淺探數(shù)學(xué)解題規(guī)范在解題習(xí)慣培養(yǎng)中的應(yīng)用

李玲琴

[摘? 要] 學(xué)生在數(shù)學(xué)考試時常出現(xiàn)“懂而不會寫”“會而不得分”的現(xiàn)象，究其原因，主要是學(xué)生不重視解題規(guī)范. 部分學(xué)生為了多“刷題”，在解題時僅寫幾個關(guān)鍵步驟，這樣久而久之就不懂得該如何答題了，進(jìn)而在高考中常因書寫不規(guī)范而屢屢失分，得不償失. 為此，在日常教學(xué)中必須重視解題規(guī)范，培養(yǎng)學(xué)生良好的解題習(xí)慣，使學(xué)生的數(shù)學(xué)語言應(yīng)用更準(zhǔn)確、解題過程更完整、數(shù)學(xué)思維更嚴(yán)謹(jǐn)，促進(jìn)學(xué)生成績?nèi)嫣嵘?

[關(guān)鍵詞] 解題規(guī)范;解題習(xí)慣;全面提升

學(xué)生數(shù)學(xué)考試失分的原因很多，如審題不清、計(jì)算錯誤等，然從平時閱卷反饋來看，因書寫不規(guī)范而失分是普遍現(xiàn)象. 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，很多學(xué)生不重視書寫規(guī)范，認(rèn)為只要答案對就是沒問題的，不需要拘泥于細(xì)節(jié)，然正是這些細(xì)節(jié)反映了學(xué)生的思維習(xí)慣和學(xué)習(xí)習(xí)慣. 高考發(fā)榜后常有學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)成績比自己估算的差，有些學(xué)生因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)相差懸殊而申請復(fù)查，從復(fù)查反饋來看，大多數(shù)都是因?yàn)闀鴮懖灰?guī)范、解題步驟不完整而造成了失分，出現(xiàn)這一現(xiàn)象的原因就是教學(xué)中缺乏一定的規(guī)范性，平時的學(xué)習(xí)急于“刷題”，只重視結(jié)果是否正確而忽視了解題過程，缺乏良好的解題習(xí)慣. 因此，在日常教學(xué)和日常訓(xùn)練中一定要重視解題的規(guī)范性，這不僅有益于高考，也有益于未來的工作. 那么，培養(yǎng)解題規(guī)范需要從哪幾方面入手呢？筆者選擇了一套模擬卷，讓學(xué)生經(jīng)歷自評、生評、師評等過程，通過糾正不規(guī)范來培養(yǎng)學(xué)生良好的答題習(xí)慣.

[?] 數(shù)學(xué)語言要嚴(yán)謹(jǐn)

數(shù)學(xué)語言是非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹?zhǔn)確的，僅一字之差其代表的意義很可能就是天壤之別;數(shù)學(xué)語言是簡單明了、言簡意賅的，最簡潔的語言可以展現(xiàn)最本質(zhì)的特征. 教師要發(fā)揮好數(shù)學(xué)語言的示范作用，對數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)符號的應(yīng)用要做到準(zhǔn)確無誤. 另外，對學(xué)生所犯的錯誤要重點(diǎn)剖析，讓學(xué)生找到錯誤發(fā)生的根源，進(jìn)而提升學(xué)生的語言表達(dá)能力.

例1 A={x

x2+2x-3≤0}，B={x

x≤ -2或x≥1}，則A∩B=________.

閱卷時發(fā)現(xiàn)學(xué)生給出了如下的錯誤答案：①[-3，-2];②[-3，-2]∪{x=1};③{-2≤x≤-1或x=1}. 本題是基礎(chǔ)題，也可以說是送分題，然很多學(xué)生因平時對書寫沒有嚴(yán)格的要求，只關(guān)注求解而不重視表達(dá)，因而造成了錯誤.

從例1可以看出，在日常的教學(xué)中對數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)符號的表達(dá)不夠重視，致使用數(shù)學(xué)語言表達(dá)數(shù)學(xué)問題時出現(xiàn)了錯誤. 另外，若對數(shù)學(xué)語言不夠重視，學(xué)生在解題時很難從題目的文字語言、符號語言或圖形語言中提取重要的信息，這也限制了解題能力的提升. 因此，必須重視數(shù)學(xué)語言的規(guī)范性.

[?] 解題步驟要清晰

在平時考試時，乃至高考時都存在這樣的現(xiàn)象，很多學(xué)生感覺解答題的前面幾個小題較簡單，為了預(yù)留更多的時間完成后面的復(fù)雜題，學(xué)生采用了壓縮步驟法，這樣因過程的缺失、邏輯不完整而被扣了很多過程分，得不償失. 因此，在日常的考核中，教師對學(xué)生的解題過程的控制要嚴(yán)格，切勿存在感情色彩，認(rèn)為寫出答案就說明學(xué)生是會的，只要提醒學(xué)生下次書寫注意就可以了，然高考評卷有著嚴(yán)格的要求，只有平時能做到高考這樣嚴(yán)格的要求才能在高考中不因此失分.

例2 已知函數(shù)f（x）=4cosxsin

x+

+m（m∈R），當(dāng)x∈0

，時，f（x）的最小值為-1.

（1）求m值及變量x為何值時f（x）取最小值;

（2）在△ABC中，已知f（C）=1，AC=4，延長AB至D，使BC=BD，且AD=5，求△ACD的面積.

為了讓學(xué)生能更好地規(guī)范有步驟的書寫，教師選取了答題中較普通的寫法進(jìn)行展示.

師：對于函數(shù)表達(dá)式這樣的轉(zhuǎn)化，你怎么看？（教師用PPT展示解答過程）

f（x）=sin2x+cos2x+1+m=2sin

2x+

+1+m.

生1：結(jié)果是正確的，然步驟不全，對兩角和與差的公式及二倍角的公式表述得不夠清晰.

師：誰能幫忙修改一下呢？

生2：我認(rèn)為應(yīng)該這樣寫：

f（x）=4cosx

sinx+cosx

+m

=2sinxcosx+2cos2x+m

=sin2x+cos2x+1+m

=2sin

2x+

+1+m.

師：很好，這樣解答過程就完整了. 解題時給出正確的答案固然是重要的，然解題過程的可讀性也是不容忽視的.

師：我們再來看一下，問題（2）的解答過程是否完美呢？（教師繼續(xù)用PPT展示解答過程）

由（1）化簡后得f（C）=2sin

2C+

=1，所以sin

2C+

=，故C=. 在△ABC中，設(shè)BC=x，因?yàn)锳D=5，BD=BC=x，則AB=5-x. 由余弦定理得x=BC=，AB=;由正弦定理得sinA=·sin=. 所以△ACD的面積S=AC·AD·sinA=.

解答過程給出后，教師讓學(xué)生共同探究，以讓學(xué)生通過糾錯來發(fā)現(xiàn)自己的不足.

生3：我認(rèn)為由sin

2C+

=，直接推導(dǎo)出C=有些過急了，在這里需要說明C是△ABC的一個內(nèi)角，故C∈（0，π），2C+∈

，

，在該區(qū)間上，函數(shù)值所對應(yīng)的角唯一.

生4：在應(yīng)用余弦定理求x時，應(yīng)加上“（5-x）2=x2+42-2·x·4cos”. 同樣，在應(yīng)用正弦定理時應(yīng)寫明“=”.

師：兩位同學(xué)說得非常有道理，補(bǔ)充后解答過程就完美了. 在應(yīng)用公式解題時一定要注意公式的完整性，不要認(rèn)為大家都知道的就可以省略，那樣會因步驟缺失而失分，會做的題目不失分才是高考成功的法寶.

在本題教學(xué)中，教師展演了學(xué)生的解答過程，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不足，以此引起學(xué)生對答題步驟的重視. 最熟悉的內(nèi)容往往是失分最嚴(yán)重之處，如公式、定理等，主要原因就是平時的訓(xùn)練不夠規(guī)范——由于高中數(shù)學(xué)作業(yè)多、考試多，教師的日常評價更側(cè)重于結(jié)果，致使學(xué)生平時練習(xí)時就不關(guān)注過程，因此日常訓(xùn)練必須養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度.

[?] 作圖要規(guī)范

作圖是解題的工具，也是數(shù)形有效結(jié)合的前提，是高中學(xué)生必備的基本能力. 良好的、規(guī)范的作圖習(xí)慣不僅有利于學(xué)生解題，而且方便閱卷. 若學(xué)生作圖不規(guī)范，不僅不能發(fā)揮其直觀、準(zhǔn)確、高效的作用，反而會對解題帶來干擾，因此作圖的規(guī)范性必須要重視.

例3 如圖1所示，四邊形ABCD是正方形，四邊形ABEF是直角梯形，且AF∥BE，AB⊥BE，平面ABCD∩平面ABEF=AB，AB=BE=2AF=2.

（1）求證：AC∥平面DEF;

（2）若二面角D-AB-E是直二面角，棱DE上是否存在點(diǎn)P，使得BP⊥平面DEF？

因?qū)W生的思維方式不同，故其在作圖時可能采用不同的方法，如在解決例3的問題（1）時，有部分學(xué)生畫出了如圖2所示的圖形，其目的是借助于線線平行（FG∥AC）推導(dǎo)出線面平行（AC∥平面DEF）;也有部分學(xué)生畫出了如圖3所示的圖形，想通過面面平行（平面DEF∥平面ACM）推導(dǎo)出線面平面（AC∥平面DEF）. 無論學(xué)生采用哪種方法，都要利用好虛實(shí)線正確地表達(dá)出來，只用這樣才能方便解題、方便閱卷.

[?] 邏輯推理要嚴(yán)謹(jǐn)

數(shù)學(xué)解題過程也是一個演繹推理的過程，在這個過程中必須保證思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，證明過程中雖然有些大的前提條件可以省略，但小的前提條件必須是齊全的、充分的，只有這樣才能保障會做的題目不失分.

在解決例3的問題（2）時，有學(xué)生解答時是這樣直接寫的：“由已知條件可知，∠EBC=.”在立體幾何證明中這樣的推理顯然是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模瑧?yīng)這樣修改：“因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以CB⊥AB，又AB⊥BE，所以∠EBC是二面角D-AB-E的平面角，且二面角D-AB-E是直二面角，所以∠EBC=.”修改不僅合理地利用了已知，而且合理地利用了二面角的概念，這樣使推理更加嚴(yán)謹(jǐn)，使解題思路更加清晰.

在解題過程中要慎用“顯然”“由已知”等這樣帶著主觀判斷的字眼，如直接寫“由已知得”，那么已知哪幾個條件呢？已知條件是否充分呢？閱卷人難以知曉. 因此，在解題時應(yīng)注意已知條件的“抄寫”，要使每步推理過程都有據(jù)可依.

[?] 文字說明不能少

在解題過程中添加必要的文字說明才能交代清楚由哪些已知條件可以推理出哪些結(jié)論，或者根據(jù)哪個定理、公式得到什么，等等. 有了這些簡要的文字說明才能使得整個解題過程清晰明了，使解題過程更有可讀性，閱卷教師閱卷起來會更輕松，進(jìn)而有效避免“會而不得分”的尷尬.

例4 已知函數(shù)f（x）=xlnx+2，g（x）=x2-mx. 若存在x∈

，e使得mf′（x）+g（x）≥2x+m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

在解答過程中，有學(xué)生是這樣寫的：“mf′（x）+g（x）≥2x+m，m（x-lnx）≤x2-2x，m≤，p（x）=……”

從學(xué)生的解答過程可以看出，沒有任何文字語言，哪個是已知？哪個是結(jié)論？條件x∈

，e起到了什么作用？因?yàn)闆]有文字語言的串聯(lián)，使得解答過程毫無可讀性，這樣也會造成失分.

求解過程可以修正如下：由mf′（x）+g（x）≥2x+m整理得m（x-lnx）≤x2-2x. 因?yàn)閤∈

，e，所以lnx∈[-1，0]，所以x-lnx>0，所以原問題轉(zhuǎn)化為m≤在x∈

，e上有解. 令p（x）=，x∈

，e……

通過言簡意賅的文字，使得解題思路清晰明了，思維嚴(yán)謹(jǐn)，大大增加了求解過程的可讀性，長此以往，對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)也是有益的.

另外，除了以上強(qiáng)調(diào)的幾點(diǎn)外，學(xué)生在演算和書寫過程中也要注意過程和美觀，切勿因急于求成而出現(xiàn)“跳步”“漏寫”等情況的發(fā)生. 若想在高考中取得好成績，就要在日常訓(xùn)練中關(guān)注解題細(xì)節(jié)，養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣和書寫習(xí)慣.