義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)教材課后習(xí)題難度比較研究

靳玉竹 劉素紅

摘? ?要：采用綜合難度模型，以義務(wù)教育階段“二次函數(shù)”內(nèi)容為例，對(duì)人教版和北師大版的課后習(xí)題難度進(jìn)行比較研究.通過(guò)數(shù)據(jù)量化教材在“認(rèn)知”“背景”“運(yùn)算”“推理”“知識(shí)含量”以及“與例題的相關(guān)程度”這六個(gè)因素不同水平層次上的體現(xiàn)，探究教材習(xí)題設(shè)置特點(diǎn);用圖形直觀化綜合難度結(jié)果，結(jié)合數(shù)據(jù)與圖形，分析教材，提出教材編寫(xiě)與教學(xué)參考建議.

關(guān)鍵詞：二次函數(shù);難度因素;綜合難度;教材;習(xí)題

1? 引言

1.1? 難度模型

本文選取人教版和北師大版2013年出版的教科書(shū)中，初中“二次函數(shù)”這一章的練習(xí)題、習(xí)題以及章復(fù)習(xí)題，進(jìn)行難度對(duì)比研究.在文獻(xiàn)研究以及大量的實(shí)證調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，影響課后習(xí)題難度的因素，除了已有的研究成果[ 1-2 ]，習(xí)題與例題的關(guān)聯(lián)度也是一個(gè)不可忽視的影響因素.因此，基于鮑建生的[ 1 ]五個(gè)難度因素的難度模型，構(gòu)建了含有六個(gè)難度因素的綜合難度模型;此外在調(diào)查研究中還發(fā)現(xiàn)，影響因素中的“運(yùn)算”“推理”以及“習(xí)題與例體的關(guān)聯(lián)度”，究竟幾步運(yùn)算、幾步推理、幾步關(guān)聯(lián)度使得學(xué)生對(duì)相關(guān)問(wèn)題感到易或者難，是一個(gè)需要分段細(xì)化的步驟.為此，對(duì)鮑建生模型中的相應(yīng)水平層次重新分段量化，對(duì)新增加的影響因素進(jìn)行占比量化;所選取的內(nèi)容中，沒(méi)有涉及“背景因素”中的“公共常識(shí)”背景，故在量化研究中去掉這一因素，最終構(gòu)建了如表1所示的習(xí)題綜合難度模型.

1.2? 量化方法

難度因素水平劃分及賦值：六個(gè)影響因素的水平劃分如表1，每個(gè)水平依次賦值1，2，3.

題目中的難度因素與量化：考察每道題目上六個(gè)影響因素的成分及水平并賦值;計(jì)算每個(gè)影響因素的加權(quán)平均值.加權(quán)平均的計(jì)算公式是：

di=（jn=n，i=1，2，3，4，5，6=1，2，3……其中，di（i=1，2，3，4，5，6）依次表示“認(rèn)知”“背景”“運(yùn)算”“推理”“知識(shí)含量”和“與例題相關(guān)程度”六個(gè)難度因素的加權(quán)平均值，d表示第i個(gè)難度因素的水平j(luò)的權(quán)重，n表示個(gè)數(shù)，總和等于所有題目的個(gè)數(shù)和n.根據(jù)求得的六個(gè)di值，對(duì)兩版教材分別在六個(gè)因素上的難度進(jìn)行分析比較，用圖形直觀反映不同教材難度因素的特點(diǎn)和綜合難度 [ 1 ].

2? 兩版教材習(xí)題的綜合難度分析比較

2.1? 量化結(jié)果

梳理兩版教材中課后習(xí)題，用上述量化方法進(jìn)行賦值計(jì)算，得到結(jié)果如表2.

對(duì)表2數(shù)據(jù)圖形直觀化處理，繪制統(tǒng)計(jì)圖。

2.2? 各因素分析比較

“認(rèn)知”因素如圖1，兩版教材均呈現(xiàn)由高到低的變化趨勢(shì)，都在“識(shí)記”水平的占比最大，在“探索”水平的占比最小;北師大版除了在“識(shí)記”水平的占比遠(yuǎn)低于人教版外，其他水平均高于人教版.在這一因素上，兩版教材充分體現(xiàn)了重視“雙基”的要求.整體上，北師大版在“認(rèn)知”因素上的難度要高于人教版，而這一難度差異主要來(lái)自較高水平層次的認(rèn)知.

“背景”因素如圖2，兩版教材的占比都呈現(xiàn)由高到低的趨勢(shì)，均在“無(wú)實(shí)際背景”的占比最大;北師大版各水平之間的差異小于人教版.總體來(lái)說(shuō)，兩版教材涉及到背景的占比都比較小，沒(méi)有充分體現(xiàn)出《課程標(biāo)準(zhǔn)》中“應(yīng)用意識(shí)”[ 3 ]這一核心概念.

“運(yùn)算”因素如圖3，兩版教材在前三個(gè)水平的占比之和都占據(jù)絕大部分，運(yùn)算步驟越多占比越少，符合認(rèn)知規(guī)律與課程理念.即通過(guò)大量的基本運(yùn)算題目達(dá)到“人人都能得到良好的數(shù)學(xué)教育”[ 3 ]，但是為了讓“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”[ 3 ]，設(shè)置了更高水平的題目.相對(duì)來(lái)說(shuō)，北師大版對(duì)學(xué)生的運(yùn)算水平要求更高.

“推理”因素如圖4，北師大版呈現(xiàn)由高到低的趨勢(shì)，符合認(rèn)知規(guī)律;而人教版在中等推理和復(fù)雜推理上呈現(xiàn)“逆趨勢(shì)”，這不但不符合認(rèn)知規(guī)律，也與其高占比的“無(wú)推理”題目設(shè)計(jì)意圖相悖.整體上，北師大版對(duì)學(xué)生的推理水平要求更高.

“知識(shí)含量”因素如圖5，兩版教材在這一因素的習(xí)題設(shè)計(jì)趨勢(shì)完全一致，占比遞減，符合認(rèn)知規(guī)律.不同之處，人教版對(duì)三個(gè)及以上知識(shí)點(diǎn)的題目設(shè)置較多，這就產(chǎn)生了人教版在這一因素上的難度大于北師大版.

“與例題相關(guān)程度”因素如圖6，兩版教材整體呈現(xiàn)遞減趨勢(shì)，符合教育與認(rèn)知規(guī)律;“強(qiáng)相關(guān)”的題目占比在兩版教材中都是最大的，說(shuō)明兩版教材的大部分習(xí)題都是對(duì)例題的模仿與鞏固.總的來(lái)說(shuō)，北師大版的題目在這一因素下的難度大于人教版，對(duì)學(xué)生的要求也更高.

2.3? 綜合難度

根據(jù)數(shù)據(jù)，繪出反映兩版教材習(xí)題綜合難度的雷達(dá)圖，六個(gè)因素作為六邊形的頂點(diǎn)，中心到頂點(diǎn)的長(zhǎng)度表示相應(yīng)的因素難度;六邊形面積大小，即反映出綜合難度的大小，如圖7.

從雷達(dá)圖上看，北師大版在運(yùn)算因素上難度最高，人教版在知識(shí)含量和運(yùn)算因素上的難度都是最高;北師大版只在知識(shí)含量因素上比人教版難度低，在其他因素上均高于人教版;兩版教材都是在背景因素上難度最低，呈現(xiàn)出嚴(yán)重不足.直觀比較反映習(xí)題綜合難度的六邊形模型面積，北師大版要明顯大于人教版，所以北師大版的教材習(xí)題綜合難度要高于人教版，這與統(tǒng)計(jì)結(jié)果表2的數(shù)據(jù)一致.

3? 結(jié)論與建議

依以上數(shù)據(jù)與分析，對(duì)教材使用和教學(xué)提出以下建議：

兩版教材在“認(rèn)知因素”的“探究”水平、“背景因素”設(shè)置權(quán)重都是最小的.而《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，探究活動(dòng)有利于學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考和合作交流的能力;具有實(shí)際背景的題目可以培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)和解決實(shí)際問(wèn)題的能力[ 3 ] .因此，教師在教學(xué)中，可以考慮在鞏固“雙基”的基礎(chǔ)上，通過(guò)具體的情境、背景、活動(dòng)，加強(qiáng)“基本思想”“基本探究活動(dòng)”，全面體現(xiàn)數(shù)學(xué)“四基”.培養(yǎng)學(xué)生從現(xiàn)實(shí)情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題、分析問(wèn)題、有意識(shí)地用數(shù)學(xué)的方法解決問(wèn)題，通過(guò)“四能”目標(biāo)的達(dá)成，達(dá)到對(duì)核心概念“模型思想”“應(yīng)用意識(shí)”的教學(xué)要求.

兩版教材在“運(yùn)算因素”的權(quán)重都是最大的，對(duì)核心概念“運(yùn)算能力”的體現(xiàn)是相同的.同時(shí)，人教版的知識(shí)含量因素與其運(yùn)算因素權(quán)重均排在第一位，說(shuō)明人教版更注重學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)，這為高中階段的學(xué)科核心素養(yǎng)的獲得奠定良好的基礎(chǔ).教師在充分使用本教材題目的基礎(chǔ)上，可以適當(dāng)甚至少量參考不同教材的題目，依據(jù)實(shí)際情況稍加調(diào)整或變化來(lái)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

對(duì)教材的選取而言，可以研究?jī)砂娼滩?，選取合適的題目給不同水平層次的學(xué)生，讓不同水平層次的學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)[ 4 ]都得到更好的發(fā)展.不同教育水平地區(qū)，可以針對(duì)本地區(qū)的教育水平，選擇更適合本地學(xué)生發(fā)展的教材，或者在不同教材中選取適合的部分內(nèi)容.

對(duì)教材編寫(xiě)者而言，全面考慮教材中習(xí)題設(shè)置與《課程標(biāo)準(zhǔn)》的一致性、影響習(xí)題難度各個(gè)因素的均衡性，“四基”“四能”“十個(gè)核心概念”[ 3 ]在習(xí)題中的滲透性等綜合指標(biāo)及綜合因素，使教材更全面、科學(xué)地體現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)，為教師教學(xué)提供有力的教學(xué)參考.

參考文獻(xiàn)：

[1]鮑建生.中英兩國(guó)初中數(shù)學(xué)期望課程綜合難度的比較[J].全球教育展望，2002，31（9）：48-52.

[2] 徐玉慶，武小鵬.中美新三國(guó)初中數(shù)學(xué)教材習(xí)題綜合難度的比較研究——以“三角形的有關(guān)角”為例[J].教育與教學(xué)研究，2015，29（9）：9-12.

[3] 中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

[4] 李士锜， 吳穎康.數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)[M].上海：華東師范大學(xué)出版社， 2011（4）.