淺談時間序列分析模型基本理論

摘?要：時間序列模型就是利用時間序列的相關性質建立起來的，是一種先進的統計方法，當有足夠多的數據來構成一個時間序列，此時建立起來的時間序列模型通?？梢缘玫胶芎玫念A測效果。

關鍵詞：時間序列;預測

隨著我國社會的不斷發(fā)展進步，城市的現代化建設也面臨著新的挑戰(zhàn)，例如，城市人口的增加在住房條件以及生活環(huán)境等方面都對城市的建設有了更高的要求。目前，城市的擴展不僅涉及地面廣度的延伸，也要求城市規(guī)劃者加大對地上、地下空間的綜合開發(fā)與使用。因此，現代化的建筑物都向著高層、超高層發(fā)展，地鐵、隧道也處于快速發(fā)展的趨勢。在享受這些發(fā)展所帶來各種便利的同時，作為城市的建設者，需要更加關注建設過程中存在的安全問題。基坑變形監(jiān)測就是利用水準儀、全站儀、測斜儀等設備對城市高層建筑物、地鐵、隧道等施工項目涉及的基坑開挖過程進行安全監(jiān)控，基于變形數據與變形容許值，及時發(fā)現并解決問題，確保工程項目安全可靠。

基坑變形監(jiān)測方案的確定需要分析總結大量信息，同時因地制宜，確保監(jiān)測方案的安全性與合理性。按照基坑工程要求與周邊環(huán)境及其自身特點，需對其自身圍護結構與周邊環(huán)境進行安全監(jiān)測：（1）基坑圍護結構監(jiān)測包括圍護結構頂部豎向、水平位移監(jiān)測，圍護結構側向位移監(jiān)測，坑外土體側向位移監(jiān)測，支撐軸力監(jiān)測，坑內外地下水位監(jiān)測，立柱沉降監(jiān)測;（2）周邊環(huán)境的監(jiān)測包含周邊地表及地下綜合管線沉降監(jiān)測，周邊建（構）筑物沉降、水平位移及裂縫監(jiān)測等。

通過各類監(jiān)測手段獲取實測數據后，應建立動態(tài)數學模型模擬基坑變形過程，全面并真實地反映其變形規(guī)律，同時對其后期變形趨勢做出合理預報。常用的變形預報方法包括回歸分析模型、指數平滑模型、卡爾曼濾波模型、灰色系統模型、神經網絡模型、時間序列分析模型。

本文將充分探討時序法的基本理論，具體研究內容有研究平穩(wěn)時序模型[AR（p）、MA（q）、ARMA（p，q）]、非平穩(wěn)時序模型[ARIMA（p，d，q）]的基本原理及其動態(tài)特性（格林函數、逆函數、自相關函數與偏相關函數）。

1?時間序列概述

時序法是出現于20世紀20年代后期的一種動態(tài)數據處理方法，被廣泛應用于金融、農業(yè)、工程測量等各個領域。其理論是基于統計方法構建的，利用時間序列的往期數據來挖掘現象隨時間變化的規(guī)律，推算至未來，并預報該現象的后期狀態(tài)。因此，通過分析可以構造相應的數學模型對變形體未來的變形趨勢做出預報。在經濟水平及科技水平高速發(fā)展的今天，利用時序模型對已有數據進行分析，在此基礎之上發(fā)現事物的內在聯系及其發(fā)展規(guī)律，已在各行各業(yè)中得到了廣泛的應用。如對股票信息進行分析，可預報股票的走勢;對溫度的變化值進行分析，可預報出溫度的變化。在工程測量上，由于該方法所用數據并非相互獨立，相對于其他模型更符合工程測量數據的實際情況，因此基于時序法對生產施工進行指導也得到了充分的應用。如建筑物的變形監(jiān)測數據分析、地鐵和隧道的變形量分析、煤礦瓦斯變化量的分析等。徐培亮[1]利用時序法預報大壩變形量，得到較為準確的預報結果;蘭孝奇[2]等利用時序法預報建筑物沉降量，其結論表明，時序法在建筑物短期沉降預報方面具有較好的適用性;王建生[3]、潘國榮[4]提出了關于時間序列動態(tài)變形預報模型的建模技術原理及流程，并在實際測量數據的基礎上，與靜態(tài)模型進行對比，驗證了動態(tài)模型的優(yōu)越性。由于時序法在數據處理與預報方面的優(yōu)勢，以及各行各業(yè)對該方法的深入研究，時序法將在生產生活中發(fā)揮更為重要的作用。

時間序列是指按時間順序排列的，且是等間隔采樣的一系列統計數據。在實際生活中，很多信息序列都可定義為時間序列，如：超市的年銷售量;城市居民的年生產總值;學校每年的招生量等。

時序模型就是利用時間序列的相關性質建立起來的一種先進的統計方法，若有足夠多的數據構成一個時間序列，此時建立起來的時序模型通常可以得到很好的預報效果。時序模型在工程技術、自然學科、金融經濟等領域都有著相當廣泛的應用。在測量學科中，從業(yè)者常常會根據已收集到的某些被監(jiān)測對象變形的歷史數據建立相應的時序模型去描述事物隨時間變化的規(guī)律，從而推測出其在未來一段時間內的變化量，這種預見性對工程的決策具有相當重要的指導作用。

時序模型可以分為：（1）確定型時序模型;（2）線性時序模型;（3）非線性時序模型[57]。根據不同的數據類型選擇對應的時序模型是時序法分析處理數據的有效手段與基本原則。

2?常見的幾種時間序列模型

目前常用的時間序列模型有：自回歸模型（AR模型），滑動平均模型（MA模型），自回歸滑動平均模型（ARMA模型）。

下面將依次介紹上述三種時間序列模型。

2.1?自回歸（AR）模型

若平穩(wěn)、正態(tài)、零均值隨機序列{xt}在t時刻的取值與前p個時刻序列值之間的相互關系可表示為：

式中，φi（i=1，2，…，n）為自回歸參數;at為白噪聲序列，且at為均值為0、方差為σ2a的相同獨立分布的隨機變量，即a～N（0，σ2a），隨機序列{xt}中的白噪聲{at}與前一時刻序列xk（k<t）不相關。則式（1）稱為p階自回歸模型，記為AR（p）為平穩(wěn)模型[813]。

2.2?滑動平均（MA）模型

若平穩(wěn)、正態(tài)、零均值隨機序列{xt}可表示若干個白噪聲at的加權平均和：

式中，θj（j=1，2，…，m）為滑動平均參數，at為白噪聲序列，且at為均值為0、方差為σ2a的相同獨立分布的隨機變量。則稱式（2）為q階的滑動平均模型，記為MA（q）。

2.3?自回歸滑動平均（ARMA）模型

若平穩(wěn)、正態(tài)、零均值的隨機序列xt在t時刻取值不但與其前p步的各個取值xt-1，xt-2，…，xt-p有關，而且還與前q步干擾at-1，at-2，…，at-q有關（p，q=1，2，…），則可得到一般的ARMA模型：

式中，φp（i=1，2，…，n）為自回歸參數;θq（j=1，2，…，m）為滑動平均參數;at為白噪聲序列，且a～N（0，σ2a）。則稱式（3）為xt的自回歸滑動平均模型，記為ARMA（p，q）。

3?時間序列模型特性

在采取時序法建立變形預報模型時，需要運用時間序列的一些相關特性。其中包括：格林函數、逆函數、自相關函數與偏相關函數。

3.1?格林函數

當φ（B）=0的根均在B平面單位圓外時，可表示為xt=φ-1（B）θ（B）at，若定義：

則稱序列Gj（j=0，1，2，…）為模型ARMA（p，q）的格林函數[14]。

3.2?逆函數

當θ（B）=0的根均在B平面單位圓外時，式φ（B）xt=θ（B）at可表示為at=θ-1（B）φ（B）xt，若定義：

則稱序列Ij（j=0，1，2…）為模型ARMA（p，q）的逆函數。

格林函數與逆函數分別用不同的方式描述了時間序列的動態(tài)特性，利用傳遞函數與逆轉函數，定義序列的格林函數與逆函數，通過求解Gj（j=0，1，2，…）、Ij（j=0，1，2…）可以分析得到模型的穩(wěn)定性以及其他一些特性。

3.3?自相關函數

自相關函數是描述某一隨機序列xt在任意兩個不同時刻t1、t2取值之間的相關程度。對于一個平穩(wěn)的、正態(tài)的、零均值的隨機過程xt，其自協方差函數為：

式中，k=1，2，…。當k=0時，得到xt的方差函數σ2x：

自相關函數定義為：

3.3.1?AR（p）自相關函數

若已知AR（p）序列：

用xt-k（k>0）乘以（9）式并取其數學期望，得：

又因為E（atxt-k）=0（k>0），則有：

上式兩邊同時除以r0，可得：

式中，ρk=ρ-k，ρ0=1。ρk即為AR（p）的自相關函數。

式（12）可寫成：

由以上推導可知，平穩(wěn)時間序列的自相關函數滿足齊次差分方程，且一般由指數衰減函數和衰減正弦波組成，即AR（p）序列xt的相關性隨著步數k的增加而減小，即ρk不可能在延遲某步后等于零，因此，AR（p）的自相關函數ρk具有拖尾性。

3.3.2?MA（q）自相關函數

若已知MA（q）序列：

且白噪聲at滿足以下性質：

（1）均值為零：E（at）=0;

（2）互相獨立：rk=E（atat-k）=σ2a，k=00，k≠0;

（3）服從正態(tài)分布：at～N（0，σ2a）;

（4）at與前一時刻的xt-k（k>0）互不相關：E（atxt-k）=0（k>0）。

因此，當用xt-k（k>0）乘以式（14），并取其數學期望時，有：

rk=E（xtxt-k）=σ2a（1+θ21+…+θ2q），????k=0σ2a（-θk+θ1θk+1+…+θq-kθq），1

上式兩邊同時除以r0可得：

式中，ρk為MA（q）的自相關函數。由上式可知，當xm與xn之間的間隔k=mn>q時，有xm與xn不相關，即此時ρk=0，因此，MA（q）的自相關函數具有截尾性。

3.3.3?ARMA（p，q）自相關函數

若已知ARMA（p，q）序列：

用xt-k（k>0）乘以式（17）并取其數學期望，得：

由白噪聲at的性質可知：E（atxs）=0（t>s），又當k>q時有：

因此有：

式（20）可寫為：

式中，φ（B）=1-φ（1）B-φ（2）B2-…-φ（p）Bp。由于當φ（B）=0時，其根均在B平面單位圓外，因此，ARMA（p，q）的自相關函數ρk同樣具有拖尾性。

3.4?偏相關函數

偏相關函數是用于分析時序模型概率特性的指標之一。對于已知的平穩(wěn)、正態(tài)、零均值時間序列xt，若能選擇k個適當的系數φk1，φk2，...，φkk，將xt表示為xt-1的線性組合：

當以上述形式表示的誤差方程

達到極小值時，即將最后一個系數φkk定義為xt的偏自相關函數。

3.4.1?AR（p）偏相關函數

若有AR（p）序列xt=φ1xt-1+φ2xt-2+…+φpxt-p+at，將其代入式（23）中，可得：

當J取最小值時，有：

當k>q時，AR（p）的偏相關函數φkk=0。因此，AR（p）的偏相關函數具有截尾性，即若某序列xt的偏相關函數φkk在p步后截尾，則為AR（p）序列。

3.4.2?MA（q）偏相關函數

式中，若θ1>0時，自回歸系數符號正負交替;若θ1<0，自回歸系數符號均為負號，又因為MA（1）序列可轉化為無限階的AR（p）序列，因此，MA（1）的偏相關函數存在指數衰減特性。

當q=2時，若θ（L）=0的根均為實數，則其偏相關函數為兩個指數衰減形式疊加構成;反之，其偏相關函數呈正弦衰減形式。

由MA（1）、MA（2）的偏相關函數可知，MA（q）的偏相關函數存在緩慢衰減特性。

3.4.3?ARMA（p，q）偏相關函數

對于ARMA（p，q）序列，其偏相關函數也存在無限延長的特性，在形式上與MA（q）序列的偏相關函數形式相近。根據ARMA（p，q）序列中MA（q）部分不同的階數及參數，其偏相關函數呈正弦衰減與指數衰減的混合形式。

結語

根據數據序列的統計特性與動態(tài)特性而建立的時序模型，可用來揭示事物變化的內在規(guī)律，這也正是該模型被廣泛應用于變形監(jiān)測領域的主要原因之一。本文探討了平穩(wěn)時序模型與非平穩(wěn)時序模型的原理以及各模型格林函數、逆函數、自相關函數、偏相關函數等特性，可為變形監(jiān)測數據的時序建模提供依據。

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作者簡介：李明星（1979—?），女，江蘇鹽城人，碩士，講師，主要從事建筑專業(yè)的教學和研究。