具有弱依賴組的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的級(jí)聯(lián)失效*

潘倩倩 劉潤(rùn)然 賈春曉

(杭州師范大學(xué),復(fù)雜科學(xué)研究中心,杭州 311121)

1 引言

真實(shí)世界中的許多復(fù)雜系統(tǒng)都可以抽象成復(fù)雜網(wǎng)絡(luò),如常見的交通網(wǎng)絡(luò)[1-4]、電力網(wǎng)絡(luò)[5]、社交網(wǎng)絡(luò)[6]、疾病傳播網(wǎng)絡(luò)[7,8]和生物網(wǎng)絡(luò)[9,10]等.在復(fù)雜系統(tǒng)魯棒性的研究中,人們常常借助于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效模型對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)的崩潰過程進(jìn)行建模和研究,節(jié)點(diǎn)的失效不僅會(huì)對(duì)網(wǎng)絡(luò)整體的連通性造成影響,也可能會(huì)因節(jié)點(diǎn)之間的依賴關(guān)系而引起失效在網(wǎng)絡(luò)中蔓延.最初復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)魯棒性的研究是將兩種效應(yīng)分開進(jìn)行的,即針對(duì)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)之間的連接關(guān)系來(lái)探討網(wǎng)絡(luò)在失去部分連接或節(jié)點(diǎn)之后的連通性[11-13],以及節(jié)點(diǎn)間的耦合或依賴性所引起的失效節(jié)點(diǎn)的雪崩或級(jí)聯(lián)效應(yīng)[14].對(duì)于前者,人們借助于滲流模型發(fā)現(xiàn),隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)發(fā)生滲流相變的臨界點(diǎn)與網(wǎng)絡(luò)平均度呈反比關(guān)系[15];無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)具備“魯棒性和脆弱性共存”的特征[16-18],即對(duì)隨機(jī)故障的魯棒性較強(qiáng),但面對(duì)蓄意攻擊時(shí)則顯得十分脆弱;對(duì)于小世界網(wǎng)絡(luò),“捷徑”使得網(wǎng)絡(luò)的魯棒性增強(qiáng)[19],但也更容易在蓄意攻擊下破碎[20].對(duì)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效的研究,如何對(duì)節(jié)點(diǎn)之間的耦合和依賴進(jìn)行建模是一個(gè)核心問題.研究人員考慮了真實(shí)復(fù)雜系統(tǒng)的特征,主要考慮了動(dòng)態(tài)負(fù)載分配、局部依賴和依賴組的引入等幾個(gè)方案.

1) 動(dòng)態(tài)負(fù)載分配[21-27].當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中部分節(jié)點(diǎn)失效后,網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)之間最短路徑的分布發(fā)生較大的變化,網(wǎng)絡(luò)中信息或能量的流動(dòng)路徑就會(huì)重新分配,從而引起部分節(jié)點(diǎn)的運(yùn)行效率下降[21],甚至過載失效[27].在這類模型中,一個(gè)負(fù)載較小節(jié)點(diǎn)的失效可能不會(huì)引起負(fù)載失衡并誘發(fā)較大范圍的過載故障;而失效節(jié)點(diǎn)的負(fù)載較大時(shí),這些節(jié)點(diǎn)的失效可能會(huì)顯著影響其他節(jié)點(diǎn)的負(fù)載,并引發(fā)一系列大范圍的過載故障[23,27].為了探討級(jí)聯(lián)失效的產(chǎn)生條件并為級(jí)聯(lián)失效的防御和控制提供思路和策略,節(jié)點(diǎn)失效后荷載的分配方案對(duì)網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效動(dòng)力學(xué)的影響也受到廣泛關(guān)注,如隨機(jī)荷載再分配機(jī)制[28]、基于邊權(quán)重的再分配策略[29,30]、供需網(wǎng)絡(luò)中的供應(yīng)策略[31]等.除了流量分配機(jī)制外,網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)調(diào)整策略[32]、攻擊策略[33]、網(wǎng)絡(luò)中流量的漲落[34]、網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)特征[35]等因素對(duì)于級(jí)聯(lián)失效的影響也受到廣泛的關(guān)注.

2)局部依賴.Watts 模型研究了鄰居中相反狀態(tài)節(jié)點(diǎn)比例對(duì)節(jié)點(diǎn)狀態(tài)的影響,發(fā)現(xiàn)了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)發(fā)生級(jí)聯(lián)失效的臨界判據(jù)[36,37].此外,考慮到網(wǎng)絡(luò)高度值互連部分節(jié)點(diǎn)(k核)所組成結(jié)構(gòu)的重要性,Dorogovtsev 等[38]提出了k核滲流模型,該模型將通過一個(gè)反復(fù)迭代的剪枝過程獲得的最小度為k的節(jié)點(diǎn)所形成的連通子圖視為k核.度分布的二階矩有限時(shí),隨著初始刪除節(jié)點(diǎn)的增加,k核巨分支在某一臨界點(diǎn)會(huì)突然消失,表現(xiàn)為不連續(xù)的混合相變現(xiàn)象.如果度分布的第二階矩發(fā)散,則網(wǎng)絡(luò)包含一個(gè)無(wú)限序列的k核,這些k核對(duì)隨機(jī)攻擊具有很強(qiáng)的魯棒性.類似地,靴攀滲流模型考慮了失效鄰居的數(shù)量對(duì)節(jié)點(diǎn)狀態(tài)的影響,當(dāng)節(jié)點(diǎn)失效鄰居數(shù)達(dá)到某個(gè)閾值時(shí)該節(jié)點(diǎn)就會(huì)失效,研究發(fā)現(xiàn),在不同的度分布情形下,網(wǎng)絡(luò)中也會(huì)出現(xiàn)一階不連續(xù)相變和連續(xù)相變的現(xiàn)象[39].

3)依賴組的引入.上述兩種模型中節(jié)點(diǎn)都是通過相互鄰接關(guān)系進(jìn)行狀態(tài)傳遞的,但現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)中不相鄰的節(jié)點(diǎn)也可能存在隱含的相互影響.Parshani等[40]考慮到不相鄰節(jié)點(diǎn)之間也可能存在依賴性,于是提出了依賴組概念來(lái)描述復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的隱含依賴性,這種依賴組的存在導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)能夠發(fā)生級(jí)聯(lián)失效并導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)更加脆弱,如在依賴組的密度較高或依賴組規(guī)模較大時(shí)網(wǎng)絡(luò)會(huì)在遭受攻擊時(shí)以一階不連續(xù)相變的方式發(fā)生突然性的崩潰[41],同時(shí)依賴組的規(guī)模和分布[41]以及依賴規(guī)則[42-44]等特征的變化對(duì)網(wǎng)絡(luò)魯棒性和級(jí)聯(lián)失效有著不同程度的影響.

在關(guān)于依賴組的研究中,大多數(shù)模型基于一個(gè)簡(jiǎn)單的假設(shè):一個(gè)節(jié)點(diǎn)的失效可以直接導(dǎo)致其依賴節(jié)點(diǎn)的全部失效,這種“節(jié)點(diǎn)對(duì)節(jié)點(diǎn)”的“強(qiáng)依賴”的假設(shè)導(dǎo)致了網(wǎng)絡(luò)在遭受攻擊時(shí)極為脆弱,這一結(jié)果不但與現(xiàn)實(shí)中某些觀測(cè)不符,也不能充分描述部分復(fù)雜系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)之間的依賴關(guān)系[45,46].在現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)中,一個(gè)節(jié)點(diǎn)的失效可能對(duì)其依賴節(jié)點(diǎn)的一部分功能造成影響,而不是導(dǎo)致其完全失效[47,48].如金融系統(tǒng)中,所屬同一個(gè)投資者的公司之間相互依賴,由于風(fēng)險(xiǎn)分散,一家公司的倒閉不太可能直接導(dǎo)致投資者的其他公司全部破產(chǎn),而現(xiàn)實(shí)的情況是,其余公司可能會(huì)因現(xiàn)金流的減少而收縮自己的業(yè)務(wù).因此與以往模型所描述的“節(jié)點(diǎn)對(duì)節(jié)點(diǎn)”依賴模式不同,在一些普遍場(chǎng)景下系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)之間的依賴關(guān)系體現(xiàn)在“節(jié)點(diǎn)對(duì)邊”的相互作用上,即一個(gè)節(jié)點(diǎn)失效后,依賴組內(nèi)的其余節(jié)點(diǎn)會(huì)因受到?jīng)_擊而損失部分連接.這種描述“節(jié)點(diǎn)對(duì)邊”的相互作用機(jī)制可以描述更為一般化的場(chǎng)景,如屬于同一個(gè)依賴組的若干節(jié)點(diǎn),當(dāng)其中一個(gè)節(jié)點(diǎn)失效的時(shí)候,不會(huì)引起其余全部或部分節(jié)點(diǎn)立即失效,而是失效節(jié)點(diǎn)給剩余依賴節(jié)點(diǎn)帶來(lái)一定程度的沖擊和影響.

本文引入了“弱依賴組”概念,通過一個(gè)可調(diào)參數(shù)來(lái)控制同一依賴組內(nèi)節(jié)點(diǎn)的相互依賴強(qiáng)度并研究依賴組的大小、分布和網(wǎng)絡(luò)度分布對(duì)網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)失效的影響.通過理論研究和數(shù)值模擬的結(jié)果,發(fā)現(xiàn)改變依賴組的參數(shù)時(shí),網(wǎng)絡(luò)能夠發(fā)生連續(xù)和不連續(xù)的兩種滲流相變,且無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)在滲流過程中可能會(huì)出現(xiàn)雙重相變現(xiàn)象.

2 具有弱依賴組的網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效模型

考慮一個(gè)由N個(gè)節(jié)點(diǎn)通過一些連接邊所組成的網(wǎng)絡(luò),節(jié)點(diǎn)的連接度服從概率分布函數(shù)P(k)[7],同時(shí)網(wǎng)絡(luò)中的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)都隨機(jī)地與其他節(jié)點(diǎn)形成一個(gè)包含M個(gè)節(jié)點(diǎn)的依賴組,組內(nèi)的節(jié)點(diǎn)互相依賴.當(dāng)依賴組中一個(gè)節(jié)點(diǎn)失效時(shí),其余節(jié)點(diǎn)會(huì)受到一定程度的沖擊,影響強(qiáng)度由解耦系數(shù)α控制,即其余每個(gè)節(jié)點(diǎn)的每條邊都以α的概率保留下來(lái),而以 1-α的概率被刪除.參數(shù)α在描述失效節(jié)點(diǎn)對(duì)其余依賴節(jié)點(diǎn)所造成破壞性的同時(shí),也描述了一種“節(jié)點(diǎn)對(duì)邊”的作用機(jī)理,在描述依賴節(jié)點(diǎn)之間的相互作用上更具有一般性的意義,當(dāng)α →1 時(shí),依賴組內(nèi)節(jié)點(diǎn)的耦合強(qiáng)度最弱,一個(gè)節(jié)點(diǎn)的失效不能對(duì)組內(nèi)其余節(jié)點(diǎn)造成任何影響,此時(shí)模型與普通的座滲流等價(jià);而當(dāng)α →0 時(shí),依賴組內(nèi)節(jié)點(diǎn)的耦合強(qiáng)度最強(qiáng),一個(gè)節(jié)點(diǎn)的失效就能造成組內(nèi)所有節(jié)點(diǎn)全部失效,此時(shí)模型與文獻(xiàn)[41]中強(qiáng)依賴組的模型等價(jià).通過調(diào)整模型參數(shù)α可以研究不同耦合強(qiáng)度對(duì)網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效動(dòng)力學(xué)和魯棒性的影響[49,50].

網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效通過隨機(jī)攻擊網(wǎng)絡(luò)中比例為1—p的節(jié)點(diǎn)來(lái)觸發(fā),這些被攻擊節(jié)點(diǎn)及其連接被從網(wǎng)絡(luò)中全部刪除,進(jìn)而導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)發(fā)生破碎.在網(wǎng)絡(luò)中,能夠連接到巨分支的節(jié)點(diǎn)視為功能節(jié)點(diǎn),其他節(jié)點(diǎn)視為失效節(jié)點(diǎn).由于弱依賴組內(nèi)節(jié)點(diǎn)之間存在一定程度的依賴性,網(wǎng)絡(luò)中一個(gè)節(jié)點(diǎn)的失效會(huì)造成兩種影響:1)組外影響,節(jié)點(diǎn)失效會(huì)引起網(wǎng)絡(luò)破碎,進(jìn)而導(dǎo)致組外部分節(jié)點(diǎn)不能通過該節(jié)點(diǎn)連接到網(wǎng)絡(luò)巨分支而失效;2)組內(nèi)影響,失效節(jié)點(diǎn)所在的依賴組內(nèi)的其余節(jié)點(diǎn)會(huì)受到損害,其每一條連接邊都以1 —α的概率被刪除,即以α的概率被保留.當(dāng)一個(gè)節(jié)點(diǎn)失效后,組外影響導(dǎo)致失效能夠跨依賴組傳播,從而使失效擴(kuò)展到更大的范圍,而組內(nèi)影響導(dǎo)致組內(nèi)的其余節(jié)點(diǎn)的邊受到破壞,從而引起組內(nèi)更多節(jié)點(diǎn)失效.在這兩種影響的交替作用下,網(wǎng)絡(luò)上的級(jí)聯(lián)失效就會(huì)發(fā)生.我們將這兩種擴(kuò)散過程稱為“組間級(jí)聯(lián)失效”和“組內(nèi)級(jí)聯(lián)失效”.當(dāng)這兩個(gè)過程停止時(shí),網(wǎng)絡(luò)不會(huì)產(chǎn)生新的失效節(jié)點(diǎn)而發(fā)生進(jìn)一步的破碎,所有依賴組內(nèi)也不會(huì)有新的連接邊被刪除,網(wǎng)絡(luò)即達(dá)到穩(wěn)態(tài).本文用網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)態(tài)巨分支的相對(duì)大小S來(lái)衡量網(wǎng)絡(luò)的完整性,隨著初始保留節(jié)點(diǎn)比例p的降低,網(wǎng)絡(luò)巨分支的大小S會(huì)以二階連續(xù)相變或一階不連續(xù)相變的方式在一個(gè)臨界點(diǎn)或處降低至零,二階相變的臨界點(diǎn)或一階相變的臨界點(diǎn)通常用于度量網(wǎng)絡(luò)的魯棒性[15,51,52].

圖1 為具有弱依賴組的網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)失效示意圖.圖中虛線橢圓內(nèi)的節(jié)點(diǎn)形成一個(gè)依賴組,實(shí)線表示網(wǎng)絡(luò)內(nèi)功能正常的連接邊,點(diǎn)狀虛線表示被刪除的連接邊;功能正常的節(jié)點(diǎn)用綠色標(biāo)記,失效節(jié)點(diǎn)用紅色標(biāo)記,黃色節(jié)點(diǎn)表示功能正常但受到損壞的節(jié)點(diǎn).圖1 中(a)表示的是一個(gè)未受到攻擊的網(wǎng)絡(luò);(b)網(wǎng)絡(luò)中存在一個(gè)最初被刪除的節(jié)點(diǎn)2;(c)由于節(jié)點(diǎn)2 被刪除,其所有連接邊失效;(d)由于節(jié)點(diǎn)1 與網(wǎng)絡(luò)巨分支之間的連接邊被移除,導(dǎo)致節(jié)點(diǎn)1 脫離網(wǎng)絡(luò)巨分支而失效;(e)由于節(jié)點(diǎn)7 和節(jié)點(diǎn)1 屬于同一個(gè)弱依賴組,相互依賴,故節(jié)點(diǎn)1的失效會(huì)導(dǎo)致節(jié)點(diǎn)7 受損;(f)節(jié)點(diǎn)7 受到了一定的沖擊,節(jié)點(diǎn)7 與節(jié)點(diǎn)6 之間的連接邊失效;(g)因節(jié)點(diǎn)7 與節(jié)點(diǎn)6 之間的連接邊失效,導(dǎo)致節(jié)點(diǎn)6 脫離網(wǎng)絡(luò)巨分支,發(fā)生故障;(h)由于處在同一弱依賴組,節(jié)點(diǎn)5,4 受節(jié)點(diǎn)6 失效的影響而受損;(i)節(jié)點(diǎn)5 受損導(dǎo)致節(jié)點(diǎn)3 和節(jié)點(diǎn)5 之間的連接邊失效,并且網(wǎng)絡(luò)達(dá)到了最終的穩(wěn)定狀態(tài).

圖1 具有弱依賴組的網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)失效示意圖Fig.1.Schematic diagram of the cascading process in a network with weak interdependency groups.

3 理 論

用概率生成函數(shù)理論來(lái)對(duì)模型求解.在求解過程中,采用度分布的生成函數(shù)來(lái)生成網(wǎng)絡(luò)的度分布,即一個(gè)隨機(jī)節(jié)點(diǎn)度值為k的概率是P(k);類似地,采用余度分布生成函數(shù)來(lái)生成一條隨機(jī)邊到達(dá)一個(gè)度值為k的節(jié)點(diǎn)的概率,即排除這條隨機(jī)邊之外到達(dá)節(jié)點(diǎn)的余度為k—1的概率[53].在這兩個(gè)生成函數(shù)中,表示網(wǎng)絡(luò)的平均度.為了求解穩(wěn)態(tài)時(shí)網(wǎng)絡(luò)巨分支的規(guī)模,定義R為網(wǎng)絡(luò)中任意一條隨機(jī)邊能夠連接到巨分支的概率.假定在網(wǎng)絡(luò)中隨機(jī)挑選一條邊后,沿著這條邊的任意一端可到達(dá)一個(gè)度值為k的節(jié)點(diǎn)i,若該節(jié)點(diǎn)所屬依賴組內(nèi)有t個(gè)失效節(jié)點(diǎn),他的每條邊能夠保留下來(lái)的概率為αt.由于任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)度值k服從概率分布P(k),節(jié)點(diǎn)i的任意一條隨機(jī)邊能夠連到巨分支的概率分布遵循根據(jù)生成函數(shù)G1(x) 并考慮k的概率分布,可將一條隨機(jī)邊連接到巨分支的概率簡(jiǎn)寫為αt[1-G1(1-αtR)][54,55].如果將任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)所在的依賴組內(nèi)失效節(jié)點(diǎn)數(shù)t所服從的概率分布記為f(t),考慮所有可能的t,可以得到R滿足自洽方程:

同理,可以得到一個(gè)隨機(jī)節(jié)點(diǎn)屬于網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)態(tài)巨分支的概率S的方程:

求解方程(1)和方程(2)需要用到概率分布函數(shù)f(t),該函數(shù)可以通過概率R來(lái)獲得.當(dāng)網(wǎng)絡(luò)處在穩(wěn)定狀態(tài)時(shí),假如隨機(jī)選擇一個(gè)節(jié)點(diǎn)具有t個(gè)失效的依賴節(jié)點(diǎn),那么該節(jié)點(diǎn)還能保留下來(lái)的概率為p[1-G0(1-αtR)],與其同在一個(gè)依賴組中的其他M—t—1 個(gè)依賴節(jié)點(diǎn)全部存活的概率為{p[1-G0(1-αtR)]}M-t-1.此外,依賴組內(nèi)的失效節(jié)點(diǎn)分為兩種,一種是因遭受初始攻擊或因組外節(jié)點(diǎn)失效導(dǎo)致其脫離巨分支而失效,另一種是組內(nèi)其他節(jié)點(diǎn)的失效導(dǎo)致其連接的減少而失效.假設(shè)有s個(gè)節(jié)點(diǎn)的失效是由前一種原因造成的,其發(fā)生概率為{1-p[1-G0(1-R)]}s,那么t-s個(gè)節(jié)點(diǎn)的失效是由后一種原因?qū)е碌?概率為{p[G0(1-αsR)-G0(1-R)]}t-s.因此,t的概率分布函數(shù)f(t) 為

對(duì)于給定的度分布P(k)和弱依賴組大小M,結(jié)合方程(3)并通過聯(lián)立方程(1)和方程(2)可以得到網(wǎng)絡(luò)中巨分支的最終大小S.

當(dāng)α →1 時(shí),依賴組內(nèi)節(jié)點(diǎn)依賴強(qiáng)度趨向0,節(jié)點(diǎn)之間無(wú)相互依賴性而不會(huì)發(fā)生級(jí)聯(lián)失效,隨著保留節(jié)點(diǎn)比例p的降低,網(wǎng)絡(luò)以二階連續(xù)相變的方式發(fā)生破碎[15].當(dāng)α →0 時(shí),弱依賴組內(nèi)節(jié)點(diǎn)之間的依賴強(qiáng)度最強(qiáng),一旦組內(nèi)一個(gè)節(jié)點(diǎn)被刪除,組內(nèi)其余節(jié)點(diǎn)將全部失效,網(wǎng)絡(luò)以一階不連續(xù)相變的方式發(fā)生破碎.因此,弱依賴組內(nèi)節(jié)點(diǎn)之間的依賴強(qiáng)度α的值決定著網(wǎng)絡(luò)在遭受攻擊時(shí)的破碎形式,當(dāng)α超過臨界點(diǎn)αc時(shí),網(wǎng)絡(luò)的破碎方式可以從二階滲流相變轉(zhuǎn)變?yōu)橐浑A滲流相變.在網(wǎng)絡(luò)以二階相變方式發(fā)生破碎的情況下,當(dāng)p接近二階滲流相變點(diǎn)時(shí),隨機(jī)邊屬于穩(wěn)態(tài)巨分支的概率R趨于零.在R ≡ε →0 和p →時(shí),可以將(1)式進(jìn)行泰勒展開表示為

進(jìn)而可以求出二階滲流相變點(diǎn):

當(dāng)α=1 或M=1 時(shí),網(wǎng)絡(luò)不存在弱依賴組,其結(jié)果和普通網(wǎng)絡(luò)的滲流結(jié)果相同,二階滲流相變點(diǎn)(1)[17].同時(shí)還可以發(fā)現(xiàn),二階滲流相變點(diǎn)隨著弱依賴組大小M的增大而減小,這意味著網(wǎng)絡(luò)中弱依賴組規(guī)模越大,網(wǎng)絡(luò)就越脆弱.這一結(jié)果與弱依賴多層網(wǎng)絡(luò)的結(jié)果類似,即二階相變點(diǎn)與網(wǎng)絡(luò)的層數(shù)和參數(shù)α有關(guān)[56].

圖2 在不同初始保留節(jié)點(diǎn)比例p 和解耦系數(shù)α 時(shí)(1)式的圖解 (a) α=0.5 的結(jié)果;(b) α=0.63 的結(jié)果;(c) α=0.8 的結(jié)果.本圖中所用網(wǎng)絡(luò)的度分布服從冪率分布 P(k)～k-γ(kmin ≤k ≤kmax),其中 kmin=2 ,kmax=141 ,γ=2.3Fig.2.The graphical solutions of Eq.(1) for different values of p and α:(a) Result for α=0.5 ;(b) result for α=0.63 ;(c) result for α=0.8 .For each panel,the degree distribution of networks follows a truncated power-law distributionP(k)～k-γ(kmin ≤k ≤kmax)with kmin=2 ,kmax=141,and γ=2.3 .

通過對(duì)(9)式求解,可以得到一階相變和二階相變發(fā)生轉(zhuǎn)變的臨界點(diǎn)αc.在隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)中,節(jié)點(diǎn)度值服從泊松分布,方程(9)可以簡(jiǎn)化為

從(10)可以看出,αc依賴于網(wǎng)絡(luò)平均度和依賴組的規(guī)模M.對(duì)于無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò),(9)式可以寫成

其中括號(hào)〈·〉表示依據(jù)度分布對(duì)括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)取平均.因此,αc不僅取決于依賴組的規(guī)模M,而且依賴于無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的度分布P(k).

4 數(shù)值模擬結(jié)果與分析

本文選擇了兩種網(wǎng)絡(luò)模型,即度分布滿足泊松分布的ER 隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)和度分布滿足近似冪律的無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò),來(lái)研究弱依賴組內(nèi)節(jié)點(diǎn)的依賴強(qiáng)度、依賴組的規(guī)模和分布等不同特征對(duì)網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效動(dòng)力學(xué)和魯棒性的影響,并通過理論計(jì)算對(duì)數(shù)值模擬的結(jié)果予以驗(yàn)證.對(duì)于ER 隨機(jī)網(wǎng)絡(luò),采用隨機(jī)向N個(gè)節(jié)點(diǎn)隨機(jī)加邊的方式生成.而對(duì)于無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò),首先生成一個(gè)近似滿足冪率分布的度序列,然后采用配置模型生成其對(duì)應(yīng)的無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò).在兩種模型的生成過程中,自環(huán)和重復(fù)連接被禁止.

4.1 弱依賴組規(guī)模均勻分布

為了描述具有弱依賴組的網(wǎng)絡(luò)上的“組間級(jí)聯(lián)”和“組內(nèi)級(jí)聯(lián)”兩種失效過程對(duì)網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響,本文以依賴組大小M=3 和M=4 的兩種情況為例,研究當(dāng)弱依賴組大小均勻分布時(shí)網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效動(dòng)力學(xué)的特點(diǎn).圖3(a)和圖3(b)分別給出了當(dāng)M=3和M=4 時(shí),平均度〈k〉=4 的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)態(tài)巨分支的大小S隨初始節(jié)點(diǎn)保留概率p的增加而變化情況.圖3(c)和圖3(d)給出了平均度〈k〉=5的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò),當(dāng)弱依賴組大小M分別為3 和4 時(shí),網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)態(tài)巨分支規(guī)模S隨p的增加而變化的情況.從圖3(a)和圖3(b)可以發(fā)現(xiàn),無(wú)論是M=3還是M=4 的情況,當(dāng)α較小時(shí),隨著初始保留節(jié)點(diǎn)p的降低,網(wǎng)絡(luò)都是以一階不連續(xù)相變的方式發(fā)生崩潰;而對(duì)于較大的α值,隨著初始保留節(jié)點(diǎn)p的降低,網(wǎng)絡(luò)以二階連續(xù)相變的形式逐步瓦解.另外,可以發(fā)現(xiàn)M=3 的網(wǎng)絡(luò)的臨界點(diǎn)小于M=4的網(wǎng)絡(luò)的臨界點(diǎn),這意味著前者比后者具有更強(qiáng)的魯棒性.對(duì)于〈k〉=5 的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò),雖然定量的結(jié)果與〈k〉=4 時(shí)存在差異,但定性的結(jié)果是相似的.這些結(jié)果證實(shí)了依賴組的規(guī)模和組內(nèi)節(jié)點(diǎn)的依賴強(qiáng)度對(duì)網(wǎng)絡(luò)的破碎形式有著重要影響,依賴組規(guī)模越大,網(wǎng)絡(luò)的魯棒性就越差,同時(shí)依賴強(qiáng)度對(duì)網(wǎng)絡(luò)的魯棒性也有重要影響,當(dāng)依賴強(qiáng)度較大時(shí)網(wǎng)絡(luò)以一階不連續(xù)相變的形式發(fā)生破碎,而依賴強(qiáng)度較小時(shí)網(wǎng)絡(luò)以二階連續(xù)相變的形式發(fā)生破碎.

圖3 依賴組規(guī)模 M=3 和 M=4 的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)上的滲流相變 (a),(b)平均度為 〈k〉=4 的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò),弱依賴組大小分別為M=3和 M=4 的結(jié)果;(c),(d)在 〈k〉=5 時(shí),弱依賴組平均大小分別為 M=3 和 M=4 的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)果.圖中網(wǎng)絡(luò)規(guī)模N=105,實(shí)線表示由(1)式和(2)式得到的理論預(yù)測(cè),而垂直虛線分別表示由(5)式和(7)式所預(yù)測(cè)的一階和二階滲流相變點(diǎn).模擬結(jié)果來(lái)自于100 次不同初始條件下的平均Fig.3.Simulation results for the percolation transitions on random networks with group sizes M=3 and M=4 :(a),(b) Results for random networks with the interdependency group sizes M=3 and M=4 respectively,where the average degree 〈k〉 is set to 4 for both panels;(c),(d) results for random networks with the interdependency group sizes M=3 and M=4 respectively,where average degree 〈k〉 is set to 5 for both panels.The network size is N=105 .The solid lines behind the symbols denote the theoretical predictions that were obtained by Eqs.(1) and (2).The vertical dashed lines denote the first-order and second-order percolation transition points predicted by Eqs.(7) and (5),respectively.The simulation results were averaged from 100 realizations of different initial conditions.

圖3 還提供了理論預(yù)測(cè)的結(jié)果,理論預(yù)測(cè)的網(wǎng)絡(luò)巨分支規(guī)模S與模擬結(jié)果非常符合,另外,數(shù)值模擬所得到的網(wǎng)絡(luò)巨分支的規(guī)模S在理論預(yù)測(cè)的相變點(diǎn)處消失為0.這些結(jié)果證實(shí)了本文理論的正確性.此外,在不同初始條件下,初始節(jié)點(diǎn)保留概率p值對(duì)于極大簇的規(guī)模分布有著非常重要的影響.在p值遠(yuǎn)離臨界點(diǎn)時(shí),極大簇的規(guī)模分布是非常均勻的,而在p值處于臨界點(diǎn)附近時(shí),極大簇規(guī)模的漲落會(huì)非常大.因此除了理論預(yù)測(cè)的方法之外,還可以通過數(shù)值模擬來(lái)獲得極大簇方差的大小來(lái)定位網(wǎng)絡(luò)發(fā)生破碎的臨界點(diǎn)[47].

圖4 給出了弱依賴組大小分布均勻時(shí),無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的巨分支規(guī)模S隨初始保留節(jié)點(diǎn)比例p的變化.此時(shí),網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)度服從P(k)～k-γ(kmin≤k≤kmax),其中kmax和kmin分別是節(jié)點(diǎn)度的上下限,γ是冪律指數(shù),其平均度.與ER 隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)果類似,對(duì)于較小的α值,網(wǎng)絡(luò)以一階不連續(xù)的方式發(fā)生崩潰,對(duì)于較大的α值,網(wǎng)絡(luò)以二階連續(xù)的方式逐步瓦解.兩種滲流相變形式由臨界點(diǎn)αc隔開.且當(dāng)M=3 時(shí),網(wǎng)絡(luò)的滲流相變點(diǎn)小于M=4 的網(wǎng)絡(luò)的滲流相變點(diǎn),這意味著M=3的網(wǎng)絡(luò)比M=4 的網(wǎng)絡(luò)具有更強(qiáng)的魯棒性.有趣的是,我們還發(fā)現(xiàn)當(dāng)α增大到一定程度時(shí)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)會(huì)發(fā)生雙重相變,如α=0.63 .對(duì)于雙重相變,網(wǎng)絡(luò)首先以二階連續(xù)相變的方式滲流,然后隨著p的增加又會(huì)發(fā)生一階不連續(xù)相變.隨著α的增加,網(wǎng)絡(luò)破碎形式轉(zhuǎn)變?yōu)閱蝹€(gè)二階連續(xù)相變;隨著α的減小,二階連續(xù)相變消失,網(wǎng)絡(luò)的破碎形式轉(zhuǎn)變?yōu)閱蝹€(gè)一階不連續(xù)相變.

圖4 依賴組規(guī)模 M=3 和 M=4 的無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)滲流相變 (a),(b)在 〈k〉=4 (kmin=2 ,kmax=63,γ=2.5)時(shí),弱依賴組平均大小分別為 M=3 和 M=4 時(shí)的結(jié)果;(c),(d)在 〈k〉=5 (kmin=2 ,kmax=141 ,γ=2.3)時(shí),弱依賴組規(guī)模分別為M=3和 M=4 時(shí)的結(jié)果.網(wǎng)絡(luò)規(guī)模 N=105 .圖中實(shí)線表示由(1)式和(2)式得到的理論預(yù)測(cè).垂直虛線分別表示(7)式和(5)式預(yù)測(cè)的一階和二階滲流相變點(diǎn).模擬結(jié)果來(lái)自于100 次不同初始條件下的平均Fig.4.Simulation results for the percolation transitions on scale-free networks with the interdependency group sizes M=3 and M=4:(a),(b) Results for scale-free networks withthe interdependency group sizes M=3 and M=4 respectively,where the average degree 〈k〉 is 4 with kmin=2,kmax=63 and γ=2.5 ;(c),(d) results for scale-free networks with the interdependency group sizes M=3 and M=4 respectively,where the average degree 〈k〉 is 5 with kmin=2,kmax=141 and γ=2.3 .The network sizeis N=105 .The solid lines behind the symbols denote the theoretical predictions by Eqs.(1) and (2),and the vertical dashed lines denote the first-order or second-order percolation transition points predicted by Eqs.(7) and (5),respectively.The simulation results are averaged from 100 realizations of different initial conditions.

此外,圖4 的結(jié)果還表明,雙重相變發(fā)生于度分布異質(zhì)性較強(qiáng)的無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)且依賴組內(nèi)節(jié)點(diǎn)依賴強(qiáng)度適中時(shí).這是由于無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的度分布異質(zhì)性較強(qiáng),當(dāng)網(wǎng)絡(luò)受到攻擊而發(fā)生級(jí)聯(lián)失效時(shí),較多度值較小的節(jié)點(diǎn)會(huì)率先脫離網(wǎng)絡(luò)的巨分支而失效,當(dāng)失效節(jié)點(diǎn)的規(guī)模發(fā)散時(shí)網(wǎng)絡(luò)就會(huì)發(fā)生一階不連續(xù)的相變,而此時(shí)網(wǎng)絡(luò)中度值較大的節(jié)點(diǎn)仍然能夠形成穩(wěn)定的簇結(jié)構(gòu),需要更大的攻擊強(qiáng)度才能夠?qū)⑵鋸氐灼茐?當(dāng)依賴組中節(jié)點(diǎn)的依賴強(qiáng)度較大時(shí),度值較大的中心節(jié)點(diǎn)很容易受到度值較小節(jié)點(diǎn)的影響而失效,無(wú)法形成規(guī)模較大的簇結(jié)構(gòu)來(lái)對(duì)抗級(jí)聯(lián)失效,此時(shí)網(wǎng)絡(luò)只能發(fā)生一階相變;在當(dāng)依賴組中節(jié)點(diǎn)的依賴強(qiáng)度較弱時(shí),節(jié)點(diǎn)會(huì)因相互之間的依賴太弱無(wú)法形成較大規(guī)模的級(jí)聯(lián)失效而發(fā)生二階連續(xù)相變.

圖5(a)和圖5(b)分別給出了在M=3 和M=4時(shí)隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的滲流相變點(diǎn)pc隨α變化的情況,其中不同顏色的曲線表示不同網(wǎng)絡(luò)平均度的結(jié)果.圖中αc表示一階相變和二階相變的轉(zhuǎn)變點(diǎn),其值由弱依賴組的大小M和網(wǎng)絡(luò)平均度〈k〉決定.圖5(c)和圖5(d)分別給出了在M=3 和M=4 時(shí)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的滲流相變點(diǎn)隨α的變化.

圖5 隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)和無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)在弱依賴組規(guī)模服從平均分布時(shí)滲流相變點(diǎn) pc 與α 的關(guān)系 (a)依賴組規(guī)模 M=3 的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的滲流相變點(diǎn) 或與α 的關(guān)系,其中平均度 〈k〉 為4,5 和6;(b)依賴組規(guī)模 M=4 的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)果;(c)平均度 〈k〉 為4,5 和6 (分別對(duì)應(yīng)度分布的冪律指數(shù) γ 為2.5,2.3 和2.1)且依賴組規(guī)模 M=3 的無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的結(jié)果;(d)依賴組規(guī)模 M=4 的無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的結(jié)果.圖中實(shí)線為一階滲流相變點(diǎn),虛線為二階滲流相變點(diǎn) .模擬結(jié)果來(lái)自于100 次不同初始條件下的平均Fig.5.The percolation transition point pc as functions of αon random networks and scale-free networks with uniform interdependency group size:(a) Results for random networks with the interdependency group size M=3,where the average degree 〈k〉 is 4,5 and 6 from high to low;(b) results for random networks with the group size M=4,where the average degree 〈k〉 is 4,5 and 6 from high to low;(c) results for scale-free networks with thegroup size M=3,where the average degree 〈k〉 is 4,5 and 6 (corresponding to a power-law exponent of degree distribution γ is 2.5,2.3 and 2.1,respectively);(d) results for scale-free networks with the interdependency group size M=4,where the average degree 〈k〉 is 4,5 and 6.The solid line is the first-order percolation transition point ,and the dashed line is the second-order percolation transition point .The simulation results were averaged from 100 realizations of different initial conditions.

從中可以發(fā)現(xiàn),相變的方式以αc為界分為不連續(xù)和連續(xù)兩種,但αc的值取決于弱依賴組的大小M和網(wǎng)絡(luò)度分布P(k).另外,當(dāng)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)出現(xiàn)雙重相變情況時(shí),網(wǎng)絡(luò)先以二階連續(xù)相變的方式滲流,因此網(wǎng)絡(luò)滲流相變點(diǎn)為二階相變點(diǎn).同時(shí)也可以發(fā)現(xiàn),在大多數(shù)情況下,當(dāng)依賴組內(nèi)節(jié)點(diǎn)依賴強(qiáng)度較弱時(shí),隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)魯棒性比無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)差,而當(dāng)依賴組內(nèi)節(jié)點(diǎn)依賴強(qiáng)度較強(qiáng)時(shí),無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)魯棒性比隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)差.這是由于在隨機(jī)攻擊時(shí),無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中度值較大的中心節(jié)點(diǎn)不容易受到攻擊,在依賴組內(nèi)節(jié)點(diǎn)依賴強(qiáng)度較弱時(shí)也不容易受到其他節(jié)點(diǎn)的影響而受到損害,然而在依賴強(qiáng)度較大時(shí),無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中度值較大的節(jié)點(diǎn)容易受到組內(nèi)其他節(jié)點(diǎn)失效的影響而造成大量連接被刪除,從而對(duì)網(wǎng)絡(luò)整體的連通性造成較大的影響.這一結(jié)果表明,無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的魯棒性與依賴組內(nèi)節(jié)點(diǎn)的依賴強(qiáng)度有著密切的關(guān)聯(lián).

4.2 弱依賴組大小泊松分布

考慮到現(xiàn)實(shí)中一些復(fù)雜系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)所形成的依賴組的規(guī)模并不一定是均勻的,本節(jié)以弱依賴組規(guī)模服從泊松分布的情況為例,用ER 隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)和無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)來(lái)研究弱依賴組規(guī)模的非均勻分布對(duì)網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效動(dòng)力學(xué)的影響.考慮弱依賴組規(guī)模服從泊松分布函數(shù)Q(M=i)=,i=1,2,···,Mmax,其中〈M〉表示依賴組的平均規(guī)模.此時(shí)方程(1) 轉(zhuǎn)換成

全國(guó)家用電器工業(yè)信息中心是面向全國(guó)家用電器行業(yè)服務(wù)的專業(yè)信息機(jī)構(gòu)，擁有強(qiáng)大的行業(yè)研究、技術(shù)研究、標(biāo)準(zhǔn)研究和信息處理能力。全方位地提供行業(yè)分析、企業(yè)分析、市場(chǎng)分析及預(yù)測(cè)、預(yù)警等方面服務(wù)，在家電行業(yè)極具影響力。全國(guó)家用電器工業(yè)信息中心總部位于北京。

同理,方程(2)要轉(zhuǎn)換成

關(guān)于滲流相變點(diǎn)的求值與上文所述的弱依賴組平均分布的求值方法相同,可得到二階滲流相變點(diǎn):

根據(jù)方程(14)可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中弱依賴組規(guī)模分布服從泊松分布時(shí),網(wǎng)絡(luò)的二階滲流相變點(diǎn)與依賴組平均規(guī)?！碝〉相關(guān),二階滲流相變點(diǎn)隨著弱依賴組平均規(guī)?！碝〉的增大而減小,這意味著網(wǎng)絡(luò)中弱依賴組平均規(guī)模越大,網(wǎng)絡(luò)魯棒性就越差.

當(dāng)網(wǎng)絡(luò)發(fā)生一階滲流相變時(shí),R在相變點(diǎn)處從零跳躍到一個(gè)非零值Rc,此時(shí)方程(7)同樣成立,通過聯(lián)立方程(7) 和方程(12)求得弱依賴組規(guī)模服從泊松分布時(shí)的一階滲流相變點(diǎn)

與弱依賴組規(guī)模平均分布時(shí)一階與二階滲流相變的臨界點(diǎn)αc滿足的條件相同,當(dāng)p →pc和α=αc時(shí),h′′(0)=0,此時(shí)得到

在度分布服從泊松分布的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)中,方程(15)可簡(jiǎn)化為

在度分布近似冪率分布的無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中,方程(15)可簡(jiǎn)化為

圖6(a)和圖6(b)分別給出了弱依賴組規(guī)模服從泊松分布且平均值〈M〉分別為3 和4 時(shí),平均度〈k〉=4隨機(jī)ER 網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)態(tài)巨分支的大小S隨p增加而變化的情況.圖6(c)和圖6(d)分別給出了弱依賴組規(guī)模服從泊松分布且平均值〈M〉分別為3 和4 時(shí),平均度〈k〉=5 的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)態(tài)巨分支的大小S隨p增加而變化情況.從圖中可以發(fā)現(xiàn)在隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)中,對(duì)于較小的α值,網(wǎng)絡(luò)以一階不連續(xù)相變方式滲流,對(duì)于較大的α值,網(wǎng)絡(luò)以二階連續(xù)相變方式滲流.兩種相變的形式在臨界點(diǎn)αc處發(fā)生改變.另外,可以發(fā)現(xiàn)〈M〉=3 時(shí),網(wǎng)絡(luò)滲流相變點(diǎn)小于〈M〉=4 的網(wǎng)絡(luò),這意味著依賴組平均規(guī)模較小的網(wǎng)絡(luò)魯棒性更強(qiáng).當(dāng)〈k〉=5 時(shí),弱依賴組平均規(guī)?！碝〉=3和〈M〉=4 的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)也具備類似的現(xiàn)象.圖6 還提供了理論預(yù)測(cè),結(jié)果與模擬結(jié)果基本符合.

圖6 弱依賴組平均規(guī)模 〈M〉=3 和 〈M〉=4 的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)滲流相變的模擬結(jié)果 (a),(b) 平均度 〈k〉=4 的ER 隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)在依賴組平均規(guī)模分別為 〈M〉=3 和 〈M〉=4 時(shí)的結(jié)果;(c),(d)平均度 〈k〉=5 的ER 隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)在依賴組平均規(guī)模分別為 〈M〉=3 和〈M〉=4時(shí)的結(jié)果.網(wǎng)絡(luò)規(guī)模設(shè)為 N=105 .圖中實(shí)線表示由(12)式和(13)式得到的理論預(yù)測(cè).垂直虛線分別表示理論預(yù)測(cè)的一階和二階滲流相變點(diǎn).模擬結(jié)果來(lái)自于100 次不同初始條件下的平均Fig.6.Simulation results for percolation transitions on random networks with average group sizes 〈M〉=3 and 〈M〉=4 :(a),(b) Results for random networks with the average group sizes 〈M〉=3 and 〈M〉=4,respectively,where the average degree 〈k〉 is 4 ;(c),(d) results for random networks with the average group sizes〈M〉=3 and 〈M〉=4 respectively,where 〈k〉 is 5.The network size is N=105 .The solid linesbehind the symbols denote the theoretical predictions that were obtained by Eqs.(12) and(13),and the vertical dashed lines denote the first-order and second-order percolation transition points predicted by theory.The simulation results were averaged from 100 realizations of different initial conditions.

圖7 給出了弱依賴組大小分布為泊松分布Q(M),且規(guī)模平均值〈M〉=5 和〈M〉=6 時(shí),無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上的滲流相變.從圖7 可以發(fā)現(xiàn)類似于隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)果,對(duì)于較小的α值,網(wǎng)絡(luò)以一階不連續(xù)相變方式滲流,對(duì)于較大的α值,網(wǎng)絡(luò)以二階連續(xù)相變方式滲流.兩種滲流相變的形式的轉(zhuǎn)變點(diǎn)發(fā)生于αc處,且〈M〉=5 的網(wǎng)絡(luò)的滲流相變點(diǎn)小于〈M〉=6的網(wǎng)絡(luò),這意味著前者比后者具有更強(qiáng)的魯棒性.同時(shí)發(fā)現(xiàn),當(dāng)弱依賴組大小服從泊松分布時(shí),無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的雙重相變現(xiàn)象依然存在.圖7 還提供了理論預(yù)測(cè),理論結(jié)果與模擬結(jié)果的誤差相對(duì)于隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)較大,主要存在兩個(gè)原因.首先對(duì)于無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)在給定度序列的情況下,由于度值較大的節(jié)點(diǎn)的數(shù)量較小,但這些節(jié)點(diǎn)對(duì)網(wǎng)絡(luò)的魯棒性產(chǎn)生了非常關(guān)鍵的作用,不同網(wǎng)絡(luò)連接結(jié)構(gòu)的差異性會(huì)對(duì)模擬結(jié)果產(chǎn)生較大的影響,因此模擬結(jié)果的誤差較大.第二,極大簇在相變點(diǎn)附近有較大的漲落,也會(huì)導(dǎo)致模擬結(jié)果存在一定的誤差.

圖7 弱依賴組平均規(guī)模 〈M〉=5 和 〈M〉=6 的無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)滲流相變的模擬結(jié)果 (a),(b)在 〈k〉=4,即 kmin=2 ,kmax=63,γ=2.5時(shí),弱依賴組平均規(guī)模分別為 〈M〉=5 和 〈M〉=6 的結(jié)果;(c),(d) 在 〈k〉=5,即 kmin=2,kmax=141,γ=2.3 時(shí),弱依賴組平均規(guī)模分別為 〈M〉=5和 〈M〉=6 的結(jié)果.網(wǎng)絡(luò)規(guī)模為 N=105 .圖中實(shí)線表示由(12)式和(13)式得到的理論預(yù)測(cè).垂直虛線分別表示預(yù)測(cè)的一階和二階滲流相變點(diǎn)Fig.7.Simulation results for percolation transitions on scale-free network with average group sizes 〈M〉=5 and 〈M〉=6 :(a),(b)Results for scale-free networks with average group sizes 〈M〉=5and 〈M〉=6 respectively,where the average degree 〈k〉 is 4 with kmin=2 ,kmax=63 and γ=2.5 ;(c),(d) results for scale-free networks with 〈M〉=5 and 〈M〉=6 respectively,where〈k〉is 5 with kmin=2 ,kmax=141 and γ=2.3 .The network size is N=105 .The solid lines behind the symbols denote the theoretical predictions by Eqs.(12)and (13),and the vertical dashed lines denote the first-order and second-order percolation transition points predicted by theory.The simulation results were averaged from 100 realizations of different initial conditions.

圖8(a)和圖8(b)分別給出了當(dāng)網(wǎng)絡(luò)平均度〈k〉不同時(shí),弱依賴組平均規(guī)?！碝〉=3和〈M〉=4的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的滲流相變點(diǎn)pc隨α的變化.圖中網(wǎng)絡(luò)滲流相變的形式在αc處發(fā)生改變,且αc的大小由弱依賴組平均規(guī)?！碝〉和隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的平均度〈k〉決定.圖8(c)和圖8(d) 分別給出了不同平均度〈k〉時(shí),弱依賴組平均大小〈M〉=3 和〈M〉=4 無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的滲流相變點(diǎn)pc隨α的變化.從中也可以發(fā)現(xiàn)類似依賴組大小平均分布的相變情況,相變的方式以αc為臨界點(diǎn)分為不連續(xù)和連續(xù)兩種,但臨界點(diǎn)αc還取決于度分布的參數(shù)設(shè)置.另外,由于無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)出現(xiàn)雙重相變情況時(shí),網(wǎng)絡(luò)先以連續(xù)相變的形式滲流,所以將視為此時(shí)滲流相變點(diǎn)pc.通過比較圖8 和圖5,可以發(fā)現(xiàn)依賴組規(guī)模不均勻分布的網(wǎng)絡(luò)比依賴組規(guī)模均勻分布的網(wǎng)絡(luò)具有更強(qiáng)的魯棒性.

圖8 隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)和無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)在弱依賴組規(guī)模服從泊松分布時(shí)滲流相變點(diǎn) pc 與α 的關(guān)系 (a) 〈M〉=3 的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的滲流相變點(diǎn) pc (或)與α 的關(guān)系,其中平均度 〈k〉 分別為4,5 和6;(b) 〈M〉=4 的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)果;(c)平均度 〈k〉 分別為4,5 和6 (度分布的冪指數(shù) γ 分別為2.5,2.3 和2.1)且 〈M〉=3 的無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的結(jié)果;(d) 〈M〉=4 的無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的結(jié)果.圖中實(shí)線為一階滲流相變點(diǎn),虛線為二階滲流相變點(diǎn)Fig.8.The percolation transition point pc as functions of α on random networks and scale-free networks when the interdependency groups size follows poisson distribution:(a) Results for random networks with the average interdependency group size〈M〉=3,where the average degree 〈k〉 is 4,5 and 6 from high to low;(b) the same results to panel (a) but for 〈M〉=4 ;(c)results for scale-free networks with the average interdependency group size 〈M〉=3,where the average degree 〈k〉 is 4,5 and 6 from high to low (corresponding to a power-law exponent of degree distribution 2.5,2.3 and 2.1,respectively);(d) the same results to panel (c) but for 〈M〉=4 .The solid line is the first-order percolation transition point ,and the dashed line is the second-order percolation transition point .

5 總結(jié)與展望

在一些真實(shí)的復(fù)雜系統(tǒng)中,網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)可能通過隱含的依賴關(guān)系而形成一些依賴組,其中一個(gè)節(jié)點(diǎn)失效后會(huì)對(duì)依賴組內(nèi)其余節(jié)點(diǎn)造成一定程度的損害,進(jìn)而會(huì)引發(fā)更多節(jié)點(diǎn)的失效而形成級(jí)聯(lián)過程.基于此,本文提出了一種具有“弱依賴組”的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效模型,依賴組中節(jié)點(diǎn)的依賴方式由一種“節(jié)點(diǎn)對(duì)邊”的相互作用機(jī)制決定,與過去“節(jié)點(diǎn)到節(jié)點(diǎn)”的相互作用機(jī)制不同,當(dāng)依賴組內(nèi)一個(gè)節(jié)點(diǎn)失效時(shí),組中其余節(jié)點(diǎn)都會(huì)受到一定程度的損害,而非完全失效.本文通過引入一個(gè)可調(diào)參數(shù)α來(lái)描述復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中弱依賴組內(nèi)節(jié)點(diǎn)的依賴強(qiáng)度,并研究了網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)所形成的弱依賴組的規(guī)模,規(guī)模分布和依賴強(qiáng)度等幾個(gè)特征對(duì)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效動(dòng)力學(xué)和網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響.

由于“節(jié)點(diǎn)對(duì)邊”的弱依賴機(jī)制的引入,本文發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)在級(jí)聯(lián)失效過程中存在兩種效應(yīng):組間級(jí)聯(lián)失效和組內(nèi)級(jí)聯(lián)失效.具體而言,組間級(jí)聯(lián)失效表示一個(gè)節(jié)點(diǎn)的失效使依賴組外的部分節(jié)點(diǎn)不能通過失效節(jié)點(diǎn)連接到網(wǎng)絡(luò)的巨分支而失效,這些新增失效節(jié)點(diǎn)進(jìn)而會(huì)造成更多節(jié)點(diǎn)的失效,組間級(jí)聯(lián)使得失效節(jié)點(diǎn)能夠跨依賴組傳播;組內(nèi)級(jí)聯(lián)失效表示一個(gè)節(jié)點(diǎn)的失效會(huì)給依賴組內(nèi)其余功能節(jié)點(diǎn)造成損害而失去部分連接,從而使這些節(jié)點(diǎn)脫離網(wǎng)絡(luò)巨分支而失效,這些新增失效節(jié)點(diǎn)進(jìn)而給組內(nèi)其余節(jié)點(diǎn)造成更大的損害而誘發(fā)更多節(jié)點(diǎn)失效,導(dǎo)致故障在依賴組內(nèi)傳播,這一微觀效應(yīng)在之前強(qiáng)依賴機(jī)制的模型中是不存在的,因在強(qiáng)依賴機(jī)制下,一旦依賴組中一個(gè)節(jié)點(diǎn)被刪除,其余節(jié)點(diǎn)將會(huì)被完全刪除.由于組外級(jí)聯(lián)失效的存在,某一個(gè)依賴組內(nèi)產(chǎn)生的失效會(huì)在擴(kuò)張到其他依賴組后又傳播到該依賴組內(nèi),從而進(jìn)一步導(dǎo)致組內(nèi)更多節(jié)點(diǎn)失效.而組內(nèi)級(jí)聯(lián)失效的存在打破了網(wǎng)絡(luò)在部分節(jié)點(diǎn)在脫離網(wǎng)絡(luò)巨分支后的平衡.因此可以看出,二者存在協(xié)同作用.

在兩種級(jí)聯(lián)動(dòng)力學(xué)的共同作用下,網(wǎng)絡(luò)以一階或二階相變的形式瓦解,且網(wǎng)絡(luò)瓦解的形式由節(jié)點(diǎn)之間的依賴強(qiáng)度決定.這說明依賴組內(nèi)節(jié)點(diǎn)的依賴強(qiáng)度對(duì)網(wǎng)絡(luò)發(fā)生級(jí)聯(lián)失效的形式產(chǎn)生了至關(guān)重要的影響.當(dāng)節(jié)點(diǎn)之間的依賴性較弱時(shí),節(jié)點(diǎn)的失效不能對(duì)組內(nèi)依賴節(jié)點(diǎn)造成較大的破壞性,從而抑制了故障的傳播,使系統(tǒng)通過二階滲流相變的形式發(fā)生破碎.當(dāng)節(jié)點(diǎn)之間的依賴性較強(qiáng)時(shí),節(jié)點(diǎn)的故障會(huì)以組內(nèi)級(jí)聯(lián)的方式傳播到較為廣泛的范圍,從而導(dǎo)致系統(tǒng)的突然崩潰.這些結(jié)果表明,組內(nèi)級(jí)聯(lián)失效過程影響著組間級(jí)聯(lián)失效的過程,并對(duì)網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效的形式和網(wǎng)絡(luò)魯棒性起到了至關(guān)重要的作用.

數(shù)值模擬和理論分析的結(jié)果表明,隨著依賴組的規(guī)模和依賴組內(nèi)節(jié)點(diǎn)的依賴強(qiáng)度的增大,網(wǎng)絡(luò)的魯棒性會(huì)逐漸下降,這是由于弱依賴組規(guī)模更小的網(wǎng)絡(luò)可將組內(nèi)級(jí)聯(lián)限制在一個(gè)較小的范圍內(nèi),避免了失效在較大范圍內(nèi)擴(kuò)散.同時(shí),依賴組規(guī)模不均勻分布的網(wǎng)絡(luò)比依賴組規(guī)模均勻分布的網(wǎng)絡(luò)具有更強(qiáng)的魯棒性,這是因?yàn)橐蕾嚱M規(guī)模分布不均勻的網(wǎng)絡(luò)雖允許更大規(guī)模的依賴組出現(xiàn),但大規(guī)模依賴組出現(xiàn)的概率較低,不容易受到攻擊,且攻擊數(shù)量較多且規(guī)模較小的依賴組也不會(huì)造成太大范圍的組內(nèi)級(jí)聯(lián),從而限制了組內(nèi)級(jí)聯(lián)的范圍.

此外,在大多數(shù)情況下,當(dāng)依賴組內(nèi)節(jié)點(diǎn)依賴強(qiáng)度較弱時(shí),隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)魯棒性比無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)差,而當(dāng)依賴組內(nèi)節(jié)點(diǎn)依賴強(qiáng)度較強(qiáng)時(shí),無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)魯棒性比隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)差.這一結(jié)果表明,存在依賴組的情況下,度分布的異質(zhì)性和依賴組規(guī)模分布的異質(zhì)性都能夠?qū)ο到y(tǒng)的魯棒性造成顯著的影響.

最后,本文還發(fā)現(xiàn)了無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中在依賴組中節(jié)點(diǎn)依賴強(qiáng)度適中時(shí)會(huì)發(fā)生二重相變的現(xiàn)象,這是由于無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)度分布的異質(zhì)性較強(qiáng),當(dāng)網(wǎng)絡(luò)受到一定程度的攻擊時(shí)所發(fā)生的級(jí)聯(lián)失效只能破壞為數(shù)眾多的度值較小的節(jié)點(diǎn),而對(duì)于度值較大的節(jié)點(diǎn)還能形成穩(wěn)定的簇結(jié)構(gòu),如將網(wǎng)絡(luò)徹底破壞還需更強(qiáng)的攻擊強(qiáng)度.

本文將“節(jié)點(diǎn)對(duì)邊”作用機(jī)理引入到了具有依賴組的的級(jí)聯(lián)失效模型中,描述了節(jié)點(diǎn)之間更為一般的依賴機(jī)制,不但對(duì)于理解依賴組的規(guī)模、規(guī)模分布和節(jié)點(diǎn)依賴強(qiáng)度等因素對(duì)網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效的作用和級(jí)聯(lián)失效的發(fā)生機(jī)理具有重要的科學(xué)意義,而且對(duì)于通過依賴組的特征來(lái)對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效的控制、預(yù)防干預(yù)策略的設(shè)計(jì)和魯棒性的優(yōu)化具有重要的啟發(fā)意義.本文所研究的依賴組基于組內(nèi)節(jié)點(diǎn)的相互依賴性完全相同的假設(shè),然而在現(xiàn)實(shí)中依賴組內(nèi)節(jié)點(diǎn)的相互影響可能不是完全等同的.因此后續(xù)的研究仍然存在較大的拓展空間,如依賴強(qiáng)度的非均勻性或非對(duì)等性對(duì)于網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)失效動(dòng)力學(xué)是否具有顯著的影響？此外,依賴組內(nèi)的節(jié)點(diǎn)是否能夠形成某種結(jié)構(gòu),依賴組的內(nèi)節(jié)點(diǎn)的依賴結(jié)構(gòu)是否對(duì)網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效有較大的影響？這些問題都值得我們進(jìn)一步進(jìn)行實(shí)證或理論研究.