高中數(shù)學(xué)項(xiàng)目式課堂教學(xué)案例分析

馬漢陽

[摘 要]實(shí)施高中數(shù)學(xué)項(xiàng)目式課堂教學(xué)，有利于學(xué)生深度學(xué)習(xí)，有利于落實(shí)“立德樹人”的根本任務(wù)。

[關(guān)鍵詞]高中數(shù)學(xué);項(xiàng)目式教學(xué);直線參數(shù)方程

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2022）08-0016-04

國務(wù)院辦公廳2019年印發(fā)的《關(guān)于新時(shí)代推進(jìn)普通高中育人方式改革的指導(dǎo)意見》指出，要培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)能力，促進(jìn)學(xué)生系統(tǒng)掌握各學(xué)科基礎(chǔ)知識、基本技能、基本方法，培養(yǎng)適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的正確價(jià)值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出，通過數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)能“提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”，這是基于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)這一要求的高中數(shù)學(xué)課程目標(biāo)之一?；跀?shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)提倡以問題為導(dǎo)向，以活動為載體，采用問題驅(qū)動式教學(xué)方式，立足于問題發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決的全過程，在問題解決的過程中引發(fā)、深化學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提升。教學(xué)要從以教師為中心的直接教學(xué)轉(zhuǎn)向以學(xué)生為中心的探究性學(xué)習(xí)。其中基于項(xiàng)目的探究性學(xué)習(xí)是最為常用的方法。項(xiàng)目式教學(xué)是讓學(xué)生在參與中進(jìn)行持續(xù)的投入、合作、研究和資源管理，在真實(shí)情境中解決真實(shí)性問題的教學(xué)方法，分為項(xiàng)目規(guī)劃、項(xiàng)目實(shí)施、項(xiàng)目展示、項(xiàng)目評價(jià)四個階段。下面以“直線的參數(shù)方程”為例進(jìn)行說明。

本課例是人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修4-4第二講的第三部分“直線的參數(shù)方程”的第二課時(shí)。通過第一課時(shí)的學(xué)習(xí)，學(xué)生對直線的參數(shù)方程中的參數(shù)[t]有了初步的認(rèn)識。本節(jié)課作為第一課時(shí)的延伸，為了讓學(xué)生更好地利用直線參數(shù)方程中的[t]來解決直線與曲線相交的弦長問題，筆者以“項(xiàng)目式教學(xué)”來組織課堂教學(xué)。

一、項(xiàng)目規(guī)劃

項(xiàng)目式教學(xué)的第一階段就是項(xiàng)目規(guī)劃階段，項(xiàng)目規(guī)劃內(nèi)容包括：

1.活動背景。直線的參數(shù)方程是高考的選考內(nèi)容?？季V要求學(xué)生理解參數(shù)方程的概念，了解常用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，其中直線的參數(shù)方程是重點(diǎn)考查內(nèi)容之一。直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式有其特殊的表現(xiàn)形式，其參數(shù)也有明確的幾何意義，因而在解題時(shí)有其獨(dú)特的作用。

2.活動目的。本節(jié)課的活動目的是讓學(xué)生學(xué)會利用直線的參數(shù)方程中的參數(shù)[t]的幾何意義解題，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作精神。

3.活動立項(xiàng)。利用直線的參數(shù)方程中的[t]來解決直線與曲線相交的弦長問題。

4.項(xiàng)目評價(jià)。項(xiàng)目評價(jià)包含目標(biāo)定位評價(jià)、內(nèi)容設(shè)定評價(jià)、探究方法評價(jià)、成果評價(jià)等。

下面通過“直線的參數(shù)方程”的教學(xué)來進(jìn)行說明。

師：第一課時(shí)我們學(xué)習(xí)了直線的參數(shù)方程，直線的參數(shù)方程中的參數(shù)[t]能幫助我們解決數(shù)學(xué)中的什么問題？非常期待！讓我們先來回顧一下。

問題1：直線的參數(shù)方程[x=x0+tcosα ，y=y0+tsinα]（[t]為參數(shù)）的標(biāo)準(zhǔn)形式是什么？（如圖1）直線的參數(shù)方程中每個量的含義是什么？

問題2：標(biāo)準(zhǔn)形式中[t]的幾何意義是什么？（[PA=t]，其中定點(diǎn)P[ （x0， y0）]）

問題3：如何用[t]表示直線上兩點(diǎn)間的距離？[PA=t]

問題4：定點(diǎn)[P（x0， y0）]所在直線與曲線交于[A]，[B]兩點(diǎn)，則[PA+PB]，[PA·PB]，[AB]這些與線段有關(guān)的幾何量如何用[t]表示？

（1）[PA+PB=t1+t2=t1+t2，（t1t2>0）t1-t2。（t1t2<0）]

（2）[PA·PB=t1t2]。

（3）[AB=t1-t2=t1+t22-4t1t2]。

問題5：直線的參數(shù)方程中的參數(shù)[t]能幫助我們解決數(shù)學(xué)中的什么問題？在解決這些問題時(shí)，要注意什么？

參數(shù)[t]能幫助我們解決數(shù)學(xué)中有關(guān)距離的問題。要注意兩點(diǎn)：（1）直線的參數(shù)方程是否為標(biāo)準(zhǔn)式;（2）這些點(diǎn)都要在該直線上，且與定點(diǎn)[P]有關(guān)。

點(diǎn)評：教師以項(xiàng)目來組織課堂教學(xué)，教學(xué)方法新穎獨(dú)特;以問題為導(dǎo)向，復(fù)習(xí)直線的參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)式中[t]的意義，利用參數(shù)[t]解決數(shù)學(xué)中有關(guān)距離的問題。通過這樣的問題設(shè)置，步步深入，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的學(xué)習(xí)習(xí)慣，也為下面學(xué)習(xí)新的知識打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

二、項(xiàng)目實(shí)施與展示

項(xiàng)目實(shí)施的關(guān)鍵是項(xiàng)目目標(biāo)的確立。項(xiàng)目目標(biāo)：能利用參數(shù)[t]求解數(shù)學(xué)中有關(guān)距離的問題。通過上面的復(fù)習(xí)，可以直接讓學(xué)生先思考下面的例子，然后再總結(jié)確立項(xiàng)目目標(biāo)。

[例1]經(jīng)過點(diǎn)[P-1， 2]，傾斜角為[π4]的直線[l]與圓[x2+y2=9]相交于[A]，[B]兩點(diǎn)，求[PA+PB]和[PA?PB]的值。

解：直線[l]的參數(shù)方程為[x=-1+22t，y=2+22t]（[t]為參數(shù)），將其代入[x2+y2=9]得[t2+2t-4=0]，

∴[t1+t2=-2]， [t1t2=-4]，

[PA+PB=t1+t2=t1-t2=t1+t22-4t1t2=32]，

[PA·PB=t1t2=4]。

[例2]直線[x=3+22t，y=3+22t]（[t]為參數(shù)）與橢圓[x216+y24=1]交于[A]，[B]兩點(diǎn)，點(diǎn)[P（3， 3）]，求[PA+PB]。

解：將直線[l]的參數(shù)方程[x=3+22t，y=3+22t]（[t]為參數(shù)）代入[x2+4y2=16]得[5t2+302t+58=0]，DFFB83B0-4407-4905-8284-77D8DBF246FD

∴[t1+t2=-62]，[PA+PB=t1+t2=62]。

教師引導(dǎo)學(xué)生確立項(xiàng)目后，帶領(lǐng)學(xué)生完成確立的項(xiàng)目，其中3個學(xué)習(xí)組完成第一個例題，另外3個學(xué)習(xí)組完成第二個例題，先獨(dú)立完成，然后再同桌交流討論，最后由小組長展示各人解法（投影）并回答以下問題：這兩題，各人的解法有何不同？由上面兩題的解法可以看出，容易出錯的點(diǎn)在哪？解答本題的關(guān)鍵在哪？（一是正確寫出直線的參數(shù)方程，二是注意兩個點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)符號的異同）

通過這兩題的訓(xùn)練，學(xué)生學(xué)會了用參數(shù)[t]求解數(shù)學(xué)中有關(guān)距離的簡單問題，達(dá)到了項(xiàng)目設(shè)置的基本要求。

點(diǎn)評：傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式相對封閉，學(xué)生學(xué)習(xí)思維不夠活躍，習(xí)慣了被動學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)的主動性和積極性不足。本節(jié)課，教師以問題為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)集體性的教學(xué)環(huán)境，運(yùn)用項(xiàng)目式教學(xué)模式組織教學(xué)，讓學(xué)生開展小組互動，促進(jìn)學(xué)生的交流和討論，讓學(xué)生在小組互動中加深對問題的思考，在交流中聽取他人的意見，借鑒他人的經(jīng)驗(yàn)和方法，促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維的碰撞，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，培養(yǎng)了學(xué)生的集體協(xié)作能力，讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)了從被動學(xué)習(xí)向主動學(xué)習(xí)的轉(zhuǎn)變。

[例3]在平面直角坐標(biāo)系[xOy]中，圓[C]的參數(shù)方程為[x=2cosα，y=2sinα]（[t]為參數(shù)），以[O]為極點(diǎn)，[x]軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線[l]的極坐標(biāo)方程為[ρcosθ-π4=1]。

（1）求圓[C]的普通方程及直線[l]的直角坐標(biāo)方程;

（2）若直線[l]與圓[C]的交點(diǎn)為[A]，[B]，與[x]軸的交點(diǎn)為[P]，求[1PA-1PB]的值。

解：（1）圓[C]的普通方程為[x2+y2=4]，直線[l]的直角坐標(biāo)方程為[x+y=2]。

（2）直線[l]的參數(shù)方程為[x=2-22t，y=22t]（[t]為參數(shù)），代入圓的方程，化簡得[t2-2t-2=0]。設(shè)[A]，[B]對應(yīng)的參數(shù)分別為[t1]，[t2]，則[t1+t2=2]，[t1?t2=-2]，故[1PA-1PB=1t1-1t2=t1+t2t1?t2=1]。

學(xué)生先獨(dú)立完成，再同桌交流討論，最后由一位同學(xué)（投影）展示他的解法并回答以下問題。

問題6：例3與例1、例2求距離時(shí)有什么不同？容易在什么地方出錯？（前面的例子給出了定點(diǎn)，例3沒有給出定點(diǎn)，其實(shí)是讓學(xué)生自己去找，也就是找[P]點(diǎn)，同時(shí)還要注意[t]的符號）

點(diǎn)評：通過以上三個例子，學(xué)生懂得了如何構(gòu)建項(xiàng)目及實(shí)施項(xiàng)目。教師根據(jù)教材重點(diǎn)和學(xué)生的實(shí)際情況提出難易適度、具有思考性的問題，再通過學(xué)生自主探究、合作交流以及教師示范、引導(dǎo)、指導(dǎo)，讓學(xué)生更加明確學(xué)習(xí)的方向，通過這一項(xiàng)目式的活動探究，使學(xué)生輕松掌握新的知識。

知識延伸：直線的參數(shù)方程（非標(biāo)準(zhǔn)式）中[t]的應(yīng)用是本節(jié)課的難點(diǎn)，如何突破難點(diǎn)是本節(jié)課的關(guān)鍵。

變式1：直線[l]的參數(shù)方程為[x=-1+t，y=2+t]（[t]為參數(shù)），直線[l]與圓[x2+y2=9]相交于[A]，[B]兩點(diǎn)，求[PA+PB]，[PA·PB]的值。

問題7：直線的參數(shù)方程和例1有什么不同？請你復(fù)述一下直線的參數(shù)方程中每個量的含義。下列變式中的參數(shù)[t]是否具有同樣的意義？

問題8：直線的參數(shù)方程[x=-1+t，y=2+t]（[t]為參數(shù)）的斜率是多少？直線的參數(shù)方程[x=x0+at，y=y0+bt]（[t]為參數(shù)）的斜率又是多少？

點(diǎn)評：以問題為導(dǎo)向，環(huán)環(huán)相扣，讓思維的脈絡(luò)在有序的軌道上層層遞進(jìn)。

問題9：直線的參數(shù)方程[x=x0+at，y=y0+bt]（[t]為參數(shù)）中的[a]，[b]與標(biāo)準(zhǔn)式中[x=x0+tcosα，y=y0+tsinα]（[t]為參數(shù)）的[cosα]，[sinα]有何聯(lián)系？[cosα]，[sinα]能否用[a]，[b]表示？

分析：直線[x=x0+at，y=y0+bt]（[t]為參數(shù)）化為[x=x0+a2+b2·aa2+b2ty=y0+a2+b2·ba2+b2t]（[t]為參數(shù)），令[t=a2+b2t]，

[cosα=aa2+b2]，[sinα=ba2+b2]，則有[x=x0+tcosα，y=y0+tsinα] （[t]為參數(shù)）。

問題10：直線的參數(shù)方程為[x=x0+at，y=y0+bt]（[t]為參數(shù)），直線交曲線[C]于[A]，[B]兩點(diǎn)，定點(diǎn)[P（x0， y0）]，如何求[PA+PB]，[PA·PB]，[AB] ？

總結(jié)得出結(jié)論：[PA+PB=a2+b2t1+t2=a2+b2t1+t2，（t1t2>0）a2+b2t1-t2。（t1t2<0）]

[PA·PB=a2+b2t1t2]。

[AB=a2+b2t1-t2]。

點(diǎn)評：問題8和問題9是項(xiàng)目式教學(xué)的核心問題，是本節(jié)課的難點(diǎn)，教師通過兩個問題的設(shè)置，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、探索并解決問題。在學(xué)生自主思考的基礎(chǔ)上，通過學(xué)習(xí)互助小組，讓學(xué)生先在同桌之間進(jìn)行交流，然后小組討論，這樣每個學(xué)生都有了思考的機(jī)會和時(shí)間。教師鼓勵學(xué)生大膽質(zhì)疑，給他們充裕的時(shí)間去思考，在交流中豐富知識，在探索中解決問題，這樣能讓學(xué)生對知識有更加深入的理解，很好地提高了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力。

變式1解法1：直線[l]的參數(shù)方程化為[x=-1+22t，y=2+22]（[t]為參數(shù)），以下解法同上。

總結(jié)：把直線的參數(shù)方程的非標(biāo)準(zhǔn)式化為標(biāo)準(zhǔn)式[x=x0+tcosα，y=y0+tsinα]（[t]為參數(shù)），則有[PA=t1]，[PB=t2]，問題就迎刃而解了。

變式1解法2：將直線的參數(shù)方程[x=-1+t，y=2+t]（[t]為參數(shù)）代入[x2+y2=9]得[t2+t-2=0]，設(shè)[A]，[B]對應(yīng)的參數(shù)分別為[t1]，[t2]，則[t1+t2=-1]，[t1t2=-2]，[PA+PB=2t1+2t2=2t1+t22-4t1t2=32]，[PA·PB=2t1·2t2=2t1t2=4]。DFFB83B0-4407-4905-8284-77D8DBF246FD

總結(jié)：把直線的參數(shù)方程[x=-1+t ，y=2+t]（[t]為參數(shù)）直接代入圓的方程，則有[PA=2t1]，[ PB=2t2]，問題更加容易解決。

[例4]在平面直角坐標(biāo)系[xOy]中，以[O]為極點(diǎn)、[x]軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線[C]的極坐標(biāo)方程為[ρsin2θ+4sinθ-ρ=0]，直線[l]過定點(diǎn)[P（1， 1）]且與曲線[C]交于[A]，[B]兩點(diǎn)。

（1）求曲線[C]的直角坐標(biāo)方程;

（2）若直線[l]的斜率為2，求[1PA+1PB]的值。

解：（1）由[ρsin2θ+4sinθ-ρ=0]得[ρ2sin2θ+4ρsinθ-ρ2=0]。

于是[4ρsinθ=（ρcosθ）2]，

所以曲線[C]的直角坐標(biāo)方程為[x2=4y]。

（2）解法1：設(shè)直線[l]的傾斜角為[α]，則[tanα=2]，于是[sinα=255]，[cosα=55]，所以直線[l]的參數(shù)方程為[x=1+55t，y=1+255t]（[t]為參數(shù)）。將[x=1+55t，y=1+255t]代入[x2=4y]得[t2-65t-15=0]，所以[t1+t2=65]，[t1t2=-15]，

所以[1PA+1PB=PA+PBPAPB=] [t1-t2-t1t2=t1+t22-4t1t2-t1t2=41515]。

解法2：∵直線[l]的斜率為2，∴設(shè)直線[l]的參數(shù)方程為[x=1+t，y=1+2t]，將[x=1+t，y=1+2t]（[t]為參數(shù)）代入[x2=4y]得[t2-6t-3=0]，[∴t1+t2=6]，[t1?t2=-3]。設(shè)[PA=12+22t1=5t1]，[PB=12+22t2=] [5t2]，

[1PA+1PB=151t1+1t2=15?t2+t1t2t2=15?t2-t1t2t2=15?t2+t12-4t2t2t2t2=41515? ]。

問題11：比較上述兩種解法，哪一種解法更好？好在哪？

點(diǎn)評：高考數(shù)學(xué)試題涉及知識面廣，能力要求較高，解法靈活多樣。本節(jié)課，教師在研討數(shù)學(xué)問題時(shí)，從中歸納總結(jié)出常用的解題方法，而不是為解題而解題，更重要的是讓學(xué)生學(xué)會分析試題，會考慮從何入手、采取什么方法，并熟練地歸納出解題方法。通過對上面例子不同解法的比較，學(xué)生發(fā)現(xiàn)用直線的參數(shù)方程的非標(biāo)準(zhǔn)式求與定點(diǎn)有關(guān)的距離問題時(shí)，解法2直接套用公式，更簡潔，以后做題時(shí)就不會無從下手，而是有章可循、有路可行，易于入手。

三、項(xiàng)目評價(jià)

項(xiàng)目評價(jià)是項(xiàng)目式課堂教學(xué)中的一個重要環(huán)節(jié)，評價(jià)不只是教師對學(xué)生做出的簡單評價(jià)，還包括學(xué)生之間的相互評價(jià)、學(xué)生的自我評價(jià)和學(xué)生對教師的評價(jià)等。

1.項(xiàng)目目標(biāo)評價(jià)。項(xiàng)目目標(biāo)的確立是否符合學(xué)生實(shí)際， 數(shù)學(xué)活動是否具有思維價(jià)值， 是否以學(xué)生發(fā)展為本并注重全面發(fā)展。

2.教學(xué)方法評價(jià)。教學(xué)方法是否體現(xiàn)學(xué)生在獨(dú)立思考、探究性學(xué)習(xí)、合作交流中學(xué)會學(xué)數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)的思想、方法創(chuàng)造性地解決問題，并在親歷數(shù)學(xué)化過程中嘗試多種體驗(yàn)。

3.教學(xué)成果評價(jià)。教學(xué)目標(biāo)是否體現(xiàn)“三維性”，即知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀。

4.學(xué)習(xí)成果評價(jià)。評價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度、自主學(xué)習(xí)與合作學(xué)習(xí)的表現(xiàn)，評價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，不單純是知識的掌握，更是學(xué)習(xí)方法的掌握和學(xué)習(xí)技能的形成以及學(xué)習(xí)收獲情況。

新課程標(biāo)準(zhǔn)指出，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的評價(jià)不僅要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，更要關(guān)注他們的課堂表現(xiàn)。比如對問題9、10的探求過程和例3解法過程的評價(jià)，其實(shí)就是對學(xué)生學(xué)習(xí)成果的評價(jià)。教師要讓學(xué)生在合作中學(xué)會評價(jià)總結(jié)，同時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生對學(xué)習(xí)結(jié)果和學(xué)習(xí)過程進(jìn)行評價(jià)，既要對知識掌握情況進(jìn)行評價(jià)，又要對每個學(xué)生的情感表現(xiàn)進(jìn)行評價(jià)。教學(xué)中可以通過教師的范評引導(dǎo)學(xué)生互評，以增強(qiáng)學(xué)生評價(jià)的能力、提高學(xué)生評價(jià)的水平和勇氣。正確的評價(jià)能讓學(xué)生的自尊心、自信心和進(jìn)取心得到保護(hù)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)發(fā)展的動力和學(xué)習(xí)創(chuàng)新的活力。

四、小結(jié)歸納

1.本節(jié)課你學(xué)到了什么知識、技能和思想方法？你最大的收獲是什么？

2. 利用參數(shù)[t]能求解數(shù)學(xué)中有關(guān)距離的問題，要區(qū)分好直線的參數(shù)方程是標(biāo)準(zhǔn)式還是非標(biāo)準(zhǔn)式。

本節(jié)課的教學(xué)是以項(xiàng)目為主線、教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體的項(xiàng)目式課堂教學(xué)，目的是把課堂學(xué)習(xí)探究的主動權(quán)還給學(xué)生，引發(fā)學(xué)生的思考，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和批判性思維。

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）DFFB83B0-4407-4905-8284-77D8DBF246FD