假設(shè)(H).注意到(2)，由前述證明有(H)，因此H -λI，H+λI均為Weyl算子，即H -λI，H+λI均為Fredholm算子且

由引理2.1，H2-λ2I也是Fredholm算子且滿足指標(biāo)公式:

結(jié)合(5)，(10)，(11)有

于是(H)且{C|i(BC-λ2I)+i(CB-λ2I)0}.綜上

由定理3.1的證明過(guò)程，實(shí)際上還有推論3.1.

結(jié)合定理3.1和推論3.1有

下面討論左Weyl譜，由于涉及兩算子積的左Fredholm性，需要一些附加條件.

證假設(shè)λ不在上式等號(hào)右端的集合中，則BC-λ2I，CB-λ2I均為左Fredholm算子，同時(shí)

由(4)，顯然有H2-λ2I是左Fredholm算子，并且

注意到H -λI和H+λI可交換，由引理2.4得到H -λI，H+λI均為左Fredholm算子.以下分兩種情形討論:

情形1d(H-λI)＜∞.此時(shí)由(8)有d(H+λI)＜∞，故H-λI，H+λI均為Fredholm算子.結(jié)合(5)，(12)和引理2.1得

注意到(9)有i(H -λI)≤0.因此，H -λI為左Weyl算子.

情形2d(H -λI)∞.此時(shí)，n(H -λI)＜d(H -λI)，即

因此H -λI為左Weyl算子.綜上(H)，于是

下面證明相反的包含關(guān)系.假設(shè)(H)，由(2)有(H)，因此H -λI，H+λI均為左Weyl算子，顯然它們均為左Fredholm算子，并且結(jié)合(9)還有

注意到D(H2)D(BC)⊕D(CB)在X ⊕X中稠，應(yīng)用引理2.2得到H2-λ2I是左Fredholm算子，由(4)這等價(jià)于BC-λ2I，CB-λ2I均為左Fredholm算子.以下分兩種情形討論:

情形1d(H2-λ2I)＜∞.此時(shí)，由(8)和(14)得d(H-λI)d(H+λI)＜∞，從而H-λI，H+λI均為Fredholm算子.結(jié)合(5)和(15)，應(yīng)用引理2.1便有

情形2d(H2-λ2I)∞.此時(shí)，顯然n(H2-λ2I)＜d(H2-λ2I)，即

證假設(shè)λ不在上式等號(hào)右端的集合中，則BC-λ2I，CB-λ2I均為右Fredholm算子，同時(shí)

顯然，R(BC-λ2I)，R(CB-λ2I)均為閉的，dim[(BC-λ2I)]＜∞，dim[(CB-λ2I)]＜∞.由類似于(14)的值域余維數(shù)的不等式，有dim[(X ⊕X)(H-λI)]＜∞(從而R(H-λI)閉)，因此H -λI為右Fredholm算子.同理，H+λI也為右Fredholm算子.以下分兩種情形討論.

情形1n(H-λI)＜∞.此時(shí)，由(7)有n(H+λI)＜∞，因此H-λI，H+λI均為Fredholm算子，結(jié)合(5)，(16)和引理2.1得

又由(9)有i(H -λI)≥0.因此，H -λI為右Weyl算子.

情形2n(H -λI)∞.此時(shí)顯然n(H -λI)＞d(H -λI)，從而i(H -λI)＞0.因此H -λI為右Weyl算子.綜上(H).于是，

下面證明相反的包含關(guān)系.假設(shè)(H)，由(2)知(H)，則H-λI，H+λI均為右Weyl算子，因此H -λI，H+λI均為右Fredholm算子，又由(9)有

根據(jù)引理2.3和引理2.2，H2-λ2I為右Fredholm算子，這等價(jià)于BC -λ2I，CB -λ2I均為右Fredholm算子.以下分兩種情形討論:

情形1n(H2-λ2I)＜∞.此時(shí)，由(7)和(13)有n(H-λI)n(H+λI)＜∞，所以H-λI，H+λI均為Fredholm算子，由(5)，(17)和引理2.1得

情形2n(H2-λ2)∞.此時(shí)n(H2-λ2)＞d(H2-λ2)，即

證由定理3.3的證明過(guò)程直接可得.

事實(shí)上，當(dāng)λ0時(shí)，從B，C的譜性質(zhì)考慮，有以下簡(jiǎn)要結(jié)果.

(i) 0(H)?0(B)∪σe(C)，或i(B)+i(C)0.

(ii) 0(H)?0(B)∪σle(C)，或i(B)+i(C)＞0.

(iii) 0(H)?0(B)∪σre(C)，或i(B)+i(C)＜0.

證(i) 充分性若B，C都是Fredholm算子且i(B)+i(C)0，則H是Fredholm 算子，根據(jù)i(H)i(B)+i(C)0，可得H是Weyl算子.

必要性若H是Weyl算子，即H是Fredholm算子且i(H)0，則B，C都是Fredholm算子，i(B)+i(C)i(H)0.類似可證明結(jié)論(ii)和(iii).

證注意到引理2.5，根據(jù)定理3.1的證明過(guò)程，結(jié)論顯然成立.

注若HD(H)?X ⊕X →X ⊕X是Hamilton算子矩陣，則以上定理及推論均成立.