氣-液橫向流動下懸臂柱體結(jié)構(gòu)渦激振動機理研究*

嚴(yán) 浩，代胡亮，王 琳，倪 樵

（1.華中科技大學(xué) 航空航天學(xué)院 工程力學(xué)系，武漢 430074；2.工程結(jié)構(gòu)分析與安全評定湖北省重點實驗室，武漢 430074）

引言

渦激振動是工程實際和日常生活中一種常見的流致振動現(xiàn)象，其主要原理是：流體以一定的流速流經(jīng)鈍體(如圓柱體)時，會在結(jié)構(gòu)后方兩側(cè)產(chǎn)生周期性漩渦脫落現(xiàn)象，進而產(chǎn)生作用于結(jié)構(gòu)之上的周期性流體力，從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)振動.尤其當(dāng)旋渦脫落頻率接近結(jié)構(gòu)的固有頻率時，“鎖頻(lock-in)”現(xiàn)象[1]出現(xiàn)，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)發(fā)生大振幅的共振運動.而這種共振恰恰是誘發(fā)諸如熱交換器、橋梁、海洋立管和海底管線等工程結(jié)構(gòu)發(fā)生疲勞損傷和破壞以及工質(zhì)泄漏的主要原因之一.因此，渦激振動問題成為當(dāng)前學(xué)術(shù)界和工業(yè)界關(guān)注和研究的重點.

早期的研究主要集中在剛性圓柱體的渦激振動問題上，且已取得了大量的研究成果.近幾十年來，細長彈性結(jié)構(gòu)的渦激振動問題吸引了大量學(xué)者們的關(guān)注和研究，其研究途徑主要為實驗研究[2]、數(shù)值模擬[3]和經(jīng)驗?zāi)Ｐ蚚4]等.相較于前兩種方法，經(jīng)驗?zāi)Ｐ途哂谐杀镜?、效率高、預(yù)測效果較好的優(yōu)勢.因此，經(jīng)驗?zāi)Ｐ偷玫搅嗽S多學(xué)者的青睞，其中尾流振子模型是應(yīng)用較為廣泛的經(jīng)驗?zāi)Ｐ椭?

1964年，Bishop 和Hassan[5]認為尾流對于圓柱體的作用相當(dāng)于一個非線性振子，于是提出了尾流振子模型來研究圓柱體的渦激振動問題.隨后，Griffin 等[6]結(jié)合實驗和理論，驗證了他們所提出的新改進尾流振子模型，并發(fā)現(xiàn)圓柱體在鎖頻區(qū)內(nèi)的位移和升力之間的相位角可能發(fā)生突變.1975年，Skop 和Griffin[7]在研究彈性圓柱體的渦激振動問題時，將應(yīng)用于剛性圓柱體的渦激振動模型改進為適用于彈性圓柱體的模型.進入20世紀(jì)90年代后，Skop 和Balasubramanian[8]發(fā)展了Skop 和Griffin[7]此前所提出的模型，并將新模型成功應(yīng)用到細長彈性圓柱體的渦激振動研究中，這種新模型能夠在無阻尼條件下保證圓柱體響應(yīng)的漸近性和自控性.2004年，F(xiàn)acchinetti 等[9]分別研究了基于位移耦合、速度耦合和加速度耦合的尾流振子模型來研究結(jié)構(gòu)的渦激振動行為.通過實驗和理論的對比分析，結(jié)果表明加速度耦合更能準(zhǔn)確地預(yù)測結(jié)構(gòu)的渦激振動響應(yīng).此后，Violette 等[10]利用Facchinetti 等[9]提出的加速度耦合模型，研究了受均勻流和剪切流作用下細長彈性圓柱體的渦激振動問題，所得預(yù)測結(jié)果通過了數(shù)值模擬和實驗的驗證.目前，尾流振子模型已被廣泛應(yīng)用于水和空氣中圓柱體的渦激振動研究，且被證明對于均勻和非均勻流都能得到一定的應(yīng)用.

當(dāng)潛艇在水下航行進行偵查時，其望遠鏡將舉升出水面.此時，望遠鏡的下部和上部將分別受到水流和氣流的作用，且在一定情況下將發(fā)生渦激振動現(xiàn)象，這將嚴(yán)重影響觀測精度.受此啟發(fā)，本文基于尾流振子模型，建立了懸臂柱體結(jié)構(gòu)受氣-液兩種不同橫流作用下的渦激振動理論模型，并研究了這兩種橫流分布比和密度比等參數(shù)對結(jié)構(gòu)渦激振動響應(yīng)的影響.

1 理論建模

考慮如圖1所示的懸臂圓柱體，其沿x軸的長度為L，截面外直徑為D，內(nèi)徑為Di，密度為 ρc，抗彎剛度為EI.該圓柱體在氣-液兩種橫流的作用下發(fā)生渦激振動.其中，氣-液兩種橫流分別分布于圓柱體結(jié)構(gòu)的上下兩部分，它們之間的分界線位于x=L1處.此外，液體橫流的流速和密度分別為U1和 ρ1；氣體橫流的流速和密度分別為U2和 ρ2.為了便于研究，本文做出如下假設(shè)：1）圓柱體為細長、等截面結(jié)構(gòu)，采用Euler-Bernoulli 梁建模；2）僅考慮圓柱體y方向上的振動；3）忽略圓柱體結(jié)構(gòu)的重力、浮力、剪切、扭轉(zhuǎn)和Poisson 比的影響；4）考慮圓柱體為黏彈性材料(Kelvin-Voigt 型)，E?為黏彈性系數(shù).

圖1 氣-液橫流作用下的懸臂圓柱體渦激振動模型示意圖Fig.1 The vortex-induced vibration model for a cantilever cylinder under gas-liquid cross flow

基于上述假設(shè)，懸臂圓柱體在氣-液兩種橫流作用下的非線性渦激振動控制方程可以通過Hamilton 原理推導(dǎo)得到[11]，其具體形式如下：

其中y(x,t)表示圓柱體的橫向振動位移，x和t分別表示柱體軸線坐標(biāo)變量和時間變量，上標(biāo)符號“·”和“′”分別表示變量對t和x的偏導(dǎo)數(shù).

2 求解方法

3 結(jié)果與分析

理論上講，Galerkin 截斷數(shù)N越大，數(shù)值結(jié)果越收斂，越接近精確解.因此，我們首先需要確定一個合適的Galerkin 截斷數(shù)N，以便高效地得到可靠的數(shù)值結(jié)果.截斷數(shù)N的收斂性分析如圖2所示.圖2(a)給出了圓柱體僅受折合流速為5 的單一外流(水)作用時的自由端振動響應(yīng)，可以看出，N=5,6,7,8,9 的結(jié)果基本一致.圖2(b)給出了圓柱體受折合流速均為5 的兩種外流(空氣、水)作用的自由端振動響應(yīng)，可以看出，N=5,6,7 的結(jié)果與N=8，9 的結(jié)果有明顯差異.結(jié)合圖2(a)和2(b)，基于數(shù)值計算的可靠性和計算效率，選取N=9.

圖2 不同模態(tài)截斷數(shù)N 下的圓柱體自由端振幅：(a)僅有水作用的情況，Ur1=5；(b)空氣和水共同作用的情況，Ur1=Ur2=5Fig.2 Amplitudes at the cylinder’s free end for different Galerkin truncation number N values:(a)only water case,Ur1=5;(b)air-water case,Ur1=Ur2=5

為了研究圓柱體在氣-液兩種橫流作用下的渦激振動響應(yīng)，圖3 給出了圓柱體自由端振幅ymax/D隨折合流速Ur1和Ur2變化的云圖.可以看出，圓柱體振幅在Ur1≈5區(qū)域內(nèi)的值明顯高于其他區(qū)域，且振幅的最大值出現(xiàn)在Ur1=Ur2=5處.這說明，在空氣和水兩種橫流共同作用下，圓柱體的渦激振動響應(yīng)主要受水流的影響，而空氣的影響甚微.這種現(xiàn)象的主要原因在于水的密度遠大于空氣的密度，黏附于圓柱體表面的附加水質(zhì)量遠大于附加空氣質(zhì)量，進而導(dǎo)致與水相關(guān)的流體力遠大于空氣的.

圖3 圓柱體自由端振幅隨折合流速U r1和U r2變化的云圖Fig.3 The contour of amplitudes at the free end of the cylinder，as a function of reduced velocities U r1 and Ur2

考慮到Ur2對圓柱體振動響應(yīng)的影響較小，在后續(xù)的數(shù)值計算中默認Ur1=Ur2.接下來，本文將詳細討論流體分布比χ 和密度比κ 以及黏彈性系數(shù)α對圓柱體振動響應(yīng)的影響.

流體分布比χ 對圓柱體在鎖頻區(qū)內(nèi)振動響應(yīng)的影響如圖4所示.根據(jù)該圖可知，隨著χ 的增大，圓柱體的鎖頻區(qū)域逐漸擴大，振幅的最大值先增大后減小，且在χ=0.5，Ur1=Ur2=5.1處出現(xiàn)極大值.當(dāng)χ 逐漸減小至0.1 時，自由端振幅隨折合流速的變化逐漸趨同于僅有空氣橫流的情況.這是因為χ 趨近于0 時，系統(tǒng)將退化為只有空氣外流作用下的渦激振動模型.當(dāng)χ 逐漸增大至0.9 時，自由端振幅隨折合流速的變化逐漸趨同于僅有水流的情況，因為χ=1 時，系統(tǒng)退化為僅有水流作用的渦激振動模型.這種可以退化的現(xiàn)象反映出本文所建立的兩種流體作用下圓柱體的渦激振動模型的合理性和正確性.

圖4 不同分布比時，圓柱體自由端振幅隨外流折合速度的變化曲線Fig.4 The relationship between the amplitude at the free end of the cylinder and the reduced velocities of external fluids with different fluid distribution ratios

由上述分析可以看出，圓柱體在Ur1=Ur2=5附近振幅達到最大值.在下面的數(shù)值分析中，為了更準(zhǔn)確地探究其他參數(shù)對圓柱體振動響應(yīng)的影響，均選取Ur1=Ur2=5為例進行計算.

由圖5 可知，圓柱體自由端振幅受到分布比χ 和密度比 κ 的共同作用.當(dāng)χ≤0.3時，振幅隨著κ的增大而增大；當(dāng)χ≥0.4時，振幅隨著κ的增大而減小.當(dāng)κ不斷減小時，振幅隨分布比χ 變化的曲線逐漸與空氣-水的結(jié)果重合，且曲線峰值不斷增大；當(dāng)κ不斷增大時，曲線逐漸拉直趨于水平，且曲線峰值逐漸減小.這說明振幅的最大值與κ之間呈反比例變化.此外，圓柱體自由端振幅隨著分布比χ 的增大先增大后減小，該現(xiàn)象與圖4 中的結(jié)果吻合.

圖5 Ur1=Ur2=5 時，不同密度比作用下圓柱體自由端振幅隨流體分布比的變化曲線Fig.5 The relationship between the amplitude at the free end of the cylinder and the fluid distribution ratios with different fluid density ratios,Ur1=Ur2=5

黏彈性系數(shù) α對圓柱體振動響應(yīng)的影響如圖6所示.可以發(fā)現(xiàn)，不論分布比χ 為何值時，圓柱體自由端振幅隨著黏彈性系數(shù)α的增大均不斷減小.這說明分布比χ 和黏彈性系數(shù)α之間的耦合作用并不明顯.

圖6 Ur1=Ur2=5 時，不同黏彈性參數(shù)作用下圓柱體自由端振幅隨流體分布比的變化曲線Fig.6 The relationship between the amplitude at the free end of the cylinder and the fluid distribution ratios with different viscoelastic coefficients,Ur1=Ur2=5

為了探究氣-液兩種橫流作用下圓柱體渦激振動的具體運動形式，圖7 和圖8 分別給出了不同分布比χ 作用下圓柱體自由端振動響應(yīng)的相圖和功率譜密度圖.由圖7 可知，當(dāng)χ 為0.3 和0.6 時，圓柱體的相圖均為標(biāo)準(zhǔn)極限環(huán)；當(dāng)χ 為0.9 和1 時，圓柱體的相圖均為有限數(shù)目的圓環(huán).分布比χ 分別為0.3 和0.9 時，圓柱體振動響應(yīng)的功率譜密度曲線如圖8(a)和(b)所示，可以發(fā)現(xiàn)，兩條曲線均十分光滑.但是，χ=0.3 時的曲線僅含一個主峰，χ=0.9 時的曲線有多個峰值.結(jié)合圖7 和圖8 可知，當(dāng)分布比χ 接近1 時，圓柱體做多周期運動，當(dāng)分布比遠離1 時，圓柱體做單周期運動.

圖7 Ur1=Ur2=5 時，不同流體分布比作用下的相圖Fig.7 The phase portrait with different fluid distribution ratios,Ur1=Ur2=5

圖8 Ur1=Ur2=5 時，不同流體分布比作用下的功率譜密度圖Fig.8 The power-spectrum-density diagrams with different fluid distribution ratios,Ur1=Ur2=5

4 結(jié)論

本文構(gòu)建了懸臂柱體結(jié)構(gòu)受氣-液兩種不同橫流作用下渦激振動的理論模型.基于Galerkin 法和Runge-Kutta 法進行了數(shù)值求解，研究了柱體結(jié)構(gòu)在氣-液兩種橫流作用下的渦激振動機理和規(guī)律.研究表明，圓柱體的渦激振動響應(yīng)主要受到液流的影響，其主要原因為液流的密度遠大于氣流.當(dāng)流體分布比越大，即液流占比越大時，圓柱體的渦激振動鎖頻區(qū)越大.但是，圓柱體在鎖頻區(qū)內(nèi)的最大振幅隨著分布比的增大呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢，且峰值出現(xiàn)在分布比約為0.5 附近.此外，該峰值隨著流體密度比的減小呈現(xiàn)明顯的增大趨勢.這說明，當(dāng)兩種橫流間的密度相差越大，其可能出現(xiàn)的振幅極值也越大.因此，為防止柱體結(jié)構(gòu)出現(xiàn)過大幅度的振動，應(yīng)避免兩種橫流均等分布的情況.當(dāng)分布比較小時，柱體結(jié)構(gòu)做單周期運動，而當(dāng)分布比接近1 時，柱體結(jié)構(gòu)做多周期運動.本文的研究成果對潛艇偵查望遠鏡結(jié)構(gòu)的設(shè)計、分析與使用具有一定的理論指導(dǎo)意義.