基于“軌跡坐標”的競賽小車凸輪設計

梁國棟，霍海濤，王 怡，石紀新

(1.天津科技大學工程訓練中心，天津 300222；2.天津科技大學教學質(zhì)量監(jiān)控與評估中心，天津 300222；3.天津科技大學機械工程學院，天津 300222)

中國大學生工程實踐與創(chuàng)新能力大賽是列入《教育部評審評估和競賽清單(2021年版)》(教政法廳函〔2021〕2號)的重要賽事[1].大賽里工程基礎賽道中的勢能無碳小車和熱能小車繞障行駛競賽項目，繞障的難度逐屆增加，從早期的“8字形軌跡”“直道S形軌跡”，逐步提高為“雙8字形軌跡”“環(huán)道S形軌跡”，直至2021年的新“環(huán)形軌跡”和新“8字形軌跡”，每次競賽的繞樁難度較上一次都明顯提升，導致繞樁軌跡越來越復雜.實際上，軌跡的變化對于小車的最根本影響是凸輪輪廓的變化.為了設計出滿足競賽小車運行軌跡要求的凸輪，本文介紹一種基于“軌跡坐標”的競賽小車凸輪設計方案.文中所述凸輪機構的設計方法，能夠全面應對賽題避障軌跡的變化[2]，解決有各種避障運行軌跡要求的小車凸輪的復雜設計問題，具有很強的適用性.

1 比賽規(guī)則對設計的要求

賽場為5200mm×2200mm 的長方形平面區(qū)域，賽場中間設有隔板，隔板與邊框之間區(qū)域即為賽道，在賽道中心線上放置有障礙樁(如圖1的運行方式示意圖中所示的圓點)，障礙樁為直徑20mm、高200mm 的圓棒，障礙樁從出發(fā)線開始按平均間距1000mm 擺放[3].

無論是重錘驅(qū)動的無碳勢能小車，還是斯特林發(fā)動機驅(qū)動的熱能小車，都有環(huán)道S形、8 字形和綜合3種運行方式.其中：環(huán)道S形為在賽道上走S軌跡，如圖1(a)所示；8字形為在賽道上走8字S軌跡，如圖1(b)所示；綜合則為在賽道上交替完成環(huán)道S形和8 字形兩種軌跡運行方式[3].

圖1 運行方式示意圖 Fig.1 Schematic diagram of running mode

本文以環(huán)道S形運行方式的比賽規(guī)則為例，介紹如何利用計算機輔助設計軟件，通過取得規(guī)劃軌跡上的采樣坐標，進行軌跡上各點曲率半徑的計算，進而獲得凸輪輪廓上各點的坐標，采用“坐標法”開展小車凸輪輪廓設計.

2 運行軌跡的規(guī)劃

對于2021年賽題設置的復雜障礙題目，如果采用傳統(tǒng)方法(設法找到規(guī)劃軌跡曲線的函數(shù)或者利用幾個已知函數(shù)曲線拼湊規(guī)劃軌跡并求得軌跡曲率的方法)進行復雜軌跡映射凸輪輪廓線的設計，將很難完成設計任務.一方面，很難找到與規(guī)劃軌跡完全一致的曲線函數(shù)；另一方面，為了讓規(guī)劃的軌跡盡可能貼近已知的函數(shù)曲線，就要降低規(guī)劃軌跡的相關技術指標，損失軌跡曲線的優(yōu)化程度.

在三維可視化實體模擬軟件Autodesk Inventor中，可以在沒有確切軌跡函數(shù)的情況下，按照比賽規(guī)則要求確定的賽道布局圖，進行主動輪避障運行軌跡規(guī)劃和施畫，結果如圖2所示.在草圖環(huán)境中[4]，用鼠標從任意一點拉動軌跡曲線，在滿足避障約束條件的情況下，不斷調(diào)整各部分軌跡曲線的曲率變化至合適位置，使之盡可能平滑，同時還要考慮軌跡規(guī)劃的總路徑長度要與主動輪的直徑和周長、傳動比等小車的主要參數(shù)相匹配.

圖2 Inventor中的環(huán)道S形避障軌跡規(guī)劃圖 Fig.2 “S-shape in loop” trace roadmap in Inventor

在Inventor中確定好主動輪的運行規(guī)劃軌跡之后，將軌跡圖導出為DWG格式，隨后導入到AutoCAD中，再將主動輪軌跡向外擴展一定距離(主動輪與導向輪中心的距離)，即得到后軸中點P的運行軌跡，結果如圖3所示.

圖3 環(huán)道S形避障軌跡規(guī)劃CAD圖 Fig.3 “S-shape in loop” trace roadmap in CAD

在AutoCAD中的P點運行軌跡圖上，等間隔設置360個軌跡采樣點，通過AutoCAD 中的“數(shù)據(jù)提取”功能，取得并導出每個采樣點在世界坐標系中相對系統(tǒng)默認原點的各點坐標[5].采樣點位置坐標示例見表1.

表1 規(guī)劃軌跡上的采樣點坐標示例 Tab.1 Example of coordinates of sampling points on the track

3 結構參數(shù)與軌跡參數(shù)的假設與確定

3.1 小車部分結構名稱與參數(shù)

小車運行示意圖如圖4所示.

圖4 小車運行示意圖 Fig.4 Schematic diagram of running car

圖4中：A為小車的主動輪(左后輪)；B為小車的從動輪(右后輪)；C為小車的導向輪(前輪)；D為轉向桿，轉向桿的高度與凸輪的基圓圓心保持水平；T為轉向控制凸輪，凸輪設計在從動輪一側.P為后軸中心點；α1為主動輪與導向輪中心的距離，α2為從動輪與導向輪中心的距離，α1＝α2＝55mm；α3為導向輪中心與后軸水平中心的距離；θ為導向輪的轉向偏角，如圖所示前進方向，向右偏轉為“＋”，向左偏轉為“－”；t0為導向輪偏轉角為0°時，凸輪基圓中心與導向輪中心的距離，也是凸輪基圓半徑；t(i)為凸輪每轉過1°時的凸輪向徑；d0為導向輪的中心與凸輪厚度中心在X軸方向的距離；r為采樣點處的軌跡曲線的曲率半徑.

3.2 求解轉向偏角變量

與小車的運行軌跡和轉向控制凸輪的輪廓線都有關聯(lián)的變量是導向輪的轉向偏角θ.小車的導向輪的轉向偏角θ和運行軌跡是一一對應的，同時導向輪轉向偏角θ的偏轉大小受到與凸輪和導向輪相連接的轉向桿的控制.凸輪向徑t(i)對轉向桿產(chǎn)生的推程與導向輪的轉向偏角θ也是一一對應的.因此，轉向偏角θ是凸輪設計過程中的主要變量之一，由圖4分析可知：

θ＝0°時，小車沿直線方向運行.

3.3 軌跡曲線任意一點處曲率半徑的求解

在曲線上的某個點處的微小區(qū)域，可以找到一個與其曲率相等的圓，該圓的半徑就是曲線上該點處的微小區(qū)域的曲率半徑[6].

也可從微分的角度理解，就是盡可能地把一段曲線微分，直到最后近似為一個圓弧，此圓弧所對應的半徑即為曲線上該點的曲率半徑[7].

軌跡曲線上每個采樣點位置都存在曲率半徑r，r是凸輪設計過程中的主要變量之一.在取得的360個軌跡采樣點的坐標中，通過依次選取相鄰的3個采樣點的坐標，可以計算出每個采樣點的曲率半徑.

假設軌跡上相鄰的3個采樣點坐標分別為(X1，Y1)、(X2，Y2)、(X3，Y3)，設(X2，Y2)對應的曲率半徑為r，對應圓心坐標為(X0，Y0)，位置關系如圖5所示.

硅質(zhì)巖中的Al2O3和TiO2可用于判別大陸邊緣沉積環(huán)境，F(xiàn)e2O3可反映大洋中脊組分的影響強度[3]。樣品中SiO2/Al2O3比值為9.82～62.43，比純硅質(zhì)巖(SiO2/Al2O3比值為80～1400)低很多，SiO2/Al2O3比值和Al2O3呈較好的負相關關系(圖2b)，且TiO2含量為0.026%～0.386%，Al2O3/TiO2比值為14.69～73.83，與Al2O3具有較好的正相關關系，均表現(xiàn)為富鋁特征，表明研究區(qū)有陸源碎屑沉積物[16]。

圖5 軌跡上相鄰三點坐標 Fig.5 Coordinates of adjacent three points on track

依據(jù)圖5中關系，可列出如下方程：

解這個方程組可得出圓心坐標(X0，Y0)的具體數(shù)值，進而可計算得到曲率半徑r.

由于運算量比較大，使用Microsoft Visual C++制作了曲率半徑計算工具(如圖6所示)，應用該計算工具可節(jié)約大量計算時間.

圖6 軌跡采樣點曲率半徑的計算工具 Fig.6 Radius of curvature calculation tool for sample points on track

將360個采樣點的曲率半徑計算結果按照X坐標順序進行列表，結果見表2.

表2 采樣點曲率半徑計算結果示例 Tab.2 Example of radius of curvature calculation results for the sampling points

3.4 凸輪坐標參數(shù)的確定

凸輪的向徑是凸輪回轉中心與推桿之間的距離，也就是凸輪輪廓邊沿上某一點距離凸輪回轉中心的長度[8].通過圖4中小車與轉向凸輪推桿的受力與運動狀態(tài)分析和解析計算，可計算得到凸輪向徑.

凸輪旋轉一圈對應小車行走一個周期的軌跡，以1°為分度，凸輪每轉過1°找到對應軌跡上的一點.按照此操作，將凸輪旋轉的一周均勻地分成360份，每一份看作1°[2].在一個周期的軌跡運行過程和一個凸輪旋轉周期(0°～360°)中，軌跡上選取的360個點的坐標與凸輪轉角的每1°相對應.通過確定每1°對應的凸輪向徑，可計算得到凸輪輪廓上對應點的坐標(Tx，Ty).

通過式(5)計算可得凸輪輪廓上點的坐標，示例見表3.

表3 凸輪輪廓上點的坐標計算結果示例 Tab.3 Example of coordinate calculation resultswith points on cam profile

4 凸輪的生成

將計算出的凸輪輪廓上點的坐標用Excel軟件整理成坐標列表，然后導入AutoCAD軟件中，生成凸輪輪廓的二維曲線圖，結果如圖7所示.

圖7 凸輪輪廓的二維曲線圖 Fig.7 Two dimensional curve of cam profile

將在AutoCAD中生成的凸輪輪廓的DWG文件導入三維軟件UG NX中進行拉伸建模[9]，生成凸輪輪廓三維建模圖(圖8)，該圖可用于凸輪的加工制造.凸輪厚度設計為3mm.

圖8 凸輪輪廓三維建模圖 Fig.8 3D modeling diagram of cam profile

本方案的凸輪輪廓線是依靠映射小車運動軌跡的方法獲得的.為了保證作為擺動從動件的推桿的運動規(guī)律平穩(wěn)，在確保小車能夠通過比賽規(guī)則規(guī)定的障礙物的情況下，需要通過采用調(diào)整小車的規(guī)劃軌跡的方法找到一條軌跡，使通過該軌跡映射獲得的凸輪輪廓線平滑無死角.

通過觀察可知，設計出的凸輪輪廓線整體沒有出現(xiàn)銳角和直角，內(nèi)外轉角均能夠平滑過渡，有利于提高運行軌跡與設計軌跡的擬合度和推桿的平穩(wěn)運動，設計合理.

將本文設計的凸輪加工成型，并與其他零件一起組裝成熱能驅(qū)動小車，該小車的實物圖如圖9所示.

圖9 熱能驅(qū)動小車實物圖 Fig.9 Photo of thermal energy-driven trolley

5 運動軌跡仿真

將小車的α1、α2、α3、t0、θ、r、S等參數(shù)及坐標代入MATLAB程序，對后軸中點P的運行軌跡進行仿真，得到仿真軌跡如圖10所示.

圖10 后軸中點P的MATLAB仿真運行軌跡 Fig.10 Simulation of running track for midpoint Pin MATLAB

仿真結果表明，小車運行時不會與障礙樁、隔板和邊框發(fā)生觸碰，可實現(xiàn)有效避障，小車軌跡規(guī)劃合理，參數(shù)選擇適當.

如果要得到更高的軌跡擬合度，可以采用提高軌跡采樣點數(shù)量和對應的凸輪一周均分份數(shù)的辦法.文中設計時使用的360均分法，無論是在仿真過程中，還是在制作的凸輪的實際運行過程中，其結果均驗證了此數(shù)量能夠滿足使用要求.

6 結 語

本文以2021年中國大學生工程實踐與創(chuàng)新能力大賽基礎賽道的環(huán)道S形運行方式的運行軌跡為例，利用在規(guī)劃軌跡路徑上的采樣坐標，采用軌跡中相鄰三點的坐標計算出中間點處曲率半徑，運用規(guī)劃、分析、計算、歸納和仿真等設計手段，介紹了一種能夠普遍適用于各種運行軌跡的凸輪設計方法.該設計方法區(qū)別于傳統(tǒng)設計思路，綜合運用了多種強大設計工具軟件中的簡單功能，相互組合接力，解決了小車用于各種避障運行軌跡的凸輪的復雜設計問題.采用此設計方案制作凸輪的勢能小車和熱能小車，在天津賽區(qū)的競賽中取得了一等獎的成績.該研究結果對于全國性競賽項目中的該類型競賽題目的解答有十分重要的參考意義.該凸輪的設計方法，對于其他機構，尤其是帶有凸輪的機構，也提供了十分有益的設計思路和方向.