基于有限時間擾動觀測器的模糊補償控制

孫國法，于瀚博，王 剛

(青島理工大學(xué)信息與控制工程學(xué)院，山東 青島 266520)

1 引言

在工業(yè)生產(chǎn)中，由于設(shè)備所處環(huán)境不同，擾動問題在機械動力和化工等控制系統(tǒng)中是普遍存在的，隨著生產(chǎn)力智能化的迅速發(fā)展，產(chǎn)品的生產(chǎn)對設(shè)備控制精度要求也更加苛刻，例如高精度機械運動裝置，飛行器控制，復(fù)雜藥劑的合成等。由于控制精度越來越高，誤差幅值也隨之逐漸縮小，此時擾動信號的存在對系統(tǒng)的影響也變得更加顯著，其直接影響到系統(tǒng)的工作性能以及控制精度，是控制領(lǐng)域不斷在攻克的難題。

近年來，隨著基于擾動觀測器的控制策略得到了廣泛的研究，擾動問題也被逐漸攻克。相比于魯棒控制(高增益，滑模切換等)，基于擾動觀測器的控制策略具有一定優(yōu)越性，其控制結(jié)構(gòu)不存在復(fù)雜度過高的問題，且具備更加適度的控制量，避免執(zhí)行器飽和問題。到目前為止，針對在控制輸入通道中存在的匹配擾動問題，多種擾動觀測器被設(shè)計，并得到了應(yīng)用。文獻[1]利用動態(tài)增益自適應(yīng)擴張觀測器去觀測由磁性無桿氣缸靜摩擦力所帶來的擾動；文獻[2]采用自適應(yīng)擾動觀測器結(jié)合魯棒遞推滑模控制器，處理電機因負(fù)載變化、摩擦和外部干擾等因素而受到影響。然而，在許多實際系統(tǒng)中，不匹配擾動更加常見，也更難處理。因此，近年來針對含有不匹配擾動系統(tǒng)的控制策略越來越受到了重視[3-5]。

文獻[3]針對系統(tǒng)中存在的匹配和非匹配擾動進行分別處理，在傳統(tǒng)擴張觀測器的基礎(chǔ)上，采用混合擴張觀測器對不匹配擾動觀測；針對不匹配不確定項的二階系統(tǒng)，文獻[4]更是提出了一種基于非線性擾動觀測器的滑?？刂品椒?。在此基礎(chǔ)上，文獻[5]結(jié)合高階滑模微分器[6-7]，提出了基于有限時間擾動觀測器的連續(xù)動態(tài)滑?？刂品椒ǎ行У靥岣哂^測精度和系統(tǒng)魯棒性。

與滑?？刂撇煌?，反步法作為處理高階非線性系統(tǒng)的一種有效方法，其原理是通過逐步對虛擬控制設(shè)計，直到獲得實際控制信號，在提高了控制精度的同時，考慮到每一階設(shè)計中都會包含擾動的抵消項，所以，該控制策略的不匹配擾動問題更加需要被重視。文獻[8]設(shè)計了基于多種擴展?fàn)顟B(tài)觀測器(ESO)的控制策略，有效地處理了不匹配擾動對控制器設(shè)計的影響。然而，反步法設(shè)計在解決了不匹配擾動問題之后，其擾動觀測誤差收斂速度問題也是當(dāng)前研究的重要方向，文獻[9]采用有限時間觀測器估計擾動信號以及其微分信號，顯著地提高了擾動信號的觀測精度和觀測速度。

反步法在被廣泛的應(yīng)用的同時，也出現(xiàn)了弊端，傳統(tǒng)反步法在逐階設(shè)計的過程中，需要對虛擬控制信號不斷進行微分，帶來計算復(fù)雜性爆炸問題，甚至?xí)?dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定。近年來，為了解決傳統(tǒng)反步法控制固有的復(fù)雜性爆炸問題，研究人員都付出不懈的努力，并提出了幾種新型的控制方法，如動態(tài)面控制(DSC)[10]、基于濾波器的反步法控制[11-12]等。文獻[10]討論一種動態(tài)面反步控制策略，使用了低通濾波器避免模型微分，并在飛行器模型中進行驗證。文獻[12]則是在反步設(shè)計過程中，采用二階跟蹤微分器對虛擬信號進行求導(dǎo)，從而簡化控制器設(shè)計。以上控制策略有效地解決了反步法復(fù)雜性爆炸的問題，不足的地方是未考慮到濾波誤差收斂速度的問題，從而很難保證系統(tǒng)的跟蹤誤差快速地收斂。

另一方面，上述控制策略有效地處理了不匹配擾動和控制器計算膨脹的問題，但只有當(dāng)系統(tǒng)滿足嚴(yán)格反饋形式時，上述控制策略才是有效的，如果將這些控制策略用于處理非嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)，其虛擬控制信號將包含所有的系統(tǒng)狀態(tài)，從而產(chǎn)生代數(shù)環(huán)問題，導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。而非嚴(yán)格反饋系統(tǒng)在實際系統(tǒng)中常見，且更難處理。文章[13-15]為了克服代數(shù)環(huán)問題， 提出了一些有意義的方法。文章[13]利用單調(diào)遞增特性，設(shè)計了變量分離技術(shù)，建立了相應(yīng)的自適應(yīng)控制器來處理非嚴(yán)格反饋系統(tǒng)。而文章[14-15]通過自適應(yīng)模糊和NNs技術(shù)可以避免控制器中的代數(shù)環(huán)問題。但在處理實際系統(tǒng)含有不匹配擾動的非嚴(yán)格反饋系統(tǒng)的問題上，仍需要被進一步的研究。

本文在以上研究成果的基礎(chǔ)上，做出以下主要工作：

1)針對含有不匹配擾動的非嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)，本文控制策略解決了虛擬信號中代數(shù)環(huán)問題以及系統(tǒng)不匹配擾動問題；相比已有擾動觀測[9，18]，本文改進有限時間觀測器具備誤差快速收斂且克服快速收斂帶來的穩(wěn)定抖振問題，提高系統(tǒng)的抗擾動性能以及魯棒性。

2)設(shè)計有限時間滑模微分器避免反步法設(shè)計中重復(fù)微分所帶來的“計算膨脹”的缺點，相比于普通微分器[12，19]具備更快速的濾波誤差收斂速度。

3)將本文控制策略應(yīng)用于連續(xù)攪拌式反應(yīng)釜的濃度控制仿真，有效地解決外界擾動信號的干擾，提高反應(yīng)釜的控制精度以及魯棒性。

2 問題描述及準(zhǔn)備工作

考慮如下非嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)

(1)

圖1 系統(tǒng)的控制框圖

從圖1的控制框圖中可以得出，本文的主要控制目標(biāo)是設(shè)計控制律使得系統(tǒng)輸出能夠跟蹤上給定的參考輸入xd。為了便于控制器和觀測器設(shè)計需給出以下假設(shè)和引理。

引理1[16]：f(x)為緊集Ω?Rn內(nèi)任意連續(xù)函數(shù)，則?η>0，存在模糊系統(tǒng)θTξ(x)使得

(2)

(3)

引理2[15]：當(dāng)0<ξT(·)ξ(·)<1，則對于任何i≤n，存在

(4)

引理3[6-7]：以下系統(tǒng)

(5)

(6)

3 模糊邏輯系統(tǒng)

采用模糊邏輯系統(tǒng)對未知函數(shù)進行逼近，根據(jù)引理1可以得到fi(X)及其誤差

i(X)=Tξ(X)

(7)

將(7)代入(1)可以得到

(8)

wi=εi+di，i=1，…，n.

(9)

其中式(9)為總擾動項， 其包括模糊逼近誤差和外界擾動。且總擾動存在邊界

|wi|=|εi+di(t)|

≤ε+D≤Ci

(10)

從式(8)可以發(fā)現(xiàn)，不匹配擾動wi的存在會對系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及控制效果產(chǎn)生影響。為了可以通過控制器將擾動誤差補償，必須對未知的擾動進行精確的觀測。所以，針對擾動觀測進行深一步設(shè)計。

4 改進的有限時間擾動觀測器設(shè)計

本節(jié)在引理3 Levant微分器基礎(chǔ)上結(jié)合非線性函數(shù)設(shè)計擾動觀測器，對系統(tǒng)中不匹配擾動和匹配擾動精確觀測。

將系統(tǒng)(8)中第i階改寫為

(11)

設(shè)計如下三階有限時間擾動觀測器

(12)

其中λi，0，λi，1，λi，2為擾動觀測器的可調(diào)設(shè)計參數(shù)，ei0=zi0-xi，ei1=zi1-vi0，ei2=zi2-vi1為觀測誤差，選取fal(·)為

(13)

當(dāng)|eij|>δ時，擾動觀測器選擇如下設(shè)計

(14)

注：式(14)設(shè)計具備快速收斂性能，并在多個文獻[6-7，9]得到佐證。但收斂速度速度提高的同時也帶來了抖振，如何消除擾動觀測的抖振也應(yīng)該被關(guān)注，為了避免抖振的產(chǎn)生。

當(dāng)|eij|≤δ時，采用如下擾動觀測器設(shè)計，使得誤差可以平緩收斂于零，并將觀測擾動信號在控制器設(shè)計中進行補償。

(15)

5 控制器設(shè)計

本節(jié)詳細(xì)地給出自適應(yīng)模糊控制器的設(shè)計過程?？刂破鞯脑O(shè)計包含n個步驟，其中在前n-1個步驟中，每一步都會給出虛擬控制信號αi(i-1，…，n-1)，最終的控制律u將會在第n步中給出。

此處針對反步法所造成“計算膨脹”問題，設(shè)計有限時間滑模微分器，該微分器采用引理3中一階形式代替濾波器，以虛擬控制信號為輸入，其不僅可以精確地濾波信號和得到其微分信號，而且保證了微分器跟蹤誤差在有限時間內(nèi)收斂。當(dāng)以αi為輸入信號時，設(shè)計如下結(jié)構(gòu)

(16)

Step1)考慮閉環(huán)系統(tǒng)(1)(8)的第1個子系統(tǒng)，并利用模糊系統(tǒng)逼近可得

(17)

及其誤差向量S1=x1-xd。

設(shè)計如下虛擬控制律和模糊自適應(yīng)律

(18)

其中ri，mi，ι為正常數(shù)，ci>0為系統(tǒng)設(shè)計參數(shù)，i是的估計，滿足并定義系統(tǒng)跟蹤誤差定義為S2=x2-x2，c，…，Sn=xn-xn，c。

考慮如下形式的李雅普諾夫泛函

(20)

對V1求導(dǎo)可得

(21)

根據(jù)Young’s不等式和引理2可得

(22)

其中τ>0， 帶入式(19)可得

(23)

將式(18)(19)代入可得

(24)

通過Young’s不等式可得

(25)

將(25)代入(24)可得

(26)

Stepi)考慮系統(tǒng)(8)的第i個子系統(tǒng)，設(shè)計如下形式的李雅普諾夫泛函：

(27)

對Vi求導(dǎo)

(28)

根據(jù)Young’s不等式和引理2可得

(29)

將(29)代入(28)可得

(30)

并將(18)(19)代入可得

(31)

通過Young’s不等式可得

(32)

將(30)代入(29)可得

(33)

Stepn)考慮系統(tǒng)(1)的第n個子系統(tǒng)，設(shè)計如下形式的李雅普諾夫泛函

(34)

Vn對時間求導(dǎo)

(35)

根據(jù)Young’s不等式和引理2可得

(36)

將(36)代入(35)

(37)

并將(18)(19)代入可得

(38)

通過Young’s不等式可得

(39)

將(39)代入(38)可得

(40)

證明：通過不等式關(guān)系可以得到

(41)

將(41)代入(40)可得

(42)

其中

a={2c1，…，2cn，m1，…，mn}

(43)

通過(40)可以得到

(44)

6 仿真算例

本文采用級聯(lián)攪拌式反應(yīng)釜(CSTRs)進行仿真，驗證本文所提出的基于改進有限時間觀測器的模糊補償控制算法的有效性。

圖2 連續(xù)攪拌式反應(yīng)釜

考慮了兩個相同型號CSTR，如圖2所示，反應(yīng)罐內(nèi)部發(fā)生不可逆的基本反應(yīng)A→B。級聯(lián)反應(yīng)釜通常用于提高反應(yīng)物的轉(zhuǎn)化率。此處假設(shè)兩個反應(yīng)釜中的反應(yīng)都是在等溫條件下發(fā)生的，對反應(yīng)釜中反應(yīng)物濃度進行控制。兩個CSTR的數(shù)學(xué)模型由反應(yīng)物的質(zhì)量守恒規(guī)律得到[17]，具體模型如下所示。

(45)

其中“1”“2”分別表示第一個和第二反應(yīng)釜，CA表示反應(yīng)物在反應(yīng)釜中的濃度，F(xiàn)是反應(yīng)釜的液體流速，V表示反應(yīng)釜的容量，d為反應(yīng)釜外部的未知擾動信號，參數(shù)k1=α1e-(E/RT)，k2=α2e-(E/RT)。而CAi，F(xiàn)i分別是系統(tǒng)輸入端可調(diào)濃度以及不變的流速，上述模型具體參數(shù)如表1所示。

表1 CSTRs參數(shù)

基于上述CSTRs 模型，設(shè)計本文所提出控制器，微分器以及擾動觀測器，具體設(shè)計參數(shù)如表2所示。設(shè)定反應(yīng)釜初始濃度值為0(mol/lit)，為了驗證系統(tǒng)對不同擾動信號都具備較好的抗擾動性能，設(shè)計如下擾動信號

d2=2(sin(0.5t)+cos(t))

(46)

系統(tǒng)控制目的是使反應(yīng)物出口端濃度穩(wěn)定在CA2=2(mol/lit)，在仿真中為了突出本文控制器的設(shè)計優(yōu)勢，與文獻[1]的ADRC技術(shù)進行對比，并在本文控制器設(shè)計基礎(chǔ)上，采用不同的擾動觀測器、微分器進行對比分析。

表2 設(shè)計參數(shù)取值

本文針對兩種不同擾動進行擾動的觀測與補償，此處本文擾動觀測器(falFTDOS)分別與高階次冪擾動觀測器(HPDOS[18])、線性擾動觀測器(LDOS)，有限時間觀測器(FTDOS[9])進行對比。仿真結(jié)果(圖3-5)中，圖3為控制器的跟蹤效果以及誤差曲線，可見本文控制器設(shè)計與文獻[1]中ADRC(未補償不匹配擾動)相比具備更快速的精確收斂特性，在擾動的補償上，相比于HPDOS、LDOS、FTDOS具備更好的抗擾動性能和魯棒性。圖4、5分別為對擾動d1，d2的跟蹤效果，可見本文設(shè)計的擾動觀測器誤差在有限時間內(nèi)收斂，且相比LDOS、HPDOS收斂速度上更快速，穩(wěn)態(tài)性能也更加優(yōu)異；相比于FTDOS，消除了穩(wěn)態(tài)抖振問題，且仍然具備著相同的收斂速度。

圖3 跟蹤效果對比

圖4 擾動d1跟蹤效果及誤差對比

圖5 擾動d2跟蹤效果及誤差對比

為了更好地處理反步法帶來的“計算膨脹”問題，本文設(shè)計了有限時間滑模微分器(FTSMD)，并與一階低通濾波器、線性微分器[19]和非線性微分器[12]進行對比。仿真結(jié)果如圖6所示，為直觀體現(xiàn)對比效果，采用誤差曲線積分面積圖進行對比，表3求取微分器的均方誤差以及標(biāo)準(zhǔn)差?？梢娪邢迺r間滑模微分器具備更好的跟蹤效果，在穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)性更上都更加優(yōu)異。

圖6 微分器跟蹤效果及誤差

表3 微分器誤差

7 結(jié)論

針對含有不匹配擾動的非嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)，本文在解決虛擬信號代數(shù)環(huán)問題的基礎(chǔ)上，改進有限時間擾動觀測器，通過CSTRs仿真結(jié)果可明顯發(fā)現(xiàn)本文設(shè)計策略提高了系統(tǒng)的抗擾動性能，使擾動觀測誤差平穩(wěn)且快速收斂，優(yōu)異于已有擾動觀測器設(shè)計[9，18]。設(shè)計有限時間滑模微分器避免反步法設(shè)計中重復(fù)微分所帶來的“計算膨脹”的缺點，并驗證相比于普通微分器具備更快速的濾波誤差收斂速度。