基于損傷力學(xué)的碟盤(pán)刀具振動(dòng)截割煤巖徑向載荷

劉春生， 程 碩， 李鑫鵬

(黑龍江科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 哈爾濱 150022)

0 引 言

截割刀具是采掘機(jī)械工作機(jī)構(gòu)的核心要素，刀具截割煤巖的載荷譜反映其綜合性能，對(duì)機(jī)構(gòu)的研制具有重要的意義。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)巖石破碎理論模型進(jìn)行了諸多研究，Krajcinovic等[1]結(jié)合斷裂力學(xué)和統(tǒng)計(jì)強(qiáng)度理論，建立了脆性材料的損傷力學(xué)本構(gòu)模型。Huang等[2]基于損傷演化理論與動(dòng)態(tài)裂紋擴(kuò)展，建立了巖石單軸壓縮損傷模型。Salari等[3]考慮了巖石的拉伸損傷性質(zhì)，建立了巖石彈塑性三軸本構(gòu)模型。Shao等[4]構(gòu)建了一種脆性巖石各向異性損傷和蠕變本構(gòu)模型。許江等[5]假設(shè)巖石服從Drucker-Prager準(zhǔn)則，基于Weibull分布建立了巖石的損傷本構(gòu)模型。李德根等[6]構(gòu)建了無(wú)齒碟盤(pán)刀具復(fù)合截割煤巖的損傷力學(xué)模型。李樹(shù)春等[7]引入巖石應(yīng)力應(yīng)變?nèi)^(guò)程特征參量，基于連續(xù)損傷理論和統(tǒng)計(jì)強(qiáng)度理論，建立了巖石損傷本構(gòu)模型。張德等[8]基于Weibull分布和Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則，建立了凍土損傷本構(gòu)模型。陳松等[9]考慮巖石節(jié)理幾何特征，建立了斷續(xù)節(jié)理巖體復(fù)合損傷本構(gòu)模型。汪杰等[10]引入巖體結(jié)構(gòu)效應(yīng)與載荷耦合作用，建立了節(jié)理巖體損傷演化模型及損傷本構(gòu)模型。張超等[11]基于Weibull分布建立了應(yīng)變軟化類(lèi)巖石統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型，并對(duì)模型進(jìn)行修正，對(duì)巖石各階段變形特征進(jìn)行描述。袁小平等[12]采用體積應(yīng)變表示巖石損傷變量的演化，建立了巖石彈塑性損傷本構(gòu)模型。蔣浩鵬等[13]，引入熱損傷變量，建立了高溫巖石Weibull分布統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型。劉春生等[14-16]基于碟盤(pán)刀具振動(dòng)截割煤巖的數(shù)值模擬與實(shí)驗(yàn)，建立了碟盤(pán)刀具截割煤巖的力學(xué)模型，探究碟盤(pán)刀具振動(dòng)截割煤巖的載荷特性。

筆者基于煤巖的損傷力學(xué)，建立碟盤(pán)刀具振動(dòng)截割煤巖的徑向載荷損傷力學(xué)模型，對(duì)比分析數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)的載荷峰值均值，驗(yàn)證力學(xué)模型，利用載荷譜的峰值標(biāo)準(zhǔn)差和幅頻特性分析煤巖的崩落狀態(tài)，給出載荷特性，為碟盤(pán)刀具截割機(jī)構(gòu)的研制提供理論依據(jù)。

1 煤巖損傷變量

碟盤(pán)刀具是一種以軸向振動(dòng)和徑向進(jìn)給的復(fù)合運(yùn)動(dòng)形式截割煤巖的刀具，其邊緣均勻分布50個(gè)牙齒。碟盤(pán)刀具的楔面角度為α，半徑為R，軸向振動(dòng)速度為vz，徑向進(jìn)給速度為vj，截割煤巖的厚度為h，煤巖的崩落角為ψ，如圖1所示。

碟盤(pán)刀具的軸向振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)方程為s=Asin(ωt)，s為振動(dòng)位移量，A為振幅，ω為振動(dòng)頻率，t為時(shí)間。

1.1 損傷本構(gòu)關(guān)系

由Lemaitre提出的應(yīng)變等價(jià)性原理，可得煤巖損傷本構(gòu)關(guān)系為[7]

(1)

式中:σ0——煤巖有效應(yīng)力，MPa；

E——彈性模量，MPa；

ε——應(yīng)變；

D——損傷變量。

煤巖力學(xué)性質(zhì)具有復(fù)雜性和隨機(jī)性，若將煤巖離散，視其由無(wú)數(shù)個(gè)微元體組成，假定煤巖微元強(qiáng)度服從Weibull分布函數(shù)，其概率密度函數(shù)為

式中:W——微元強(qiáng)度的隨機(jī)分布變量；

m、W0——Weibull分布參數(shù)。

碟盤(pán)刀具對(duì)煤巖損傷程度大小可以通過(guò)損傷變量進(jìn)行表征，根據(jù)式(1)可得煤巖達(dá)到破碎時(shí)，其損傷變量為

(2)

煤巖破碎的過(guò)程，實(shí)質(zhì)是損傷發(fā)展與累積的過(guò)程。損傷變量能夠反映煤巖微元體破壞概率，則煤巖損傷可視為微元體破壞的累積效應(yīng)，可得：

(3)

1.2 損傷變量

碟盤(pán)刀具無(wú)振動(dòng)截割煤巖時(shí)，僅存在徑向進(jìn)給運(yùn)動(dòng)，其產(chǎn)生的損傷變量為D1。碟盤(pán)刀具振動(dòng)截割煤巖時(shí)，煤巖的損傷是由刀具復(fù)合運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，煤巖的損傷變量，在無(wú)振動(dòng)截割煤巖的基礎(chǔ)上，考慮軸向振動(dòng)的影響因素，為計(jì)算方便可將振動(dòng)時(shí)與無(wú)振動(dòng)時(shí)徑向進(jìn)給運(yùn)動(dòng)的截割比能耗比值作為振動(dòng)損傷系數(shù)K，在特定頻率下，煤巖損傷與振動(dòng)頻率和振幅成正比，文中在特定頻率下計(jì)算損傷系數(shù)。

借鑒鎬型齒截割比能耗公式[17]，給出刀具徑向進(jìn)給運(yùn)動(dòng)的截割比能耗公式為

式中:HW——截割比能耗，kW·h/m3;

Fj(t)——刀具徑向載荷，kN;

V——被截割煤巖體積，m3。

兩種截割工況下徑向進(jìn)給速度與被截割煤巖體積均相同，則可得：

(4)

式中:HW1——碟盤(pán)刀具無(wú)振動(dòng)時(shí)徑向進(jìn)給運(yùn)動(dòng)截割煤巖的比能耗，kW·h/m3；

HW2——碟盤(pán)刀具振動(dòng)時(shí)徑向進(jìn)給運(yùn)動(dòng)截割煤巖的比能耗，kW·h/m3;

Fj1(t)——碟盤(pán)刀具無(wú)振動(dòng)時(shí)徑向載荷，kN;

Fj2(t)——碟盤(pán)刀具振動(dòng)時(shí)徑向載荷，kN;

V1——碟盤(pán)刀具無(wú)振動(dòng)截割煤巖體積，m3;

V2——碟盤(pán)刀具振動(dòng)截割煤巖體積，m3;

D2——碟盤(pán)刀具振動(dòng)時(shí)徑向進(jìn)給運(yùn)動(dòng)截割煤巖造成的損傷變量。

采用梯形數(shù)值積分計(jì)算振動(dòng)損傷系數(shù)K，以載荷譜兩相鄰時(shí)間數(shù)據(jù)點(diǎn)的差為間隔，將載荷譜區(qū)域分為N個(gè)梯形，兩相鄰載荷數(shù)據(jù)值作為梯形上下底長(zhǎng)、時(shí)間間隔為高，計(jì)算梯形面積，對(duì)其累加，可得載荷譜的積分值，其原理公式為

2 徑向載荷損傷力學(xué)模型

碟盤(pán)刀具振動(dòng)截割煤巖過(guò)程中，煤巖破碎前受到擠壓力的作用，在局部產(chǎn)生粉碎并形成密實(shí)核，進(jìn)而破碎煤巖，由圖1可見(jiàn)，碟盤(pán)刀是截割煤巖過(guò)程中僅有1/2為有效截割面積，如圖1所示。

2.1 牙齒載荷力學(xué)模型

煤巖的強(qiáng)度服從Mohr-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則，煤巖是沿著某一個(gè)不確定的破裂面發(fā)生剪切破壞。碟盤(pán)刀具截割煤巖時(shí)，煤巖的破碎服從Mohr-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則，即剪切破裂面上的剪應(yīng)力達(dá)到或超過(guò)由正應(yīng)力引起的內(nèi)摩擦力和煤巖本身的抗剪強(qiáng)度(黏聚力)之和為

τm≥c+σmtanφ，

式中:τm——煤巖任意平面上的剪應(yīng)力，MPa；

σm——煤巖任意平面上的正應(yīng)力，MPa;

c——煤巖的黏聚力，MPa；

φ——煤巖的內(nèi)摩擦角，(°)。

以碟盤(pán)刀具有效截割部分對(duì)稱(chēng)線處的牙齒C為例，位置如圖1所示。對(duì)其受力分析，如圖2所示，在煤巖的剪切破壞線方向上存在破壞煤巖的力FS和抵抗煤巖破壞的力FR。

圖2 牙齒C與煤巖作用的受力Fig. 2 Force of interaction between tooth C and coal rock

(5)

(6)

FH=FS-FR,

(7)

式中:σ——剪切破壞線上的有效正應(yīng)力，MPa；

τ——剪切破壞線上的有效剪切應(yīng)力，MPa；

μ——摩擦系數(shù)；

l——剪切破壞線長(zhǎng)度，l=h/sinψ，mm；

ψ——崩落角，(°)；

b——牙齒C接觸寬度，b取15.70，mm。

煤巖的破碎遵循Mohr-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則，根據(jù)其主應(yīng)力公式可得:

(8)

式中:σ1——第一主應(yīng)力，MPa；

σ3——第三主應(yīng)力，MPa。

結(jié)合(1)、(4)、(8)得：

(9)

將式(5)、(6)、(9)代入式(7)，令σ3=0，可得牙齒C在剪切破壞線方向受到的力為

c}bdx。

(10)

式中:σ*——剪切破壞線上的正應(yīng)力，MPa；

τ*——剪切破壞線上的剪切應(yīng)力，MPa。

由圖2可知，牙齒C截割煤巖時(shí)受到的合力F與FH的關(guān)系為

(11)

式中，ξ——牙齒C受到的合力與剪切破壞線的夾角，ξ=90°-α-ψ，(°)。

結(jié)合式(10)、(11)，可得F為

由圖2可知，當(dāng)vz≠0，vj>0時(shí)，即碟盤(pán)刀具振動(dòng)截割煤巖時(shí)，牙齒C在水平方向受到的力為

(12)

式中，γ——水平面與牙齒C受到的合力的夾角，γ=ψ+ξ，(°)。

2.2 Weibull分布參數(shù)

依據(jù)煤巖的單軸抗壓實(shí)驗(yàn)所得的數(shù)據(jù)，求取力學(xué)模型中的Weibull分布參數(shù)m、W0。

結(jié)合式(2)、(3)，可得：

(13)

對(duì)式(13)兩側(cè)同時(shí)取兩次對(duì)數(shù)，化簡(jiǎn)可得：

對(duì)煤巖進(jìn)行單軸抗壓實(shí)驗(yàn)，可得煤巖的各項(xiàng)參數(shù)，依據(jù)實(shí)驗(yàn)應(yīng)力及應(yīng)變數(shù)據(jù)點(diǎn)可計(jì)算出X和Y序列，對(duì)其進(jìn)行線性回歸分析，可得參數(shù)m和W0的值，如表1所示。

表1 煤巖的參數(shù)Table 1 Parameters of coalstone

2.3 碟盤(pán)刀具載荷力學(xué)模型

碟盤(pán)刀具振動(dòng)截割煤巖時(shí)，煤巖呈月牙狀破碎，其應(yīng)力延伸擴(kuò)展變化也為月牙狀，應(yīng)力面積從中間向兩側(cè)逐漸遞減。

依據(jù)碟盤(pán)刀具應(yīng)力分布規(guī)律和牙齒均勻分布的特點(diǎn)，碟盤(pán)刀具有效截割部位的牙齒受力由牙齒C處沿碟盤(pán)刀具邊緣向兩側(cè)遞減，則由牙齒C徑向載荷損傷力學(xué)模型式(12)推導(dǎo)得碟盤(pán)刀具力學(xué)模型為

(14)

式中，θ——相鄰牙齒間夾角，θ取7.2，(°)。

3 數(shù)值模擬與實(shí)驗(yàn)

3.1 截割煤巖數(shù)值模擬

采用ABAQUS軟件，建立碟盤(pán)刀具和煤巖三維模型，對(duì)模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，如圖3所示。將碟盤(pán)刀具模型設(shè)置為剛體，其尺寸分別為：刀具半徑R=125 mm，牙齒尖端等效半徑r=3 mm，楔面角度α=55°。煤巖體的長(zhǎng)寬高分別為350、250和100 mm，抗壓強(qiáng)度σc=19 MPa。

圖3 有限元模型Fig. 3 Finite element model

煤巖截割厚度分別取10、15、20和25 mm，碟盤(pán)刀具運(yùn)動(dòng)參數(shù)設(shè)定振動(dòng)頻率f=45 Hz、振幅A=2 mm、徑向進(jìn)給速度vj=300 mm/s，數(shù)值模擬碟盤(pán)刀具振動(dòng)截割煤巖的過(guò)程，得徑向載荷譜如圖4所示。

圖4 徑向載荷譜數(shù)值模擬Fig. 4 Numerical simulation of radial load spectrum

由圖4可知，碟盤(pán)刀具徑向載荷隨截割煤巖厚度的增加逐漸增大。碟盤(pán)刀具切入煤巖，載荷譜呈逐漸上升趨勢(shì)，碟盤(pán)刀具穩(wěn)定截割煤巖階段，載荷譜呈現(xiàn)周期性波動(dòng)。

3.2 截割煤巖實(shí)驗(yàn)

碟盤(pán)刀具振動(dòng)截割實(shí)驗(yàn)臺(tái)由破巖系統(tǒng)和檢測(cè)系統(tǒng)構(gòu)成[16]。設(shè)定碟盤(pán)刀具運(yùn)動(dòng)參數(shù)：振動(dòng)頻率f=45 Hz、徑向進(jìn)給速度vj=300 mm/s，煤巖抗壓強(qiáng)度σc=19 MPa，截割厚度分別取10、15、20和25 mm，利用實(shí)驗(yàn)臺(tái)進(jìn)行碟盤(pán)刀具振動(dòng)截割煤巖實(shí)驗(yàn)，獲得徑向載荷譜，如圖5所示。

圖5 實(shí)驗(yàn)徑向載荷譜Fig. 5 Radial load spectrum of experiment

將載荷譜分為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個(gè)區(qū)域：碟盤(pán)刀具切入煤巖階段，載荷譜呈上升趨勢(shì)，為Ⅰ區(qū)；碟盤(pán)刀具穩(wěn)定截割階段，載荷譜呈較規(guī)律波動(dòng)狀態(tài)，為Ⅱ區(qū)；碟盤(pán)刀具切出煤巖階段，載荷譜呈下降趨勢(shì)，為Ⅲ區(qū)。由碟盤(pán)刀具穩(wěn)定截割階段載荷譜可知，實(shí)驗(yàn)中碟盤(pán)刀具截割煤巖的徑向載荷大小與截割厚度的呈正相關(guān)。

4 模型驗(yàn)證與載荷特性

4.1 模型驗(yàn)證

結(jié)合式(4)計(jì)算振動(dòng)損傷系數(shù)K，為避免碟盤(pán)刀具切入、切出煤巖階段載荷不穩(wěn)定的影響，選取振動(dòng)(圖5 b)與無(wú)振動(dòng)(運(yùn)動(dòng)參數(shù)vj=300 mm/s、h=15 mm)徑向載荷譜的Ⅱ區(qū)作為分析處理區(qū)段，見(jiàn)圖6。

圖6 振動(dòng)與無(wú)振動(dòng)徑向載荷譜Fig. 6 Vibration and non-vibration radial load spectra

將圖6徑向載荷譜的數(shù)據(jù)點(diǎn)代入式(4)，取其平均值，得振動(dòng)損傷系數(shù)K=0.49。表1中Weibull分布參數(shù)與振動(dòng)損傷系數(shù)K代入式(14)，可得截割厚度10、15、20和25 mm的碟盤(pán)刀具徑向載荷。將數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)的的徑向載荷峰值均值與理論值對(duì)比分析，如表2所示。

表2 徑向載荷對(duì)比Table 2 Radial load comparison

根據(jù)表2得，截割厚度為10、15、20和25 mm，理論值與數(shù)值模擬的徑向載荷峰值均值的誤差分別為3.39%、2.39%、2.43%、4.46%，與實(shí)驗(yàn)的誤差為13.13%、15.25%、2.08%、0.18%，故截割厚度為10～25 mm，理論值與數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)的徑向載荷峰值均值的平均誤差分別為3.17%、7.66%，驗(yàn)證了碟盤(pán)刀具徑向載荷損傷力學(xué)模型準(zhǔn)確性。

4.2 載荷特性

將表2中數(shù)據(jù)點(diǎn)在圖中繪出，并將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行擬合，如圖7所示。

圖7 理論、模擬與實(shí)驗(yàn)徑向載荷Fig. 7 Theoretical, simulated and experimental radial loads

實(shí)驗(yàn)擬合方程為Fj=1.085h+3.88，由圖7可知，理論、數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)均分布在擬合線兩側(cè)，碟盤(pán)刀具振動(dòng)截割煤巖徑向載荷與截割厚度呈線性正相關(guān)。

碟盤(pán)刀具振動(dòng)截割過(guò)程中，煤巖具有崩落現(xiàn)象，載荷譜中呈現(xiàn)波動(dòng)狀態(tài)，載荷譜的波動(dòng)幅度、波動(dòng)頻率可表征煤巖的崩落狀態(tài)。

載荷譜波動(dòng)幅度可以體現(xiàn)煤巖崩落塊度的大小，其可由載荷譜的波峰值與均值擬合線的離散程度(即標(biāo)準(zhǔn)差)表征。選取圖5實(shí)驗(yàn)載荷譜Ⅱ區(qū)，計(jì)算載荷譜波動(dòng)的均值為

(15)

式中:Fjmax i——第i個(gè)波峰載荷，i=1，2，…,n，kN；

Fjmin i——第i波谷載荷，kN。

根據(jù)式(15)求取載荷譜的波動(dòng)均值，對(duì)截割厚度為10、15、20和25 mm的載荷譜均值進(jìn)行擬合。給出載荷譜的峰值標(biāo)準(zhǔn)差公式為

(16)

依據(jù)式(16)，計(jì)算求得截割厚度為10、15、20和25 mm時(shí)，峰值標(biāo)準(zhǔn)差分別為1.94、2.90、7.65、11.07，由此數(shù)據(jù)(擬合)可得其隨截割厚度近似呈指數(shù)(S=0.695 3e0.111 9h)規(guī)律變化。

通過(guò)載荷譜幅頻特性分析煤巖崩落的狀態(tài)，采用傅里葉變換對(duì)圖5的載荷譜Ⅱ區(qū)進(jìn)行頻譜分析，其幅頻特性如圖8所示。將不同截割厚度下幅頻特性曲線的幅值除以其零頻幅值，其不同頻段載荷幅值相對(duì)占比，如圖8 b所示。

圖8 徑向載荷幅頻特性 Fig. 8 Amplitude-frequency characteristics of radial load

由圖8可知，截割厚度為10、15、20和25 mm載荷譜的波動(dòng)頻率主要集中在6.6～8.3、1.6～9.3、1.3～4.3、0.66～2.3 Hz，隨截割厚度增加，低頻成分相對(duì)占比逐漸增大，中高頻成分相對(duì)占比逐漸減小。

5 結(jié) 論

(1)基于煤巖微元強(qiáng)度的隨機(jī)統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律和振動(dòng)損傷系數(shù)，給出了振動(dòng)截割煤巖時(shí)徑向進(jìn)給運(yùn)動(dòng)造成的損傷變量，根據(jù)Mohr-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則，結(jié)合碟盤(pán)刀具應(yīng)力分布規(guī)律和牙齒均勻分布特點(diǎn)，建立了碟盤(pán)刀具振動(dòng)截割煤巖的徑向載荷損傷力學(xué)模型。

(2)運(yùn)用數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)方法研究了不同截割厚度下碟盤(pán)刀具振動(dòng)截割煤巖的特性，截割厚度為10～25 mm時(shí)，數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)的載荷峰值均值與理論值的平均誤差分別為3.17%和7.66%，驗(yàn)證了所構(gòu)建力學(xué)模型的準(zhǔn)確性。

(3)采用數(shù)理統(tǒng)計(jì)和頻譜方法分析了截割厚度為10～25 mm的載荷譜，隨截割煤巖厚度的增加徑向載荷呈線性增大趨勢(shì)，峰值標(biāo)準(zhǔn)差隨截割厚度近似呈現(xiàn)指數(shù)規(guī)律變化，載荷譜頻率中幅值低頻成分相對(duì)占比逐漸增大，表征煤巖大塊崩落的概率及塊度逐漸增大特征。