常微分方程課堂教學(xué)研究與實(shí)踐

[摘 要] 常微分方程是將理論數(shù)學(xué)應(yīng)用于工程實(shí)際的重要載體，也是最能體現(xiàn)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科相互交叉與融合的課程。從教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)模式兩個(gè)維度探討如何提升常微分方程課堂教學(xué)的效果與魅力，從而實(shí)現(xiàn)該課程培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的教學(xué)目標(biāo)。教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)模式是課堂教學(xué)的兩個(gè)重要維度。教學(xué)內(nèi)容是教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，整個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)要圍繞教學(xué)內(nèi)容展開。每門課程都有標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)大綱，規(guī)定了對(duì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的掌握程度。教學(xué)模式是一定教學(xué)思想指導(dǎo)下的課堂教學(xué)程序和教學(xué)方法與方式。通過探討如何在提升常微分方程課堂教學(xué)的效果與魅力，從而實(shí)現(xiàn)該課程培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的教學(xué)目標(biāo)。

[關(guān)鍵詞] 常微分方程;理論教學(xué);教學(xué)模式

[基金項(xiàng)目] 2015年度廣東省教育廳“教學(xué)質(zhì)量與教學(xué)改革工程”建設(shè)項(xiàng)目及高等教育教學(xué)改革項(xiàng)目廣東省高等教育教學(xué)改革項(xiàng)目“以案例教學(xué)提升微分課程教學(xué)的魅力與效果”（粵教高函〔2015〕173號(hào)）

[作者簡介] 趙碧蓉（1971—），女，湖南邵陽人，博士，廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院副教授，主要從事微分動(dòng)力系統(tǒng)和復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的研究。

[中圖分類號(hào)] O175.1 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1674-9324（2022）20-0157-04 [收稿日期] 2021-10-10

引言

常微分方程是連接理論數(shù)學(xué)與應(yīng)用科學(xué)的重要載體，完美地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與其他學(xué)科如物理、金融，自動(dòng)控制等的相互交叉與融合。我院所有的專業(yè)都開設(shè)了常微分方程課程，除了信息安全專業(yè)在大學(xué)二年級(jí)下學(xué)期開設(shè)外，其余專業(yè)均在的三年級(jí)的第一學(xué)期開設(shè)該課程。教學(xué)反饋顯示，學(xué)生普遍反映常微分課程理論偏強(qiáng)，計(jì)算量偏大，相當(dāng)部分學(xué)生有畏難情緒，缺乏應(yīng)有的學(xué)習(xí)興趣與原動(dòng)力，考試不通過率較其他課程也偏高。究其原因主要有以下兩個(gè)方面：一是學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)較薄弱。常微分方程作為數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)及其解析幾何的后續(xù)課程，要求學(xué)生對(duì)大學(xué)一年級(jí)的主干課程數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)知識(shí)掌握較好。我校的常微分方程課程在大學(xué)三年級(jí)的第一個(gè)學(xué)期開設(shè)，相當(dāng)部分學(xué)生要么本身對(duì)兩門主干課知識(shí)掌握不牢固，要么就是基礎(chǔ)理論知識(shí)有所遺忘，對(duì)接下來常微分方程科學(xué)的學(xué)習(xí)帶來不利;二是由常微分方程課程本身的特性所決定的。該課程基礎(chǔ)理論較強(qiáng)，比如課程的核心定理——解的存在唯一性定理，為了證明該定理，教材將其拆解為五個(gè)命題來證明。其中所涉及的無窮級(jí)數(shù)和函數(shù)列的一致收斂性問題，這本身也是數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)難點(diǎn)，足以體現(xiàn)常微分方程一定的理論深度和嚴(yán)謹(jǐn)性。教師如何將抽象的定理講解得簡潔、清晰有趣而又不失理論上的嚴(yán)謹(jǐn)性，這需要教師自身具有一定的科研基礎(chǔ)和知識(shí)儲(chǔ)備。此外，學(xué)生普遍存在基礎(chǔ)理論功底較弱、基本計(jì)算技能較低的問題。因此，常微分方程課程的教學(xué)陷入了“教師難教，學(xué)生難學(xué)”的困局。如何破解這種囧局是該課程教學(xué)改革需要認(rèn)真思考和解決問題。

一、教學(xué)內(nèi)容的改革和重組

廣州大學(xué)在數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)及信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)開設(shè)常微分方程課程，均為專業(yè)核心課程;用的是王高雄等主編的經(jīng)典教材，學(xué)時(shí)由2015年前的72學(xué)時(shí)壓縮至現(xiàn)在的64學(xué)時(shí)，教學(xué)內(nèi)容依然是教材的前五章內(nèi)容。在教學(xué)實(shí)踐中，我們將整個(gè)教學(xué)內(nèi)容整合為三個(gè)模塊：一是理論模塊，主要是解決解的存在唯一性問題，其理論基礎(chǔ)是主干課程數(shù)學(xué)分析;二是解方程模塊，主要是一階的非線性方程和一階或高階的線性微分方程，其理論基礎(chǔ)是主干課程高等代數(shù);三是應(yīng)用模塊，主要體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與其他學(xué)科如物理、金融，自動(dòng)控制等的相互交叉與融合?，F(xiàn)有教材在內(nèi)容的編排上主要體現(xiàn)了理論上的嚴(yán)謹(jǐn)性及其內(nèi)在邏輯性，但對(duì)各層次的學(xué)校缺乏適應(yīng)性。廣州大學(xué)作為地方性高等學(xué)校，學(xué)生普遍存在基礎(chǔ)理論功底較弱的問題?；谖倚W(xué)生的實(shí)際情況，我們本著“精簡，拓寬，實(shí)用”原則，對(duì)現(xiàn)有教材的內(nèi)容做了適度調(diào)整。在教學(xué)中我們先從簡單的方程和模型出發(fā)，讓學(xué)生了解和掌握常微分方程的基本概念以及為什么要學(xué)會(huì)解方程，怎么可以確定方程是否有解的問題，在此基礎(chǔ)上很自然地引入解的存在唯一性等問題。對(duì)于解對(duì)初值的連續(xù)依賴性和可微性問題，只做解釋性說明，不做理論上的推證以降低教學(xué)的難度。解方程模塊是理論模塊的落腳點(diǎn)之一，除了在一階方程中出現(xiàn)了非線性方程，本科生要求求解的高階方程都是線性的。其實(shí)不管是代數(shù)方程還是微分方程，其解的結(jié)構(gòu)及性質(zhì)都十分類似，在教學(xué)實(shí)踐中我們將一階、高階線性微分方程和線性方程組的內(nèi)容重組在一個(gè)模塊中講解，通過類比，讓學(xué)生更輕松地掌握了所學(xué)知識(shí)。應(yīng)用模塊是理論模塊和解方程模塊的綜合。在應(yīng)用模塊中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生建立常微分方程模型，用經(jīng)典的方法或數(shù)學(xué)軟件求得方程的解析解或數(shù)值解，并能還原和解釋實(shí)際問題。

除此之外，教師要深度挖掘教材，將有內(nèi)在關(guān)聯(lián)的內(nèi)容進(jìn)行重組。如高階線性方程可以轉(zhuǎn)化方程組，互相轉(zhuǎn)換的關(guān)系式表明它們的解之間存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)同一個(gè)方程，可以有不同的思路，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的視野和創(chuàng)新大有裨益，教學(xué)實(shí)踐表明這種開放的教學(xué)方式學(xué)生的接受程度非常好。另外值得一提是，我們的教學(xué)大綱將Laplace變換法作為自學(xué)內(nèi)容，其實(shí)，國外的大學(xué)，如加拿大、美國等國家的高等學(xué)校，都非常重視這部分內(nèi)容的教學(xué)。其原因是Laplace變換能將常微分方程中常見的初等函數(shù)轉(zhuǎn)化為頻域中的特定函數(shù)進(jìn)行研究，完美地將微分方程的求解轉(zhuǎn)化為乘除法的代數(shù)運(yùn)算，這本身就是一種重要的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，化繁為簡，化難為易。通過教學(xué)，不但讓學(xué)生體會(huì)到了不同方法的殊途同歸，而且體現(xiàn)了數(shù)學(xué)對(duì)其他應(yīng)用型學(xué)科的基礎(chǔ)性作用。

二、案例驅(qū)動(dòng)的教學(xué)模式改革及其實(shí)踐

常微分方程是最能體現(xiàn)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科如物理、金融，自動(dòng)控制等的相互交叉與融合的課程。在教學(xué)中若能適時(shí)恰當(dāng)?shù)匾氲湫偷哪Ｐ桶咐?，把生活中的?shí)際案例作為教學(xué)素材，結(jié)合對(duì)案例的研究、分析、推導(dǎo)過程將抽象的數(shù)學(xué)理論知識(shí)巧妙引出，就會(huì)使學(xué)生在學(xué)習(xí)理論知識(shí)時(shí)不會(huì)被枯燥的概念、定理和煩瑣的計(jì)算所困擾，讓學(xué)生體驗(yàn)到抽象的數(shù)學(xué)理論其實(shí)是有具體的模型案例來驅(qū)動(dòng)的，這將極大地增強(qiáng)常微分方程理論的直觀性與實(shí)用性，以此激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。我們所做的教學(xué)調(diào)研反饋顯示，學(xué)生亦普遍希望課堂理論教學(xué)中能夠更多的嵌入工程實(shí)踐的應(yīng)用背景知識(shí)。案例驅(qū)動(dòng)的教學(xué)模式起源于哈佛大學(xué)開設(shè)的情景案例教學(xué)課，是指在教學(xué)中以案例或問題為中心展開分析和討論，以案例為導(dǎo)向和驅(qū)動(dòng)力的教學(xué)方法[1-5]。在常微分方程教學(xué)中，案例的選擇一定要有針對(duì)性、典型性、生動(dòng)性，是現(xiàn)實(shí)生活能夠接觸到的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型，這樣的模型案例才有說服力和吸引力。而且，建模是過程不能過于煩瑣，難易程度要適應(yīng)學(xué)生理解知識(shí)的進(jìn)度和認(rèn)知的梯度，選擇和設(shè)計(jì)出大部分學(xué)生都可理解接受的常微分方程模型，利用常微分方程知識(shí)求解模型并對(duì)得到的結(jié)果對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行解釋、優(yōu)化和預(yù)測等，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到常微分方程在解決具體問題中的作用，從而增進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性。在線性微分方程組章節(jié)中，教學(xué)的難點(diǎn)是方程的維數(shù)由一維擴(kuò)展到高維，給課堂教學(xué)帶來一定的壓力。因此在教學(xué)中，恰當(dāng)?shù)剡x擇從高維的實(shí)用性案例十分關(guān)鍵。二維空間的例子很好感知，課堂可以昆蟲的爬行為例展開教學(xué)。

案例：一只甲殼蟲在二維空間xoy內(nèi)爬行，初始位置為P0（1，0）點(diǎn)，蟲子在點(diǎn)P（x，y）沿x軸正向的速率為4x-3y，環(huán)境擾動(dòng)為fx（t）=sint，沿y軸正向的速率為2x-y，環(huán)境擾動(dòng)fy（t）=-2costsint，試確定甲殼蟲爬行軌跡的參數(shù)方程。

這是一個(gè)非常貼近實(shí)際教學(xué)素材，由基本建模知識(shí)可以知道，假設(shè)t時(shí)刻甲殼蟲所處的位置為假設(shè)（x（t），y（t）），由已知條件和上述假設(shè)可建立如下的常微分方程組

而且（x（0），y（0））=（1，0）。這是常系數(shù)非齊次微分方程組x′（t）=Ax（t）+f（t）的特殊形式。教學(xué)可以通過這樣的具體案例展開，將抽象的數(shù)學(xué)理論知識(shí)具體化、形象化，進(jìn)一步增強(qiáng)了數(shù)學(xué)理論知識(shí)與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系[6-8]。從方程可以看出，若x（t）和y（t）之間沒有耦合關(guān)系，我們可以通過逐個(gè)方程的求解得到蟲子運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程，顯然這里的x（t）和y（t）存在耦合關(guān)系。事實(shí)上，高等代數(shù)中有關(guān)的矩陣對(duì)角化問題本質(zhì)上就是變量之間的解耦問題，因而將問題一步引出，很自然地讓學(xué)生聯(lián)想到與對(duì)角化相關(guān)的特征值特征向量，線性變換等基礎(chǔ)概念和基本方法從而引導(dǎo)學(xué)生從變換的觀點(diǎn)來求解方程。由高等代數(shù)知識(shí)很容易求得特征值，所對(duì)應(yīng)的特征向量分別為。

令矩陣，則有記，則原來的耦合方程在線性變換下實(shí)現(xiàn)了解耦。即有

從而得到蟲子的運(yùn)動(dòng)軌跡為

此案例的分析和求解過程將代數(shù)知識(shí)和常微分方程求解完美的串聯(lián)起來，讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)課程之間的交叉和融合[9，10]。

三、案例教學(xué)實(shí)施效果

在近三年的教學(xué)實(shí)踐中，基于廣州大學(xué)的具體情況，在教學(xué)實(shí)踐中，我們本著“精簡，拓寬，實(shí)用”原則，對(duì)現(xiàn)有教材的內(nèi)容做了適度調(diào)整。由于Laplace變換本身就是一種重要的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，且該變換具有的優(yōu)美性質(zhì)及其對(duì)求解常系數(shù)微分方程的通用有效性以及工程實(shí)用性，我們將該方法在教學(xué)中做了推介，學(xué)生對(duì)該方法也表現(xiàn)出了很好的接受度和極大的興趣。除此之外，我們嘗試了案例教學(xué)法，這種教學(xué)改革大大激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)該課程興趣和積極性，學(xué)習(xí)效果明顯改善（見表1）。

從表1中可以看出，教學(xué)改革實(shí)施前和實(shí)施后的這兩年對(duì)比，各項(xiàng)數(shù)據(jù)都呈現(xiàn)逐年上升的趨勢，證明了教學(xué)改革的初步成果已經(jīng)顯現(xiàn)，因此值得借鑒與推廣。

結(jié)語

教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)模式是課堂教學(xué)的兩個(gè)重要維度。教學(xué)內(nèi)容是教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，教學(xué)模式是一定教學(xué)思想指導(dǎo)下的課堂教學(xué)程序和教學(xué)方法與方式。在教學(xué)實(shí)踐中，我們本著“精簡、拓寬、實(shí)用”原則，對(duì)現(xiàn)有教材的內(nèi)容做了適度調(diào)整。在教學(xué)模式上，基于案例教學(xué)的直觀性、現(xiàn)實(shí)性和趣味性，我們對(duì)這種教學(xué)模式進(jìn)行了嘗試，教學(xué)反饋表明，教學(xué)改革的初步成果已經(jīng)顯現(xiàn)。

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Research and Practice of Classroom Teaching of Ordinary Differential Equations

ZHAO Bi-rong

（School of Mathematics and Information Sciences， Guangzhou University， Guangzhou， Guangdong 510006， China）

Abstract： Ordinary Differential Equation is an important carrier to apply theoretical mathematics to engineering practice. It is also a course that can best reflect the intersection and integration of mathematics and other disciplines. This paper discusses how to improve the effect and charm of Ordinary Differential Equation classroom teaching from the two dimensions of teaching content and teaching mode， so as to achieve the teaching goal of cultivating innovative talents. Teaching content and teaching mode are two important dimensions of classroom teaching. Teaching content is the starting point of teaching， and the whole teaching link should focus on the teaching content. Each course has a standard syllabus， which stipulates the degree of mastery of each knowledge point. Teaching mode is the classroom teaching procedure and teaching method under the guidance of certain teaching idea. This paper discusses how to improve the effect and charm of Ordinary Differential Equation classroom teaching， so as to achieve the teaching goal of cultivating innovative talents.

Key words： Ordinary Differential Equation; theoretical teaching; teaching mode