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    強(qiáng)時(shí)頻無碰撞區(qū)跳頻序列理論界

    2022-06-08 04:07:16許成謙邢方園王曉紅
    燕山大學(xué)學(xué)報(bào) 2022年3期
    關(guān)鍵詞:理論界正整數(shù)時(shí)頻

    許成謙,邢方園,王曉紅

    (燕山大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院,河北 秦皇島 066004)

    文章編號:1007-791X(2022)03-0257-07

    0 引言

    擴(kuò)頻通信技術(shù)是基于香農(nóng)公式以擴(kuò)大帶寬的方式來增加信道的容量,其實(shí)現(xiàn)方式主要有三種,分別是直接序列擴(kuò)頻、跳頻擴(kuò)頻和跳時(shí)擴(kuò)頻[1-2]。其中,跳頻技術(shù)通過一組偽隨機(jī)碼控制頻率跳變實(shí)現(xiàn)擴(kuò)頻通信,具有低截獲概率、較強(qiáng)的抗干擾能力、多址組網(wǎng)能力、抗衰落能力、易于與傳統(tǒng)窄帶通信系統(tǒng)兼容的優(yōu)點(diǎn),因此廣泛應(yīng)用于各種通信系統(tǒng)[3-4]。

    跳頻通信系統(tǒng)的性能由跳頻序列決定,跳頻序列的性能用Hamming相關(guān)特性來衡量,跳頻序列集 ( Frequency Hopping Sequence Set,FHSS)的Hamming相關(guān)值受到頻隙大小、序列個(gè)數(shù)、序列長度等參數(shù)的限制,這種限制關(guān)系稱為FHSS的理論界[5]。目前為止,跳頻序列在一維無碰撞區(qū)(No Hit Zone,NHZ)、低碰撞區(qū)周期Hamming相關(guān)理論界的研究和序列集的構(gòu)造已取得了很多成就[6-12],二維無/低碰撞區(qū)周期Hamming相關(guān)理論界的研究和構(gòu)造滿足該理論界的序列集也取得了不小的進(jìn)展[13-15]。

    跳頻序列的研究主要集中在無/低碰撞區(qū)內(nèi)Hamming相關(guān)性分析和構(gòu)造滿足該理論界的FHSS。在信息傳輸過程中,時(shí)延和頻移有可能超出無/低碰撞區(qū),故無/低碰撞區(qū)外跳頻序列集Hamming相關(guān)性優(yōu)化也是至關(guān)重要的。Zeng等人在文獻(xiàn)[16]中研究了強(qiáng)一維無碰撞區(qū)FHSS的構(gòu)造和性能分析。本文導(dǎo)出了包含頻隙個(gè)數(shù)、序列長度、序列數(shù)目、時(shí)頻二維NHZ之外FHSS最大異相Hamming自相關(guān)函數(shù)值和最大互相關(guān)函數(shù)值的理論界。提出了強(qiáng)時(shí)頻二維無碰撞區(qū)FHSS的概念。對一類強(qiáng)時(shí)頻二維無碰撞區(qū)FHSS的Hamming相關(guān)性進(jìn)行了分析。

    1 符號和基本概念

    (1)

    0≤τ≤L-1,0≤υ≤q-1,

    其中,i+τ≡(i+τ) modL,i=0,1,…,L-1。當(dāng)xi=yi+τ+υ時(shí),h(xi,yi+τ+υ)=1;當(dāng)xi≠yi+τ+υ或yi+τ+υ?F時(shí),h(xi,yi+τ+υ)=0。

    Hxx(τ,υ)稱為x的頻域非周期移位的時(shí)頻二維周期Hamming自相關(guān)函數(shù)。當(dāng)x≠y時(shí),Hxy(τ,υ)稱為x和y的頻域非周期移位的時(shí)頻二維周期Hamming互相關(guān)函數(shù)。

    定義2設(shè)頻率F={f0,f1,…,fq-1}是大小為q的頻率集合,S是F上含有M個(gè)周期長度為L的FHSS,TA、VA為非負(fù)整數(shù),定義

    Zat=max{TA|Hxx(τ,υ)=0,?x∈S,0≤τ≤TA,0≤υ≤VA,(τ,υ)≠(0,0)},

    Zaf=max{VA|Hxx(τ,υ)=0,?x∈S,0≤τ≤TA,0≤υ≤VA,(τ,υ)≠(0,0)},

    Zct=max{TA|Hxy(τ,υ)=0,?x≠y∈S,0≤τ≤TA,0≤υ≤VA},

    Zcf=max{VA|Hxy(τ,υ)=0,?x≠y∈S,0≤τ≤TA,0≤υ≤VA},

    Znt=min{Zat,Zct},Znf=min{Zaf,Zcf},

    則[0,Znt]×[0,Znf]稱為S的頻域非周期移位的時(shí)頻二維NHZ,[0,Zat]×[0,Zaf]稱為S的頻域非周期移位的周期Hamming自相關(guān)時(shí)頻二維NHZ,[0,Zct]×[0,Zcf]稱為S的頻域非周期移位的周期Hamming互相關(guān)時(shí)頻二維NHZ,若S在區(qū)域[Znt+1,L-1]×[0,Znf]上進(jìn)行了Hamming相關(guān)性優(yōu)化,則稱S為強(qiáng)時(shí)頻二維無碰撞區(qū)FHSS。

    2 強(qiáng)時(shí)頻二維無碰撞區(qū)跳頻序列集的理論界

    設(shè)頻率F={f0,f1,…,fq-1}是大小為q的頻率集合,S是F上含有M個(gè)周期長度為L的跳頻序列的序列集,[0,Znt]×[0,Znf]為序列集的NHZ。文中采用以下表示:

    Ha(S)=max{Hxx(τ,υ)|(τ,υ)∈[Znt+1,L-1]×[0,Znf]且(τ,υ)≠(0,0),x∈S},

    Hc(S)=max{Hxy(τ,υ)|(τ,υ)∈[Znt+1,L-1]×[0,Znf],x,y∈S,x≠y},

    Hm(S)=max{Ha(S),Hc(S)},

    簡記Ha=Ha(S),Hc=Hc(S),Hm=Hm(S)。

    Ha和Hc分別是序列集S在時(shí)頻二維無碰撞區(qū)[0,Znt]×[0,Znf]之外的最大異相周期Hamming自相關(guān)和最大周期Hamming互相關(guān)。下面導(dǎo)出有關(guān)Ha和Hc的理論界。

    引理1設(shè)頻率F={f0,f1,…,fq-1}是大小為q的頻率集合,S是F上含有M個(gè)周期長度為L的FHSS,任意x,y∈S,對于任意的正整數(shù)0≤Znt≤L-1,0≤Znf≤q-1,令函數(shù)

    (2)

    (3)

    證明對于任意x,y∈S,任意正整數(shù)0≤Znt≤L-1,0≤Znf≤q-1,有

    Hxy(τ,υ)=

    以下將對Znt=0和Znt≠0兩種情況分別作出討論。

    情況一:當(dāng)Znt=0時(shí),即時(shí)域上不存在NHZ。

    情況二:當(dāng)Znt≠0時(shí),即時(shí)域上存在NHZ。

    M(L-Znt)(Znf+1)Ha+
    M(M-1)(L-Znt)(Znf+1)Hc。

    證畢。

    引理2[10]對于任意正整數(shù)τ,τ=0,1,…,L-1有

    (4)

    引理3對于任意正整數(shù)Znt和Znf,0≤Znt≤L-1,0≤Znf≤q-1,有

    (5)

    證明對于任意正整數(shù)i=1,2,…,M,τ=1,2,…,L-1,υ=0,1,…,q-1,因?yàn)?/p>

    所以

    由于

    因此

    m(b(k+τ)+υ,fi),

    證畢。

    令函數(shù)

    m(b(k+τ)+υ,fi),

    (6)

    引理4對于任意正整數(shù)i,0≤i≤q-1,令

    其中k=0,1,…,L-1,則

    (7)

    證明由等式(6)得

    (8)

    引理5[11]設(shè)g1,g2,…,gq為滿足下列等式的正整數(shù)

    (9)

    引理6設(shè)頻率F={f0,f1,…,fq-1}是大小為q的頻率集合,S是F上含有M個(gè)周期長度為L的FHSS,任意x,y∈S,對于任意的正整數(shù)0≤Znt≤L-1,0≤Znf≤q-1,則

    (10)

    證明由引理4可知

    由引理2可知

    根據(jù)引理5得

    證畢。

    定理1設(shè)頻率F={f0,f1,…,fq-1}是大小為q的頻率集合,S是F上含有M個(gè)周期長度為L的FHSS,[0,Znt]×[0,Znf]是S的頻域非周期移位的時(shí)頻二維NHZ,時(shí)頻二維NHZ之外的最大異相周期Hamming自相關(guān)為Ha、最大周期Hamming互相關(guān)為Hc,對于任意的正整數(shù)0≤Znt≤L-1,0≤Znf≤q-1,有:

    當(dāng)Znt=0,即時(shí)域上不存在NHZ時(shí),

    q(L-1)(Znf+1)Ha+
    q(M-1)(Znf+1)LHc≥

    (Znf+1)L2M-qL。

    當(dāng)Znt≠0,即時(shí)域上存在NHZ時(shí),

    q(L-Znt)(Znf+1)Ha+
    q(M-1)(L-Znt)·

    (Znf+1)Hc≥(Znf+1)(L-Znt)LM。

    證明由引理1和引理4得:

    當(dāng)Znt=0,即時(shí)域上不存在NHZ時(shí),

    ML+M(L-1)(Znf+1)Ha+M(M-1)·

    q(L-1)(Znf+1)Ha+q(M-1)·

    (Znf+1)LHc≥(Znf+1)L2M-qL。

    當(dāng)Znt≠0,即時(shí)域上存在NHZ時(shí),

    M(L-Znt)(Znf+1)Ha+M(M-1)(L-Znt)·

    q(L-Znt)(Znf+1)Ha+q(M-1)·

    (L-Znt)(Znf+1)Hc≥

    (Znf+1)(L-Znt)LM。

    證畢。

    推論1設(shè)頻率F={f0,f1,…,fq-1}是大小為q的頻率集合,S是F上序列數(shù)目為M,長度為L的FHSS,[0,Znt]×[0,Znf]是S的頻域非周期移位的時(shí)頻二維NHZ,時(shí)頻二維NHZ之外的最大異相周期Hamming自相關(guān)為Ha、最大周期Hamming互相關(guān)為Hc,對于任意的正整數(shù)0≤Znt≤L-1,0≤Znf≤q-1,Hm=max{Ha,Hc},則

    當(dāng)Znt=0,即時(shí)域上不存在NHZ時(shí):

    當(dāng)Znt≠0,即時(shí)域上存在NHZ時(shí):

    證明由定理1得:

    當(dāng)Znt=0,即時(shí)域上不存在NHZ時(shí),

    q(L-1)(Znf+1)Ha+q(M-1)·

    (Znf+1)LHc≥(Znf+1)L2M-qL,

    q(L-1)(Znf+1)Hm+q(M-1)·

    (Znf+1)LHm≥(Znf+1)L2M-qL,

    當(dāng)Znt≠0,即時(shí)域上存在NHZ時(shí),

    q(L-Znt)(Znf+1)Ha+q(M-1)(L-Znt)·

    (Znf+1)Hc≥(Znf+1)(L-Znt)LM,

    q(L-Znt)(Znf+1)Hm+q(M-1)(L-Znt)·

    (Znf+1)Hm≥(Znf+1)(L-Znt)LM,

    證畢。

    令推論1情況一中Znf=0,那么得到FHSS周期Hamming相關(guān)理論界。

    推論2設(shè)頻率F={f0,f1,…,fq-1}是頻隙大小為q的頻率集合,S是F上序列數(shù)目為M,長度為L的FHSS,則S的周期Hamming自相關(guān)最大旁瓣Ha、周期Hamming互相關(guān)峰值Hc和最大周期Hamming相關(guān)Hm滿足

    q(L-1)Ha+q(M-1)LHc≥L2M-qL,

    上述結(jié)論是Peng、Fan在2004年第一次推導(dǎo)得到的。

    3 一類跳頻序列強(qiáng)相關(guān)性分析

    (11)

    其中,k=0,1,…,q-1,i=0,1,…,Z。

    2) 對于k=0,1,…,q-1,m=0,1,…,L(Z+1)-1取

    (12)

    其中m=0,1,…,L(Z+1)-1,〈x〉n=xmodn。

    定理2上述得到的跳頻序列集S具有如下性質(zhì):

    1) 時(shí)頻二維NHZ為[0,Z]×[0,N]。

    2) 序列長度為(Z+1)L,序列個(gè)數(shù)為q,時(shí)域NHZ邊界為Z,頻域NHZ邊界為N。

    3) 時(shí)頻二維NHZ最大異相自相關(guān)值為(Z+1)Ha,最大互相關(guān)值為(Z+1)Hc。

    證明跳頻序列集C={C(i)|i=0,1,…,Z}是不同頻率集{F(i)|i=0,1,…,Z}上的FHSS,基于等式(12)可得到序列集S的序列長度為L(Z+1),序列個(gè)數(shù)為q。接下來進(jìn)一步證明序列集S的時(shí)頻二維NHZ為[0,Z]×[0,N],基于等式(11)與函數(shù)h[x,y]得

    (13)

    跳頻序列集C={C(i)|i=0,1,…,Z},任意C(i)是滿足Peng-Fan界的FHSS,故C(i)最大周期Hamming相關(guān)Hm滿足Peng-Fan理論界,即

    對于(τ,υ)∈[Znt+1,L-1]×[0,Znf]上,接下來分別討論序列集S的最大異相自相關(guān)值和最大互相關(guān)值。

    1) 最大異相自相關(guān)值

    考慮Hamming相關(guān)函數(shù)Hs(k)s(k)(τ,υ),基于提出的構(gòu)造方法可得到:

    因?yàn)樘l序列集C最大異相Hamming自相關(guān)為Ha, 對于i=0,1,…,Z有

    由此可得序列集S的最大異相自相關(guān)為(Z+1)Ha。

    2) 最大互相關(guān)值

    因?yàn)樘l序列集C最大Hamming互相關(guān)為Hc,對于i=0,1,…,Z有

    由此可得序列集S的最大異相自相關(guān)為(Z+1)Hc。

    跳頻序列集C最大Hamming相關(guān)Hm=max{Ha,Hc},通過上述討論可得出序列集S的最大Hamming相關(guān)為(Z+1)Hm,即

    實(shí)例:

    令Z=2,N=2,F(xiàn)={0,1,2,…,44},從F中選取F(0)={0,3,6,9,12}共5個(gè)頻隙,其中任意兩個(gè)頻隙間隔大于等于3,同理得到頻率集F(1)={15,18,21,24,27},F(xiàn)(2)={30,33,36,39,42}。跳頻序列集C={C(0),C(1),C(2)}分別從F(0),F(xiàn)(1),F(xiàn)(2)上得到的,序列集C具體如下所示:

    C(0)={(3,3,6,12,6);(6,6,9,0,9);(9,9,12,3,12);

    (12,12,0,6,0);(0,0,3,9,3)},

    C(1)={(18,18,21,27,21);(21,21,24,15,24);

    (24,24,27,18,27);(27,27,15,21,15);

    (15,15,18,24,18)},

    C(2)={(33,33,36,42,36);(36,36,39,30,39);

    (39,39,42,33,42);(42,42,30,36,30);

    (30,30,33,39,33)},

    由等式(12),得到跳頻序列如下所示:

    s(0)=(3,18,33,3,18,33,6,21,

    36,12,27,42,6,21,36),

    s(1)=(6,21,36,6,21,36,9,24,39,

    0,15,30,9,24,39),

    s(2)=(9,24,39,9,24,39,12,27,

    42,3,18,33,12,27,42),

    s(3)=(12,27,42,12,27,42,0,15,

    30,6,21,36,0,15,30),

    s(4)=(0,15,30,0,15,30,3,18,

    33,9,24,39,3,18,33),

    令S={s(0),s(1),s(2),s(3),s(4)},時(shí)頻二維NHZ為[0,2]×[0,2],時(shí)頻二維NHZ外最大周期Hamming自相關(guān)Ha(S)=3、互相關(guān)Hc(S)=3,最大周期Hamming相關(guān)Hm(S)=3。

    將涉及的參數(shù)代入推導(dǎo)的強(qiáng)時(shí)頻二維無碰撞區(qū)FHSS的頻域非周期的時(shí)頻二維周期Hamming相關(guān)理論界中,可知滿足該理論界,但不能使等號成立,即不能達(dá)到最優(yōu),但仍具有很好的相關(guān)性能。

    4 結(jié)論

    文中建立了包含頻隙個(gè)數(shù)、序列長度、序列數(shù)目、時(shí)頻二維NHZ之外FHSS最大異相Hamming自相關(guān)函值和最大互相關(guān)函數(shù)值的理論界,給FHSS在時(shí)頻二維NHZ之外Hamming相關(guān)性優(yōu)化提供標(biāo)準(zhǔn)。提出了強(qiáng)時(shí)頻二維無碰撞區(qū)FHSS的概念。對一類強(qiáng)時(shí)頻二維無碰撞區(qū)FHSS的Hamming相關(guān)性進(jìn)行了分析,該類強(qiáng)時(shí)頻二維無碰撞區(qū)FHSS不是最優(yōu)的。構(gòu)造具有最優(yōu)強(qiáng)時(shí)頻二維無碰撞區(qū)FHSS是進(jìn)一步需要做的工作。

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