圓環(huán)面S1(R )×S1(r )上的定傾曲線

齊 瑞

(鄭州西亞斯學(xué)院 教育學(xué)院，河南 鄭州 451100)

圓環(huán)面是三維空間中一類(lèi)特殊的旋轉(zhuǎn)曲面，在曲面理論研究中占據(jù)著重要地位，并且在實(shí)際生產(chǎn)生活中有廣泛的應(yīng)用。定傾曲線又被稱(chēng)為螺線，指與固定方向呈恒定角度的曲線，如平面上的阿基米德螺線、圓柱面上的定傾曲線等。關(guān)于圓環(huán)面和定傾曲線已有大量研究[1-3]，注意到圓柱面是一類(lèi)旋轉(zhuǎn)曲面，它的定傾曲線與旋轉(zhuǎn)軸呈固定的夾角，而圓環(huán)面作為旋轉(zhuǎn)曲面，其方程為

r(θ，φ)=[(R+rcosθ)cosφ，(R+rcosθ)sinφ，rsinθ]。

圓環(huán)面可以看成由一個(gè)小圓S1(r)繞固定的大圓S1(R)旋轉(zhuǎn)得到的，此時(shí)的軸線可以看成是大圓S1(R)。因此，可考慮S1(R)×S1(r)上的定傾曲線。

定義對(duì)于圓環(huán)面S1(R)×S1(r)上的曲線，如果它在每一點(diǎn)處與中心圓周S1(R)的夾角為常數(shù)，則稱(chēng)為該圓環(huán)面上的定傾曲線。

本研究通過(guò)以下主要定理，建立了圓環(huán)面S1(R)×S1(r)上定傾曲線的完全分類(lèi)。

主要定理圓環(huán)面S1(R)×S1(r)上的定傾曲線必為下列3類(lèi)曲線之一：

①r(θ)=[(R+rcosθ)cosφ0，(R+rcosθ)sinφ0，rsinθ]，其中φ0為常數(shù)。

②r(φ)=[(R+rcosθ0)cosφ，(R+rcosθ0)sinφ，rsinθ0]，其中θ0為常數(shù)。

③r(φ)=[(R+rcosθ)cosφ，(R+rcosθ)sinφ，rsinθ]，其中φ為θ的函數(shù)。

這里的常數(shù)φ0=φ(0)，p0=1/φ′(0)由曲線上的點(diǎn)及該點(diǎn)處切向量決定。

上述定理中的曲線①和曲線②分別對(duì)應(yīng)圓環(huán)面上的經(jīng)圓和緯圓。

1 主要定理的證明

r(φ)=[(R+rcosθ)cosφ，(R+rcosθ)sinφ，rsinθ]，

(1)

由于r(φ)是定傾曲線，故

即有

(2)

對(duì)式(2)兩邊關(guān)于φ求導(dǎo)，得到

注意到θ′≠0，于是有

(R+rcosθ)θ″+rsinθθ′2=0。

(3)

因?yàn)閜=θ′≠0，所以方程(3)可轉(zhuǎn)化為

(4)

對(duì)于初值p(θ=0)=p0，上述方程的解是

(5)

式(5)可化為

注意R>r，利用如下公式[4]:

得到當(dāng)φ(0)=φ0時(shí)，上述方程的解為

2 結(jié)語(yǔ)

本研究的證明方法同樣適用于研究管狀曲面和一般旋轉(zhuǎn)曲面的定傾曲線。管狀曲面的定傾曲線是指與中心曲線成固定角度的曲線，它是圓環(huán)面上定傾曲線的一種自然推廣。