波利亞解題思想對數(shù)學(xué)教學(xué)中“教思考”的啟示

賀文 夏小剛

[摘? 要] 學(xué)生思維的發(fā)展是培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵要素. 從波利亞解題思想出發(fā)，借助于例題，利用已知激活學(xué)生的思維，在問題驅(qū)動的教學(xué)過程中滲透數(shù)學(xué)思想、回顧反思，這對培養(yǎng)學(xué)生的思維具有時代價值，對教師日常教學(xué)具有啟發(fā)作用.

[關(guān)鍵詞] 波利亞解題思想;教思考;數(shù)學(xué)教學(xué)

美籍匈牙利數(shù)學(xué)家喬治·波利亞（George Polya）一生發(fā)表了200多篇論文和專著，不僅在實變函數(shù)、概率論、數(shù)論等領(lǐng)域做出了許多開創(chuàng)性的工作，而且他發(fā)表的《怎樣解題》《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》（第一卷、第二卷）《數(shù)學(xué)與猜想》（第一卷、第二卷）被譯成許多國家的語言出版，其數(shù)學(xué)思想、教育思想被后世廣為認(rèn)可，并對數(shù)學(xué)教育的改革與發(fā)展產(chǎn)生了重要影響.

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生應(yīng)具備的、能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力，其內(nèi)核在于“數(shù)學(xué)思考”，因此數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)就是“教思考”，即引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)思維思考世界. 學(xué)生能在基于問題情境的數(shù)學(xué)活動中學(xué)會如何提出問題、建構(gòu)新知和解決問題. 然而，受應(yīng)試教育思想的影響，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)依然普遍存在“重”掌握知識技能、“輕”發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的教學(xué)現(xiàn)象. 面對落實核心素養(yǎng)的教學(xué)要求，不少教師感到茫然，束手無策. 重溫波利亞的解題思想，不僅能讓我們進(jìn)一步領(lǐng)略波利亞的數(shù)學(xué)教育觀——“教會學(xué)生思考”，而且從啟發(fā)性聯(lián)想、多步化歸、數(shù)學(xué)思考到回顧反思中，感受波利亞解題思想的精髓. 相信，這對于核心素養(yǎng)時代背景下如何教學(xué)生思考具有重要的啟發(fā)意義.

[?] 波利亞的解題思想

啟發(fā)性聯(lián)想[1]是波利亞解題思想中的“精髓”. 在問題解決過程中，解題者要善于從已知量、條件等熟悉而又感興趣的事物出發(fā)，大膽猜想. 正如波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》（第二卷）中所提到的：“當(dāng)我們在考察問題的過程中認(rèn)出某些熟悉的圖形時，我們會顯得特別高興.”[2]比如，在復(fù)雜的幾何圖形中，我們通過觀察和辨認(rèn)，找到了熟知的“三角形”，或是其他我們熟悉的圖形，這促使我們產(chǎn)生“好想法”“好念頭”，產(chǎn)生啟發(fā)性聯(lián)想. 因為一方面我們熟悉“三角形”的相關(guān)概念和定理，另一方面我們曾經(jīng)解決過關(guān)于“三角形”的各種問題，可以說是有經(jīng)驗的. 這些原有的知識儲備，也許在現(xiàn)有情形下也能派上用場. 一般來說，辨認(rèn)能引導(dǎo)我們回憶起某些有用的東西，把有關(guān)知識動員出來[2]，啟發(fā)性聯(lián)想也由此產(chǎn)生.

多步化歸[3]是波利亞解題思想中的“基礎(chǔ)”. 通過對波利亞“怎樣解題表”的觀察和研究，發(fā)現(xiàn)其實質(zhì)就是不斷地將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化. 比如，將未解決的問題直接轉(zhuǎn)化為一個已解決的問題，或者將未解決的問題轉(zhuǎn)化為一個等價的問題，又或者先解決一個更特殊、更一般的問題. 在不斷“轉(zhuǎn)化”的過程中，拉進(jìn)“已知”和“未知”之間的距離，從而打通已知和未知之間的路徑，問題得到解決. 在教學(xué)過程中，通過波利亞“怎樣解題表”中23個問題或提示語的啟發(fā)，學(xué)生能不斷將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，經(jīng)歷“提出問題—解決問題”的過程，在“問題鏈”中層層擊破，既解決了問題，又發(fā)展了思維. 如圖1所示，需要解決問題n，若已經(jīng)解決了問題（n-1），則還需要一步即可;但若要在問題0的基礎(chǔ)上進(jìn)行解決，那就需要進(jìn)行多步化歸了.

在此過程中，學(xué)生通過問題驅(qū)動，達(dá)到一個又一個的高度. 從解決問題的角度來說，“問題鏈”一環(huán)扣一環(huán)，以問題驅(qū)動教學(xué)，問題被逐一解決;從思維發(fā)展的角度來說，學(xué)生在螺旋式上升的過程中對問題的認(rèn)識逐漸深入，思維得以發(fā)展.

數(shù)學(xué)思考是波利亞解題思想的“核心”. 縱觀波利亞在數(shù)學(xué)教育上所聚焦的領(lǐng)域，從“解題”到“解題教學(xué)”再到“教師培訓(xùn)”，他一直強調(diào)要教會年輕人思考——不僅要教給他們知識，并且要教給他們“才智”，即思考問題的方式[2]. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要懂得授人以“漁”，比如在解題的過程中，不僅要追求問題的結(jié)果和涉及的知識點，還要注重解答過程，即為什么這樣思考？懂得教給學(xué)生思考的方式，使得學(xué)生的思維得以發(fā)展.

回顧反思是波利亞解題思想的“高地”. “回顧”是波利亞“怎樣解題表”中的第四步，相比于前三步，它往往更容易被忽視. 然而，回顧卻超越了解答所獲得的答案;相反，回顧的目的就是最大限度地利用解決問題的過程而獲取學(xué)習(xí)的機會，其實質(zhì)就是反思. 反思不僅能幫助學(xué)生有效地學(xué)習(xí)和掌握數(shù)學(xué)知識，而且能培養(yǎng)和提高學(xué)生解決問題的能力[4]. 即使“回顧”處在波利亞“怎樣解題表”的最后一環(huán)節(jié)，但筆者想要強調(diào)的是，它應(yīng)該是一種及時的“反思”，即對剛剛完成的解決方案的部分所作出的回顧，它具有及時性. 學(xué)生通過及時的反思與回顧，能發(fā)展批判性思維，形成善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實的態(tài)度，這也是落實立德樹人、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的體現(xiàn).

[?] 波利亞解題思想對數(shù)學(xué)教學(xué)中“教思考”的啟示

下面，筆者將從學(xué)生思維活動的角度，借助于例題，向讀者展示波利亞解題思想對數(shù)學(xué)教學(xué)中“教思考”的啟示.

例 △ABC的內(nèi)角A，B，C分別對應(yīng)邊a，b，c，已知B=60°，c=1，若△ABC為銳角三角形，求S的取值范圍.

問題已經(jīng)明確，即求S的取值范圍，那么根據(jù)波利亞解題思想的啟示，筆者將從思維活動的起點、思維活躍發(fā)展、讓思維更有效和回顧反思這四部分展開闡述.

1. 注重關(guān)聯(lián)已知，思維活動的起點

如果將解決問題的過程形象成“修橋”，那么第一步就需要弄清楚現(xiàn)有的材料以及腦海中所儲備的橋梁修建知識. 在例題中，一方面，條件已明確，即B=60°，c=1，△ABC為銳角三角形;另一方面，根據(jù)上述條件我們能將原有知識調(diào)動起來：

①任意三角形中，看到邊、角關(guān)系可以聯(lián)想到余弦定理、正弦定理;

②例題中，求解三角形的面積范圍能聯(lián)想到三角形面積的計算公式：S=acsinB.

學(xué)生在調(diào)動原有知識儲備的同時，思維活動便開始了. 正是有了思維的作用，學(xué)生可以將自己已有經(jīng)驗中的某部分回憶出來，并且與手頭上的問題聯(lián)系起來，進(jìn)而引發(fā)下一步的思考：能否從已知條件跨越到未知？能否拉近已知和未知之間的距離？

2. “問題鏈”驅(qū)動教學(xué)，思維活躍發(fā)展

“問題鏈”驅(qū)動相當(dāng)于一個牽線搭橋的過程，這個環(huán)節(jié)通過“追問”與“轉(zhuǎn)化”，不斷從已知逼近未知，從而打通思路，獲得解答. （如圖2所示）

問題1：怎樣求得S的范圍？

通過回憶和辨認(rèn)，調(diào)動起三角形面積的計算公式S=acsinB，并且根據(jù)例題給出的條件（B=60°，c=1）將式子進(jìn)行化簡，得到S=acsinB=a×1×sin60°=a. 這就把求S的范圍轉(zhuǎn)化成了求a的范圍.

問題2：怎樣求得a的取值范圍？

a是△ABC的一條邊長，根據(jù)以往儲存在腦海中關(guān)于三角形的“邊”的知識，不難聯(lián)想到：在任意三角形中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊. 這是針對任意三角形的“邊”所滿足的關(guān)系式. 如果依照例題給出的條件，將“任意三角形”限定為“銳角三角形”，那么能否得到一個關(guān)于銳角三角形三邊更為精確的不等關(guān)系呢？進(jìn)而，把求a的取值范圍轉(zhuǎn)化成求三角形三邊的不等關(guān)系.

問題3：怎樣才能求得銳角三角形ABC三邊的不等關(guān)系？

通過查閱字典，“關(guān)系”的含義為：事物之間相互作用、相互影響的狀態(tài). 那么，在數(shù)學(xué)中，“三角形三邊的關(guān)系”就是指三邊具有相互作用的狀態(tài). 因此在銳角三角形中，求三邊的不等關(guān)系，關(guān)鍵要得到一個三邊相互制約的關(guān)系式，即如何將三邊放在同一個關(guān)系式中. 通過關(guān)聯(lián)已知，我們已經(jīng)調(diào)動了正弦定理、余弦定理等相關(guān)知識儲備. 通過余弦定理可以將三角形三邊放在同一個關(guān)系式中，不妨嘗試用余弦定理進(jìn)行計算.

簡解：已知B=60°，則A+C=120°，C=120°-A. 在銳角三角形ABC中，可知0<A<90°，0<120°-A<90°，故30°<A<90°. 根據(jù)余弦定理以及A的取值范圍可得0<<①，即求得銳角三角形ABC三邊的不等關(guān)系.

回顧問題2：怎樣求得a的取值范圍？

依據(jù)問題3得出的結(jié)論，再利用一次余弦定理cosB=，可以得到只關(guān)于a的不等式.

簡解：在銳角三角形ABC中，已知B=60°，c=1，由余弦定理得cosB===，即b2=a2-a+1②. 將②式代入①式得0<<，解得<a<2，即為所求.

回顧問題1：怎樣求得S的范圍？

根據(jù)求得的a的取值范圍以及三角形的面積公式可得S=acsinB=a×1×sin60°=a，于是<S<. 完成解答.

在“問題鏈”驅(qū)動環(huán)節(jié)下，學(xué)生思維活躍，并且具有指向性. 以上3個問題并不是孤立存在的，而是一環(huán)扣一環(huán). 當(dāng)發(fā)現(xiàn)眼下從“未知”走向“已知”的路不通，那么便可通過“轉(zhuǎn)化”另辟蹊徑，把未知的、待解決的問題一步一步轉(zhuǎn)化為已知的、已解決的問題，用問題驅(qū)動的方式打通已知和未知之間的道路，讓問題得以解答.

3. 滲透數(shù)學(xué)思想方法，讓思維活動更有效

在應(yīng)試教育的影響下，解題教學(xué)還存在著不足. 不少教師將解題教學(xué)流于表面，他們的教學(xué)往往停留在簡單的小結(jié)和歸類上，而缺少對數(shù)學(xué)思想方法的滲透和歸納[5]. 如果說“‘問題鏈’驅(qū)動”環(huán)節(jié)是一個牽線搭橋的過程，那么“滲透數(shù)學(xué)思想方法”就是一個能讓學(xué)習(xí)者在“‘問題鏈’驅(qū)動”環(huán)節(jié)中少走彎路，更快達(dá)成目的，打通未知和已知的手段.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要教會學(xué)生數(shù)學(xué)思考，即教師教學(xué)生在“提出問題的活動”中學(xué)會如何提出問題，在“尋找方法的過程”中學(xué)會如何尋找方法，在“建構(gòu)新概念的活動”中學(xué)會如何建構(gòu)新概念[6].

4. 及時回顧與反思

“回顧”是波利亞“怎樣解題表”中的一個環(huán)節(jié)，將此環(huán)節(jié)運用好，能鍛煉學(xué)生的反思能力，從而養(yǎng)成善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實的態(tài)度，這也是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱《課標(biāo)（2017年版）》）對該學(xué)段學(xué)生的期待，因此教師在“教思考”的過程中，很有必要將此環(huán)節(jié)應(yīng)用于課堂.

再探波利亞“怎樣解題表”，發(fā)現(xiàn)其具有三個層面的含義：“你能校對結(jié)果嗎？”——強調(diào)解答過程的準(zhǔn)確性，有利于培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)求實的態(tài)度;“你能從不同的方法得出結(jié)果嗎？”——從不同的角度思考，從不同的角度解答，能培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維;“你能應(yīng)用這結(jié)果或方法解決別的問題嗎？”——《課標(biāo)（2017年版）》明確提出“高考的命題建議”：注重數(shù)學(xué)本質(zhì)、通性通法[7]. 學(xué)生思考一般的解題模型時，能懂得舉一反三，把握知識的本質(zhì). 以下，筆者將從“一題多解”和“一般模型”的角度進(jìn)行回顧與反思.

（1）一題多解：

解法1：在上述的解答過程中采取的是代數(shù)方法，是否能借助于幾何方法進(jìn)行解答？

已知B=60°，c=1，利用幾何畫板將確定不變的條件畫出來，如圖3所示.

銳角三角形ABC帶有任意性與不確定性，不妨假設(shè)極限情況：當(dāng)銳角三角形ABC成了直角三角形ABC（包含了極限思想方法）. 于是得到如下兩種情形：情形1（如圖4所示），c為斜邊;情形2（如圖5所示），c為直角邊. 易證<S<.解法1滲透了極限思想方法和數(shù)形結(jié)合思想方法.

解法2：在上述問題3中求解銳角三角形ABC三邊不等關(guān)系時，除了采用余弦定理外，還能采用其他方法嗎？

聯(lián)想類比直角三角形的勾股定理，通過勾股定理能將銳角三角形ABC的三邊包含在同一式子中. 如圖6所示，在銳角三角形ABC中，過A作BC邊的高，交BC于D. 在Rt△ADC中，x2+y2=b2;在Rt△ADB中，（a-x）2+y2=c2，則a2+b2=c2+2ax（a，b，c，x均為三角形邊長，都大于零）. 故得到銳角三角形ABC三邊的不等關(guān)系：a2+b2>c2.再由余弦定理得b2=a2-a+1，易求<a<2，則<S<. 解法2滲透了類比和轉(zhuǎn)化思想方法.

（2）一般模型：

通過回顧與反思，能否找到更一般的模型？首先可以將例題進(jìn)行抽象：在例題中，已知條件是“一邊（邊c）”和“一角（角B）”;限定條件是“△ABC是銳角三角形”;結(jié)論是“△ABC的面積存在一定范圍”. 把握其本質(zhì)，通過推廣，可以獲得許多模型，稍舉兩例加以說明：

①在鈍角三角形中（限定條件），已知一邊和一角（已知條件），是否可以求得該鈍角三角形面積的范圍（結(jié)論）？

②在任意三角形中，已知一邊和一角（已知條件），且三角形三邊滿足一定的關(guān)系式（限定條件），是否可以求得該任意三角形面積的范圍（結(jié)論）？

參考文獻(xiàn)：

[1]? G·波利亞. 數(shù)學(xué)與猜想：數(shù)學(xué)中的歸納和類比（第一卷）[M]. 北京：科學(xué)出版社，2001.

[2]? G·波利亞. 數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)（第二卷）[M]. 呼和浩特：內(nèi)蒙古人民出版社，1981.

[3]? 顧泠沅，鮑建生. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程[M]. 上海：上海教育出版社，2009.

[4]? Cai， Jinfa， and Michael Brook. 2006.“Looking Back in Problem Solving.” Mathematics Teaching Incorporating Micromath， no. 196（May）：42-45.

[5]? 楊運標(biāo). “怎樣解題表”在解題教學(xué)中的運用[J]. 中國數(shù)學(xué)教育，2019（07）：20-24.

[6]? 涂榮豹. 數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計原理的建構(gòu)——教學(xué)生學(xué)會思考[M]. 北京：科學(xué)出版社，2018.

[7]? 中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.