基于諧波狀態(tài)空間的無線電能傳輸系統(tǒng)建模和穩(wěn)定性分析

胡秀芳，王 躍，呂雙慶，趙德林，馬天錄

（西安交通大學(xué)電氣工程學(xué)院，陜西省西安市 710049）

0 引言

基于磁耦合諧振的無線電能傳輸（wireless power transfer，WPT）方式作為一種新型的電能傳輸方式，已在科學(xué)研究和工業(yè)實(shí)踐領(lǐng)域引起了越來越多的關(guān)注［1-4］。在WPT 的優(yōu)點(diǎn)中，最具吸引力的是沒有物理接觸，這使WPT 技術(shù)能夠在電動(dòng)汽車、便攜式設(shè)備、家用電器、工業(yè)生產(chǎn)、生物醫(yī)療和海洋等眾多應(yīng)用中獲得更高的魯棒性、可靠性和移動(dòng)性［5］。

為了補(bǔ)償WPT 系統(tǒng)無功功率和提高系統(tǒng)效率，4 種基本補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)串聯(lián)-串聯(lián)（series-series，SS）補(bǔ)償［6-7］、串 聯(lián)-并 聯(lián)（series-parallel，SP）補(bǔ)償［8］、并聯(lián)-串 聯(lián)（parallel-series，PS）補(bǔ)償［9］和并聯(lián)-并 聯(lián)（parallel-parallel，PP）補(bǔ)償［10］，以及高階補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)，如LCL補(bǔ)償［11］、LCC補(bǔ)償［12-13］等被提出。LCC-S（一次側(cè)LCC、二次側(cè)LC 串聯(lián)）型補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)由于具有發(fā)射線圈電流恒定［13］、對(duì)線圈未對(duì)準(zhǔn)的高度容忍性［14］及輕載或副邊開路時(shí)的高度穩(wěn)定性等優(yōu)點(diǎn)［15］被廣泛應(yīng)用。

精確的動(dòng)態(tài)模型是WPT 系統(tǒng)進(jìn)行控制和穩(wěn)定性分析的基礎(chǔ)。狀態(tài)空間平均（state space averaging，SSA）法［16］自提出以來在變換器建模領(lǐng)域取得了很大的成功。然而，由于在穩(wěn)態(tài)運(yùn)行時(shí)LCCS 型WPT 系統(tǒng)中各電量是交流量，不滿足小紋波假設(shè)，因此不能使用狀態(tài)空間平均法對(duì)其進(jìn)行建模。為了解決這一問題，廣義狀態(tài)空間平均（generalized state-space averaging，GSSA）法［17］、擴(kuò)展描述函數(shù)（extended describing function，EDF）法［18］、耦合模理論［19］以及離散時(shí)間映射［20］等方法被應(yīng)用。廣義狀態(tài)空間平均法和擴(kuò)展描述函數(shù)法在建模過程中僅保留狀態(tài)變量的直流量和基波分量，而該簡化處理會(huì)帶來較大誤差，尤其是在諧波失真較大的情況下［20］。耦合模理論只能描述具有低耦合系數(shù)的系統(tǒng)，同時(shí)對(duì)WPT 系統(tǒng)中的高階補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)建模較為困難。離散時(shí)間映射以開關(guān)周期為采樣間隔，將WPT 系統(tǒng)的狀態(tài)變量從一個(gè)采樣時(shí)刻映射到下一個(gè)采樣時(shí)刻。該模型保留了低頻次與開關(guān)頻次所有的信息，具有較高的精確度。但是當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行復(fù)雜時(shí)，該方法需要很多數(shù)值運(yùn)算來建立模型，分析過程相當(dāng)煩瑣，限制了其推廣應(yīng)用［21］。

諧波狀態(tài)空間（harmonic state space，HSS）建模方法針對(duì)周期性時(shí)變的系統(tǒng)，其主要思想是用頻域中的線性時(shí)不變（linear time-invariant，LTI）系統(tǒng)來表示時(shí)域中的線性周期時(shí)變系統(tǒng)［22-23］。該方法可以得到包含所有諧波分量的HSS 方程，無論是系數(shù)矩陣、狀態(tài)變量還是輸入變量均采用傅里葉系數(shù)進(jìn)行表示，易于擴(kuò)展到任意次諧波［24-26］，而且可以很好地描述各次諧波的頻率耦合機(jī)制。由于HSS 建模方法考慮了系統(tǒng)中各次諧波的相互耦合作用，具有更高的精確度，已被廣泛應(yīng)用于Buck 變換器［27］、Buck-Boost 變換器［28］、模塊化多電平換流 器（modular multilevel converter，MMC）［29］等。

目前，已有文獻(xiàn)指出控制器參數(shù)［30］、延時(shí)［31-32］以及硬件參數(shù)［33］對(duì)電力電子系統(tǒng)的穩(wěn)定性有較大的影響。文獻(xiàn)［30］基于分岔圖，分析了雙有源橋式直流變換器在采用比例控制的情況下，比例系數(shù)和輸出電容等效串聯(lián)電阻對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響規(guī)律。文獻(xiàn)［31］分析了控制器參數(shù)和延時(shí)對(duì)MMC 系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，文獻(xiàn)［33］探究了Buck 變換器中控制器參數(shù)、負(fù)載和電感對(duì)穩(wěn)定性的影響。然而，對(duì)于WPT系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題研究甚少。

本文基于HSS 理論對(duì)LCC-S 型WPT 系統(tǒng)進(jìn)行建模和穩(wěn)定性研究。首先，介紹了HSS 建模方法的原理，推導(dǎo)出基于HSS 方程的LCC-S 型WPT 系統(tǒng)的模型；其次，根據(jù)該方法建立了基于五階Pade近似等值延時(shí)環(huán)節(jié)的LCC-S 型WPT 系統(tǒng)的閉環(huán)狀態(tài)空間模型；之后，在考慮延時(shí)的基礎(chǔ)上，采用系統(tǒng)矩陣特征值分析的方法，探究了控制器參數(shù)和硬件參數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響規(guī)律；最后，通過仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該模型的有效性以及理論分析的正確性。此建模過程對(duì)任何其他諧振變換器均有效。

1 LCC-S 型WPT 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運(yùn)行特性

LCC-S 型WPT 系統(tǒng)電路拓?fù)淙鐖D1 所示，由全橋逆變器、諧振網(wǎng)絡(luò)和全橋整流器組成。圖1 中:Uin為輸入電壓；uAB為逆變器輸出電壓；Lp和Cp分別為發(fā)射側(cè)并聯(lián)補(bǔ)償電感和電容；L1為發(fā)射線圈電感；C1為發(fā)射側(cè)串聯(lián)補(bǔ)償電容；L2為接收線圈電感；C2為接收側(cè)串聯(lián)補(bǔ)償電容；Cf為輸出濾波電容；ip、i1、i2分別為流過電感Lp、L1和L2的電流，if為流過電容Cf的電 流；up、u1、u2和uf分別為電容Cp、C1、C2和Cf的電壓；uCD為整流橋輸入電壓；irect為整流橋輸出直流電流；RL為負(fù)載電阻；Uo為負(fù)載電壓；io為負(fù)載電流；M為線圈間的互感；Uref為輸出參考電壓；Rp為Lp的等效串聯(lián)電阻和金屬-氧化物半導(dǎo)體場效應(yīng)晶體管（MOSFET）的導(dǎo)通電阻之和；R1為L1和C1的等效串聯(lián)電阻之和；Rc為Cp的等效串聯(lián)電阻；R2為L2、C2的等效串聯(lián)電阻以及整流二極管的導(dǎo)通電阻之和；Rf為Cf的等效串聯(lián)電阻；VM 表示輸出電壓檢測模塊；A/D 表示將模擬輸出電壓信號(hào)轉(zhuǎn)換為數(shù)字電壓信號(hào)；PWM 表示脈寬調(diào)制；φpre為通過控制器計(jì)算出的移相角；φ為φpre經(jīng)過控制延時(shí)之后的移相角。系統(tǒng)的工作頻率為fs。

圖1 LCC-S 型WPT 系統(tǒng)電路拓?fù)銯ig.1 Circuit topology of an LCC-S compensated WPT system

對(duì)于LCC-S 型WPT 系統(tǒng)，在系統(tǒng)工作角頻率ω1=2πfs下，系統(tǒng)運(yùn)行的諧振條件如式（1）所示。

WPT 系統(tǒng)的控制策略基本可以分為3 類。第1 類為原邊控制，通過改變逆變器的工作頻率或固定頻率下調(diào)節(jié)移相角/占空比來實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)輸出電壓或功率的調(diào)節(jié)，還可以通過增加額外的DC/DC變換器調(diào)節(jié)逆變器輸入電壓的幅值。第2 類為副邊控制，通過增加額外的DC/DC 變換器或者基于有源整流實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)。第3 類為雙邊控制，主要結(jié)合原邊控制和副邊控制中的方法實(shí)現(xiàn)，如增加雙邊DC/DC 變換器、雙移相等。在WPT 系統(tǒng)中，移相控制作為一種典型的控制方式被廣泛采用，因此本文以采用比例-積分（PI）控制器的移相控制下的LCC-S 型WPT 系統(tǒng)為例，探究系統(tǒng)中存在的不穩(wěn)定現(xiàn)象。在移相控制下，開關(guān)管S1與S2、S3與S4開關(guān)狀態(tài)分別互補(bǔ)，并且每個(gè)開關(guān)管的占空比均為50%，S1與S3之間的移相角為φ，穩(wěn)態(tài)時(shí)LCC-S 型WPT 系統(tǒng)主要工作波形如圖2 所示，其中Ts為開關(guān)周期，n=0，1，2，…。

圖2 穩(wěn)態(tài)時(shí)LCC-S 型WPT 系統(tǒng)主要工作波形Fig.2 Main working waveforms of LCC-S compensated WPT system at steady state

根據(jù)圖1，建立系統(tǒng)微分方程為:

系統(tǒng)中包含3 個(gè)非線性項(xiàng)，分別是逆變器輸出電壓uAB、整流橋輸入電壓uCD和整流橋輸出直流電流irect，將其定義為:

式中:x（t）為狀態(tài)變量；u（t）為輸入變量；y（t）為輸出變量；A（t）為狀態(tài)矩陣；B（t）為輸入矩陣；C（t）為輸出矩陣；D（t）為前饋矩陣。以上各個(gè)量的具體表達(dá)式見附錄A 式（A2）—式（A8）。

式（13）是一個(gè)非線性時(shí)變系統(tǒng)，需要轉(zhuǎn)變?yōu)長TI 系統(tǒng)才能便于分析。而使用HSS 方程的建模方法可以將式（13）轉(zhuǎn)變?yōu)樗璧腖TI 系統(tǒng)，具體變換過程見第2 章。

2 基于HSS 方程的LCC-S 型WPT 系統(tǒng)建模

2.1 HSS 方程原理

HSS 方程屬于一種在頻域中建立的數(shù)學(xué)模型，它可以將時(shí)域中周期變化的信號(hào)表示成為頻域中的定常數(shù)，因此，HSS 方程可以描述LTI 系統(tǒng)。

HSS 方程基于傅里葉級(jí)數(shù)原理，即任何周期性的時(shí)變信號(hào)都可以展開成傅里葉級(jí)數(shù)的形式。如基波周期為T的周期函數(shù)x（t）的傅里葉級(jí)數(shù)為:

式中:ω1=2π/T；Xh為傅里葉系數(shù)；h為諧波次數(shù)。

狀態(tài)變量x（t）可寫成指數(shù)調(diào)制周期（exponential modulation period，EMP）信號(hào)來體現(xiàn)波形的瞬時(shí)變化，如式（15）所示。

式中:s為拉普拉斯算子。

基于式（14）所示的復(fù)數(shù)形式的傅里葉變換以及式（15）所示的額外將狀態(tài)變量表示為EMP 信號(hào)的形式，則可以將時(shí)域狀態(tài)空間方程式（13）轉(zhuǎn)化為頻域中的LTI 的HSS 方程［22，34］，如式（16）所示:

式中:Xh、Uh和Ah分別為式（13）中x（t）、u（t）和A（t）的h次諧波的傅里葉系數(shù)；A是一種由各個(gè)子矩陣拼接成的特殊的矩陣形式，即Toeplitz 矩陣，它由矩陣A（t）的各次諧波的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)組成；I為與矩陣A（t）階數(shù)相同的單位矩 陣；B、C和D也是Toeplitz矩陣，它們的元素Bh、Ch和Dh分別為矩陣B（t）、C（t）和D（t）的h次諧波的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)。

式（16）中HSS 方程的穩(wěn)態(tài)解可表示如下:

進(jìn)一步，將得到的式（21）所示的解代入傅里葉級(jí)數(shù)展開式（14）中，即可得到時(shí)域中的解x（t）。

2.2 基于HSS 方程的LCC-S 型WPT 系統(tǒng)大信號(hào)模型

逆變器輸出電壓波形如圖2 所示。對(duì)于式（10）中的SAB(t)，利用傅里葉級(jí)數(shù)展開可得:

整流橋輸入電壓、電流波形如圖2 所示。整流橋輸入電壓uCD的符號(hào)取決于整流橋輸入電流i2的方 向。若i2為正，則uCD=Uo，若i2為負(fù)，則uCD=-Uo，即uCD=sgn（i2）Uo。對(duì)于式（11）中的SCD，利用傅里葉級(jí)數(shù)展開可得:

根據(jù)2.1 節(jié)介紹的HSS 方程原理，可以方便地把第1 章中建立的LCC-S 型WPT 系統(tǒng)的時(shí)域狀態(tài)空間方程式（13）轉(zhuǎn)化為HSS 方程式（16），其中元素Xh、Uh、Yh、Ah、Bh、Ch和Dh的具體表達(dá)式見附錄A 式（A9）—式（A21）。

2.3 基于HSS 方程的LCC-S 型WPT 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)模型

式（16）表示W(wǎng)PT 系統(tǒng)的大信號(hào)模型。大信號(hào)模型同時(shí)包含穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn)和小信號(hào)模型。該模型是LTI 系統(tǒng)，可以使用經(jīng)典控制理論進(jìn)行分析。該模型可計(jì)算得到0至h次諧波的信息。

HSS 方程式（16）的穩(wěn)態(tài)解可表示如下:

2.4 基于HSS 方程的LCC-S 型WPT 系統(tǒng)小信號(hào)動(dòng)態(tài)模型

由于本文需要通過小信號(hào)動(dòng)態(tài)模型得到控制變量φ到輸出變量Uo的傳遞函數(shù)，因此分別對(duì)式（23）中的變量φ、式（13）中的狀態(tài)變量x和輸出變量Uo在某一穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn)處引入小信號(hào)擾動(dòng)，如式（29）—式（31）所示。

式中:頂標(biāo)“＾”表示小信號(hào)擾動(dòng)，下同。

將式（29）—式（31）代入大信號(hào)模型式（13）中，忽略其中的高次分量，僅保留一次線性化分量，可以得出LCC-S 型WPT 系統(tǒng)小信號(hào)模型為:

整理式（32）—式（39），可寫出開環(huán)控制模式下LCC-S 型WPT 系統(tǒng)的小信號(hào)模型:

通過建立的小信號(hào)動(dòng)態(tài)模型，可以得到開環(huán)控制模式下系統(tǒng)的諧波傳遞函數(shù)（harmonic transfer function，HTF）。諧波傳遞函數(shù)［27］通過輸入變量和輸出變量的傅里葉系數(shù)來描述輸入到輸出的關(guān)系，表示為:

諧波傳遞函數(shù)代表線性時(shí)間周期(LTP）系統(tǒng)的輸入、輸出關(guān)系，諧波傳遞函數(shù)的顯著特征是G0（s）與LTI 模型的頻率響應(yīng)特征相同，其中，G0（s）表示移相角φ到輸出電壓Uo的直流分量的傳遞函數(shù)。因此，在一個(gè)坐標(biāo)中包括其他諧波頻率響應(yīng)的LTP模型可以顯示比LTI 模型更精確的響應(yīng)。

3 基于HSS 模型的穩(wěn)定性分析

3.1 閉環(huán)控制系統(tǒng)建模

本文中，數(shù)字控制閉環(huán)系統(tǒng)框圖如圖3 所示，其中:GPI（s）為PI 控制器的傳遞函數(shù)；Gd（s）為硬件延時(shí)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)；Gc（s）為數(shù)字控制器引入的延時(shí)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)；Gb（s）為被控對(duì)象，即移相角到輸出電壓的傳遞函數(shù)。

圖3 數(shù)字控制閉環(huán)系統(tǒng)框圖Fig.3 Block diagram of digital controlled closed-loop system

對(duì)于積分環(huán)節(jié)，將引入額外的狀態(tài)變量xi:

PI 控制器的輸出信號(hào)φpre可表示為:

式中:kp和ki分別為PI 控制器的比例與積分系數(shù)。

在WPT 系統(tǒng)中，不可避免地會(huì)引入延時(shí)環(huán)節(jié)，主要包括硬件延時(shí)和數(shù)字控制器引入的采樣延時(shí)、計(jì)算延時(shí)以及PWM 延時(shí)等。在本文中，硬件延時(shí)主要包括電壓檢測電路的延時(shí)、MOSFET 驅(qū)動(dòng)電路的延時(shí)以及MOSFET 開通與關(guān)斷的延時(shí)，延時(shí)時(shí)間用Td表示，實(shí)際測量Td=87 μs。Gd(s)表達(dá)式為:

數(shù)字控制器由于采用離散實(shí)現(xiàn)方式，工程上通常選擇1.5 倍的采樣周期作為延時(shí)的大小，采樣周期等于開關(guān)周期Ts時(shí)，延時(shí)環(huán)節(jié)可表示為:

在本文中，引入了五階Pade 近似［34］等效系統(tǒng)的延時(shí)環(huán)節(jié)，狀態(tài)變量標(biāo)記為xd1至xd5。因此，可較容易地推導(dǎo)出控制系統(tǒng)的小信號(hào)模型，此處不再具體給出。

3.2 閉環(huán)控制模式下LCC-S 型WPT 系統(tǒng)建模

為了建立閉環(huán)控制模式下LCC-S 型WPT 系統(tǒng)的小信號(hào)模型，將開環(huán)控制模式下系統(tǒng)的模型和控制系統(tǒng)模型集成到一個(gè)狀態(tài)空間方程中，即可得到閉環(huán)控制模式下系統(tǒng)的小信號(hào)模型:

將式（48）轉(zhuǎn)化為HSS 方程，得到閉環(huán)控制模式下，基于HSS 方程的LCC-S 型WPT 系統(tǒng)的小信號(hào)模型為:

3.3 穩(wěn)定性分析

在本節(jié)中，將使用3.2 節(jié)中建立的小信號(hào)模型分析控制器參數(shù)以及硬件參數(shù)對(duì)WPT 系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

1）控制器參數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

將PI 控制器積分系數(shù)ki設(shè)置為10，延時(shí)時(shí)間Td為87μs的情況下，kp以0.01的步長由0.1增大到0.15，系統(tǒng)的特征值軌跡如附錄B 圖B1 所示。由圖B1 可知，當(dāng)控制器比例系數(shù)kp=0.13 時(shí)，特征值的實(shí)部從負(fù)變?yōu)檎?，一?duì)特征值（82.398±j5 360.3）出現(xiàn)在右半平面，系統(tǒng)進(jìn)入不穩(wěn)定狀態(tài)。該特征值對(duì)應(yīng)的振蕩周期為（2π/5 360.3）s≈1.172 ms。

將PI 控制器積分系數(shù)ki設(shè)置為100，延時(shí)時(shí)間Td為87 μs 的情況下，kp以0.01 的步長由0.08 增大到0.13，系統(tǒng)的特征值軌跡如附錄B 圖B2 所示。由圖B2 可知，當(dāng)控制器比例系數(shù)kp=0.11 時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入不穩(wěn)定狀態(tài)。一對(duì)特征值（89.025±j4 993.6）出現(xiàn)在右半平面中，該特征值對(duì)應(yīng)的振蕩周期為（2π/4 993.6）s≈1.26 ms。

綜合以上分析，由附錄B 圖B1 和圖B2 可得，在積分系數(shù)ki一定的情況下，對(duì)于閉環(huán)控制WPT 系統(tǒng)，增加比例系數(shù)kp，系統(tǒng)失穩(wěn)的風(fēng)險(xiǎn)也隨之提升。對(duì)比圖B1 和圖B2 可知，在比例系數(shù)kp一定的情況下，積分系數(shù)越大，系統(tǒng)越容易失穩(wěn)。

2）硬件參數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

當(dāng)WPT 系統(tǒng)在運(yùn)行過程中，互感M和負(fù)載電阻RL易發(fā)生變化，因此分析互感M和負(fù)載電阻RL對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響規(guī)律至關(guān)重要。如附錄B 圖B3 所示，基于互感M、負(fù)載電阻RL和比例系數(shù)kp的變化，依據(jù)系統(tǒng)特征值實(shí)部的最大值是否為正，計(jì)算出系統(tǒng)穩(wěn)定性的三維圖。為了更好地解釋互感M和負(fù)載電阻RL對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，將三維圖投影為二維，如附錄B 圖B4 所示。由圖B4（a）可得，比例系數(shù)kp一定時(shí)，隨著RL的增加，系統(tǒng)的穩(wěn)定性降低；由圖B4（b）可得，比例系數(shù)kp一定時(shí)，隨著M的增加，系統(tǒng)的穩(wěn)定性也降低。結(jié)合以上分析結(jié)果，減小負(fù)載RL或減小互感M有助于提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

4 仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所提模型的準(zhǔn)確性，搭建系統(tǒng)仿真和實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，參數(shù)如附錄B 表B1 所示，本文仿真和實(shí)驗(yàn)均采用此參數(shù)。

在實(shí)驗(yàn)室中搭建系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)樣機(jī)，如圖4 所示。實(shí)驗(yàn)樣機(jī)包括直流電源、全橋逆變器、LCC-S 諧振網(wǎng)絡(luò)、全橋整流器和電子負(fù)載。

圖4 LCC-S 型WPT 系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)樣機(jī)Fig.4 Experimental prototype of LCC-S compensated WPT system

4.1 穩(wěn)態(tài)模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文提出的HSS 模型的精確度，將HSS 模型與非線性時(shí)域仿真模型的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，其中在MATLAB/Simulink 中實(shí)現(xiàn)了非線性時(shí)域仿真模型，然后通過使用MATLAB 中的m 文件來執(zhí)行HSS 模型。LCC-S 型WPT 系統(tǒng)的HSS 模型中考慮的諧波次數(shù)為3。HSS模型與仿真模型、EDF模型及GSSA模型對(duì)比圖如附錄B圖B5所示，可以看出HSS 模型與時(shí)域仿真模型的結(jié)果具有很好的匹配性，這表明本文提出的LCC-S 型WPT系統(tǒng)的HSS 模型能夠捕獲電感電流和電容電壓中的所有穩(wěn)態(tài)諧波，并且足夠準(zhǔn)確地用于穩(wěn)態(tài)諧波研究。

4.2 大信號(hào)模型驗(yàn)證

2.2 節(jié)中得出的大信號(hào)模型可以預(yù)測LCC-S 型WPT 系統(tǒng)中電流和電壓波形的包絡(luò)。為了驗(yàn)證該模型，WPT 系統(tǒng)運(yùn)行在開環(huán)控制模式的某一穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn)處，分別進(jìn)行移相角階躍和負(fù)載階躍。附錄B圖B6 給出了在負(fù)載電阻RL=10 Ω 的情況下，移相角從0.5π 階躍變化至π 時(shí)，電感電流ip、輸出電壓Uo的預(yù)測大信號(hào)模型（包絡(luò)）和仿真模型的波形對(duì)比。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如附錄B 圖B7 所示，可以看出，該模型在穩(wěn)態(tài)以及瞬態(tài)條件下都能很好地預(yù)測包絡(luò)，且與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致。

在移相角φ=0.8π 時(shí)，進(jìn)行負(fù)載階躍實(shí)驗(yàn)，附錄B 圖B8 給出了在負(fù)載電阻從10 Ω 階躍變化至20 Ω時(shí)，電感電流ip、輸出電壓Uo的預(yù)測大信號(hào)模型（包絡(luò)）和仿真模型的波形對(duì)比。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如附錄B 圖B9 所示，可以看出，模型可以很好地反映負(fù)載階躍的動(dòng)態(tài)特性，且與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致。

綜合以上分析，理論、仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果十分吻合，驗(yàn)證了大信號(hào)模型的準(zhǔn)確性。所建立的大信號(hào)模型準(zhǔn)確地預(yù)測了動(dòng)態(tài)過程中高速變化的電壓、電流動(dòng)態(tài)過程。準(zhǔn)確的模型有利于分析WPT 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能，準(zhǔn)確地預(yù)測系統(tǒng)高速動(dòng)態(tài)變化的電壓、電流應(yīng)力情況，輔助系統(tǒng)參數(shù)設(shè)計(jì)。

4.3 小信號(hào)模型驗(yàn)證

線性化小信號(hào)模型中包含了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn)附近的動(dòng)態(tài)特性信息。利用小信號(hào)模型可以獲得系統(tǒng)傳遞函數(shù)。精確的小信號(hào)模型是對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)和穩(wěn)定性分析的關(guān)鍵。

由建立的小信號(hào)模型可以獲得控制量到輸出量的傳遞函數(shù)，在該系統(tǒng)中，控制量為移相角φ，輸出電壓Uo通過調(diào)節(jié)控制量而變化。因此，重要的是導(dǎo)出的小信號(hào)模型必須能夠預(yù)測控制量到輸出電壓的傳遞函數(shù)。為了驗(yàn)證導(dǎo)出的小信號(hào)模型，將第2 章中HSS 模型預(yù)測的開環(huán)波特圖與實(shí)驗(yàn)得到的開環(huán)波特圖進(jìn)行了比較。附錄B 圖B10 給出了移相角φ到輸出電壓Uo的波特圖，該結(jié)果表明，HSS 模型預(yù)測的波特圖與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合。

4.4 穩(wěn)定性驗(yàn)證

為驗(yàn)證3.3 節(jié)理論分析的正確性，將理論分析結(jié)果與MATLAB/Simulink 仿真結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比以觀察系統(tǒng)的不穩(wěn)定現(xiàn)象。

首先，分析控制器參數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。延時(shí)時(shí)間Td為87 μs，ki設(shè)置為10，t＜0.3 s 時(shí)，kp大小為0.11，系統(tǒng)運(yùn)行在穩(wěn)定狀態(tài)，t=0.3 s時(shí)kp由0.11階躍至0.13，此時(shí)時(shí)域仿真模型中ip和Uo的波形如附錄B 圖B11 所示。該工況下的實(shí)驗(yàn)波形如圖5 所示，可以看到系統(tǒng)出現(xiàn)低頻振蕩現(xiàn)象。

圖5 控制器參數(shù)階躍變化實(shí)驗(yàn)波形(ki=10)Fig.5 Experimental waveforms with step change of controller parameters (ki=10)

同理，延時(shí)時(shí)間Td為87 μs，系統(tǒng)在ki=100 的工況下運(yùn)行，t=0.3 s時(shí)kp由0.09 階躍變化至0.11，此時(shí)時(shí)域仿真模型中ip和Uo的波形如附錄B 圖B12 所示。該工況下的實(shí)驗(yàn)波形如圖6 所示。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果與3.3 節(jié)理論分析結(jié)果基本一致，驗(yàn)證了系統(tǒng)發(fā)生低頻振蕩風(fēng)險(xiǎn)隨比例系數(shù)或者積分系數(shù)的增大而提升這一結(jié)論。

圖6 控制器參數(shù)階躍變化實(shí)驗(yàn)波形(ki=100)Fig.6 Experimental waveforms with step change of controller parameters (ki=100)

負(fù)載或互感突變情況下的實(shí)驗(yàn)波形分別如圖7（a）和（b）所示。圖7（a）中，系統(tǒng)運(yùn)行在kp=0.13、ki=10和M=30.15 μH 的工況下，負(fù)載電阻從10 Ω 階躍到7 Ω。對(duì)于負(fù)載階躍變化，ip和Uo從不穩(wěn)定狀態(tài)過渡到穩(wěn)定狀態(tài)。圖7（b）驗(yàn)證了互感對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。在kp=0.13、ki=10和RL=10 Ω 的條件下，通過改變初級(jí)線圈和次級(jí)線圈之間的相對(duì)位置來改變互感，使互感從30.15 μH 階躍變化到27.712 5 μH。如實(shí)驗(yàn)結(jié)果所示，對(duì)于互感變化，可得出相同的結(jié)論。因此，減小負(fù)載電阻RL或互感M可以增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

圖7 硬件參數(shù)階躍變化實(shí)驗(yàn)波形(ki=10)Fig.7 Experimental waveforms with step change of hardware parameters (ki=10)

為了進(jìn)一步驗(yàn)證負(fù)載和互感對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，在不同負(fù)載和互感條件下分別進(jìn)行驗(yàn)證。附錄B 圖B13（a）中，系統(tǒng)運(yùn)行在Td=87 μs、ki=10、M=30.15 μH和RL=7 Ω 的工況下，當(dāng)階躍標(biāo)志位由低電平變?yōu)楦唠娖綍r(shí)，kp由0.14 階躍變化至0.16，系統(tǒng)從穩(wěn)定狀態(tài)進(jìn)入不穩(wěn)定狀態(tài)。在其他運(yùn)行條件相同的情況下，改變負(fù)載電阻進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。當(dāng)RL=17 Ω時(shí)，在階躍標(biāo)志位由低電平變?yōu)楦唠娖綍r(shí)，kp由0.09階躍變化至0.11，實(shí)驗(yàn)波形如圖B13（b）所示，系統(tǒng)從穩(wěn)定狀態(tài)進(jìn)入不穩(wěn)定狀態(tài)。對(duì)比圖B13（a）和（b）可知，負(fù)載電阻較大時(shí)，比例系數(shù)kp的范圍更小，更易失去穩(wěn)定。

系統(tǒng)運(yùn)行在Td=87 μs、ki=10、RL=10 Ω和M=27.92 μH 的工況下，當(dāng)階躍標(biāo)志位由低電平變?yōu)楦唠娖綍r(shí)，kp由0.155 階躍變化至0.18，系統(tǒng)進(jìn)入不穩(wěn)定狀態(tài)，實(shí)驗(yàn)波形如附錄B 圖B14 所示。對(duì)比圖5和圖B14 可知，互感較大時(shí)，比例系數(shù)kp的范圍更小，更易失去穩(wěn)定。

為了驗(yàn)證HSS 模型的精確性，將HSS 模型、GSSA 模型和EDF 模型進(jìn)行穩(wěn)定性方面的對(duì)比。在PI 控制器積分系數(shù)ki=10、延時(shí)時(shí)間Td=87 μs 的工況下，將kp以0.01 的步長由0.1 增大到0.15，3 種模型的特征值軌跡如附錄B 圖B15 所示。當(dāng)特征值的實(shí)部從負(fù)變?yōu)檎龝r(shí)，特征值出現(xiàn)在右半平面，系統(tǒng)進(jìn)入不穩(wěn)定狀態(tài)。由圖B15 可知，EDF 模型的比例系數(shù)kp的預(yù)測值大于0.13，GSSA 模型中kp的預(yù)測值為0.127，HSS 模型中kp的預(yù)測臨界值為0.122。選取kp=0.123 進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，系統(tǒng)運(yùn)行在ki=10、Td=87 μs、M=30.15 μH、RL=10 Ω 的工況下，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如附錄B 圖B16 所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，EDF 模型的精確度較低，而HSS 模型的精確度最高。

本節(jié)仿真與實(shí)驗(yàn)波形清楚地描繪了LCC-S 型WPT 系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入不穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生低頻振蕩，此時(shí)系統(tǒng)中電壓和電流的幅值增大，這種現(xiàn)象會(huì)增加器件的應(yīng)力，甚至損壞器件。由于系統(tǒng)寄生參數(shù)、死區(qū)效應(yīng)等因素的影響，仿真與實(shí)驗(yàn)波形中低頻振蕩的周期與理論有一定的偏差。

5 結(jié)語

本文基于HSS 理論對(duì)LCC-S 型WPT 系統(tǒng)進(jìn)行建模和穩(wěn)定性研究。通過HSS 方程建立了系統(tǒng)的大信號(hào)、穩(wěn)態(tài)和小信號(hào)模型，建模過程中考慮了諧波間的相互耦合，同時(shí)通過將HSS 模型與Simulink仿真模型和實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了所建模型的準(zhǔn)確性。在考慮延時(shí)的基礎(chǔ)上，建立了閉環(huán)控制模式下系統(tǒng)的模型，分析了控制器參數(shù)和硬件參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響規(guī)律，得到以下結(jié)論:

1）比例系數(shù)kp和積分系數(shù)ki對(duì)穩(wěn)定性有重要影響，在WPT 系統(tǒng)中，當(dāng)kp或ki較大時(shí)系統(tǒng)失穩(wěn)的可能性增大；

2）輕載或互感較大時(shí)，系統(tǒng)易趨于不穩(wěn)定。

本文提出的LCC-S 型WPT 系統(tǒng)的建模和穩(wěn)定性分析方法同樣適用于任何其他補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)，可為系統(tǒng)參數(shù)和控制器參數(shù)設(shè)計(jì)提供依據(jù)。實(shí)際應(yīng)用中，由于電路元件的老化效應(yīng)、線圈位置的變化或者負(fù)載阻抗的變化，實(shí)際元件參數(shù)可能會(huì)發(fā)生變化。當(dāng)參數(shù)的測量在技術(shù)上比較困難時(shí)，采用原有模型進(jìn)行系統(tǒng)建模會(huì)存在一定的誤差，導(dǎo)致對(duì)失穩(wěn)現(xiàn)象的分析不夠精確，因此工程中有必要對(duì)參數(shù)變化的系統(tǒng)進(jìn)行建模，參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)模型以及穩(wěn)定性分析的影響有待進(jìn)一步研究。

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