勢(shì)問(wèn)題維數(shù)分裂無(wú)單元Galerkin法影響因子的研究

李艷芳，孟智娟，李興國(guó)，任紅萍

(太原科技大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030024)

無(wú)網(wǎng)格方法[1]解決問(wèn)題時(shí)，只需要節(jié)點(diǎn)信息，不需要?jiǎng)澐志W(wǎng)格，是有限元法后一種重要的方法。上個(gè)世紀(jì)70年代，Lucy等人第一次提出了光滑粒子法[2]，并用這種方法研究了液體流動(dòng)等問(wèn)題，由于該方法不夠穩(wěn)定，故Lancaster等提出了移動(dòng)最小二乘法(MLS法)[3-4]，該方法求出的逼近函數(shù)具有較高的計(jì)算精度、光滑度也比較好，并在求解微分方程邊值問(wèn)題中得到應(yīng)用。1992年，Nayroles等人根據(jù)MLS法，提出了擴(kuò)散單元法[5-6]。在此之后，Belytschko等人在擴(kuò)散單元法的基礎(chǔ)上提出了無(wú)單元Galerkin方法(EFG)[7-8]，接著解決了裂紋擴(kuò)展和大變形等三維問(wèn)題。張飛[9]對(duì)勢(shì)問(wèn)題用EFG方法和IEFG方法進(jìn)行了對(duì)比研究。

后來(lái)，李東明等人建立了復(fù)變量無(wú)單元Galerkin方法(CVEFG)[10]，并分析了彈性大變形問(wèn)題。為了方便施加邊界條件，任紅萍等人提出了插值型EFG方法[11-12]，并解決了波動(dòng)方程等問(wèn)題。但在用該方法解決三維問(wèn)題時(shí)，計(jì)算效率比較低，會(huì)花費(fèi)較長(zhǎng)的計(jì)算時(shí)間，孟智娟提出了維數(shù)分裂無(wú)單元Galerkin方法[13]，并將該方法應(yīng)用于解決三維勢(shì)問(wèn)題、三維波動(dòng)方程以及三維彈性力學(xué)等問(wèn)題。

在DSEFG方法中，由于節(jié)點(diǎn)分布、dmax的取值會(huì)對(duì)計(jì)算精度和效率產(chǎn)生影響，因此本文對(duì)這些影響因子進(jìn)行了研究，從而得出這些影響因子的最優(yōu)取值。

1 三維勢(shì)問(wèn)題的分維過(guò)程

三維勢(shì)問(wèn)題的控制方程為：

(x=(x1，x2，x3)∈Ω)

(1)

本質(zhì)邊界條件為：

(2)

自熱邊界條件為：

(3)

利用DSEFG方法求解問(wèn)題(1)-(3)時(shí)，假設(shè)選取x3為分裂方向，將問(wèn)題域Ω沿x3方向分裂為L(zhǎng)層，間距為Δx3，即得到L+1個(gè)二維子域Ω(k)，(k=0，1，…，L)，則有：

(4)

這里

x3∈[a，c]

(5)

(6)

((x1，x2)∈Ω(k)，x3=x3(k))

(7)

相應(yīng)的邊界條件為：

(8)

(9)

2 三維勢(shì)問(wèn)題的維數(shù)分裂無(wú)單元Ga-lerkin法

對(duì)問(wèn)題(1)-(3)，用DSEFG方法求解，即問(wèn)題(7)-(9)用IEFG方法，x3上用有限差分法。

用罰函數(shù)法施加本質(zhì)邊界條件，得：

(10)

其中

(11)

(12)

Φ*(x(k))=

PT(x(k))A*(x(k))B(x(k))，

(13)

(14)

由方程(12)可得

(15)

(16)

這里

(17)

B(x(k))=(B1(x(k))，B2(x(k))，…，Bn(x(k)))，

(18)

(19)

把式(12)、(15)、(16)代入(10)得：

(20)

討論式(20)的各項(xiàng)積分為：

δuT·C·u″，

(21)

δuT·K·u，

(22)

(23)

(24)

δuT·Kα·u，

(25)

(26)

其中

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

將式(21)-式(26)代入式(20)得：

δuT·(Cu″-Ku+Kαu-F1-F2-Fα)=0.

(33)

由于δuT的任意性，可得：

(34)

其中：

(35)

F=F1+F2+Fα.

(36)

(37)

?

(38)

且有:

(39)

(40)

在x3上用有限差分法，得：

(k=1，2，…，L-1).

(41)

所以，方程組(34)表示為：

(42)

(43)

?

(44)

其矩陣形式為:

(45)

這里

(46)

令:

(47)

(48)

(49)

那么，方程組(45)可簡(jiǎn)化為：

EU=R.

(50)

(51)

3 數(shù)值算例

采用DSEFG方法求解三維勢(shì)問(wèn)題，分析了影響因子：節(jié)點(diǎn)分布、dmax對(duì)DSEFG方法精確度的影響。數(shù)值算例中，在每個(gè)積分單元上，用4×4點(diǎn)的Gauss積分。權(quán)函數(shù)采用三次樣條函數(shù)，影響域?yàn)榫匦斡颉?/p>

定義相對(duì)誤差為：

(52)

3.1 算例1

三維長(zhǎng)方體內(nèi)具有Dirichlet邊界條件的Poisson方程

?2u(x)=f(x)，(x∈Ω)

(53)

(54)

邊界條件為：

u(x)=0，(x∈Γ)，

(55)

其中求解域Ω=[0，1]×[0，2]×[0，3].

對(duì)應(yīng)的解析解為：

(56)

將求解域Ω沿x3方向均勻地分裂為L(zhǎng)個(gè)子域，在平面Ox1x2上節(jié)點(diǎn)分布為9×21，即求解域Ω的節(jié)點(diǎn)分布為9×21×(L+1).

從圖1可以看出，當(dāng)L分別取21、17、12，且dmax=1.14，DSEFG方法的數(shù)值解都能較好的逼近解析解。圖2中，求解域Ω的節(jié)點(diǎn)分布為9×21×17，當(dāng)dmax不同時(shí)，數(shù)值解也能很好的與解析解切合。

圖1 不同L時(shí)DSEFG方法的計(jì)算結(jié)果Fig.1 Calculation results of DSEFG method with different L

圖2 不同dmax時(shí)DSEFG方法的計(jì)算結(jié)果Fig.2 Calculation results of DSEFG methods withdifferent dmax

表1和表2分別為L(zhǎng)、dmax不同時(shí)DSEFG方法的相對(duì)誤差與CPU時(shí)間，從表中可以看出，節(jié)點(diǎn)分布為9×21×17，dmax=1.14時(shí)相對(duì)誤差最小，并且運(yùn)行時(shí)間也較短。

表1 不同L時(shí)DSEFG方法的相對(duì)誤差和CPU時(shí)間Tab.1 Relative error and CPU time of DSEFG method with disparate L

表2 不同dmax時(shí)DSEFG方法的相對(duì)誤差和CPU時(shí)間Tab.2 Relative error and CPU time of DSEFG method with different dmax

圖3顯示了dmax=1.14時(shí)，L不同時(shí)DSEFG方法的相對(duì)誤差，隨著L的增大，數(shù)值結(jié)果的誤差越來(lái)越小。圖4是節(jié)點(diǎn)分布為9×21×17，DSEFG方法在dmax不同時(shí)的相對(duì)誤差，可以得出dmax=1.14時(shí)得到的相對(duì)誤差是最小的。

圖3 相對(duì)誤差隨L的變化Fig.3 Varietion of relative error with L

圖4 相對(duì)誤差隨dmax的變化Fig.4 Varietion of relative error with dmax

3.2 算例2

具有Neumann邊界條件的三維立方體內(nèi)的Laplace方程

?2u(x)=0, (x∈Ω),

(57)

邊界條件為：

(58)

(59)

(60)

(61)

其中求解域?yàn)棣?[0,1]×[0,1]×[0,1].

對(duì)應(yīng)的解析解是：

cos(πx3)cos(πx2).

(62)

將問(wèn)題域沿x3作為分裂方向，均勻地分裂為10個(gè)子域，在平面Ox1x2上節(jié)點(diǎn)分布為M×M，即求解域Ω的節(jié)點(diǎn)分布為M×M×11.

表3和表4分別為M、dmax不同時(shí)，維數(shù)分裂無(wú)單元Galerkin方法的相對(duì)誤差與CPU時(shí)間，綜合兩表，得出節(jié)點(diǎn)分布為11×11×11，dmax=1.15時(shí)相對(duì)誤差最小，并且運(yùn)行時(shí)間也較短。

表3 DSEFG方法的相對(duì)誤差和CPU時(shí)間隨M的變化Tab.3 The varietion of relative error and CPU time of DSEFG method with M

表4 DSEFG方法的相對(duì)誤差和CPU時(shí)間隨dmax的變化Tab.4 The varietion of relative error and CPU time of DSEFG method with dmax

圖5、圖6分別顯示了不同節(jié)點(diǎn)分布和不同dmax時(shí)維數(shù)分裂無(wú)單元Galerkin方法的相對(duì)誤差，其中將x3方向分裂為10個(gè)子域，從圖中可以看出，節(jié)點(diǎn)分布為11×11×11，dmax=1.15時(shí)得出的相對(duì)誤差是最小的。

圖5 相對(duì)誤差隨M的變化Fig.5 Variety of relative error with M

圖6 相對(duì)誤差隨dmax的變化Fig.6 Varietion of relative error with dmax

4 結(jié)論

本文采用維數(shù)分裂無(wú)單元Galerkin方法求解三維問(wèn)題，研究了在節(jié)點(diǎn)分布、dmax不同時(shí)，計(jì)算結(jié)果的精度和效率。在三維長(zhǎng)方體內(nèi)具有Dirichlet邊界條件的Poisson問(wèn)題中，選取節(jié)點(diǎn)分布為9×21×17，dmax=1.14時(shí)，計(jì)算精度最優(yōu)；在具有Neumann邊界條件的三維立方體內(nèi)的Laplace問(wèn)題中，取節(jié)點(diǎn)分布為11×11×11，dmax=1.15時(shí)，相對(duì)誤差最小。

由算例可知，在給定了dmax下，隨著節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的增加計(jì)算結(jié)果逐漸收斂；給定節(jié)點(diǎn)分布的情況下，隨著dmax不斷增大，相對(duì)誤差并不是一直變大，而是在解析解附近波動(dòng)。對(duì)于一般的偏微分方程，節(jié)點(diǎn)分布的多少與問(wèn)題自身的定義域有關(guān)，定義域范圍越大，劃分的節(jié)點(diǎn)數(shù)相對(duì)越多。且dmax一般取大于1的值時(shí)，會(huì)得出更精確的結(jié)果。