含間隙非線性彈性超材料的低頻寬帶機(jī)理*

林 臻，吳九匯

（西安交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，西安 710049）

引言

目前，利用線性隔離系統(tǒng)[1-5]通?？梢杂行Ы档驼駝釉肼曋械木€譜成分，但不能改變譜線特性，難以隔離低頻線譜，對低頻線譜的隔離仍然是一個挑戰(zhàn).基于線性隔振技術(shù)的局限性，非線性振動隔離技術(shù)激起了國內(nèi)外學(xué)者的極大關(guān)注，因?yàn)樗梢詫?shí)現(xiàn)較低的動態(tài)剛度并降低固有頻率，故非線性振動隔離在噪聲控制領(lǐng)域內(nèi)應(yīng)用非常廣泛[6-12]，如準(zhǔn)零剛度[13-15]用于振動隔離以及復(fù)雜非線性動力學(xué).更重要的是，非線性振動隔離機(jī)理與線性隔振技術(shù)相比具有許多優(yōu)點(diǎn)：一方面，非線性混沌隔振系統(tǒng)可以較好地改變噪聲中的頻譜結(jié)構(gòu)，進(jìn)而有效隔離低頻線譜；另一方面，帶隙的寬度由于非線性機(jī)制而擴(kuò)大，因?yàn)楫?dāng)系統(tǒng)運(yùn)動進(jìn)入混沌狀態(tài)時(shí)，線性譜能量大大削弱，從而變成了一個連續(xù)的寬頻譜.盡管非線性混沌隔振機(jī)理可以實(shí)現(xiàn)低頻寬帶隙[16-18]，然而，絕大多數(shù)非線性研究只關(guān)注物理參數(shù)高階項(xiàng)的非線性干擾或一些較弱的幾何非線性[19-22]，對非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)產(chǎn)生的較強(qiáng)的非線性機(jī)理及現(xiàn)象研究甚少，尤其基于非線性彈性碰撞振動系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)非線性來調(diào)控彈性波帶隙的機(jī)理及相關(guān)研究仍甚少.

本文基于非線性隔振機(jī)理的優(yōu)點(diǎn)，將含間隙非線性機(jī)理引入到局域共振結(jié)構(gòu)中，提出了一種具有較小間隙的非線性新型局域共振結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的新理念，系統(tǒng)地分析了非線性彈性碰撞局域共振結(jié)構(gòu)帶隙的產(chǎn)生機(jī)理.最后，通過有限元法研究了該非線性局域共振彈性超材料板的彈性波振動帶隙特性及其透射譜的減振降噪特性.

1 非線性碰撞振動系統(tǒng)的動力學(xué)特性

1.1 含間隙非線性碰撞振動系統(tǒng)的理論模型

首先，本節(jié)提出了如圖1所示的非線性彈性碰撞系統(tǒng)的彈簧質(zhì)量系統(tǒng).在該非線性模型中，基體m1和局域共振質(zhì)量塊m2通過彈簧系數(shù)為k1，k2和k3的彈簧連接，并且彈簧k3與局域共振振子m2之間有一個小間隙，而不是直接與該振子相連接.

圖1 非線性碰撞振動系統(tǒng)Fig.1 The nonlinear collision vibration system

在基體m1施加x方向上的激振力.那么，局域共振振子m2包含三種運(yùn)動狀態(tài)：① 局域共振振子m2只在x方向上移動，與彈簧k3無任何接觸；② 局域共振振子m2圍繞其質(zhì)心轉(zhuǎn)動，與點(diǎn)Q處的彈簧k3接觸并碰撞；③ 局域共振振子m2的速度方向改變，局域共振振子m2再次與點(diǎn)P處的彈簧k3接觸并碰撞，并且這三類運(yùn)動周期性地重復(fù).因此，這是一個典型的分段非線性碰撞振動系統(tǒng).根據(jù)Newton 第二定理：

1）當(dāng)θ≥θ+時(shí)，該非線性振動系統(tǒng)的運(yùn)動方程為

2）當(dāng)θ?<θ<θ+時(shí)，該非線性振動系統(tǒng)的運(yùn)動方程為

3）當(dāng)θ≤θ?時(shí)，該非線性振動系統(tǒng)的運(yùn)動方程為

上述公式中m1=0.023 kg，m2=0.195 kg，k1=k2=1625,k3=1 950，L1=L2=0.000 6 m，L3=0.001 8 m.在這個典型的分段非線性系統(tǒng)中，隨著間隙的變化，該系統(tǒng)將從周期運(yùn)動歷經(jīng)倍化分岔最終進(jìn)入混沌狀態(tài).下面分析該非線性振動系統(tǒng)的非線性動力學(xué)特性.

1.2 含間隙非線性碰撞振動系統(tǒng)的動力學(xué)特性

圖2 描述了振子m2的相圖及基體m1的位移響應(yīng)頻譜圖.從圖2 可以很清楚地看出，隨著間隙的變化，該系統(tǒng)由穩(wěn)定的1-1-1 周期運(yùn)動發(fā)生倍化分岔，當(dāng)間隙為0.065 mm 時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入1-2-2 周期運(yùn)動，基體m1的位移頻譜幅值為0.12 mm，如圖2(b)所示.隨著間隙的進(jìn)一步減小，系統(tǒng)又進(jìn)入2-4-4 周期運(yùn)動，這時(shí)該振子m2與點(diǎn)P和點(diǎn)Q處的彈簧k3各碰撞兩次，如圖2(c)所示.同時(shí)在基體m1位移響應(yīng)頻譜圖上，產(chǎn)生兩條線譜，且幅值均為減小趨勢，如圖2(d)所示.當(dāng)間隙為0.05 mm 時(shí)，該系統(tǒng)又發(fā)生倍化分岔，分岔出兩條通道，進(jìn)而系統(tǒng)進(jìn)入4-8-8 周期運(yùn)動，如圖2(e)所示.在基體m1位移響應(yīng)頻譜圖上，產(chǎn)生四條線譜，第一條線譜幅值由0.12 mm 減小到0.075 mm，而其他三條的幅值均小于0.03 mm，如圖2(f)所示.這也意味著該系統(tǒng)由周期運(yùn)動歷經(jīng)倍化分岔，能量越來越小.隨著控制參數(shù)間隙的繼續(xù)減小，該系統(tǒng)最終進(jìn)入混沌狀態(tài)，如圖2(g)所示.最重要的是，基體m1位移響應(yīng)頻譜圖成為了連續(xù)頻譜，大部分頻譜線的幅值均小于0.01 mm，如圖2(h)所示.

圖2 不同間隙下m2 的相圖及基體m1 的位移響應(yīng)頻譜圖：(a)間隙為0.065 mm，m2 相圖；(b)間隙為0.065 mm，m1 頻譜圖；(c)間隙為0.062 mm，m2 相圖；(d)間隙為0.062 mm，m1 頻譜圖；(e)間隙為0.05 mm，m2 相圖；(f)間隙為0.05 mm，m1 頻譜圖；(g)間隙為0.013 5 mm，m2 相圖；(h)間隙為0.013 5 mm，m1 頻譜圖Fig.2 Phase diagrams of m2 and displacement response spectra of matrix m1 under different gaps:(a)gap is 0.065 mm,the m2 phase diagram;(b)gap is 0.065 mm,the m1 displacement response spectrum;(c)gap is 0.062 mm,the m2 phase diagram;(d)gap is 0.062 mm,the m1 displacement response spectrum;(e)gap is 0.05 mm,the m2 phase diagram;(f)gap is 0.05 mm,the m1 displacement response spectrum;(g)gap is 0.013 5 mm,the m2 phase diagram;(h)gap is 0.013 5 mm,the m1 displacement response spectrum

顯然，該系統(tǒng)由周期運(yùn)動歷經(jīng)倍化分岔進(jìn)入混沌狀態(tài)時(shí)，線性譜能量大大削弱，變成了一個連續(xù)的寬頻譜，這意味著不僅線譜成分的特性被大大削弱，而且系統(tǒng)振動被有效地抑制了.因此，混沌特性可以有效減少線譜成分，下面我們將非線性混沌隔振機(jī)理引入到局域共振彈性超材料結(jié)構(gòu)中，設(shè)計(jì)一種新型含間隙非線性局域共振彈性超材料板，并通過有限元方法詳細(xì)分析了該非線性局域共振結(jié)構(gòu)的帶隙及相關(guān)性能.

同時(shí)，如果間隙較大時(shí)，局域共振振子m2并不能與點(diǎn)P或點(diǎn)Q處的彈簧k3接觸并發(fā)生碰撞，故此時(shí)該系統(tǒng)為線性系統(tǒng).圖3 描述了當(dāng)間隙較大時(shí)，該線性系統(tǒng)振子的相圖.如圖3所示，當(dāng)間隙大于0.1 mm 時(shí)，該系統(tǒng)并沒有非線性碰撞運(yùn)動產(chǎn)生，故其為線性系統(tǒng).

圖3 間隙為0.1 mm 線性系統(tǒng)m2 的相圖Fig.3 Gap is 0.1 mm,linear system m2 phase diagram

圖4 描述了基體的位移響應(yīng)頻譜圖.從圖4(a)可以清楚地看到，當(dāng)間隙較大時(shí)，線性系統(tǒng)基體m1的位移響應(yīng)頻譜圖上只有一條譜線，且該基體m1的振幅為1.2 mm；圖4(b)描述了當(dāng)該系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)，但未進(jìn)入混沌狀態(tài)時(shí)，基體m1的位移響應(yīng)頻譜圖上分岔出多條線譜，且幅值大幅度減小了；圖4(c)描述了非線性系統(tǒng)在混沌狀態(tài)下m1的位移響應(yīng)頻譜圖，此時(shí)為連續(xù)頻譜，且最大譜線的幅值較線性系統(tǒng)的幅值減小了約兩個數(shù)量級.也就是說，從能量的角度來看，系統(tǒng)從周期運(yùn)動歷經(jīng)倍化分岔進(jìn)入混沌狀態(tài)時(shí)，能量大幅度衰減且分布在較寬的頻帶上.

圖4 基體m1 的位移響應(yīng)頻譜圖：(a)線性系統(tǒng)基體m1 的位移響應(yīng)頻譜圖；(b)未混沌狀態(tài)下非線性系統(tǒng)m1 的位移響應(yīng)頻譜圖；(c)混沌狀態(tài)下非線性系統(tǒng)m1 的位移響應(yīng)頻譜圖Fig.4 Displacement response spectrograms of matrix m1:(a)the linear system m1 displacement response spectrum;(b)the displacement response spectrogram of nonlinear system m1 in the unchaotic state;(c)the displacement response spectrogram of nonlinear system m1 in the chaotic state

2 含間隙非線性彈性超材料板的低頻帶隙形成及調(diào)控機(jī)理

2.1 含間隙非線性彈性超材料板的結(jié)構(gòu)單元

基于上述非線性振動隔離原理，本文將含間隙非線性機(jī)理引入到局域共振結(jié)構(gòu),提出了如圖5所示的含間隙非線性彈性超材料板的結(jié)構(gòu)單元.在該模型中，彈簧系數(shù)為k1，k2的彈簧分別由各向同性的有機(jī)玻璃方板代替，彈簧系數(shù)為k3的彈簧由硅橡膠代替.其中彈簧系數(shù)為k3的兩個硅橡膠塊與局域共振質(zhì)量塊m2之間具有0.5 mm的間隙.并且，在該模型中，構(gòu)件2 為長和寬1.5 mm、高2.5 mm 的有機(jī)玻璃長方體，構(gòu)件1 為長和寬1.5 mm、高2 mm 的硅橡膠長方體，振子為長和寬15 mm、高3 mm 的鉛板，基體為長和寬15 mm、高1.5 mm 的鋁方板.

圖5 局域共振彈性超材料結(jié)構(gòu)：(a)無間隙局域共振結(jié)構(gòu)單元；(b)含間隙局域共振結(jié)構(gòu)單元Fig.5 The local resonance elastic metamaterial structure:(a)the gapless LR structural unit;(b)the gapped LR structural unit

2.2 含間隙非線性彈性超材料板的帶隙計(jì)算方法

為了研究這類含間隙非線性彈性超材料板的彈性波帶隙，通過有限元方法計(jì)算了該結(jié)構(gòu)的帶隙.在計(jì)算帶隙時(shí)，根據(jù)Bloch-Floquet 定理，取在局域共振相鄰連接單元界面上的周期邊界條件，并且引入了Bloch波K.通過改變不可約的第一Brillouin 區(qū)（BZ，如圖6所示）K的值，可以獲得色散關(guān)系以及本征模態(tài).

圖6 第一Brillouin 區(qū)Fig.6 The 1st Brillouin zone

取一組參數(shù)如表1所示，用商業(yè)軟件COMSOL 5.5 計(jì)算局域共振彈性超材料板的帶隙.

表1 材料參數(shù)Table 1 Material parameter

對于無間隙的局域共振結(jié)構(gòu)(如圖5(a)所示)，圖7(a)描述了該結(jié)構(gòu)的帶隙，很顯然在該結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生了7 條帶隙，但是由于彈性波衰減較弱，所以各個帶隙之間并沒有彈性波帶隙形成.相反，在該結(jié)構(gòu)中引入0.5 mm的間隙時(shí)(如圖5(b)所示的非線性局域共振結(jié)構(gòu))，該局域共振結(jié)構(gòu)便變?yōu)橐粋€含間隙的典型非線性系統(tǒng)，圖7(b)描述了該含間隙非線性局域共振結(jié)構(gòu)的帶隙.我們可以很清楚地看到，在第6 條和第7 條帶隙之間產(chǎn)生了一條35～215 Hz 的超低頻寬帶.因此，說明該彈性波帶隙確實(shí)是由于這個0.5 mm 的間隙所引起的非線性機(jī)理導(dǎo)致的，非線性混沌機(jī)理確實(shí)可以實(shí)現(xiàn)較好的低頻隔振效果.

圖7 局域共振結(jié)構(gòu)帶隙:(a)無間隙局域共振結(jié)構(gòu)的帶隙；(b)含間隙非線性局域共振結(jié)構(gòu)的帶隙；(c)圖(b)中帶隙下界對應(yīng)的放大圖Fig.7 Local resonance structure band gaps:(a)band gaps of gapless local resonance structures;(b)band gaps of gapped local resonance structures;(c)the enlarged view corresponding to the lower bound of the band gaps in fig.(b)

2.3 含間隙非線性彈性超材料板的低頻寬帶特性

為了驗(yàn)證結(jié)構(gòu)的減振特性，計(jì)算了通過沿著x軸五個周期的有限結(jié)構(gòu)的透射率，且在y方向上的邊界上施加了Bloch 周期條件.諧波位移激勵被施加在板表面上的一側(cè)點(diǎn)S，并且該局域共振板的另一側(cè)拾取平均點(diǎn)T的位移響應(yīng)，如圖8所示，透射率定義如下：

圖8 間隙非線性彈性超材料板Fig.8 The band gapped nonlinear elastic metamaterial plate

式中，din為板的輸入平均位移，dout為板的輸出平均位移.

為了進(jìn)一步證明該含間隙非線性局域共振彈性超材料板的低頻彈性波帶隙的存在，圖9(a)描述了該結(jié)構(gòu)的彎曲振動透射率，在透射譜中有一個具有明顯衰減的低頻區(qū)域（灰色區(qū)域），并且它們的位置和圖9(b)的帶隙之間具有良好的一致性，故該含間隙非線性局域共振彈性超材料板在35～215 Hz 之間具有較好的減振降噪效果.

圖9 非線性局域共振結(jié)構(gòu)的帶隙及傳輸率:(a)彈性波的透射率；(b)帶隙Fig.9 Band gaps and transmission rates of nonlinear local resonance structures:(a)the transmissivity of elastic waves;(b)band gaps

3 基于非線性混沌理論的低頻寬帶機(jī)理

上述分析結(jié)果表明，基于間隙非線性混沌機(jī)理，所提出的含間隙非線性超材料板中存在一個明顯的彈性波帶隙.為了進(jìn)一步揭示這種現(xiàn)象，圖7（c）和圖9（b）中標(biāo)記的模式的本征模態(tài)形狀和位移矢量場如圖10所示.圖10 的彩色部分表示位移矢量場的大小，對于模式A，局部共振質(zhì)量m2與點(diǎn)Q處的硬彈簧k3接觸并發(fā)生碰撞.對于模式B，局域共振振子沿著x軸方向旋轉(zhuǎn)，而基板保持靜止.對于模式C，局域共振振子在z方向上做較大振幅振動.對于模式D，局部諧振質(zhì)量沿y軸方向沿著不同的軸線旋轉(zhuǎn)，而基板保持不動.在模式E中，局域共振振子m2再次與點(diǎn)P處的彈簧k3接觸發(fā)生彈性碰撞，由于該非線性碰撞振動系統(tǒng)由周期運(yùn)動歷經(jīng)倍化分岔進(jìn)入混沌狀態(tài)，能量越來越低，能量全部分布在了較寬的頻帶上，進(jìn)而導(dǎo)致了35～215 Hz 的低頻寬帶.很顯然，在模式A到E中，局域共振振子分別與點(diǎn)P和Q處的彈簧k3發(fā)生碰撞.在模式C中，局部共振質(zhì)量m2在z方向上振動，與彈簧沒有任何接觸碰撞，這幾個階段的振動模式與上述理論分析的分段非線性運(yùn)動趨勢高度一致.那么，在分段非線性系統(tǒng)中，旋轉(zhuǎn)碰撞運(yùn)動（在點(diǎn)P或Q處）和x方向上的移動周期性地重復(fù)，同時(shí)也呈現(xiàn)非線性運(yùn)動，即從單周期到倍化分岔，最終進(jìn)入混沌狀態(tài)，每一次倍化分岔后的新線譜強(qiáng)度大大降低.因此，如模式E所示，在混沌狀態(tài)之后，較多的能量最終分散到寬頻帶上，彈性波帶隙被打開.然后，在非線性碰撞之后線譜能量被大大削弱，局部諧振質(zhì)量和基體由于非常小的振幅而保持靜止，如模式F所示，此時(shí)彈性波帶隙閉合.因此，彈性波帶隙確實(shí)是由非線性混沌機(jī)理引起的，間隙碰撞非線性系統(tǒng)確實(shí)具有很強(qiáng)的隔離線譜能力.幾何參數(shù)對帶隙的影響將在第4 節(jié)討論.

圖10 非線性局域共振結(jié)構(gòu)各個點(diǎn)的振型:(a)A 點(diǎn)的模態(tài)；(b)B 點(diǎn)的模態(tài)；(c)C 點(diǎn)的模態(tài)；(d)D 點(diǎn)的模態(tài)；(e)E 點(diǎn)的模態(tài)；(f)F 點(diǎn)的模態(tài)Fig.10 Mode shapes at various points of nonlinear LR structures:(a)point A modal;(b)point B modal;(c)point C modal;(d)point D modal;(e)point E modal;(f)point F modal

4 間隙非線性對彈性超材料板帶隙的影響

圖11 描述了間隙大小對含間隙非線性局域共振彈性超材料板的彈性波帶隙的影響.很顯然，當(dāng)間隙小于0.45 mm 時(shí)，即間隙較小，非線性機(jī)理幾乎不存在，該結(jié)構(gòu)無彈性波帶隙產(chǎn)生；當(dāng)間隙大于0.85 mm 時(shí)，局域共振振子由于間隙較大不能發(fā)生間隙碰撞，即也不能產(chǎn)生非線性現(xiàn)象，導(dǎo)致彈性波衰減較弱，故無彈性波帶隙形成；當(dāng)間隙大于0.45 mm 小于0.85 mm 時(shí)，該局域共振結(jié)構(gòu)為典型的分段非線性系統(tǒng)，產(chǎn)生了從周期運(yùn)動歷經(jīng)倍化分岔進(jìn)入混沌的非線性運(yùn)動現(xiàn)象，在混沌狀態(tài)時(shí)，基體的位移響應(yīng)頻譜幅值降到了較低的頻率范圍內(nèi)，且形成了較寬的頻帶，故產(chǎn)生了35～215 Hz 的低頻寬帶.最重要的是，從分析結(jié)果來看，確實(shí)是由于間隙非線性機(jī)理導(dǎo)致了低頻寬帶的形成.當(dāng)然，基于非線性混沌理論，對于其他結(jié)構(gòu)應(yīng)按照對應(yīng)尺寸來確定合適的間隙.

圖11 間隙對非線性局域共振結(jié)構(gòu)帶隙的影響Fig.11 Influences of gaps on the band gaps of nonlinear LR structures

事實(shí)上，當(dāng)間隙較大時(shí)，局域共振的振子并不能發(fā)生彈性碰撞，故該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)；當(dāng)間隙較小時(shí)，系統(tǒng)非線性較弱，近似為線性系統(tǒng).在這兩種情況下并不能產(chǎn)生混沌非線性，導(dǎo)致彈性波不能大幅度衰減，故無彈性波帶隙形成，這也與圖3 和圖4 所描述的情況吻合.因此說明確實(shí)是由于間隙引起的混沌非線性機(jī)理導(dǎo)致了彈性波帶隙的產(chǎn)生，這類含間隙的非線性局域共振彈性超材料板的低頻寬帶的形成機(jī)理在減振降噪應(yīng)用領(lǐng)域內(nèi)具有非常重要的理論意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.

5 結(jié)論

在本文中，基于非線性混沌理論，提出了一種含有間隙的新型非線性局域共振彈性超材料板.用有限元方法獲得了該新型超材料板的帶隙和透射率，研究結(jié)果表明，該非線性局域共振新型結(jié)構(gòu)確實(shí)是由于間隙碰撞振動引起的非線性現(xiàn)象導(dǎo)致了低頻寬帶的產(chǎn)生.隨后，通過研究帶隙邊緣處的本征模態(tài)的位移場分析了帶隙的形成機(jī)理.最后，詳細(xì)分析討論了幾何參數(shù)(間隙)對彎曲波帶隙的影響.在分析過程中得出了以下結(jié)論：

1）在含間隙非線性碰撞振動系統(tǒng)中，該系統(tǒng)產(chǎn)生了混沌，即從單周期歷經(jīng)倍化分岔，最終進(jìn)入到混沌狀態(tài).在這個非線性運(yùn)動過程中，基于振動元件的每個諧波頻率之間的相互作用耦合，在每一次倍化分岔后出現(xiàn)的新線譜強(qiáng)度大大降低.然后，在進(jìn)入混沌狀態(tài)之后，所有的頻譜幅值都降到了非常低，這意味著所傳輸?shù)恼駝幽芰勘环植嫉搅溯^寬的頻帶上.

2）基于非線性混沌隔振理論，提出了含有小間隙的非線性局域共振彈性超材料板的設(shè)計(jì)新理念.當(dāng)引入0.5 mm 的間隙時(shí)，局域共振系統(tǒng)變?yōu)榈湫偷姆蔷€性碰撞振動系統(tǒng)，正是基于非線性混沌機(jī)理，該含間隙的非線性局域共振彈性超材料板產(chǎn)生了35～215 Hz 的彈性波帶隙.最重要的是，彈性波帶隙形成的振動模式與理論運(yùn)動趨勢高度一致.因此，將間隙引入到局域共振結(jié)構(gòu)中，可以有效降低線性譜，并成功抑制低頻彎曲波振動.

3）通過分析間隙對含間隙非線性局域共振彈性超材料板的彈性波的影響，發(fā)現(xiàn)間隙較大時(shí)不能完全產(chǎn)生碰撞運(yùn)動，故不能產(chǎn)生較強(qiáng)的非線性現(xiàn)象，進(jìn)而無法有效降低頻譜幅值，導(dǎo)致彈性波衰減程度降低.只有在合理的尺寸范圍內(nèi)，這個小間隙才可以產(chǎn)生較強(qiáng)的非線性碰撞機(jī)理，進(jìn)一步揭示了該非線性局域共振彈性超材料結(jié)構(gòu)帶隙的產(chǎn)生確實(shí)是由間隙的存在產(chǎn)生.

總之，本文基于非線性混沌隔振機(jī)理，所提出的含極小間隙新型非線性彈性超材料能夠有效改變頻譜特性并隔離彎曲波的低頻線譜，為聲彈性超材料的發(fā)展開辟了新天地，在減振降噪應(yīng)用研究領(lǐng)域內(nèi)具有潛在的工程應(yīng)用價(jià)值.