函數(shù)問(wèn)題中常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化思想

廣東惠州市惠陽(yáng)區(qū)第一中學(xué)高中部（516000） 劉錦濃

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，它知識(shí)點(diǎn)多，覆蓋面廣，綜合性強(qiáng)，很容易與其他知識(shí)建立聯(lián)系。解決函數(shù)問(wèn)題所需的轉(zhuǎn)化思想是重要的數(shù)學(xué)思維策略，它在數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用廣泛。運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想可以將陌生變?yōu)槭煜?，將?fù)雜變?yōu)楹?jiǎn)單，將抽象變?yōu)橹庇^，從而有效解決問(wèn)題。本文主要探討函數(shù)問(wèn)題中常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化思想。

一、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化

數(shù)形結(jié)合，實(shí)質(zhì)上就是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的幾何圖形結(jié)合起來(lái)，實(shí)現(xiàn)抽象概念與具體形象的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化。

（一）以形助數(shù)

［例1］設(shè)方程log3x+x-3=0的根為x1，方程3x+x-3=0的根為x2，求x1+x2的值。

分析：本題若直接解出x1，x2的值，再求x1+x2是不現(xiàn)實(shí)的。觀察兩個(gè)方程發(fā)現(xiàn)，y=log3x與y=3x互 為反函數(shù)，可利用反函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱的性質(zhì)，輔以圖像解題。

解：將原方程化為log3x=3-x，3x=3-x，方程log3x+x-3=0 的根為x1，實(shí)質(zhì)上是函數(shù)y=log3x與y=3-x圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；方程3x+x-3=0 的根為x2，實(shí)質(zhì)上是函數(shù)y=3x與y=3-x圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。如圖1，設(shè)其交點(diǎn)分別為A、B，函數(shù)y=x與y=3-x圖像的交點(diǎn)為P。

圖1

因?yàn)閥=x與y=3-x垂直，且函數(shù)y=log3x與y=3x的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱，所以點(diǎn)A、B關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，易得，所以x1+x2=3。

評(píng)析：本題主要是把方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像相交求解。由圖形分析數(shù)量間的本質(zhì)聯(lián)系，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)能做到快、準(zhǔn)，解題往往事半功倍。

（二）以數(shù)助形

［例2］如圖2，已知OPQ是半徑為1，圓心角為的扇形，C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，四邊形ABCD是扇形的內(nèi)接矩形。記∠COP=α，當(dāng)角α取何值時(shí)，矩形ABCD的面積最大？并求出這個(gè)最大面積。

圖2

分析：要求當(dāng)角α取何值時(shí)，矩形ABCD的面積最大，可分兩步進(jìn)行：（1）找出矩形ABCD的面積S與α之間的函數(shù)關(guān)系；（2）由函數(shù)關(guān)系，求S的最大值。

解：在Rt△OBC中，OB=cosα，BC=sinα，

評(píng)析：本題主要是把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題，再利用三角函數(shù)的配角公式轉(zhuǎn)化為形如y=Asin(wx+φ)的函數(shù)求解，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)以數(shù)解形。

二、函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化

（一）利用函數(shù)解方程題

在解一些高次方程、無(wú)理方程或超越方程時(shí)，直接解題難度比較大，可以考慮構(gòu)造函數(shù)，把方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，再利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等解題。

［例3］在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)解方程(5x+3)3+x3+6x+3=0。

分析：這是一個(gè)高次方程，如果先去括號(hào)后移項(xiàng)再化簡(jiǎn)，會(huì)十分麻煩。但若不展開(kāi)，而直接把（5x+3)看成一個(gè)整體，則可把復(fù)雜的高次方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的方程問(wèn)題，再利用函數(shù)的單調(diào)性，就很容易求得原方程的解。

解：原方程可等價(jià)轉(zhuǎn)化為(5x+3)3+(5x+3)=-(x3+x)，即(5x+3)3+(5x+3)=(-x)3+(-x)，

設(shè)函數(shù)f(x)=x3+x，則f(x)為奇函數(shù)，且在實(shí)數(shù)集上是單調(diào)遞增函數(shù)。這時(shí)原方程又可等價(jià)轉(zhuǎn)化為f(5x+3)=f(-x)。由函數(shù)的單調(diào)性可知5x+3=-x，∴x=-即原方程的實(shí)數(shù)解為x=-

評(píng)析：函數(shù)、方程與不等式就像“一胞三兄弟”，解決方程、不等式的問(wèn)題需要函數(shù)幫助，解決函數(shù)的問(wèn)題需要方程、不等式的幫助，因此借助函數(shù)、方程、不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸可以將問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)。

（二）利用方程解函數(shù)題

在求解函數(shù)性質(zhì)（如值域）時(shí)，可把函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，再利用方程有解的條件解題。

［例4］求函數(shù)y=的值域。

分析：可將函數(shù)轉(zhuǎn)化為含有參數(shù)y的關(guān)于x的一元二次方程，再利用判別式法求解。

解：由y=得yx2-(y+1)x+y=0，這是一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程。

當(dāng)y=0時(shí)，解得x=0，方程有解；

當(dāng)y≠0 時(shí)，為使關(guān)于x的一元二次方程有解，必須令Δ=(y+1)2-4y2≥0，解得≤y≤1(y≠0)。綜合可得函數(shù)的值域是

［例5］已知數(shù)列{an}滿足a1=33，an+1-an=2n，則的最小值為_(kāi)_____________。

解析：∵an+1-an=2n，∴當(dāng)n≥2 時(shí)，an-an-1=2(n-1)，

∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=(2n-2)+(2n-4)+…+2+33=n2-n+33(n≥2)，

又a1=33=1-1+33，故a1滿足上式，

評(píng)析：函數(shù)思想與方程思想是密切相關(guān)的，函數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題來(lái)解決，方程問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題加以解決。如解方程f(x)=0，就是求函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)；又如求方程f(x)=g(x)的解的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的交點(diǎn)問(wèn)題，也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)-g(x)與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題。

三、常量與變量的轉(zhuǎn)化

在有些數(shù)學(xué)問(wèn)題中涉及多個(gè)變量，而從正面由常量求解變量較難，對(duì)此可選擇把某些變量看作常量，減少變量的個(gè)數(shù)，再列出剩余變量的關(guān)系式，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算。

［例6］已知實(shí)數(shù)x、y滿足x2-3xy+y2=2，則x2+y2的取值范圍是______________。

分析：本題有x，y兩個(gè)變量，且題設(shè)與結(jié)論是關(guān)于x，y的對(duì)稱式，故可以x為主變量，令y=x+t，其中x，t為常量，列出變量x的關(guān)系式解題。

解：令y=x+t，

由x2-3xy+y2=2得x2-3x(x+t)+(x+t)2=2，

化簡(jiǎn)得：x2+xt+2-t2=0，即x2+xt=t2-2，

∵x∈R，∴Δ=t2-4(2-t2)≥0，解得t2≥

∴x2+y2=x2+(x+t)2=2x2+2tx+t2=2(t2-2)+t2=3t2-4 ≥

∴x2+y2的取值范圍是

四、特殊與一般的轉(zhuǎn)化

（一）特殊化法

利用特殊情況，如特殊值、特殊位置、特殊函數(shù)等，可求解一般化問(wèn)題。

［例7］當(dāng)x-y=1 時(shí)，x4-xy3-x3y-3x2y+3xy2+y4的值是_________。

解析：本題如果用傳統(tǒng)解法，由x-y=1得x=1+y再代入原式，運(yùn)算量大，不可取。把原式化成含x-y的形式，再用x-y=1整體代入，還是較煩瑣。若根據(jù)題型特點(diǎn)，取特殊值x=1，y=0代入原式即得所求值是1。

（二）一般化法

［例8］已知f(x)=，求f(-5)+f(-4)+…+f(4)+f(5)的值。

分析：本題若逐項(xiàng)求值比較困難，因?yàn)樽宰兞康闹担ǔ? 外）都是互為相反數(shù)，所以不妨從相反數(shù)入手，觀察f(x)與f(-x)的一般關(guān)系。

五、特定模型的轉(zhuǎn)化

轉(zhuǎn)化思想并不只是在函數(shù)范圍內(nèi)應(yīng)用，在整個(gè)高中數(shù)學(xué)中也經(jīng)常用來(lái)解決一些知識(shí)內(nèi)容陌生、題意復(fù)雜難懂或者計(jì)算量比較大等不容易處理的問(wèn)題。靈活多變的轉(zhuǎn)化技巧，往往能夠簡(jiǎn)化運(yùn)算，降低問(wèn)題難度。一些特定問(wèn)題，如求取值范圍，經(jīng)常可以轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)、三角函數(shù)、基本不等式、對(duì)勾函數(shù)等，再利用函數(shù)性質(zhì)、運(yùn)算規(guī)則等進(jìn)行求解。

［例9］如圖3，已知橢圓C：=1(a＞b＞0)的短軸長(zhǎng)為2，過(guò)下焦點(diǎn)且與x軸平行的弦長(zhǎng)為

圖3

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若A、B分別為橢圓C的右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)，直線y=kx(k) ＞0 與橢圓C相交于M、N兩點(diǎn)，求四邊形AMBN的面積的最大值及此時(shí)k的值。

解：（1）x2=1；過(guò)程略。

（2）易知點(diǎn)A(1,0)，B直線AB的方程為

當(dāng)然，在解一道函數(shù)題時(shí)并非僅應(yīng)用一種轉(zhuǎn)化思想，有時(shí)需要配合應(yīng)用幾種轉(zhuǎn)化思想，如例1 中，是先把方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)，再轉(zhuǎn)化為圖像解題。函數(shù)問(wèn)題中的轉(zhuǎn)化思想也不限于上述幾種。在實(shí)施等價(jià)轉(zhuǎn)化時(shí)，我們要遵循熟悉化、簡(jiǎn)單化、直觀化、標(biāo)準(zhǔn)化的原則，即把陌生問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉問(wèn)題來(lái)處理，或者將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，或者將難以解決的、比較抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易于解決的、比較直觀的問(wèn)題。按照這些原則進(jìn)行轉(zhuǎn)化，省時(shí)省力，猶如順?biāo)浦?。在解題教學(xué)中，教師經(jīng)常滲透轉(zhuǎn)化思想，可以提高學(xué)生的解題能力和解題效率。