二級直線倒立擺的穩(wěn)定控制＊

左瑞

（宿豫中等專業(yè)學(xué)校，江蘇 宿遷223800）

在控制領(lǐng)域中倒立擺具有多變量、非線性、強(qiáng)耦合等特性，這些典型特征使它成為了檢驗(yàn)控制策略正確性與可行性的平臺。對該類系統(tǒng)提出了諸多控制方法，所得成果在眾領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。本文對倒立擺展開研究也有現(xiàn)實(shí)意義。

1 二級直線倒立擺的數(shù)學(xué)建模

考慮到系統(tǒng)的多輸入和多輸出特性，采用受力分析建立系統(tǒng)模型十分復(fù)雜。本文采用拉格朗日方程，即從能量觀點(diǎn)出發(fā)建立數(shù)學(xué)模型。二級直線倒立擺結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 二級直線倒立擺結(jié)構(gòu)示意圖

系統(tǒng)各參數(shù)及數(shù)值如表1所示。

表1 系統(tǒng)參數(shù)

設(shè)擺桿1、擺桿2、質(zhì)量塊坐標(biāo)分別為（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），則有：

由式（5）—（7）分別求得系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的動(dòng)能。系統(tǒng)總動(dòng)能T=Tm+Tm1+Tm2+Tm3。

系統(tǒng)的總勢能V=Vm1+Vm2+Vm3=m1gl1cosθ1+m2g（2l1cosθ1+l2cosθ2）+2m3gl1cosθ1。

拉格朗日函數(shù)為L=T-V。

2 性能分析

根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)可知，系統(tǒng)若要穩(wěn)定，所有特征根均需具備負(fù)實(shí)部。本文借助MATLAB簡化求根。編輯程序如下：

經(jīng)過計(jì)算，特征值s1=-10.043 8，s2=-5.026 2，s3=10.04，s4=5.2，s5=0，s6=0。不難發(fā)現(xiàn)6個(gè)特征值中有2個(gè)正實(shí)根和2個(gè)零根，根據(jù)勞斯判據(jù)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

根據(jù)狀態(tài)能控性的秩判據(jù)可知，如果系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，則能控性矩陣Qk的秩需等于系統(tǒng)階次6。借助MATLAB提供的矩陣秩計(jì)算函數(shù)可以求得Qk的秩，詳細(xì)代碼如下：

經(jīng)計(jì)算，矩陣Qk秩為6，得知系統(tǒng)是完全狀態(tài)能控的。

根據(jù)狀態(tài)能觀測性的秩判據(jù)可知，如果系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的，則能觀測性判別矩陣Qc的秩需等于系統(tǒng)階次6[2-3]。同樣借助MATLAB提供的矩陣秩計(jì)算函數(shù)求Qc的秩，詳細(xì)代碼如下：

通過計(jì)算，可以得到Qc秩為6，得知系統(tǒng)完全能觀測。

3 控制方案設(shè)計(jì)

根據(jù)前述分析，所研究的系統(tǒng)雖開環(huán)不穩(wěn)定但狀態(tài)能控能觀。所以可通過狀態(tài)反饋任意配置系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)，以使系統(tǒng)獲得目標(biāo)性能。本文控制目標(biāo)：系統(tǒng)穩(wěn)定，過渡過程短，調(diào)整時(shí)間大約2 s。按照對應(yīng)于2%誤差帶的近似公式求取調(diào)整時(shí)間。當(dāng)取阻尼比等于0.5，無阻尼自然振蕩角頻率等于4時(shí)，可求得主導(dǎo)極點(diǎn)為-2+1.5j、-2-1.5j。將另外4個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)均配置為-15。按上述6個(gè)目標(biāo)極點(diǎn)，借助MATLAB求反饋矩陣，代碼如下：

并取整得：k=[124，231，-716，113，-9，-120]；在MATLAB里搭建系統(tǒng)虛擬模型，進(jìn)行性能測試[4]。

虛擬模型如圖2所示。穩(wěn)定性能測試如圖3所示。

圖2 虛擬模型

圖3 穩(wěn)定性能測試

由圖3可知，采用極點(diǎn)配置后，系統(tǒng)從非穩(wěn)定狀態(tài)[0，0.1，0.3，0，0，0]調(diào)整為穩(wěn)定狀態(tài)，調(diào)整時(shí)間約為2 s，符合設(shè)計(jì)目標(biāo)。

為驗(yàn)證系統(tǒng)抗擾能力，在3 s加入持續(xù)時(shí)間為1 s的脈沖信號，脈沖干擾如圖4所示，狀態(tài)響應(yīng)如圖5所示。

圖4 脈沖干擾

由圖5可知，倒立擺在3 s突然受到脈沖干擾后出現(xiàn)振蕩，干擾撤去后，大約調(diào)整2 s，系統(tǒng)重新恢復(fù)到平衡狀態(tài)。驗(yàn)證了系統(tǒng)抗擾性能良好，滿足設(shè)計(jì)目標(biāo)。

圖5 抗擾性能測試

4 結(jié)論

本文建立了二級直線倒立擺的數(shù)學(xué)模型，分析了系統(tǒng)性能，設(shè)計(jì)了狀態(tài)反饋控制方案使系統(tǒng)穩(wěn)定，滿足了調(diào)整時(shí)間為2 s的控制目標(biāo)。通過仿真驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的控制方案合理有效。