多孔介質(zhì)熱彌散系數(shù)的分形模型*

張 杰，張 賽，高偉業(yè)，胡世旺，汪振毅

（昆明理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，昆明 650500）

引言

多孔介質(zhì)的熱質(zhì)傳遞過程具有廣泛的實際應(yīng)用背景，其傳遞的重要特征之一就是通過熱彌散效應(yīng)增強(qiáng)傳遞過程[1-5].Jouybari 等[6]認(rèn)為多孔介質(zhì)中流體流速較高時，彌散效應(yīng)不可忽略.Vadasz [7]通過數(shù)值模擬研究了流體彌散效應(yīng)，但沒有具體分析流體彌散效應(yīng)的影響因素.戚濤等[8]基于孔隙網(wǎng)絡(luò)模型中的流動模擬，采用Euler 描述方法描述了多孔介質(zhì)中流體速度分布情況，證實了多孔介質(zhì)內(nèi)流體速度的脈動情況.但是Euler 描述法很難精確地描述流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動過程，彌散效應(yīng)是由于孔隙中流體速度脈動引起的，這種脈動類似于湍流脈動，存在一定的誤差.對于熱彌散系數(shù)的研究，研究者們試圖建立統(tǒng)一適用的熱彌散系數(shù)模型，如Moyne 等[9]采用體積平均方法得到了均質(zhì)多孔介質(zhì)內(nèi)宏觀熱彌散系數(shù)單方程模型.但該模型是基于空間周期性結(jié)構(gòu)得到的，實際多孔介質(zhì)并不是簡單的周期結(jié)構(gòu)，這使得該模型缺乏通用性.Hunt 等[10]利用統(tǒng)計平均的方法和混合長度理論提出了中心區(qū)和近壁區(qū)熱彌散效應(yīng)的關(guān)系式，并根據(jù)他們自己的試驗數(shù)據(jù)確定了其中的經(jīng)驗常數(shù)，但這些經(jīng)驗常數(shù)的物理意義并不明確.以上研究者所建立的熱彌散系數(shù)關(guān)系式具有很大差異，模型之間缺乏通用性和可比性；此外，在多孔介質(zhì)熱彌散系數(shù)的研究中，很少對速度脈動做詳細(xì)的解釋說明.因此，有必要進(jìn)一步理論研究多孔介質(zhì)流動過程的熱彌散效應(yīng).

本文通過對流體在多孔介質(zhì)中的流動特征分析，計算得到了流體在湍流和層流的臨界狀態(tài)時的截面速度關(guān)系式，分析此過程中流體在孔喉結(jié)構(gòu)處的局部水頭損失，推導(dǎo)了速度彌散效應(yīng)關(guān)系式，并結(jié)合速度彌散效應(yīng)關(guān)系式、分形理論、孔喉結(jié)構(gòu)隨機(jī)分配函數(shù)，建立了熱彌散系數(shù)模型.該模型把熱彌散系數(shù)與孔隙率、孔喉比、孔道特征長度、固體顆粒直徑、迂曲分形維數(shù)和面積分形維數(shù)聯(lián)系起來，減少了模型中的可調(diào)參數(shù).最后，詳細(xì)解釋了孔隙結(jié)構(gòu)參數(shù)對熱彌散系數(shù)的影響.

1 孔喉結(jié)構(gòu)分布特征

2 孔喉結(jié)構(gòu)流動特征

2.1 孔喉結(jié)構(gòu)流動模型

對于顆粒填充床、多孔巖石和土壤等顆粒型多孔介質(zhì)，其內(nèi)部孔道存在孔喉結(jié)構(gòu).孔道內(nèi)流體流動狀態(tài)受孔道結(jié)構(gòu)影響，流體在孔道內(nèi)的流動規(guī)律隨孔道結(jié)構(gòu)的變化而變化.孔道的擴(kuò)張和收縮由直徑不同的固體顆粒引起，固體顆粒凸起在孔道中形成大小不同的孔喉結(jié)構(gòu)，這些孔喉結(jié)構(gòu)連接在一起形成彎曲的孔道.

如圖1所示，LBF為喉道直徑，m；LBF+dp為孔道直徑，m.圖中虛線框表示一個孔喉單元，其孔隙率為

圖1 孔喉結(jié)構(gòu)流動模型Fig.1 The flow model for the pore-throat structure

式中，dp表示固體顆粒直徑，m.

孔喉比表示為

式(6)表明，喉道直徑一定時，固體顆粒直徑越大，孔喉比越大.

2.2 局部水頭損失分析

局部水頭損失為因孔道形狀發(fā)生突變而使流體速度大小和方向發(fā)生改變時流體的能量損失.假設(shè)一個孔喉單元內(nèi)固體顆粒直徑相等，流體以層流狀態(tài)由孔喉結(jié)構(gòu)的左端流入右端流出時，流體運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生改變，形成紊流狀態(tài).流體經(jīng)過l段長度后恢復(fù)到層流狀態(tài)，由于l段長度很短，所以沿程損失可以忽略，局部水頭損失占主導(dǎo)地位.

圖2 為存在孔喉結(jié)構(gòu)的孔道簡化圖，流體以一定的速度在孔道中流動，在孔道擴(kuò)張和收縮處由穩(wěn)定的層流狀態(tài)變?yōu)槲蓙y的湍流狀態(tài).圖中l(wèi)段表示由湍流狀態(tài)到層流狀態(tài)的流體所經(jīng)過的長度，稱為Prandtl 混合長度.混合長度所受各力沿流動方向的合力可表示為

圖2 孔道內(nèi)流體流動模型Fig.2 The fluid flow model in the channel

式中，P1和P2為沿流動方向的壓強(qiáng)，Pa；ρ 為流體密度，kg/m3；g為重力加速度，g=9.8 m/s2；r為混合長度的半徑，m；l=ky為Prandtl 混合長度，m；k為Karman 常數(shù)，一般取0.4；y為距離孔道壁面的距離；τ 為黏性切應(yīng)力.

黏性切應(yīng)力表示為

式中，μ為流體黏度，Pa·s；vτ為流體速度，m/s.

2.3 彌散效應(yīng)

3 熱彌散系數(shù)的分形模型

4 分析和討論

本文中的流體為氫氣，分析氫氣在多孔介質(zhì)中流動情況，模型中的部分參數(shù)取值如表1所示.圖3 為式(26)與文獻(xiàn)[14]結(jié)果的對比，可以看出一致性較高.從圖中可以看出，隨著孔隙率的減小，熱彌散系數(shù)迅速增大.這是因為孔隙率越小，流線越彎曲，速度彌散效應(yīng)越強(qiáng)，所以導(dǎo)致熱彌散系數(shù)越大.

圖4 為熱彌散系數(shù)分形模型與Metzger 等[15]的實驗值對比圖.Metzger 等[15]以水為流體，實驗預(yù)測了玻璃球填充床內(nèi)水的熱彌散系數(shù).由圖可知，本文的熱彌散系數(shù)分形模型與實驗值吻合度較高.由圖還可知，隨著Berkeley 數(shù)的增大，熱彌散系數(shù)增大，即流體流速越快，熱彌散系數(shù)越大.這是因為流體流速變快時，彌散效應(yīng)加強(qiáng)，所以熱彌散系數(shù)增大.

圖3 和圖4 表明，式(27)可用于計算顆粒填充床、多孔巖石和土壤等具有孔喉結(jié)構(gòu)的多孔介質(zhì)內(nèi)流體熱彌散系數(shù).

圖3 熱彌散系數(shù)分形模型與常規(guī)模型對比Fig.3 Comparison between the fractal model for the thermal dispersion coefficient and the conventional model

圖4 熱彌散系數(shù)分形模型與實驗值對比Fig.4 Comparison between the fractal model for the thermal dispersion coefficient and experimental values

將表1 中數(shù)據(jù)代入關(guān)系式(22)和(27)中，得到流體物性、孔隙結(jié)構(gòu)參數(shù)與熱彌散系數(shù)的函數(shù)關(guān)系，圖5～8 能夠較準(zhǔn)確地解釋孔隙結(jié)構(gòu)參數(shù)對熱彌散系數(shù)的影響.

表1 分形模型中部分參數(shù)與數(shù)值Table 1 Some parameters and values in the fractal model

圖5 顯示了速度彌散效應(yīng)隨孔喉比的強(qiáng)弱變化情況.由圖可知，迂曲分形維數(shù)為1.1，1.2 和1.3 時，隨著孔喉比的增大，速度彌散效應(yīng)逐漸增強(qiáng)，孔喉比增大到150 時，孔喉比對速度彌散效應(yīng)影響較小.這是因為孔喉比增大時，流體由層流轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧?，由?22)可知，速度大小以孔喉比的次方數(shù)倍關(guān)系偏離其速度原有平均值；當(dāng)迂曲分形維數(shù)增大時，速度彌散效應(yīng)增強(qiáng)，即孔道越迂曲，速度彌散效應(yīng)越顯著.

圖5 孔喉比對速度彌散效應(yīng)的影響Fig.5 Influences of the pore-throat ratio on the velocity dispersion effect

圖6 為面積分形維數(shù)對熱彌散系數(shù)的影響曲線.從圖中可以看出，熱彌散系數(shù)隨面積分形維數(shù)的增大而減小，面積分形維數(shù)增大意味著固體顆粒在孔道空間的占比減小，導(dǎo)致流體流動時局部水頭損失系數(shù)減小，速度彌散效應(yīng)減弱，熱彌散系數(shù)越小.

圖6 面積分形維數(shù)對熱彌散系數(shù)的影響Fig.6 Influences of the area fractal dimension on the thermal dispersion coefficient

圖7 為迂曲分形維數(shù)對熱彌散系數(shù)的影響曲線，隨著迂曲分形維數(shù)的增大熱彌散系數(shù)顯著增大.由于孔道的擴(kuò)張和收縮，流體從層流狀態(tài)變?yōu)橥牧鳡顟B(tài)，DT越大表明孔道越彎曲，孔道彎曲使原本的紊流狀態(tài)加劇，所以熱彌散系數(shù)增大.

圖7 迂曲分形維數(shù)對熱彌散系數(shù)的影響Fig.7 Influences of the tortuous fractal dimension on the thermal dispersion coefficient

圖8 為孔喉結(jié)構(gòu)個數(shù)對熱彌散系數(shù)的影響曲線.由圖可以看出，隨著孔喉結(jié)構(gòu)個數(shù)的增加，熱彌散系數(shù)增大，其增大的趨勢逐漸減緩.這是因為孔道空間被固體顆粒占據(jù)面積增大，流體通過孔道的路徑變長，導(dǎo)致速度彌散效應(yīng)增強(qiáng)，故熱彌散系數(shù)增大；當(dāng)孔喉結(jié)構(gòu)個數(shù)足夠多時，相當(dāng)于孔喉比大于150，孔道空間被連續(xù)的固體顆粒填充，與圖4 結(jié)論一致，孔喉比不再對速度彌散效應(yīng)有影響，故熱彌散系數(shù)變化值較小.

圖8 孔喉結(jié)構(gòu)個數(shù)對熱彌散系數(shù)的影響Fig.8 Influences of the number of pore-throat structures on the thermal dispersion coefficient

5 結(jié)論

本文對多孔介質(zhì)內(nèi)流體進(jìn)行力學(xué)分析，探究了熱彌散系數(shù)與流體在多孔介質(zhì)孔隙內(nèi)流動的關(guān)系，得到的熱彌散系數(shù)模型普適性高，建立的模型可以確定微觀孔隙結(jié)構(gòu)多孔介質(zhì)熱彌散系數(shù)，為流體在微觀孔隙中的流動研究提供了理論參考.主要得出了以下結(jié)論：

1)管道形狀發(fā)生突變(如擴(kuò)張、收縮和彎曲)時，流體速度彌散效應(yīng)增強(qiáng)，熱彌散系數(shù)增大.

2)孔喉比為1 時，局部水頭損失系數(shù)為0，熱彌散系數(shù)為0；孔喉比大于150 時，孔喉比對速度彌散效應(yīng)影響較小.

3)本文的熱彌散系數(shù)模型是基于孔喉結(jié)構(gòu)模型和速度彌散效應(yīng)得到的，所考慮的參數(shù)較全面，無速度彌散效應(yīng)經(jīng)驗參數(shù)，更精確地解釋了熱彌散過程.