無限大板功能梯度材料裂紋尖端的應(yīng)力場分析

郭 璐，張雪霞，2，趙文彬

(1太原科技大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030024;2晉中學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 晉中 030619)

功能梯度材料是一種能夠消除材料界面和脫層問題的特殊復(fù)合材料。由于FGM的非均勻性可以修復(fù)傳統(tǒng)復(fù)合材料的缺陷，它在宇航、能源、電子交通、光學(xué)以及生物學(xué)等各個領(lǐng)域范疇?wèi)?yīng)用廣泛[1-2]。

畢賢順[3]基于指數(shù)函數(shù)模型研究了FGM反平面作用下的Yoffe裂紋問題，得到應(yīng)力強(qiáng)度因子表達(dá)式，并且研究了應(yīng)變能密度因子對裂紋的影響。Vladimir[4]等人運(yùn)用沿徑向坐標(biāo)變化的模型研究了材料非均勻性對功能梯度材料空心圓柱特性的影響。潘海珠[5-6]運(yùn)用分段指數(shù)函數(shù)模型和積分變換法求解了FGM多裂紋斷裂問題，并且討論了不同彈性模量對斷裂特征量的影響。Mohammad[7]等人運(yùn)用應(yīng)變梯度理論以及哈密頓原理研究了FGM厚度參數(shù)對梯度指數(shù)的影響。李濤、楊曉春[8]運(yùn)用指數(shù)函數(shù)模型和拆分函數(shù)法對FGM的線裂紋的應(yīng)力分布問題進(jìn)行了研究。Zhang等人[9]運(yùn)用數(shù)值積分法研究了無窮大FGM反平面靜態(tài)裂紋和運(yùn)動裂紋問題并且利用copson方法求解。近期，王素粉等人[10]利用有限元軟件中參數(shù)計算法對功能梯度材料進(jìn)行靜態(tài)斷裂力學(xué)分析，解決了一些因素可能導(dǎo)致的裂紋病態(tài)解問題。

在眾多文獻(xiàn)中，材料的物性參數(shù)變化都是用簡單的指數(shù)函數(shù)模型表示，這樣有利于問題的求解，但不符合材料參數(shù)的變化形式。本文充分利用了任意偶數(shù)次的負(fù)指數(shù)冪模型，運(yùn)用數(shù)值解析法求解靜態(tài)裂紋問題。

1 建立模型

如圖1所示，假設(shè)在無限大板功能梯度材料中，有一條長為2a的裂紋。x軸和y軸相互垂直，假定材料的剪切模量按如下任意偶數(shù)次的負(fù)指數(shù)冪函數(shù)模型變化：

圖1 含有限裂紋的功能梯度材料Fig.1 Functionally-graded material with finite-length crack

μx(y)=(μx)0/(c+α|y|)2k

μy(y)=(μy)0/(c+α|y|)2k

(1)

其中c>0，α>0，k>0，剪切模量為：(μx)0=μx(0)·c2k、(μy)0=μy(0)·c2k

應(yīng)力-位移關(guān)系式為：

(2)

2 建立控制方程和邊界條件

已知應(yīng)力平衡方程：

(3)

將(2)式代入(3)式得到控制方程為：

(4)

給出無限大板FGM受剪切載荷作用的邊界條件：

τyz(x0)=-τ0|x|

(5.1)

w(x，0)=0 |x|≥a

(5.2)

3 導(dǎo)出對偶積分方程

根據(jù)裂紋的對稱性，只需考慮在x>0，y>0的平面即可。引入關(guān)于x的Fourier余弦變換：

(6)

將(6)式代入(4)式中得

其中

(7)

設(shè)變量代換

(8)

可推出

(9)

結(jié)合(7-9)式得到標(biāo)準(zhǔn)的修正Bessel微分方程：

(10)

根據(jù)Bessel方程的通解形式并且考慮y→∞處的正則條件，方程(10)的解為：

(11)

把(11)式代入到(6)式，得到：

把(11)式代入到(2)式，得到：

(12)

(13)

其中μy=(μy)0·c-2k

由(11)、(13)以及給出的邊界條件(5.1)、(5.2)得到一組對偶積分方程組(14):

(14)

(15)

采用copson方法求解(14)，得其解為：

(16)

其中J0()是零階第一類Bessel函數(shù)，函數(shù)φ(ξ)被如下第二類Fredholm積分方程控制:

(17)

數(shù)值求解(17)式得到φ(1)的數(shù)值解。

4 裂紋尖端處的應(yīng)力強(qiáng)度因子

對(16)式進(jìn)行分部積分，得到(18)式：

(18)

(19)

考慮到s→∞處應(yīng)力積分表達(dá)式，繼而展開積分核較大的s值，并且考慮x→∞時，Kβ(x)和Kβ′(x)漸進(jìn)性：

(20)

定義復(fù)變量z1=x+iry，則有：

(21)

這里的r1和θ1在圖1中有定義。

第一類一階Bessel函數(shù)需滿足如下：

(22)

由(19)-(22)得到如下(23.1)(23.2)式：

(23.1)

(23.2)

令x=r1cosθ1，y=r1sinθ1

公式(23.1)(23.2)在r1→0時，局部應(yīng)力場如下：

(24.1)

(24.2)

由(23.2)、(24.1)得到應(yīng)力強(qiáng)度因子的表達(dá)式：

(25)

5 數(shù)值模擬

文章通過數(shù)值解析法將裂紋問題轉(zhuǎn)化為第二類Fredholm積分方程，利用MATLAB對其求解，得到φ(1)的值。并且分析了相關(guān)參數(shù)與應(yīng)力強(qiáng)度因子之間的關(guān)系。

如圖2是取裂紋長度a=5，參數(shù)c=2，α=3在k=1，3，5，7時，表示無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子與不均勻系數(shù)r和參數(shù)k之間的變化關(guān)系。

圖2 不均勻系數(shù)r和梯度參數(shù)k對應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響Fig.2 The effect of inhomogenous coefficient r and gradient parameter k on stress intensity factor φ(1)

如圖3是取k=3，r=1，α=2，在a=0.5，1.5，3時，表示無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子與梯度參數(shù)c和裂紋長度a之間的關(guān)系。

6 結(jié)論

結(jié)果說明：(1)從圖2可以看出，給定a，c，α的值，當(dāng)k一定時，r增大，φ(1)增大；當(dāng)r一定時，k增大，φ(1)增大。由此可見不均勻系數(shù)r和梯度參數(shù)k與應(yīng)力強(qiáng)度因子成正比例關(guān)系；

(2)從圖3可以看出，給定k，r，α的值，當(dāng)a一定時，c增大，φ(1)減小；當(dāng)c一定時，a增大，φ(1)增大。由此可見梯度參數(shù)c與應(yīng)力強(qiáng)度因子成反比例關(guān)系以及裂紋長度a與應(yīng)力強(qiáng)度因子成正比例關(guān)系。

圖3 梯度參數(shù)c和裂紋長度a對應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響Fig.3 The effect of gradient parameter c and crack length a on stress intensity factor φ(1)

文章最終計算出的應(yīng)力強(qiáng)度因子表達(dá)式以及數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果與參考文獻(xiàn)進(jìn)行了比較。所得結(jié)果與文獻(xiàn)[2]中的靜態(tài)裂紋問題結(jié)果吻合較好。結(jié)果表明，在實(shí)際工作中可以通過控制材料的梯度參數(shù)以及裂紋的尺寸能夠降低應(yīng)力強(qiáng)度因子的值，進(jìn)而防止由于裂紋的擴(kuò)展造成的材料失效。