基于非平穩(wěn)隨機場的水泥土堤壩邊坡可靠度分析

楊亮，劉輝，章榮軍，鄭俊杰

(華中科技大學 巖土與地下工程研究所，武漢 430074)

為了處置大量的河湖疏浚淤泥，一種理想的做法是采用水泥固化高含水率泥漿，再結(jié)合真空預壓、堆載預壓等多種方式將水泥土作為工程(如堤壩)填料，但由于疏浚淤泥雜質(zhì)眾多、施工過程中攪拌不勻、養(yǎng)護條件不一等多種因素，疏浚淤泥固化處理后形成的水泥土堤壩邊坡材料參數(shù)分布存在較大變異性[1-3]。

在固化淤泥堤壩填筑過程中，常采用真空預壓加速土體固結(jié)，需要在堤壩土體內(nèi)鋪設多層水平排水板，針對這種條件下堤壩土體內(nèi)抗剪強度的分布規(guī)律，學者們已開展相關試驗研究。周洋等[4]通過試驗發(fā)現(xiàn)，僅鋪設水平排水板時，垂直于水平排水板方向，距離越遠土體含水率越高，并且從土體含水率分布情況來看，僅鋪設水平排水板的效果要優(yōu)于僅鋪設豎向排水板的效果；張文彬等[5]發(fā)現(xiàn)，隨著離排水板距離的增加，土體的十字板抗剪強度逐漸減??；高會強[6]發(fā)現(xiàn)，鋪設水平排水板時，加固后土體表層和靠近排水板的土體強度較高，而遠離排水板的土體強度很低，鋪設豎向排水板時，隨著深度的增加，十字板抗剪強度呈線性增加趨勢。根據(jù)已有的試驗結(jié)果可知，在堤壩內(nèi)鋪設水平排水板會使土體的強度特性分布受到影響，且一般的規(guī)律是：在一定范圍內(nèi)，距離排水板越遠，含水率越高，土體強度越低[7]。

為了描述土體參數(shù)的空間分布變異性并進行可靠度分析，常采用平穩(wěn)隨機場模型[8-9]。所謂平穩(wěn)隨機場即認為土體參數(shù)的均值、標準差等統(tǒng)計特征沿埋深保持不變，參數(shù)之間的空間相關性只與兩點之間的相對距離相關而與其絕對距離無關[2]。這種模型很難表征排水板固結(jié)帶來的土體強度空間變化趨勢。相對于平穩(wěn)隨機場，也有學者提出了非平穩(wěn)隨機場分析模型，在非平穩(wěn)隨機場的表征過程中，土體參數(shù)離散變量一般可視為趨勢項、殘余項與波動分量的多項式，以此表征土體參數(shù)在水平方向上的波動性和埋深方向上的趨勢性，許多學者展開了相關研究，提出了非平穩(wěn)隨機場的表征方法與趨勢項及殘余項的處理方法。蔣水華等[10]綜合分析了兩種非平穩(wěn)隨機場模型的特征：1)采取去趨勢分析方法，將土體參數(shù)模擬為某一平穩(wěn)隨機場，再基于該平穩(wěn)隨機場，進一步考慮土體參數(shù)隨埋深的變化趨勢分量的影響，從而實現(xiàn)對土體參數(shù)二維非平穩(wěn)隨機場的表征[11]，該方法所得非平穩(wěn)隨機場的均值與標準差均隨埋深而變化，但其變異系數(shù)保持不變；2)取趨勢項為趨勢分量與土體重度和埋深的乘積，殘余項為地表處土體參數(shù)值，繼而將趨勢分量參數(shù)模擬為服從某一分布的平穩(wěn)隨機場，忽略殘余項的不確定性，得到二維非平穩(wěn)隨機場[12]，該方法所得土體參數(shù)的均值、標準差與變異系數(shù)均隨埋深而變化；在此基礎上，Li等[13]提出了一種新的二維非平穩(wěn)隨機場表征方法，驗證了所提方法的可行性，系統(tǒng)比較了所提方法與現(xiàn)有二維非平穩(wěn)隨機場與隨機場的區(qū)別，該方法的優(yōu)勢在于能夠同時考慮趨勢分量與波動分量的不確定性。豆紅強等[14]通過去趨勢分析方法，將飽和滲透系數(shù)均值視為隨埋深遞減的線性函數(shù)，殘余項為地表處平均飽和滲透系數(shù)，趨勢分量為飽和滲透系數(shù)隨埋深的變化梯度，建立了表征土體飽和滲透系數(shù)變異性的一維非平穩(wěn)隨機場模型，并探討了土體飽和滲透系數(shù)的空間變異性對邊坡可靠度的影響。Li等[15]通過不排水抗剪強度、有效豎向應力和黏土超固結(jié)比(OCR)之間的經(jīng)驗關系，研究了不排水剪切強度隨埋深的變化趨勢，在此基礎上得到了趨勢項隨埋深變化的二維非平穩(wěn)隨機場。Shu等[16]取殘余項為泥水分界線處的不排水剪切強度，取趨勢項為埋深的線性函數(shù)，且趨勢項與殘余項滿足對數(shù)正態(tài)分布，建立了不排水剪切強度的二維非平穩(wěn)隨機場，討論了自相關距離對深海基礎平均承載力與破壞機理的影響；Wu等[17]取趨勢項為地表處非零且隨埋深線性變化的不排水剪切強度均值，保持變異系數(shù)不變，通過高斯平穩(wěn)隨機場的轉(zhuǎn)換與映射，得到了不排水剪切強度的二維非平穩(wěn)隨機場表征，研究了變異系數(shù)、分布函數(shù)、垂直自相關距離等因素對土體承載力的影響。

基于上述垂直排水板方向強度衰減的一般規(guī)律及非平穩(wěn)隨機場相關理論，筆者提出一種水泥土堤壩內(nèi)垂直排水板方向的不排水抗剪強度隨距離衰減的非平穩(wěn)隨機場模型，該模型既能表征土體抗剪強度沿埋深方向增加的趨勢，又能考慮垂直排水板方向的強度衰減。在此基礎上，給出土體參數(shù)三維非平穩(wěn)隨機場模擬計算方法流程，并分析了土體參數(shù)非平穩(wěn)分布特征對邊坡可靠度的影響。

1 不排水抗剪強度非平穩(wěn)隨機場模型

1.1 深度趨勢隨機場

土體參數(shù)的空間變異性一般由趨勢項和隨機波動項聯(lián)合表征。以無側(cè)限抗壓強度隨機場為例，試驗值qu沿深度方向的不平穩(wěn)特征可表示為

qu(h)=t(h)+ω

(1)

式中：h為土體埋深；t(h)為與埋深有關的趨勢項，一般取相應深度下土體參數(shù)的均值；ω為隨機波動項，用來描述土體空間內(nèi)土體參數(shù)大小無趨勢的隨機波動特征，其均值和標準差與埋深無關。通常，土體的無側(cè)限抗壓強度隨深度增加而增加。簡單起見，用線性函數(shù)描述土體無側(cè)限抗壓強度隨深度的變化關系[10]，即

qu=qu0+b1·σv′=qu0+γ·h·b1

(2)

式中：qu0為地表土體的無側(cè)限抗壓強度(地表UCT試驗值)；b1為無側(cè)限抗壓強度隨埋深增加的速率；σv′=γh，為豎向有效應力，γ為土體重度。參考文獻[10]的做法，采用去趨勢分析方法，首先用一均值為μqu0、標準差為σqu0的對數(shù)正態(tài)平穩(wěn)隨機場模擬qu0，再在此基礎上疊加一個沿埋深線性增加的趨勢分量，最終得到三維深度趨勢非平穩(wěn)隨機場

qu=qu0(x,y,z)+γ·h·b1

(3)

1.2 垂直排水板不排水抗剪強度衰減非平穩(wěn)隨機場模型

基于已有的試驗研究[4-7]，可假設土體在排水固結(jié)后，抗剪強度與其離排水板的距離線性相關，此時土體隨機場可表示為

qu(x,y,z)=qu0+γ·h·b1-d(x,z)·

b2·exp[ω(x,y,z)]

(4)

式中：qu0、b1的含義同前所述，只是此處qu0為均值，為μqu0、標準差為σqu0的隨機變量；d(x,z)為土體空間內(nèi)一點與排水板的垂直距離(排水板沿y方向鋪設)；b2為垂直排水板方向的趨勢項；exp[ω(x,y,z)]為隨機波動項。

如圖1所示，P為三維空間中截取的某一x-z平面內(nèi)一點，因排水板(鋪設)方向平行于y軸方向，故點P垂直排水板距離d(指距離最近的排水板)只與點P的x、z坐標有關，而與x-z平面所處的位置(y坐標)無關，表示為d(x,z)。

圖1 與排水板的垂直距離d(x,z)Fig.1 Distance d(x,z) along the normal direction

2 算例分析

2.1 算例描述

算例為一高陡水泥土堤壩邊坡，斜坡高度6 m，坡度1∶0.5，堤壩頂面寬度為18 m，堤壩頂面作用20 kPa的交通荷載(假設為均勻分布)。為了提高計算效率，取半結(jié)構進行建模分析，模型斷面圖和三維網(wǎng)格圖如圖2所示。

圖2 邊坡斷面圖及三維網(wǎng)格模型Fig.2 Slope profile and mesh grid for numerical

2.2 材料參數(shù)取值

參照Zhang等[18]、Lee等[19]的研究，認為水泥土堤壩邊坡無側(cè)限抗壓強度服從對數(shù)正態(tài)分布，固化淤泥形成的水泥土模量E與無側(cè)限抗壓強度qu呈正比關系，E/qu=135～140?？紤]到固化淤泥形成的水泥土材料滲透系數(shù)很低，參考Liu等[20]的做法，假定主固結(jié)完成后水泥土堤壩為完全不排水條件，采用內(nèi)摩擦角為0的Mohr-Coulomb模型來模擬固化淤泥形成的水泥土，取不排水抗剪強度cu=qu/2、E/qu=140。相應地，堤壩地基土體為老黏土，相關材料參數(shù)見表1。

表1 土體材料參數(shù)

為了探究垂直排水板衰減非平穩(wěn)隨機場模型的可行性，采用3種隨機場模型模擬水泥土堤壩部分對比計算結(jié)果，下部老黏土采用一般的平穩(wěn)隨機場模型。

模型1為平穩(wěn)隨機場模型，采用地表處的UCT試驗均值μqu0=86 kPa，不考慮其趨勢變化，UCT試驗值空間隨機場采用對數(shù)正態(tài)分布，變異系數(shù)COV=0.3。采用高斯型自相關函數(shù)，三維空間內(nèi)水平、豎向相關距離分別取為38、3.8 m。

模型2為深度趨勢隨機場模型，三維空間隨機場生成公式為

qu(x,y,z)=qu0(x,y,z)+γ·(6-z)·b1

(5)

式中：qu0(x,y,z)為對數(shù)正態(tài)分布的平穩(wěn)隨機場，離散取值同上。土體趨勢分量參數(shù)b1隨深度變化，參照蔣水華[10]的統(tǒng)計結(jié)果，取b1=0.2，為定值。不排水抗剪強度的均值和標準差分別為

(6)

模型3為垂直排水板衰減非平穩(wěn)隨機場模型，在模型計算時，認為排水板附近土體的抗剪強度不斷減小。同時，采用靜力計算，不考慮排水帶來的滲透固結(jié)作用，也不考慮排水板自身對土體強度分布的影響。此時，三維空間隨機場生成模型為

qu(x,y,z)=qu0+γ·(6-z)·b1-

d(x,z)·b2·exp[w(x,y,z)]

(7)

式中：qu0為對數(shù)正態(tài)分布的隨機變量，μqu0=86 kPa，變異系數(shù)COV=0.3；趨勢參數(shù)b1=0.2，為定值；b2為因真空預壓排水固結(jié)導致的qu隨距排水板距離衰減趨勢項(排水板處最大)，理論上與施工條件有關，參考b1的取值結(jié)果，考慮其隨機性，取b2為對數(shù)正態(tài)分布的隨機變量，均值μb2=2.0，變異系數(shù)COV=0.3；exp[w(x,y,z)]為隨機波動項，w(x,y,z)取為均值μw=0、標準差σw=0.3的正態(tài)分布隨機場，水平、豎向相關距離分別取38、3.8 m。不排水抗剪強度的均值和標準差分別為

2.3 水泥土堤壩邊坡可靠度計算分析流程

采用Karhunen-Loeve級數(shù)展開法離散隨機場，每一工況生成500次隨機場，結(jié)合蒙特卡洛模擬和強度折減法分析堤壩邊坡失效概率，主要分析計算流程如圖3所示，其中，強度折減法將邊坡安全系數(shù)定義為使邊坡剛好達到臨界破壞狀態(tài)時對其強度的折減程度[21]。采用Mohr-Coulomb破壞準則時，其折減的強度參數(shù)是黏聚力c和內(nèi)摩擦角φ(對于本例的不排水條件，僅折減黏聚力c)，一般通過二分法迭代計算，通過不斷擴大(或縮小)折減值，直至折減系數(shù)的上下限滿足精度要求，將安全系數(shù)Fs定義為初始黏聚力ci和破壞時的黏聚力ccr之比，即Fs=ci/ccr。

圖3 基于蒙特卡羅方法的邊坡可靠性分析Fig.3 Analysis of slope reliability based on

隨后統(tǒng)計一個工況內(nèi)500組隨機場模型計算結(jié)果，可得到安全系數(shù)的分布，并借此計算可靠指標、失效概率。

若安全系數(shù)的分布呈正態(tài)分布，則可靠指標

(9)

當安全系數(shù)呈對數(shù)正態(tài)分布時

(10)

式中：β為可靠指標；μFs為500組安全系數(shù)均值；σFs為500組安全系數(shù)標準差，VFs=σFs/μFs。利用可靠指標β與失效概率Pf之間的數(shù)學關系，可以用式(11)計算出可靠指標。

Pf=1-Φ(β)

(11)

3 3種隨機場模型對比

3.1 3種隨機場模型實現(xiàn)情況對比

圖4為3個模型堤壩土部分同一豎線上(參考圖5(a)、(b)，y=0平面上、x=3.6 m這條線)不同

圖4 cu沿土體埋深方向的5次統(tǒng)計值Fig.4 Five typical realizations of random field of undrained

cu的統(tǒng)計值(cu=qu/2)?？梢钥闯觯瑢τ谀Ｐ?，cu大小隨深度并無明顯增加趨勢，但沿深度呈現(xiàn)出隨機波動趨勢，且波動幅度較大。模型2呈現(xiàn)出cu均值隨深度增加的趨勢，能夠在一定程度上表征土體的非平穩(wěn)特征。

模型3則表現(xiàn)出了沿深度增加和周期性波動的趨勢，波動幅度明顯小于模型1和模型2。這種周期性波動的原因是：土體不排水抗剪強度cu沿深度方向有增加的趨勢，但由于排水板加速局部的排水固結(jié)，使得局部強度最高，局部強度最大值即為排水板鋪設位置，遠離排水板則強度減小。這一效果與前述試驗規(guī)律基本一致，且隨著深度的增加，波動幅度增大，說明模型3的cu均值沿深度方向增加。

圖5為模型3三維網(wǎng)格不排水抗剪強度cu分布結(jié)果，采用局部平均方法得到，圖5(b)、(c)分別為三維模型的兩方向上的斷面，排水板鋪設方向平行于邊坡橫截面，其橫截面分布在三維邊坡內(nèi)的鋪設點為圖5(b)中的白點，可以看出，排水板四周土體的強度最高，隨著離排水板距離的增加，土體強度逐漸降低，也基本符合前文所述研究規(guī)律。在平行于排水板方向，

圖5 模型3中cu三維空間分布情況Fig.5 Three-dimensional spatial distribution of model 3

邊坡橫截面上，不排水抗剪強度cu分布則近似于深度趨勢隨機場，在深度方向上呈增大的趨勢，波動性亦很強。

3.2 3種隨機場模型計算結(jié)果對比

對上述3種典型工況分別進行500組蒙特卡洛模擬，利用強度折減法得出500組安全系數(shù)，模型3的安全系數(shù)分布情況如圖6所示，對分布情況進行K-S檢驗發(fā)現(xiàn)，采用對數(shù)正態(tài)分布擬合時，其p=1，說明對數(shù)正態(tài)分布符合較好。經(jīng)檢驗，其他工況安全系數(shù)分布同樣符合對數(shù)正態(tài)分布。

圖6 模型3的安全系數(shù)分布情況Fig.6 Distribution safety factors of model

模型1、模型2、模型3分別對應的可靠指標為1.34、2.79、1.30。從式(5)可見，模型2深度趨勢模型的各項均為正，強度不存在衰減，理論上是“最安全”的工況，結(jié)果也驗證了這一點。

參考李劍等的做法[22]，選取邊坡達到極限狀態(tài)時所有垂線上最大剪應變增量的位置，通過最小二乘法擬合圓弧滑動面，3種典型工況的滑動面分布結(jié)果如圖7所示。3種典型工況的邊坡滑動面都主要發(fā)生在水泥土堤壩土體內(nèi)，但模型1、模型2的離散性更強，滑動面頂端與坡頂距離不一，滑動體體積也差距較大，模型3的滑動面則主要為從坡底貫穿坡頂?shù)幕瑒用妫植技小?/p>

圖7 3種典型工況滑動面分布情況Fig.7 Distribution of sliding surface under three

為了探究地表UCT實驗值qu0的變異系數(shù)對模型結(jié)果的影響，分別對3種模型加算COV=0.2、0.4的工況，其最終結(jié)果如圖8所示，隨著變異系數(shù)的增加，3種模型計算得到的安全系數(shù)標準差增大，而安全系數(shù)均值變化不明顯，導致可靠指標均減小。3種工況的安全系數(shù)均值μFs分別為1.39、1.70、1.55。若僅考慮安全系數(shù)均值μFs，3種工況均能滿足規(guī)范[23-25]要求，但可靠度僅模型2(深度趨勢)能滿足，并且模型3的安全系數(shù)離散程度高，變異性強，采用確定性分析或者平穩(wěn)隨機場模型偏于危險，討論模型3隨機分布情況就顯得更為重要。

3.3 趨勢參數(shù)b2對安全系數(shù)分布的影響

為了探究模型3中趨勢參數(shù)b2對安全系數(shù)分布的影響，分別單獨取隨機場離散公式(7)中b2均值為1、1.5、2.5，b2變異系數(shù)為0.1、0.2、0.4，其他參數(shù)保持不變，共6種工況，將其計算結(jié)果分別匯總于表2、表3，并與基礎工況(b2均值為2、變異系數(shù)為0.3)對比。從表中可以看出，無論是提高b2的均值還是變異系數(shù)，最終都表現(xiàn)出可靠指標降低，失效概率增大的趨勢。其中，b2均值的增加帶來式(7)中最終強度的減小，安全系數(shù)均值μFs減小，標準差σFs增大，變異性增強；b2變異系數(shù)增大，安全系數(shù)均值μFs基本未改變，但安全系數(shù)標準差σFs增大，變異性增強。

表2 趨勢參數(shù)b2均值對安全系數(shù)的影響

表3 趨勢參數(shù)b2變異系數(shù)對安全系數(shù)的影響

圖8 3種模型的可靠指標β與安全系數(shù)分布對比Fig.8 Comparison of reliability index β and safety factor distribution among three

4 結(jié)論

結(jié)合強度折減法、蒙特卡洛模擬方法，比較了3種隨機場模型對水泥土堤壩邊坡的失效風險和滑動面位置的影響，得到以下結(jié)論：

1)對于水泥土邊坡的可靠度分析問題，采用平穩(wěn)隨機場或深度趨勢隨機場可能會高估邊坡的可靠度，使計算結(jié)果偏于危險；即便是安全系數(shù)均值滿足規(guī)范要求，但其標準差過大，最終的可靠指標并不能滿足工程要求。

2)提出的不排水抗剪強度垂直排水板衰減非平穩(wěn)模型既能考慮沿深度方向的趨勢項，又能考慮垂直排水板方向的衰減趨勢，綜合表現(xiàn)為沿深度方向的近似周期性波動，與現(xiàn)有研究符合較好。在該模型中，趨勢參數(shù)b2對隨機場模型的影響較大，當其值和標準差增加，最終都將降低計算模型的可靠指標，失效概率增大。

3)提出的不排水抗剪強度垂直排水板衰減非平穩(wěn)模型的邊坡破壞形式較為集中，大部分破壞面集中在堤壩土土體內(nèi)，且多為從坡底貫穿坡頂?shù)幕瑒用妗?/p>