同時(shí)起爆單排炮孔等效均布荷載的計(jì)算方法*

孫金山，張鴻昱，閆國(guó)華,賈永勝,趙國(guó)堂，姚穎康,謝全民

(1.江漢大學(xué) a.精細(xì)爆破國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室;b.爆破工程湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430023；2.中國(guó)國(guó)家鐵路集團(tuán)有限公司，北京 100844)

數(shù)值模擬是開(kāi)展工程爆破理論與技術(shù)研究的重要手段，當(dāng)對(duì)大規(guī)模炮孔產(chǎn)生的荷載或爆破振動(dòng)進(jìn)行數(shù)值模擬時(shí)，爆炸荷載的施加是其重點(diǎn)和難點(diǎn)。目前，爆破荷載的模擬和施加主要有三種技術(shù)途徑：一是建立炮孔及炸藥單元，利用炸藥材料的爆轟產(chǎn)物狀態(tài)方程來(lái)模擬爆炸荷載，并直接施加在炮孔壁上；二是直接在孔壁上施加一個(gè)隨時(shí)間變化的均布?jí)毫?；三是不考慮炮孔的形狀，僅在炮孔中心連線(面)上施加等效均布荷載。

第一種技術(shù)途徑中的爆轟產(chǎn)物狀態(tài)方程是計(jì)算爆轟產(chǎn)物壓力、體積、溫度等物理量之間的數(shù)學(xué)方程，國(guó)內(nèi)外學(xué)者曾提出了BKW[1]、JCZ[2]、VLW[3]、Davis[4]、JWL等多種模型[5]。其中，JWL狀態(tài)方程在爆炸數(shù)值模擬中應(yīng)用廣泛[6-8]，然而，該方程中大量的未知參數(shù)需要通過(guò)圓筒試驗(yàn)及流體動(dòng)力學(xué)計(jì)算來(lái)確定，且其忽略了巖石破碎及氣體逸出過(guò)程的影響。因此，在實(shí)際計(jì)算過(guò)程中，人們多采用互相參考的方式來(lái)近似確定其計(jì)算參數(shù)，其輸出結(jié)果的可靠性與實(shí)際荷載間的差異性往往難以考證。同時(shí)，采用該數(shù)值模擬方案時(shí)需要建立非常精細(xì)的炮孔及炸藥單元，需要花費(fèi)大量的建模及計(jì)算時(shí)間。

第二種技術(shù)途徑直接在孔壁上施加均布?jí)毫Γ恍枰O(shè)置復(fù)雜的炸藥材料參數(shù)，且可適用于更多的具有動(dòng)力計(jì)算模塊的數(shù)值模擬軟件。目前，常用的孔壁爆炸壓力計(jì)算模型是雙折線模型和雙指數(shù)模型。其中，雙折線三角形分段函數(shù)荷載模型簡(jiǎn)單實(shí)用[9]，其僅有升壓時(shí)間、卸壓時(shí)間和峰值壓力三個(gè)參數(shù)，而峰值壓力可通過(guò)C-J爆轟模型計(jì)算，時(shí)間參數(shù)則可通過(guò)經(jīng)驗(yàn)公式估算得到。該荷載模型未考慮炸藥爆炸特征，也未考慮炮孔的孔深、孔徑和堵塞等對(duì)爆炸荷載的影響，因此，其峰后荷載的時(shí)間歷程計(jì)算誤差較大。雙指數(shù)函數(shù)由Starfield提出[10]，該模型為連續(xù)光滑函數(shù)，更便于理論分析和數(shù)值模擬。Jong對(duì)該模型進(jìn)行了改進(jìn)[11]，提出了其關(guān)鍵參數(shù)的計(jì)算公式，并使荷載時(shí)程曲線更接近實(shí)驗(yàn)結(jié)果。但該模型中關(guān)鍵參數(shù)M和N的取值同樣未考慮爆破破巖過(guò)程的特征，因此其適用范圍受到限制。另外，第二種技術(shù)途徑也需要建立精細(xì)的炮孔網(wǎng)格，建模和計(jì)算過(guò)程也較復(fù)雜和耗時(shí)[12-14]。

鑒于數(shù)值模擬中炮孔幾何離散(網(wǎng)格劃分)和計(jì)算過(guò)于復(fù)雜的問(wèn)題，少量學(xué)者對(duì)如何將炮孔載荷等效成為均布載荷進(jìn)行了研究。如許紅濤提出了一種在炮孔中心連線上施加等效均布荷載的方法[15]。張玉成提出了將炮孔壁上荷載等效成為面荷載的方法[16]。李啟月提出了微差爆破荷載的等效施加方法[17]。楊建華根據(jù)炮孔周圍巖石破壞情況的空間分布特征等[18]，提出可在炮孔等效彈性界面上施加爆破荷載。趙婉婷對(duì)比計(jì)算后認(rèn)為[19]，在數(shù)值模擬中分析炮孔遠(yuǎn)區(qū)巖石的動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)，將荷載直接等效施加在開(kāi)挖輪廓面上代替施加在炮孔周邊彈性邊界上的處理方式是可行的。羅笙提出將爆破載荷等效為法向沖擊載荷可以有效模擬爆破開(kāi)挖下對(duì)巖體的損傷效應(yīng)[20]。因此，采用等效均布爆破荷載雖不能模擬炮孔周圍介質(zhì)的力學(xué)響應(yīng)，但在模擬炮孔遠(yuǎn)區(qū)的振動(dòng)和結(jié)構(gòu)響應(yīng)等問(wèn)題時(shí)，其誤差是可以接受的。然而，上述研究多是對(duì)許紅濤提出方法的改進(jìn)和數(shù)值模擬驗(yàn)證，在實(shí)際工程應(yīng)用時(shí)這些研究中的峰值爆炸荷載及均布荷載等效方式等仍需進(jìn)一步研究。

因此，鑒于工程爆破理論與技術(shù)研究中經(jīng)常涉及的爆破荷載施加問(wèn)題，本文針對(duì)將炮孔載荷等效為均布載荷的方式方法進(jìn)行了理論探討，對(duì)既有的等效方法進(jìn)行了討論并提出了新的等效方法。

1 許紅濤提出的等效均布荷載計(jì)算方法及其討論

為避免進(jìn)行炮孔的細(xì)節(jié)建模和幾何離散，許紅濤提出將同排起爆的炮孔圓心連成一條線(二維空間)，或?qū)⑵漭S線連成一個(gè)平面(三維空間)，再在該線或面上施加均勻的動(dòng)荷載。如圖1所示，假定單個(gè)炮孔壁上作用有壓力P(t)，炮孔直徑為db，孔間距為ab，根據(jù)文獻(xiàn)[9]可以將如圖1(a)所示作用在炮孔壁上的壓力等效為如圖1(b)所示的等效均布?jí)毫?，其等效公式?/p>

圖 1 爆破荷載等效施加示意圖[15]

(1)

許紅濤在文獻(xiàn)[15]采用三角形荷載時(shí)程曲線構(gòu)建均布荷載函數(shù)，并建議炮孔孔壁爆炸荷載峰值計(jì)算方法分為耦合裝藥和不耦合裝藥兩種情況。耦合裝藥條件下，炮孔壁上的壓力可以視作炸藥的轟爆壓力，由下式進(jìn)行計(jì)算[9]

(2)

式中:ρe為炸藥密度；D為炸藥爆炸速度；γ為炸藥爆轟的等熵指數(shù)取值一般為3.0。

裝藥不耦合系數(shù)較小時(shí)，炮孔峰值壓力為[9]

(3)

式中，dc為裝藥直徑。

裝藥不耦合系數(shù)較大時(shí)，炮孔峰值壓力為[9]

(4)

式中：ν為爆生氣體的等熵指數(shù)，一般取值1.4；pk為炸藥的臨界壓力。

文獻(xiàn)[15]給出的爆破荷載等效方法，簡(jiǎn)便易行，適用于炮孔遠(yuǎn)區(qū)的一些問(wèn)題的分析，但其存在兩個(gè)問(wèn)題：

(1)文獻(xiàn)[15]中雖然簡(jiǎn)要說(shuō)明了式(1)～(4)是根據(jù)圣維南原理推測(cè)而來(lái)的，但未給出嚴(yán)格的理論推導(dǎo)，也未闡述將炮孔徑向壓力轉(zhuǎn)化為炮孔連線的法向荷載的過(guò)程。

(2)不耦合裝藥條件下，炮孔孔壁峰值壓力的計(jì)算方法忽視了壓力增大系數(shù)的影響，這導(dǎo)致其孔壁壓力計(jì)算值偏小。

因此，上述等效均布爆破荷載計(jì)算方法的可靠性是值得商榷的。

2 同時(shí)起爆單排炮孔均布荷載等效計(jì)算的新方法

為對(duì)許紅濤提出的單排炮孔均布荷載等效計(jì)算問(wèn)題進(jìn)行理論推導(dǎo)，對(duì)兩個(gè)相鄰炮孔的荷載疊加問(wèn)題進(jìn)行了平面應(yīng)變條件下的分析。如圖2所示，單排炮孔同時(shí)起爆時(shí)，在距離炮孔中心連線的y=0.5ab處，相鄰炮孔的疊加作用十分顯著，此時(shí)界面上的應(yīng)力主要為壓應(yīng)力作用。炸藥爆炸產(chǎn)生的應(yīng)力波在巖體中傳播時(shí)，其峰值與距離的增加成反比[21]，設(shè)炮孔內(nèi)孔壁上的徑向壓力為P(t)，則在x=ax，y=0.5ab的界面上，炮孔徑向壓力傳播至指定距離并進(jìn)行平面分解后，在y方向產(chǎn)生的應(yīng)力為

圖 2 均布荷載等效圖

(5)

將O1孔在x=0～0.5ab，y=0.5ab區(qū)域的上的應(yīng)力式(5)進(jìn)行積分得到該區(qū)域上的合力，并在x=0～0.5ab上對(duì)該合力進(jìn)行平均，即將合力平均分配在0.5ab長(zhǎng)度上，得O1孔在該區(qū)域產(chǎn)生的等效均布荷載為

(6)

根據(jù)上述荷載等效方法，將O2孔在x=0～0.5ab，y=0.5ab區(qū)域的應(yīng)力根據(jù)式(5)進(jìn)行積分計(jì)算合力，并對(duì)該合力平均，得等效均布荷載為

(7)

在x=0.5ab～ab，y=0.5ab區(qū)域，由于兩炮孔的對(duì)稱性等效荷載計(jì)算式(6)、(7)同樣適用，因此，O1和O2兩炮孔在x=0～ab，y=0.5ab邊界上，產(chǎn)生的y方向的疊加荷載等效平均值為

(8)

忽略其他更遠(yuǎn)炮孔的孔壁壓力在x=0～ab，y=0.5ab區(qū)域的疊加，可近似認(rèn)為式(8)即為單排炮孔產(chǎn)生的垂直于其炮孔連線方向的等效均布荷載。顯然，式(8)與許紅濤提出的式(1)明顯不同。

如文獻(xiàn)[18]和[19]所述，考慮炮孔壁周圍巖石的破壞將導(dǎo)致應(yīng)力波的非線性衰減，還可考慮將荷載施加在炮孔外的臨界彈性邊界上，此時(shí)，爆炸荷載變?yōu)閺椝苄越唤缑嫔系膽?yīng)力Pe(t)，而荷載施加在彈塑性界面r=de處，則均布荷載為

(9)

式中，Pe(t)和de則需根據(jù)巖石強(qiáng)度進(jìn)行計(jì)算，因此(9)式的應(yīng)用不如(8)式方便，但更適用于距離炮孔更近處的工況的分析。

其次，由于許紅濤計(jì)算炮孔壓力峰值時(shí)忽略了孔壁處壓力增大倍數(shù)n(因動(dòng)壓作用產(chǎn)生)，因此實(shí)際應(yīng)采用更可靠的炮孔壁峰值壓力計(jì)算公式。

目前，計(jì)算任意不耦合系數(shù)下炮孔壁壓力峰值的方法主要有等熵膨脹法和爆轟產(chǎn)物最大擴(kuò)散速度法。其中，等熵膨脹法應(yīng)用較為廣泛。小不耦合系數(shù)裝藥爆破過(guò)程中，爆生氣體的膨脹只經(jīng)歷等熵膨脹過(guò)程，炮孔孔壁壓力峰值計(jì)算公式為[22,23]

(10)

式中，n為爆轟產(chǎn)物碰撞炮孔壁時(shí)的壓力增大系數(shù)，耦合裝藥時(shí)可取n=1，根據(jù)參考文獻(xiàn)[21]不耦合裝藥時(shí)一般取n=10，其它符號(hào)同上。

3 數(shù)值模擬驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文推導(dǎo)的荷載等效方法的可靠性，采用動(dòng)力有限元軟件建立三個(gè)長(zhǎng)方體數(shù)值模型。各模型的橫截面尺寸均為900 mm×900 mm，高4000 mm，如圖3所示。

圖 3 數(shù)值模型Y方向應(yīng)力云圖(單位：Pa)

模型(a)下部均勻布置3個(gè)半炮孔，直徑0.04 m，炮孔中心間距0.235 m，在孔壁上施加均布法向荷載。模型b、c底部為平面，分別施加許紅濤和本文計(jì)算得到的法向等效均布荷載，模型頂部均施加固定約束。

模型采用線彈性材料，密度為2500 kg/m3，彈性模量E=30 GPa，泊松比μ=0.2，不考慮其阻尼系數(shù)。炮孔內(nèi)炸藥直徑dc=0.032 m，密度ρe=1200 kg/m3，爆轟速度D=3300 m/s，爆轟產(chǎn)物碰撞炮孔壁時(shí)的壓力增大系數(shù)n=10?？妆谝约熬己奢d均采用三角形荷載時(shí)程曲線，升壓作用時(shí)間0.1 ms，卸壓作用時(shí)間0.7 ms。

根據(jù)許紅濤和本文的方法，分別計(jì)算孔壁徑向荷載和等效加載面上的均布荷載峰值，如表1所示。分別在數(shù)值模型(a)上施加孔壁均布荷載，在模型(b)上峰值為0.729 GPa和0.111 GPa的等效均布荷載。

表 1 炮孔壁荷載峰值和等效均布荷載峰值

計(jì)算結(jié)果顯示，模型(a)中隨著監(jiān)測(cè)點(diǎn)與炮孔距離的增大，模型豎直方向(y方向)的峰值應(yīng)力逐漸減小至約120 MPa，而模型(b)和模型(c)則分別為108 MPa和725 MPa。因此，計(jì)算結(jié)果表明，孔壁壓力一致的條件下，距離炮孔中心連線約1.5 m處，公式(9)計(jì)算得到的等效均布荷載與炮孔數(shù)值模型計(jì)算結(jié)果基本一致，且低10%左右，其原因可能是忽略了其它炮孔在該處的疊加效應(yīng)；而許紅濤提出的模型約為炮孔數(shù)值模型計(jì)算結(jié)果的6倍，顯然誤差是不可接受的。

表 2 模型各單元應(yīng)力峰值(單位：MPa)

4 結(jié)論

鑒于鉆孔爆破數(shù)值模擬過(guò)程中經(jīng)常遇到的爆破荷載施加問(wèn)題，對(duì)3種常用的方法進(jìn)行了討論，并對(duì)許紅濤提出的實(shí)用性較好的等效均布荷載計(jì)算方法進(jìn)行了討論，并提出了新的等效計(jì)算模型，得到的主要結(jié)論如下。

(1)許紅濤提出的等效均布荷載計(jì)算方法中，等效計(jì)算公式以及炮孔壁峰值壓力均存在明顯的錯(cuò)誤，而兩個(gè)誤差相疊加后，導(dǎo)致其最終計(jì)算結(jié)果與精確值接近。

(2)在笛卡爾坐標(biāo)系下，通過(guò)對(duì)炮孔壁徑向荷載進(jìn)行分解與合成，得到了在炮孔遠(yuǎn)區(qū)的炮孔連線法向均布應(yīng)力的計(jì)算公式，以及作用在炮孔外彈塑性界面荷載的等效均布荷載計(jì)算公式。

(3)因?yàn)楣こ瘫浦型捎脧较虿获詈涎b藥，因此炮孔壁峰值壓力應(yīng)考慮爆轟產(chǎn)物碰撞炮孔壁時(shí)的壓力增大系數(shù)。

(4)通過(guò)動(dòng)力學(xué)數(shù)值模擬，對(duì)比了本文提出模型與許紅濤計(jì)算模型的準(zhǔn)確性。結(jié)果顯示：根據(jù)許紅濤模型得到的均布應(yīng)力是數(shù)值模型準(zhǔn)確解的6倍左右，而根據(jù)本文計(jì)算模型得到的均布應(yīng)力與準(zhǔn)確解基本吻合，且比準(zhǔn)確解低10%左右。

(5)本文模型計(jì)算結(jié)果比準(zhǔn)確值偏小的原因是，僅考慮了兩個(gè)相鄰炮孔在其中間區(qū)域處應(yīng)力的疊加，忽略了兩炮孔以外的其它炮孔的應(yīng)力貢獻(xiàn)。