一種異型沉箱浮游穩(wěn)定性高效計(jì)算方法

馬 勇，方 波，譚彬政

（中交第四航務(wù)工程勘察設(shè)計(jì)院有限公司，廣東廣州 510290）

引言

國(guó)外某港口升級(jí)擴(kuò)建項(xiàng)目，工程內(nèi)容為新建一座15 萬(wàn)t 級(jí)的現(xiàn)代化集裝箱碼頭和一座5 萬(wàn)t 級(jí)的滾裝碼頭，碼頭結(jié)構(gòu)采用傳統(tǒng)的重力式沉箱方案，標(biāo)準(zhǔn)沉箱為規(guī)則的矩形截面，但因在集裝箱碼頭與滾裝碼頭交接處，碼頭岸線存在約124°的夾角，為保證碼頭岸線的平順銜接，需在岸線相接位置設(shè)置一組橫截面不對(duì)稱的異型沉箱，其結(jié)構(gòu)尺寸如圖1所示。

圖1 異型沉箱示意

對(duì)于橫截面不對(duì)稱的異型沉箱，若采用傳統(tǒng)的方法計(jì)算其浮游穩(wěn)定性，計(jì)算過(guò)程繁瑣，且很難求解準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果[1]。為了解決這一難題，通過(guò)分析研究，提出了一套基于AutoCAD 和Excel 的高效求解方法，主要求解步驟如下：

1）基于材料力學(xué)的轉(zhuǎn)軸公式和慣性矩圓理論聯(lián)立求解得到不對(duì)稱截面的最小慣性矩及相應(yīng)的形心軸；

2）利用AutoCAD 建模準(zhǔn)確計(jì)算沉箱的幾何屬性；

3）根據(jù)沉箱浮游穩(wěn)定的計(jì)算原理，結(jié)合已求得的沉箱幾何屬性，聯(lián)立相關(guān)數(shù)據(jù)的約束方程；

4）利用Excel 規(guī)劃求解功能求解上述約束方程；

5）求得各箱格內(nèi)所需加注壓載水高度，即求解完成。

通過(guò)工程實(shí)踐驗(yàn)證，該方法的理論計(jì)算結(jié)果與工程實(shí)際結(jié)果基本一致，有效解決了異型沉箱浮游穩(wěn)定性計(jì)算的難題。

1 沉箱浮游穩(wěn)定性的計(jì)算原理

在沉箱下潛、拖運(yùn)、安裝過(guò)程中，為保證作業(yè)安全，需對(duì)沉箱的浮游穩(wěn)定性進(jìn)行驗(yàn)算，并應(yīng)滿足以下兩個(gè)條件[2-3]：

條件一：沉箱自身呈水平狀態(tài)，即沉箱頂面與水平面之間的夾角為0°，這要求沉箱的重心和浮心必須在同一條垂線上，重力和浮力對(duì)沉箱水平截面中的任一軸取矩均相等，滿足以下公式：

式中：

G為沉箱和壓載物的總自重（kN）；

a為重心到計(jì)算軸的水平距離（m）；

F為沉箱所受浮力（kN）；

b為浮心到計(jì)算軸的水平距離（m）。

通常情況下，沉箱在沒(méi)有壓載的情況，難以滿足上述條件，需通過(guò)壓載物將沉箱調(diào)平。

條件二：按照規(guī)范要求確定合適的沉箱定傾高度[4]：

1）對(duì)于短距離浮運(yùn)工況（同一港區(qū)或30 n mile以內(nèi)的運(yùn)程），m≥0.2 m;

2）對(duì)于遠(yuǎn)距離浮運(yùn)工況（夜間航行或30 n mile以上的運(yùn)程），固體物壓載，m≥0.3 m；液體壓載，m≥0.4 m。

定傾高度的計(jì)算公式如下[4]：

式中：

m為沉箱定傾高度（m）；

ρ為沉箱定傾半徑（m）；

a為沉箱重心到浮心的距離（m）。

沉箱定傾半徑按照如下公式計(jì)算[4]：

式中：

Ρ為沉箱定傾半徑（m）；

I為沉箱浸水面對(duì)應(yīng)斷面對(duì)其截面形心軸的慣性矩（m4）；

i為第i箱格內(nèi)壓載物的水平面對(duì)其指定截面形心軸（平行于沉箱的計(jì)算形心軸）的慣性矩（m4）。

V為沉箱的排水量（m3）。

由公式（1）、（2）和（3）可以看出，要計(jì)算沉箱的浮游穩(wěn)定性，需要計(jì)算出沉箱的諸多幾何屬性參數(shù)，如沉箱的體積、重心、水平截面的面積及形心、各箱格的面積及形心，以及最小的定傾半徑等，其中，計(jì)算沉箱的最小定傾半徑，需找出沉箱浸水面對(duì)應(yīng)斷面對(duì)其截面形心軸的最小慣性矩和對(duì)應(yīng)的截面形心軸位置（即為沉箱浮游時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)軸），以及各箱格截面對(duì)其指定截面形心軸（平行于沉箱的計(jì)算形心軸）的慣性矩。

對(duì)于常規(guī)的矩形沉箱，上述各參數(shù)的計(jì)算較為簡(jiǎn)單，簡(jiǎn)單的手算即可得出，其水平截面最小慣性矩對(duì)應(yīng)平行于長(zhǎng)邊的形心軸。但是對(duì)于異型沉箱，若采用手算方法計(jì)算上述各參數(shù)，計(jì)算過(guò)程相當(dāng)繁瑣，但采用AutoCAD 建立三維模型，則可方便快捷地解決該問(wèn)題。

2 求解截面的最小慣性矩

2.1 轉(zhuǎn)軸公式

對(duì)于任意截面，當(dāng)坐標(biāo)系發(fā)生旋轉(zhuǎn)時(shí)，各坐標(biāo)系下的截面慣性矩和慣性積之間存在一定的相關(guān)性，材料力學(xué)中稱之為轉(zhuǎn)軸公式[5]，具體如下：

式中：

Ix、Iy、Ixy分別為對(duì)于截面內(nèi)任意一個(gè)坐標(biāo)系xOy，該截面對(duì)應(yīng)坐標(biāo)軸x，y的慣性矩和慣性積；

Ix1、I1y、Ix1y1分別為對(duì)于坐標(biāo)系xOy 繞其原點(diǎn)O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角得到的新坐標(biāo)系x1Oy1，該截面對(duì)應(yīng)新坐標(biāo)軸x1，y1的慣性矩和慣性積。

2.2 慣性矩圓

聯(lián)立公式（4）、（6）及（5）、（6），可分別得到：

可以看出上式符合圓的解析表達(dá)式。對(duì)于截面內(nèi)任一坐標(biāo)系xOy，該截面對(duì)應(yīng)坐標(biāo)軸x，y的慣性矩和慣性積分別為Ix、Iy和Ixy，分別以慣性矩、對(duì)應(yīng)的慣性積為橫、縱坐標(biāo)，以（，0）為圓心、半徑，得到的圓形可稱為慣性矩圓，如圖2 所示。由公式(7)和(8)可知，慣性矩圓中任一直徑的兩個(gè)端點(diǎn)均對(duì)應(yīng)一組在新坐標(biāo)系（由原坐標(biāo)系xOy 繞其原點(diǎn)O 旋轉(zhuǎn)所得）下的慣性矩和慣性積。

圖2 慣性矩圓

2.3 慣性矩和慣性積在慣性矩圓上的相互關(guān)系

在慣性矩圓中，假定已知坐標(biāo)系xOy 下對(duì)應(yīng)坐標(biāo)軸x，y的慣性矩（Ix、Iy）和慣性積（Ixy）對(duì)應(yīng)的直徑AB 與橫坐標(biāo)軸之間的夾角為2α0，將直徑AB 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α角，可得一條新的直徑EF，其對(duì)應(yīng)的端點(diǎn)坐標(biāo)分別為點(diǎn)E（）、F，如圖3 所示。

圖3 慣性矩圓中慣性矩（積）間的關(guān)系示意

根據(jù)圖3 得：

對(duì)比公式（4）、（5）和（6）可得：

根據(jù)上述分析可得，在慣性矩圓上，由已知坐標(biāo)系xOy 下對(duì)應(yīng)坐標(biāo)軸x，y的慣性矩（Ix、Iy）和慣性積（Ixy）繪制一條直徑，將其繞慣性矩圓的圓心C 點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度2α，所得新直徑的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)即為截面對(duì)于原坐標(biāo)系xOy 繞O 點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α 角所得新坐標(biāo)系x1Oy1的慣性矩和慣性積。

2.4 利用慣性矩圓求解截面最小慣性矩

觀察慣性矩圓可以看出，其水平直徑對(duì)應(yīng)的慣性矩一個(gè)最小、一個(gè)最大。根據(jù)上一節(jié)的分析可知，此時(shí)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系x’Oy’可由已知坐標(biāo)系xOy 繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度a0得到，a0可由以下公式計(jì)算：

由此，可以得出對(duì)于截面內(nèi)通過(guò)點(diǎn)O 的所有坐標(biāo)系，截面在坐標(biāo)系x’Oy’下的慣性矩和為大小極值，其數(shù)值可由以下公式求得：

根據(jù)慣性矩的平行軸定理可知，對(duì)于截面內(nèi)所有相互平行的坐標(biāo)軸，截面對(duì)形心軸的慣性矩為最小。結(jié)合上述分析，如將坐標(biāo)系xOy 的原點(diǎn)O 建立在截面形心上，則可通過(guò)公式(10)計(jì)算出截面的最小慣性矩。

2.5 非對(duì)稱截面沉箱浮游穩(wěn)定的計(jì)算步驟

基于上述理論分析，下文將介紹依托項(xiàng)目中計(jì)算橫截面不對(duì)稱的異型沉箱浮游穩(wěn)定的具體步驟。

1）繪制異型沉箱的水平截面A1（由外輪廓線生成），利用AutoCAD 中的查詢功能（命令Massprop）讀取截面A1 的形心，在截面A1 內(nèi)以其為原點(diǎn)建立任意坐標(biāo)系x0Oy0，如圖4，同時(shí)讀取截面A1 在坐標(biāo)系x0Oy0下對(duì)應(yīng)坐標(biāo)軸x0和y0的慣性矩和慣性積、以及截面面積A[6]。

圖4 截面A1 內(nèi)任意坐標(biāo)系x0Oy0

2）利用公式（9）計(jì)算截面A1 的最小慣性矩所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸位置，由坐標(biāo)系x0Oy0繞坐標(biāo)原點(diǎn)O 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度a0可得，從而建立新的坐標(biāo)系xOy，如圖5 所示。

圖5 截面A1 的最小慣性矩對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系xOy

3）利用公式（10）計(jì)算截面A1 的最小慣性矩。

4）在截面 A1 中繪制各箱格的水平截面C1-C10，如圖6 所示。先在CAD 中讀取截面C1-C10 在新建坐標(biāo)系xOy 下的形心位置（xi，yi）以及其對(duì)于y軸的慣性矩，然后利用平行軸公式求解各截面對(duì)于其自身平行于y軸的形心軸的慣性矩（Ii）。

圖6 各箱格在坐標(biāo)系xOy 中的位置及幾何參數(shù)

5）建立沉箱的三維模型[6]，在沉箱頂面以其截面形心為原點(diǎn)建立三維坐標(biāo)系xyz，其中x軸和y軸的方向與第2 步中新建坐標(biāo)系xOy 的坐標(biāo)軸方向一致，z軸為沉箱高度方向，向上為正。在AutoCAD 中利用查詢功能（命令Massprop）可快速讀取沉箱的體積和重心位置等幾何屬性參數(shù)。

圖7 沉箱的三維模型及幾何屬性

6）假定各箱格內(nèi)的壓載水高度為hi，采用Excel建立各數(shù)據(jù)間的相關(guān)性方程[7]，具體如下公式（12）～（16）。本文所研究的異型沉箱，扣除前趾和側(cè)趾，其在豎直方向上為等截面結(jié)構(gòu)，因前趾和側(cè)趾的體積相對(duì)較小，其對(duì)浮心位置的影響可忽略不計(jì)，因此，可認(rèn)為沉箱在水平狀態(tài)下的浮心在浸水面上的投影與浸水面的形心重合[8]，即在坐標(biāo)系xyz中，浮心的x、y坐標(biāo)值均為0。

式中：

VP為沉箱加壓載水后的排水體積（m3），

ZG為沉箱加壓載水后，其重心在z軸上的坐標(biāo)值，

Zf為沉箱加壓載水后，其浮心在z軸上的坐標(biāo)值，

H為沉箱高度（m）；

T為沉箱加壓載水的吃水（m），

F為沉箱浮運(yùn)時(shí)的干舷高度（m），對(duì)于本次計(jì)算的異型沉箱，依據(jù)規(guī)范[4]計(jì)算，干舷高度應(yīng)不小于2.5 m。

對(duì)于沉箱內(nèi)隔板，浮運(yùn)期間的水頭差是其承受的主要荷載，因此在確定箱格內(nèi)壓載水高度時(shí)需控制相鄰箱格間的水位差，以保證內(nèi)隔板的結(jié)構(gòu)安全。

將公式（12）～（16）作為約束條件，hi作為求解變量，各相鄰箱格間的水位差最小為設(shè)置目標(biāo)，利用Excel 自帶的規(guī)劃求解功能，即可快速求出滿足條件的hi值，本項(xiàng)目的結(jié)果如表1。

表1 計(jì)算所得浮游穩(wěn)定性參數(shù)

本項(xiàng)目參照上述數(shù)據(jù)進(jìn)行了兩個(gè)異型沉箱的浮運(yùn)施工，各箱格壓載水高度的理論計(jì)算值與現(xiàn)場(chǎng)實(shí)施數(shù)值基本一致，兩個(gè)沉箱均順利完成浮運(yùn)安裝。

3 結(jié)語(yǔ)

對(duì)于異型沉箱，因水平截面的非對(duì)稱，其幾何屬性的計(jì)算較為繁瑣，難以采用手算的方法快速求解，這也異型沉箱浮游穩(wěn)定計(jì)算的難題。在依托項(xiàng)目中，通過(guò)理論分析，并借助相關(guān)工具，提出了一種簡(jiǎn)便高效的解決方法：先利用轉(zhuǎn)軸公式和慣性矩圓的相關(guān)理論，求解截面的最小慣性矩及對(duì)應(yīng)的形心軸；再采用AutoCAD 建模求解異型沉箱的幾何屬性；最后，運(yùn)用Excel 的規(guī)劃求解功能進(jìn)行數(shù)據(jù)相關(guān)性分析，求解各箱格內(nèi)所需的壓載水高度。上述方法可高效快捷地解決異型沉箱浮游穩(wěn)定計(jì)算的難題，希望可為類似工程提供借鑒，推進(jìn)沉箱結(jié)構(gòu)在水運(yùn)行業(yè)的進(jìn)一步發(fā)展應(yīng)用。