將軍飲馬模型在中學(xué)幾何中的應(yīng)用

尹戀　王夢(mèng)玭　丁玲芬

摘要：將軍飲馬模型是中學(xué)數(shù)學(xué)中具有代表性的幾何模型，一般用于幾何最值問(wèn)題求解題型中.文章將討論兩動(dòng)兩定將軍飲馬模型，并分析模型的原理和本質(zhì)，即利用多次軸對(duì)稱(chēng)變換，將折線轉(zhuǎn)化為直線，再結(jié)合線段的基本性質(zhì)解決問(wèn)題.通過(guò)對(duì)其應(yīng)用的理解和掌握，進(jìn)一步提升中學(xué)生的解題思維和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：將軍飲馬;模型;幾何;應(yīng)用

1前言

將軍飲馬模型實(shí)際上是基于一個(gè)古老的數(shù)學(xué)故事為背景的數(shù)學(xué)模型，唐朝詩(shī)人李頎所作的詩(shī)《古從軍行》中開(kāi)頭兩句說(shuō)“白日登上望烽火，黃昏飲馬傍交河”，在該句詩(shī)中就隱含了這個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，詩(shī)句中將軍在觀望烽火之后從山腳下的某點(diǎn)出發(fā)，走到河邊飲馬后再到另一點(diǎn)宿營(yíng)，問(wèn)怎樣才能使將軍行駛的路程最短.在教育部編版（2013年）八年級(jí)上冊(cè)中也有關(guān)于以將軍飲馬為模型的“最短路徑問(wèn)題”課題的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在生活實(shí)際問(wèn)題的情境下，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立數(shù)學(xué)模型，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)踐性和應(yīng)用性.許多學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了研究。在文中，王利運(yùn)用數(shù)學(xué)課本中的軸對(duì)稱(chēng)知識(shí)建立了最短路徑問(wèn)題的幾個(gè)模型.在文中，張靜發(fā)現(xiàn)在近幾年的中考試題中，也常以此為原型，將問(wèn)題背景換成角、菱形、圓等幾何圖形，求解最短路徑問(wèn)題.學(xué)生在解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，常常因不會(huì)構(gòu)造軸對(duì)稱(chēng)模型而無(wú)從下手，于是在一次區(qū)教改組活動(dòng)中，確定了課題“線段長(zhǎng)度之和最短”，就這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了深入研究.在文中，丁力對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)幾何最值問(wèn)題加以探究，解讀基本模型并探究其典型問(wèn)題，提出相應(yīng)的學(xué)習(xí)建議.在文中，徐宏在研究這些另類(lèi)幾何最值問(wèn)題時(shí)發(fā)現(xiàn)它們其實(shí)本質(zhì)是不變的，變的只是形式.在文中，李繼丹通過(guò)對(duì)將軍飲馬模型解法的探究和拓展應(yīng)用，在建立模型、完善模型、打破模型和再建新模型的過(guò)程中，讓學(xué)生不僅積累基本的數(shù)學(xué)解題經(jīng)驗(yàn)，還可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力、應(yīng)用能力，加強(qiáng)他們的創(chuàng)新意識(shí)和探索精神.

2.兩定兩動(dòng)型將軍飲馬模型

2.1創(chuàng)設(shè)情境

問(wèn)題一將軍家和訓(xùn)練營(yíng)地皆在一條筆直的河流和一塊矩形的草地之間，將軍家有一匹馬，現(xiàn)在將軍每天早上牽馬從家里出發(fā)，先到草地牧馬再到河邊飲馬，最后將馬牽到訓(xùn)練營(yíng)地訓(xùn)練，其中河流和草地相連，請(qǐng)問(wèn)怎樣走才能使將軍行駛的路徑最短.（河的寬度和草地寬度忽略不計(jì)）

問(wèn)題二將軍家在一條筆直的河流和一塊矩形的草地之間，訓(xùn)練營(yíng)地在該河流的另一側(cè)，現(xiàn)在將軍每天早上牽馬從家里出發(fā)，先到草地牧馬再到河邊飲馬，最后將馬牽到訓(xùn)練營(yíng)地訓(xùn)練，其中河流和草地相連，請(qǐng)問(wèn)怎樣走才能使將軍行駛的路徑最短.（河的寬度和草地寬度忽略不計(jì)）

2.2建立模型

⑴如圖2.1所示，以“角”為載體，在兩動(dòng)一定型模型的基礎(chǔ)上“角”內(nèi)再增加一定點(diǎn)，求三條線段和的最小值.

⑵如圖2.2所示，以“角”為載體，在兩動(dòng)一定型模型的基礎(chǔ)上“角”外再增加一定點(diǎn)，求三條線段和的最小值.

4結(jié)論

本文主要介紹了兩定兩動(dòng)將軍飲馬模型原理，并對(duì)該模型的應(yīng)用進(jìn)行舉例加以說(shuō)明.要解決問(wèn)題，關(guān)鍵是透徹理解模型的原理和本質(zhì)，即進(jìn)行多次軸對(duì)稱(chēng)變換，將折線轉(zhuǎn)化為直線，再結(jié)合線段的基本性質(zhì)解決問(wèn)題.學(xué)習(xí)將軍飲馬模型可以為后續(xù)學(xué)習(xí)造橋選址等實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題打下良好的理論基礎(chǔ)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，幫助學(xué)生獲得解決實(shí)際問(wèn)題的能力.事實(shí)上，將軍飲馬的模型和拓展還有很多，可進(jìn)一步加以研究.

參考文獻(xiàn)：

[1]曹俊玲.中學(xué)“最短路徑問(wèn)題”課題學(xué)習(xí)的教學(xué)研究[D].廣州大學(xué)，2019.

[2]王利.從將軍飲馬問(wèn)題談利用軸對(duì)稱(chēng)求最短距離的幾種模型[J].科教導(dǎo)刊（下旬刊），2020，21：154-155.

[3]張靜.利用對(duì)稱(chēng)探求最值——從“將軍飲馬”談起[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2017，09：62-63

[4]丁力.中學(xué)數(shù)學(xué)幾何最值問(wèn)題探究——以“將軍飲馬”問(wèn)題模型的解題策略為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2020，14：79-80.

[5]徐宏.變的是形式不變的是本質(zhì)——例談一類(lèi)幾何最值問(wèn)題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2017，06：53-56.

[6]李繼丹.研究解法拓展應(yīng)用[J].考試周刊，2018，82：67-68.

基金項(xiàng)目：懷化學(xué)院2021年教學(xué)改革項(xiàng)目，項(xiàng)目名稱(chēng)：《高等數(shù)學(xué)》混合式教學(xué)模式的探索與研究。項(xiàng)目編號(hào)2020011。

作者簡(jiǎn)介：

尹戀（1999-）女，漢族，湖南邵陽(yáng)人，懷化學(xué)院;

王夢(mèng)玭*（1992-）女，漢族，河南信陽(yáng)人，助教，研究方向：微分方程;

丁玲芬（1983-）女，漢族，浙江湖州人，中教一級(jí)，研究方向：微分方程。

通訊作者：王夢(mèng)玭