如何對(duì)等腰三角形中的多解問(wèn)題進(jìn)行分類討論

王元慧

分類討論思想是數(shù)學(xué)中一種化整為零、各個(gè)擊破的解題策略和思想方法.在求解等腰三角形問(wèn)題時(shí)，常常由于已知條件的不確定性，需要通過(guò)分類討論來(lái)解答.對(duì)此，筆者就解答等腰三角形問(wèn)題時(shí)需分類討論的幾種情形進(jìn)行了分析說(shuō)明.

一、頂角與底角不確定

在等腰三角形問(wèn)題中，若已知條件中沒(méi)有對(duì)頂角或底角做出明確的說(shuō)明，此時(shí)需要就這個(gè)已知角是頂角還是底角進(jìn)行分類討論，否則會(huì)出現(xiàn)漏解.

例1若等腰三角形中有一個(gè)內(nèi)角等于40°，則這個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)是（ ）.

A.100° B.70° C.40° D.40°或100°

分析：對(duì)于此題，很多同學(xué)容易把40。的角看成底角，故而錯(cuò)選了A項(xiàng).實(shí)際上，由于給出的40°的已知角并沒(méi)有具體指出該角是頂角還是底角，所以在求解時(shí)需要先分為兩種情形進(jìn)行討論，再利用三角形內(nèi)角和求解.

解：（1）當(dāng)40°的角為這個(gè)等腰三角形的頂角時(shí)，設(shè)底角的度數(shù)為x，

則2x+40 =180.

解得x= 70，

所以另外兩個(gè)角的度數(shù)為70°、70°.

（2）當(dāng)40°的角為這個(gè)等腰三角形的底角時(shí)，設(shè)頂角的度數(shù)為y，

貝4V+2×40= 180，

解得y= 100，

所以頂角的度數(shù)為100°，

綜上所述，這個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)為40°或100°，故正確答案為D項(xiàng).

評(píng)注：解答本題的關(guān)鍵在于分類討論40°是等腰三角形的頂角還是底角.在等腰三角形中，底角只能為銳角，不能為直角或鈍角，因此若題目中指出等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為110°，這里的110°只能作為頂角，而不能作為底角.

二、腰或底邊長(zhǎng)不確定

在求解等腰三角形問(wèn)題時(shí)，若題中已知條件給出了一條邊的邊長(zhǎng)，但沒(méi)有確切地指出這條邊是腰還是底邊，此時(shí)，同學(xué)們要注意分類討論，從而確保答案的完整性和準(zhǔn)確性.

例2已知關(guān)于x的一元二次方程x2 -（3m+2）x +9（m一

）=0有實(shí)數(shù)根，若等腰三角形中，一條邊的邊長(zhǎng)為5，另外兩條邊的長(zhǎng)恰好是這個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根，則該等腰三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)___。

分析：本題是一道等腰三角形與一元二次方程相結(jié)合的綜合題，欲求該等腰三角形的周長(zhǎng)需知曉三條邊長(zhǎng)，然而已知條件只給出一條邊為5，它可能是腰長(zhǎng)為5，也可能是底邊長(zhǎng)為5，所以解答時(shí)需要分兩種情況進(jìn)行討論.

解：（1）若該等腰三角形的腰長(zhǎng)為5，那么x=5則為一元二次方程的一個(gè)根，將x=5代入該方程中，可得m=2，所以原一元二次方程為：x2 -8x+15=0，解得x1=5，x2=3，這樣該等腰三角形的三邊為5，5，3，所以該等腰三角形的周長(zhǎng)為13.

（2）若該等腰三角形的底邊長(zhǎng)為5，那么由一元二次方程有實(shí)數(shù)根可知，△=0，即（3m+2）2 -4×9（m一 ）=9m2 - 24m+ 16= （3m一4）2 =0，解得m=

，所以原一元二次方程為：X2一6x+9=0，解得x1=x2=3，這樣該等腰三角形的三邊為3，3，5，所以該等腰三角形的周長(zhǎng)為11.

綜上所述，該等腰三角形的周長(zhǎng)為13或11.

評(píng)注：當(dāng)確定了等腰三角形三邊后，一定要運(yùn)用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行檢驗(yàn)，看它們能否組成三角形.一般已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)，若較短邊大于較長(zhǎng)邊的一半時(shí)，有兩種情況;若較短邊不大于較長(zhǎng)邊的一半時(shí)，則只?！岸踢厼榈?，長(zhǎng)邊為腰”這種情況.

三、高的位置不確定

在等腰三角形中，當(dāng)頂角是銳角時(shí)，腰上的高在等腰三角形的內(nèi)部;而當(dāng)頂角是鈍角時(shí)，腰上的高則在等腰三角形的外部.所以，在求解有關(guān)等腰三角形問(wèn)題時(shí)，若高的位置不確定，此時(shí)應(yīng)根據(jù)內(nèi)高和外高這兩種情況進(jìn)行分類討論.

例3已知在等腰三角形中，一腰上的高與另一腰的夾角為35°，則該等腰三角形的頂角為_(kāi)___.

分析：此題中由于等腰三角形的形狀不明確，它可能為等腰銳角三角形，也可能為等腰鈍角三角形，這就導(dǎo)致高的位置出現(xiàn)了不確定性，所以該等腰三角形頂角的度數(shù)也不確定，需要進(jìn)行分類討論.

解：（1）當(dāng)?shù)妊切螢殇J角三角形時(shí)，一腰上的高在△ABC內(nèi)部，如圖1所示.

因?yàn)檠系母吲c另一腰的夾角為35°，即∠CAD= 35°.

所以可以得出∠C=180°-90°-35°=55°.

（2）當(dāng)?shù)妊切螢殁g角三角形時(shí)，一腰上的高在腰的延長(zhǎng)線上，也就是△ABC外部，如圖2所示.

因?yàn)檠系母吲c另一腰的夾角為35°，即∠DAC= 35°.

故可知頂角的補(bǔ)角∠DCA= 55°，所以可以得出∠ACB= 180°- 55°=125°.

綜上所述，該等腰三角形的頂角為55°或125°.

評(píng)注：三角形高的位置，往往取決于三角形的形狀.當(dāng)題目中腰上的高關(guān)聯(lián)到等腰三角形的形狀時(shí)，要注意從高在三角形內(nèi)部和外部?jī)煞矫嫒胧郑诸惪紤]問(wèn)題.

總之，分類討論思想在解等腰三角形問(wèn)題中有著廣泛應(yīng)用.在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，同學(xué)們要結(jié)合具體問(wèn)題，靈活應(yīng)用分類討淪思想，從而有效規(guī)避漏解和錯(cuò)解.