一種量子圖像偽彩色編碼方法

臧一鳴,朱尚超,魏戰(zhàn)紅,劉志飛,林小竹,孫文韜

(北京石油化工學(xué)院信息工程學(xué)院,北京 102617)

0 引言

量子計(jì)算機(jī)利用量子態(tài)的疊加性、相干性和糾纏性等獨(dú)特的計(jì)算特性,展現(xiàn)了優(yōu)越的存儲(chǔ)和并行計(jì)算性能,為計(jì)算機(jī)的發(fā)展帶來(lái)了希望[1]。同時(shí)IBM的IBM Q[2]與本源量子的本源量子云等量子云平臺(tái)與編程框架為量子計(jì)算機(jī)的發(fā)展帶來(lái)了活力。量子計(jì)算的分支-量子圖像處理激起了學(xué)者的興趣。量子圖像處理是指利用量子力學(xué)特性來(lái)存儲(chǔ)、分析及處理圖像數(shù)據(jù),包括圖像表示和量子圖像處理算法。

目前,量子圖像表示模型主要有:Qubit Lattice模型[3],Real Ket模型[4],Entangled Image模型[5],量子圖像的靈活表示(FRQI)模型[6],新型增強(qiáng)量子圖像表示(NEQR)模型[7],量子彩色圖像多通道表示(MCQI)模型[8],新型極坐標(biāo)變換量子圖像表示(QUALI)模型[9],用角度信息來(lái)存儲(chǔ)顏色和坐標(biāo)的QSMC&QSNC模型[10],任意量子疊加態(tài)的多維量子彩色圖像表示(NAQSS)模型[11],通用量子圖像表示(GQIR)模型[12],新型彩色量子圖像表示(NCQI)模型[13],量子圖像位平面表示(BRQI)模型[14]等。

此外,量子圖像處理算法不斷涌現(xiàn),如幾何變換[15]、特征提取[16]、圖像增強(qiáng)[6]、邊緣提取[17]、圖像置亂[18,19]和形態(tài)學(xué)圖像處理[20]都有其對(duì)應(yīng)的量子版本。目前,量子圖像各個(gè)方向的研究發(fā)展不均衡,有關(guān)量子圖像增強(qiáng)算法的研究成果較少。2015年,Jiang等[12]提出了一種量子圖像偽彩色編碼方法,通過(guò)構(gòu)建顏色映射表將灰度圖像映射成彩色圖像。

本文提出的量子圖像偽彩色編碼方法對(duì)熱金屬碼分段函數(shù)進(jìn)行量子化,并給出了該量子算法的量子線路。該方法的優(yōu)點(diǎn)有:一方面,與經(jīng)典偽彩色算法相比,不僅可以減少存儲(chǔ)資源的占用,而且算法運(yùn)行時(shí)間指數(shù)級(jí)降低;另一方面,與現(xiàn)有量子圖像偽彩色編碼方法相比,不需要人為設(shè)計(jì)顏色映射表并不需要構(gòu)建與之對(duì)應(yīng)的量子數(shù)據(jù),可以減少量子資源的使用、降低空間復(fù)雜度,并且對(duì)連續(xù)的灰度值可以產(chǎn)生連續(xù)的彩色。對(duì)本文所提量子算法在經(jīng)典計(jì)算機(jī)上用Matlab2020a進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn),驗(yàn)證了其有效性。

1 量子圖像的表示

GQIR量子圖像表示模型可以存儲(chǔ)任意大小為M×S的量子圖像,存儲(chǔ)Y坐標(biāo)信息中的M個(gè)數(shù)據(jù)需要m量子比特,存儲(chǔ)X坐標(biāo)信息中的S個(gè)數(shù)據(jù)需要s量子比特,其中m和s分別滿足

所以GQIR在存儲(chǔ)大小為M×S的圖像時(shí)需要m+s量子比特來(lái)存儲(chǔ)位置信息。其中有效存儲(chǔ)圖像位置信息是M×S,冗余像素位置信息是2m×2s-M×S,如圖1所示,其中白色部分為圖像位置信息,陰影部分為冗余像素位置信息。冗余像素的顏色信息部分始終保持為|0〉。

圖1 GQIR表示模型Fig.1 The representation model of GQIR

GQIR表示模型可表示為

圖2 GQIR模型表示下2×3的灰度圖像Fig.2 Grayscale image of size 2×3 represented by GQIR model

圖2給出了一個(gè)2×3的灰度圖像,其GQIR表示為

由(1)、(2)式可知

由(5)式可見(jiàn),存儲(chǔ)2×3的灰度圖像總共需要3量子比特。而實(shí)際上,只有6個(gè)像素位置(Y=0/1,X=00/01/10)是有用的,其余兩個(gè)像素位置是冗余的。

2 量子圖像偽彩色編碼

2.1 經(jīng)典灰度級(jí)-彩色變換法

本研究用到的是熱金屬碼,依據(jù)金屬溫度的變化,主要將圖像顏色分為藍(lán)色、紅色和黃色三個(gè)部分,其中藍(lán)色代表低溫物體、紅色代表中溫物體、黃色代表高溫物體,各部分之間實(shí)現(xiàn)線性的顏色過(guò)渡。熱金屬碼灰度值與RGB彩色值的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖3所示。

圖3 熱金屬碼中灰度值與RGB彩色值的對(duì)應(yīng)關(guān)系Fig.3 The corresponding relationship between the gray value and the RGB color value in the hot metal code

2.2 量子減法器模塊QSB

參考經(jīng)典數(shù)字邏輯電路中全減器真值表以及邏輯電路的設(shè)計(jì),引入了量子減法器的量子線路模塊QSB,如圖4所示。其中|a〉是被減量子位,|b〉是減量子位,|c0〉是量子借位輸入位,|d〉是差量子位,|c1〉是量子借位輸出位。

圖4 QSB的量子線路設(shè)計(jì)Fig.4 Quantum circuit design of QSB

2.3 量子圖像偽彩色編碼的算法描述

以熱金屬編碼分段函數(shù)為主要研究對(duì)象,設(shè)計(jì)了量子圖像偽彩色編碼方法,彩虹編碼也可以根據(jù)此編碼方法的原理進(jìn)行設(shè)計(jì)。

量子圖像偽彩色編碼的輸入為GQIR表示的量子圖像|I〉,包括量子圖像位置信息|YX〉和顏色信息|CYX〉,存儲(chǔ)|CYX〉需要q量子比特。輸出為偽彩色圖像|J〉,顏色信息為|DYX〉,存儲(chǔ)|DYX〉需要p量子比特。在本算法中q=8,p=24,其中表示紅色,表示綠色,表示藍(lán)色。

量子圖像偽彩色編碼算法描述如表1所示,其中輸入為灰度圖像|I〉,輸出為偽彩色圖像|J〉,分別定義為

表1 量子圖像偽彩色編碼的算法描述Table 1 Description of quantum image pseudo color coding algorithm

2.4 量子圖像偽彩色編碼的算法實(shí)現(xiàn)

偽彩色圖像的存儲(chǔ)總共需要p量子比特。本算法中p=24,首先初始化24量子比特全部為|0〉態(tài),即

2.4.1 量子R變換器量子線路模塊

在量子R變換器中,定義算子W1

定義算子W2

定義算子W3

量子R變換器量子線路模塊如圖5所示。

圖5 量子R變換器量子線路模塊Fig.5 Quantum circuit module of quantum R converter

2.4.2 量子G變換器量子線路模塊

定義算子W4

定義算子W5

定義算子W6

量子G變換器量子線路模塊如圖6所示。

圖6 量子G變換器量子線路模塊Fig.6 Quantum circuit module of quantum G converter

2.4.3 量子B變換器量子線路模塊

定義算子W7

定義算子W8

定義算子W9

定義算子W10

把目標(biāo)量子位稱為|f3〉。

定義算子W11

把目標(biāo)量子位稱為|f4〉。

算子W12為受控6位量子減法器f4-W12,需要調(diào)用QSB模塊6次。其中|f4〉為控制位,W12為受控算子,有

為6位量子減法器中第j位的差量子位值(從低位算起,圖7中從左往右數(shù)),具體實(shí)現(xiàn)如圖7所示。在中,被減量子位為|0〉,減量子位為借位輸入 (輸出)位為 |c1〉,前一級(jí)的借位輸出連接到下一級(jí)的借位輸入,最低位即的借位輸入位為|0〉。

圖7 6位量子減法器的實(shí)現(xiàn)Fig.7 Realization of 6-bit QSB

量子B變換器量子線路模塊如圖8所示。

圖8 量子B變換器量子線路模塊Fig.8 Quantum circuit module of quantum B converter

2.4.4 量子圖像偽彩色編碼量子線路總體設(shè)計(jì)

算子W1～W3實(shí)現(xiàn)了量子R轉(zhuǎn)換器,算子W4～W6實(shí)現(xiàn)了量子G轉(zhuǎn)換器,算子W7～W12實(shí)現(xiàn)了量子B轉(zhuǎn)換器。量子圖像偽彩色編碼量子線路總體設(shè)計(jì)如圖9所示。

圖9 量子圖像偽彩色編碼量子線路總體設(shè)計(jì)Fig.9 General design of quantum image pseudo color coding quantum circuit

3 復(fù)雜度

3.1 空間復(fù)雜度

經(jīng)典偽彩色灰度級(jí)-彩色變換法的空間復(fù)雜度為(p+q)MS。在基于灰度級(jí)-彩色變換法的量子圖像偽彩色編碼中,輸入為量子圖像,占用量子比特;輸出為量子偽彩色圖像,存儲(chǔ)顏色信息需要p量子比特。由圖5可以知道量子R變換器需要1個(gè)輔助量子比特;由圖6可以知道量子G變換器需要1個(gè)輔助量子比特;由圖4、圖7和圖8可以知道量子B變換器中使用到了6次QSB量子減法器模塊,其中6次QSB減法器模塊需要1個(gè)量子比特的初始借位和1個(gè)量子比特的公用被減量子位|0〉,此外仍需要24個(gè)輔助量子比特用作中間計(jì)算。由于QSB模塊受控制位|f4〉控制,因此需要額外的1個(gè)輔助量子比特來(lái)分解3 CNOT門。量子B變換器總計(jì)需要27個(gè)輔助量子比特。所以量子圖像偽彩色編碼的空間復(fù)雜度為

3.2 時(shí)間復(fù)雜度

在經(jīng)典偽彩色灰度級(jí)-彩色變換法中,圖像的顏色是逐個(gè)像素改變的,對(duì)于每一個(gè)像素,都需要分別判斷灰度值所屬區(qū)間并通過(guò)R、G、B轉(zhuǎn)換器計(jì)算相應(yīng)R、G、B值。因此算法復(fù)雜度是3MS。

在量子計(jì)算中,量子網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜度取決于所使用CNOT門和1位量子門的數(shù)量。一個(gè)t-CNOT門等價(jià)于2(t-1)個(gè)Toffoli門和1個(gè)CNOT門(t＞2),1個(gè)Toffoli門等價(jià)于6個(gè)CNOT門、10個(gè)1位量子門[21]。1個(gè)t-CNOT門的量子網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜度為32t-31(t＞2),如果t-CNOT的控制位t-1個(gè)為“°”,如圖10所示,t-CNOT門的量子網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜度為32t-31+2(t-1)=34t-33(t＞2)。

圖10 t-CNOT的控制位包含“°”Fig.10 The control bits of t-CNOT contains“°”

根據(jù)圖5,W1的量子網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜度為18;W2的量子網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜度為96;W3的量子網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜度為8,所以量子R轉(zhuǎn)換器的量子網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜度為122。根據(jù)圖6,量子G轉(zhuǎn)換器模塊W4的量子網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜度為18;W5的量子網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜度為96;W6的量子網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜度為128,所以量子G轉(zhuǎn)換器的量子網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜度為242。根據(jù)圖4、圖7和圖8,量子B轉(zhuǎn)換器模塊W7的量子網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜度為144;W8的量子網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜度為173;W9的量子網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜度為536;W10的量子網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜度為161;W11的量子網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜度為69;量子減法器模塊QSB的量子網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜度為250,W12為6位量子減法器,需使用6次受控QSB模塊,量子網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜度為1500,量子B轉(zhuǎn)換器的量子網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜度為2583。所以所提出的量子圖像偽彩色編碼的量子網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜度為2947。

圖11給出了經(jīng)典灰度級(jí)-彩色變換法和基于灰度級(jí)-彩色變換法的量子圖像偽彩色編碼分別處理像素為表4所示、色深為256(q=8)的圖像時(shí)的算法復(fù)雜度比較。很明顯可以看出,隨著像素點(diǎn)的增多,所提處量子算法維持在2947這一常量級(jí)別,而經(jīng)典算法時(shí)間復(fù)雜度按107量級(jí)增大。

圖11 經(jīng)典算法和量子算法復(fù)雜度比較Fig.11 Complexity comparison between classical algorithm and quantum algorithm

4 經(jīng)典計(jì)算機(jī)中的仿真實(shí)現(xiàn)

圖2所示6個(gè)像素點(diǎn)的灰度圖像經(jīng)過(guò)所提出量子圖像偽彩色編碼方法處理后,得到的偽彩色圖像如圖12所示。當(dāng)f(0,0)=224時(shí),RGB=(255,255,0);當(dāng)f(0,1)=110時(shí),RGB=(184,0,72);當(dāng)f(0,2)=255時(shí),RGB=(255,255,0);當(dāng)f(1,0)=0時(shí),RGB=(0,0,255);當(dāng)f(1,1)=64時(shí),RGB=(0,0,255);當(dāng)f(1,2)=128時(shí),RGB=(255,0,0),與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相吻合。驗(yàn)證了所提處算法的可行性。

圖12 偽彩色處理結(jié)果Fig.12 Result of pseudo-color processing

圖13展示了一幅4張CHAOS臟器的灰度圖像經(jīng)過(guò)所提出熱金屬碼量子圖像偽彩色編碼處理后的結(jié)果,由圖可見(jiàn)處理后圖像增強(qiáng)的效果較好,清晰度較高。

圖13 CHAOS多臟器灰度圖像熱金屬碼偽彩色處理結(jié)果Fig.13 Hot metal code pseudo-color processing results of CHAOS multiple organs gray image

5 結(jié)論

提出了基于灰度級(jí)-彩色變換法的量子圖像偽彩色編碼方法。主要有兩個(gè)方面的貢獻(xiàn):1)首次給出了灰度級(jí)-彩色變換法的量子算法版本。相比于密度分層法,灰度級(jí)-彩色變換法不需要人為創(chuàng)建顏色映射表,而是根據(jù)函數(shù)一一映射成R、G、B顏色分量。相比于經(jīng)典算法,所提算法實(shí)現(xiàn)了指數(shù)級(jí)減少內(nèi)存空間的占用和指數(shù)級(jí)降低算法復(fù)雜度;2)給出了所提出量子圖像偽彩色編碼方法的量子線路圖。在量子計(jì)算機(jī)上將實(shí)現(xiàn)量子圖像所有像素點(diǎn)的并行運(yùn)算。