基于復雜網(wǎng)絡(luò)理論的寧夏高速公路路網(wǎng)特征

周 濤， 徐延軍,2

(1. 上海船舶運輸科學研究所有限公司， 上海 200135； 2. 中遠海運科技股份有限公司， 上海 200135)

0 引 言

交通網(wǎng)絡(luò)是具有典型的時空特征、動力學特征和結(jié)構(gòu)特征的復雜網(wǎng)絡(luò)。相關(guān)學者一直致力于采用網(wǎng)絡(luò)的研究方法模擬現(xiàn)實世界中各種事物之間的關(guān)系。當前，基于幾何學和圖論等數(shù)學方法的復雜網(wǎng)絡(luò)理論在城市交通、航空和鐵路等領(lǐng)域的網(wǎng)絡(luò)特征研究中已向更深層次發(fā)展，但在高速公路應用相對較少。利用復雜網(wǎng)絡(luò)理論研究高速公路路網(wǎng)，有助于優(yōu)化路網(wǎng)結(jié)構(gòu)，使網(wǎng)絡(luò)中宏觀的整體與微觀的個體高效結(jié)合。同時，在路網(wǎng)研究中，利用復雜網(wǎng)絡(luò)理論模擬是一種新的方法和視角，能為道路的規(guī)劃和建設(shè)提供決策支持。張正豐從演變的角度剖析了我國高速公路網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)，聯(lián)系復雜網(wǎng)絡(luò)理論研究了區(qū)域差異和節(jié)點連接機制，同時對網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點、形態(tài)和結(jié)構(gòu)的演化等進行了研究。翁小雄等基于多層復雜網(wǎng)絡(luò)對高速公路節(jié)點的重要性進行分析，為高速公路節(jié)點研究提供了新的視角。劉瑞等利用復雜網(wǎng)絡(luò)理論建立了高速公路復雜網(wǎng)絡(luò)模型，從小世界網(wǎng)絡(luò)、中介中心度和網(wǎng)絡(luò)全局效率等3個角度分析了我國高速公路的拓撲特征，通過網(wǎng)絡(luò)可視化手段分析了我國高速公路形態(tài)的演化特征。本文從復雜網(wǎng)絡(luò)理論入手，針對寧夏高速公路路網(wǎng)，以政區(qū)劃分區(qū)縣為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點，結(jié)合各區(qū)縣的地理位置，利用復雜網(wǎng)絡(luò)理論中的統(tǒng)計分析方法分析路網(wǎng)結(jié)構(gòu)的復雜特征和網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的特性，采用刪除法評價高速公路路網(wǎng)的魯棒性，為寧夏高速公路網(wǎng)絡(luò)建設(shè)提供參考。

1 寧夏高速公路網(wǎng)絡(luò)特性分析

目前，寧夏高速公路已實現(xiàn)“縣縣通”，“三環(huán)四縱六橫”的高速公路網(wǎng)也已基本成型。2016年底，寧夏實現(xiàn)了所有縣城通高速公路的目標，成為了全國第11個實現(xiàn)“縣縣通高速”的省份。截至2020年底，寧夏高速公路通車總里程達到了1 946 km，相比2015年新增約420 km，高速公路人口密度位居全國第三位。

一般情況下，實現(xiàn)縣縣通高速的標準是在省級行政區(qū)范圍內(nèi)，所有縣級行政區(qū)的轄域內(nèi)都有高速公路經(jīng)過，并設(shè)有出入口。根據(jù)寧夏高速公路的“縣縣通”情況，考慮收費站所在區(qū)縣與其他地區(qū)連通的可能性，選取收費站所屬區(qū)縣(即18個地級市和縣級市)作為構(gòu)建寧夏高速公路路網(wǎng)的基礎(chǔ)。根據(jù)行政區(qū)劃分得到的18個地級市和縣級市如下：

1) 地級市共有5個，分別為銀川市(西夏區(qū)、金鳳區(qū)、興慶區(qū))、石嘴山市(惠農(nóng)區(qū)、大武口區(qū))、吳忠市(紅寺堡區(qū)、利通區(qū))、固原市(原州區(qū))和中衛(wèi)市(沙坡頭區(qū))；

2) 縣級市共有13個，分別為靈武市、青銅峽市、永寧縣、賀蘭縣、平羅縣、同心縣、鹽池縣、西吉縣、隆德縣、涇源縣、彭陽縣、中寧縣和海原縣。

圖1 寧夏高速公路網(wǎng)絡(luò)拓撲圖

1.1 復雜網(wǎng)絡(luò)拓撲模型構(gòu)建

當前，交通網(wǎng)絡(luò)拓撲模型構(gòu)建方法主要有Space-P、Space-L和Space-R等3種。

1) Space-P建模方法能體現(xiàn)交通網(wǎng)絡(luò)在邏輯上的關(guān)聯(lián)性，即若節(jié)點與節(jié)點在同一條線路上，則認為節(jié)點與節(jié)點存在連接關(guān)系且相鄰，常用來衡量節(jié)點之間轉(zhuǎn)換的便捷程度；

2) Space-L建模方法能真實地體現(xiàn)交通網(wǎng)絡(luò)的物理情況，只有在線路上真正相鄰的2個節(jié)點之間才會存在連邊，保留了高速公路網(wǎng)絡(luò)最基本的拓撲特征；

3) Space-R建模方法在高速公路場景中將不同高速公路路段作為節(jié)點，對研究高速公路路段(如連通性)具有意義，但不適用于本文的高速公路網(wǎng)絡(luò)研究。

因此，為更好地分析高速公路網(wǎng)絡(luò)特征，本文采用Space-L建模方法構(gòu)建寧夏高速公路網(wǎng)絡(luò)。

將上述18個地級市和縣級市作為寧夏高速公路網(wǎng)絡(luò)節(jié)點，采用Space-L建模方法建立網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)。根據(jù)寧夏交通廳網(wǎng)站提供的寧夏高速公路路線基本情況明細表，分析線路規(guī)劃和開通順序，得到寧夏高速公路網(wǎng)絡(luò)拓撲圖見圖1，網(wǎng)絡(luò)拓撲模型中共有18個節(jié)點，節(jié)點之間共有19條無向邊。高速公路網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)可看作由點和線構(gòu)成的拓撲網(wǎng)絡(luò)，由于高速公路各節(jié)點之間是相互連通的，因此在建模過程中不考慮高速公路網(wǎng)絡(luò)線路方向?；趶碗s網(wǎng)絡(luò)理論，將網(wǎng)絡(luò)抽象為=(，) ，建立的網(wǎng)絡(luò)拓撲圖為無向圖，用=(，) 描述一個具有個頂點、條邊的連通圖。={,,…，}, 其中=18，表示頂點的集合，對應高速公路網(wǎng)絡(luò)中的地級市和縣級市；={,,…，},其中=19，對應高速公路網(wǎng)絡(luò)中各地級市和縣級市之間相連接的路段。

1.2 路網(wǎng)特性分析

評價路網(wǎng)結(jié)構(gòu)特征的關(guān)鍵在于確定評價指標，定量地對路網(wǎng)結(jié)構(gòu)的特征進行評估，因此構(gòu)建合理的評價指標體系是科學評價的前提。由于本文中的拓撲圖為無向圖，因此選擇節(jié)點的度和度分布、路徑長度和平均最短路徑、聚類系數(shù)等評價指標對寧夏高速公路網(wǎng)絡(luò)進行分析。

1.2.1 節(jié)點的度和度分布

節(jié)點的度是指與某節(jié)點直接關(guān)聯(lián)的邊的條數(shù)，是網(wǎng)絡(luò)拓撲研究的基礎(chǔ)。如前所述，與某節(jié)點直接關(guān)聯(lián)的越多，該節(jié)點的度就越大，對網(wǎng)絡(luò)的影響越大，該節(jié)點在整個網(wǎng)絡(luò)中越重要。節(jié)點的度的計算公式為

(1)

式(1)中：為路網(wǎng)鄰接矩陣中的元素，取值為0或1，用來表示2個節(jié)點與之間是否存在邊相連，當與之間存在邊相連時，=1，且在無向圖中有=。

度分布(=) 指節(jié)點的度為的節(jié)點個數(shù)(=)占總節(jié)點個數(shù)的比例，即

(=)=(=)

(2)

122 路徑長度與平均最短路徑

路徑長度指連接節(jié)點與的最短路徑需經(jīng)過的邊的個數(shù)，網(wǎng)絡(luò)的直徑為網(wǎng)絡(luò)中任意2個節(jié)點之間距離的最大值。

平均最短路徑指網(wǎng)絡(luò)中全部兩兩節(jié)點對之間最短路徑的平均值，該評價指標可用來度量網(wǎng)絡(luò)節(jié)點間的分散程度，進而客觀地描述復雜網(wǎng)絡(luò)的大小，其計算公式為

(3)

式(3)中：為平均最短路徑；為節(jié)點與節(jié)點之間的最短距離。

在網(wǎng)絡(luò)中對任意2個節(jié)點之間的最短距離的倒數(shù)求和，并對求和結(jié)果取平均值，所得結(jié)果就是網(wǎng)絡(luò)效率。網(wǎng)絡(luò)效率基于路徑長度計算，可在一定程度上作為評估網(wǎng)絡(luò)通行效率和通行能力的指標，其計算公式為

(4)

式(4)中：為網(wǎng)絡(luò)效率。

利用Bellman-Ford算法計算寧夏高速公路網(wǎng)絡(luò)節(jié)點之間的最短路徑，結(jié)果見圖3。寧夏高速公路網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長度為4.366，網(wǎng)絡(luò)效率為0.178。由圖3可知，約80%的路徑數(shù)集中在為最短路徑長度1～6范圍內(nèi)，路網(wǎng)的運輸效率較高。

1.2.3 聚類系數(shù)

在復雜網(wǎng)絡(luò)中，假設(shè)節(jié)點與其他個節(jié)點直接相關(guān)聯(lián)，同時這個節(jié)點之間都通過邊相互連通，則這個節(jié)點之間存在的邊數(shù)為(-1)2。但是，若在實際情況下這個節(jié)點之間只存在條邊，則節(jié)點的聚類系數(shù)()為

(5)

計算網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點聚類系數(shù)的平均數(shù)，所得結(jié)果就是整個網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)，即

(6)

高速公路路網(wǎng)中各區(qū)縣節(jié)點的聚集程度可用聚類系數(shù)表示。一般而言，當前節(jié)點的聚類系數(shù)越大，說明該節(jié)點在整個網(wǎng)絡(luò)中的重要程度越高。圖4為寧夏高速公路網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點聚類系數(shù)，計算得到寧夏高速公路網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)=0098，表明區(qū)縣間聯(lián)系較為緊密，有較好的路網(wǎng)通達性，但有約80%的節(jié)點聚類系數(shù)為0。因此，當網(wǎng)絡(luò)中某個節(jié)點發(fā)生故障時，會導致部分區(qū)間內(nèi)的節(jié)點無法連通，影響路網(wǎng)運輸效率。

圖4 寧夏高速公路網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點聚類系數(shù)

圖5 節(jié)點度值分布擬合

1.2.4 復雜網(wǎng)絡(luò)類型分析

利用復雜網(wǎng)絡(luò)理論研究交通特征并解決交通問題的先決條件是確定復雜網(wǎng)絡(luò)的類型。小世界網(wǎng)絡(luò)的判定條件一般為

≥，?

(7)

式(7)中：為網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長度。的計算公式為

(8)

式(8)中：為網(wǎng)絡(luò)平均節(jié)點度。

為網(wǎng)絡(luò)的平均聚類系數(shù)，其計算公式為

(9)

結(jié)合式(3)、式(6)、式(8)和式(9)，可計算得到=4366，=3868，=0098，=0055。因此，寧夏高速公路網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長度和平均聚類系數(shù)滿足式(7)，從而判斷寧夏高速公路網(wǎng)絡(luò)是一個小世界網(wǎng)絡(luò)。

同時，根據(jù)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點的度繪制寧夏高速公路網(wǎng)絡(luò)的雙對數(shù)分布圖，見圖5。由圖5得到因變量 lg和自變量 lg的線形回歸方程為

lg=-0269 3lg+0342 9

(10)

在無標度網(wǎng)絡(luò)中，根據(jù)冪律分布判定依據(jù)，節(jié)點的度值與度分布之間的關(guān)系為冪律關(guān)系，即lg與lg呈線形關(guān)系，將該特征稱為無標度特征。采用檢驗方法進行顯著性檢驗，計算得到=0574 >0050，認為高速公路網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)不具備無標度特性。因此，寧夏高速公路網(wǎng)絡(luò)不是無標度網(wǎng)絡(luò)。

綜上所述，可判斷寧夏高速公路網(wǎng)絡(luò)符合小世界網(wǎng)絡(luò)特征，但不具備無標度特征。

2 寧夏高速公路網(wǎng)絡(luò)節(jié)點重要性分析

2.1 關(guān)鍵節(jié)點定義

關(guān)鍵節(jié)點對維系路網(wǎng)的功能和結(jié)構(gòu)有重要作用，在高速公路網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中起著非常重要的樞紐作用，能影響整個路網(wǎng)的高效性、可靠性和連通性。因此，分析路網(wǎng)中的關(guān)鍵節(jié)點對于提升路網(wǎng)的運輸效率而言具有重要意義。

試驗中主要從節(jié)點原本的位置和節(jié)點刪除之后對網(wǎng)絡(luò)運輸效率的影響和對網(wǎng)絡(luò)連通性的影響2個方面進行分析，因此本文判斷節(jié)點是否為關(guān)鍵節(jié)點的依據(jù)是，對路網(wǎng)整體運輸效率和路網(wǎng)連通性的表現(xiàn)是否具有重要影響。

2.2 節(jié)點重要度分析

高速公路網(wǎng)絡(luò)節(jié)點之間的連接關(guān)系類似于網(wǎng)頁之間的連接關(guān)系，即節(jié)點的重要度與被連接次數(shù)呈正相關(guān)關(guān)系；同時，節(jié)點的重要度受周圍關(guān)聯(lián)節(jié)點的影響，關(guān)聯(lián)節(jié)點的重要度越高，該節(jié)點的重要度就越高。綜合以上2點，采用PageRank算法對寧夏高速公路網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的重要度進行分析。PageRank算法的基本原理是在有向圖上定義一個隨機游走模型，即一階馬爾可夫鏈，描述隨機游走者沿有向圖隨機訪問各結(jié)點的行為。在一定的條件下，當隨機訪問的次數(shù)足夠多時，訪問每個結(jié)點的概率會收斂到平穩(wěn)分布，這時各結(jié)點的平穩(wěn)概率值就是其PageRank值，表示結(jié)點的重要度，計算公式為

(11)

式(11)中：()為節(jié)點的PageRank值；為阻尼因子，通常取值為085；()為節(jié)點的PageRank值；()為節(jié)點處度的數(shù)量。

由于PageRank算法的適用對象為有向圖，將寧夏高速公路網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)換為雙向網(wǎng)絡(luò)，采用PageRank算法求出各節(jié)點的PageRank值，得到各節(jié)點的重要度排序，見表1。

表1 寧夏高速公路網(wǎng)絡(luò)各節(jié)點的重要度排序

2.3 基于刪除法的魯棒性分析

建立的寧夏高速公路網(wǎng)絡(luò)為無向圖，表示為=(,)，其中：為頂點的集合，對應寧夏18個區(qū)縣；為邊的集合，對應各區(qū)縣之間的連接關(guān)系。正常和失效是路網(wǎng)中的節(jié)點存在的2種情況，在刪除法中，若網(wǎng)絡(luò)中的某個節(jié)點失效，則與該節(jié)點連接的邊同時不可達，即失效，且路網(wǎng)中所有節(jié)點失效的概率是相同的，相互獨立的。

圖G是由節(jié)點和邊組成的，當節(jié)點及與其相關(guān)聯(lián)的邊失效時，會導致圖G的連通性下降，一些節(jié)點對之間的最短路徑變長，最短路徑增長的越多，表明刪除的節(jié)點在網(wǎng)絡(luò)中越處于關(guān)鍵位置，對整個網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的影響越大，該節(jié)點越關(guān)鍵。刪除法通過衡量節(jié)點被刪除之后產(chǎn)生的影響和對網(wǎng)絡(luò)連通性的破壞程度判定該節(jié)點的關(guān)鍵性。

為比較利用刪除法刪除不同節(jié)點之后網(wǎng)絡(luò)連通性的變化狀態(tài)，利用網(wǎng)絡(luò)全局效率評估網(wǎng)絡(luò)的連通性。當某個節(jié)點失效時，與該節(jié)點相關(guān)聯(lián)的邊也會失效，圖G的邊相應減少，網(wǎng)絡(luò)全局效率下降越多，對整個路網(wǎng)的影響越大，表明該節(jié)點在網(wǎng)絡(luò)中越關(guān)鍵。

(12)

對寧夏高速公路網(wǎng)絡(luò)進行整體分析，結(jié)合式(12)計算得到寧夏高速公路網(wǎng)絡(luò)全局效率為0.356。通過依次刪除圖G中的18個節(jié)點，分析各節(jié)點對網(wǎng)絡(luò)全局效率的影響及其關(guān)鍵程度，并計算各節(jié)點失效時的網(wǎng)絡(luò)全局效率值，結(jié)果見圖6。

圖6 刪除單節(jié)點全局效率變化

當采用刪除法刪除西吉縣節(jié)點時，寧夏高速公路網(wǎng)絡(luò)全局效率依舊保持在較高值0.261，相對于初始網(wǎng)絡(luò)全局效率下降約26.92%；當刪除銀川市節(jié)點時，網(wǎng)絡(luò)全局效率下降幅度較大，只有0.216，相對于初始網(wǎng)絡(luò)全局效率下降近40%。結(jié)合圖1可知，西吉縣的節(jié)點度值為1，地理位置偏南，僅與隆德縣相連，進而當刪除該節(jié)點時，對其他節(jié)點的連通性和最短路徑幾乎沒有影響，全局效率依然能保持在較高值，也說明西吉縣在路網(wǎng)中的關(guān)鍵性較差。相對而言，銀川市作為寧夏的省會，是南北連接的重要通道，節(jié)點度值為3，作為交通樞紐中心的能力較強，對寧夏交通中轉(zhuǎn)能起到較大作用。表2為刪除單節(jié)點之后網(wǎng)絡(luò)全局效率變化情況，其節(jié)點的關(guān)鍵性排序與2.2節(jié)中的節(jié)點重要性排序基本相符。結(jié)合圖1可知，節(jié)點的全局效率的下降幅度越大，表明該節(jié)點越關(guān)鍵，一般位于局部路網(wǎng)的中心位置，該節(jié)點失效會造成原先通往該節(jié)點的最短路徑消失，其他節(jié)點之間的連通需通過更多次的路徑選擇和中轉(zhuǎn)才能實現(xiàn)，從而嚴重影響高速公路網(wǎng)絡(luò)的通行能力和效率。當一些關(guān)鍵性的節(jié)點失效時，例如銀川市節(jié)點發(fā)生交通事故、道路檢修等，會出現(xiàn)全局效率值急劇減少的情況。因此，在寧夏高速公路網(wǎng)絡(luò)中，當出現(xiàn)節(jié)點失效的情況時，會表現(xiàn)出非魯棒性，即脆弱性。

表2 基于刪除法的網(wǎng)絡(luò)全局效率變化情況

3 結(jié) 語

本文采用Space-L建模方法構(gòu)建寧夏高速公路網(wǎng)絡(luò)，基于復雜網(wǎng)絡(luò)理論分析網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特征，主要得到以下結(jié)論：

1) 在寧夏高速公路中，根據(jù)小世界網(wǎng)絡(luò)評判公式，判斷寧夏高速公路網(wǎng)絡(luò)屬于小世界網(wǎng)絡(luò)；同時，根據(jù)其節(jié)點度的概率分布檢驗得到>0.05，判斷其不屬于無標度網(wǎng)絡(luò)。

2) 對網(wǎng)絡(luò)中的關(guān)鍵節(jié)點進行定義，通過PageRank算法對節(jié)點的重要性進行分析，發(fā)現(xiàn)并挖掘?qū)幭母咚俟肪W(wǎng)絡(luò)中的重要節(jié)點，從表1中可看出，重要度排名前五的節(jié)點分別是中寧縣、固原市、銀川市、靈武市和吳忠市，這些節(jié)點與附近區(qū)縣節(jié)點連接廣泛，連通能力較強，應加強對這些節(jié)點的關(guān)注，保證網(wǎng)絡(luò)具有良好的通行能力。

3) 采用刪除法對寧夏高速公路網(wǎng)絡(luò)進行魯棒性分析，結(jié)果表明，在一些關(guān)鍵節(jié)點，如銀川市和中寧縣等節(jié)點，其連通能力較強，與周邊節(jié)點聯(lián)系緊密，有著較強的交通能力，但當刪除這些節(jié)點之后，網(wǎng)絡(luò)全局效率急劇下降，網(wǎng)絡(luò)的通行能力大幅下降，在試驗中網(wǎng)絡(luò)會表現(xiàn)出非魯棒性。因此，為提升寧夏高速公路網(wǎng)絡(luò)的魯棒性，應加強對關(guān)鍵節(jié)點的日常維護和安全防護，并制訂事前預防策略，當出現(xiàn)重要節(jié)點失效的情況時，能迅速、最大限度地恢復網(wǎng)絡(luò)的功能。

4) 本文將寧夏高速公路網(wǎng)絡(luò)建模為無向圖，沒有考慮通行方向和對應的車流量、路段通行能力、地緣、經(jīng)濟狀況、省級交界等加權(quán)的影響，在以后的研究中，將結(jié)合加權(quán)因素作進一步的研究。