基于邊界積分方程方法的可穿透非均勻介質(zhì)反散射中的傳輸特征值問題*

鄭秋燕，劉立漢，陳容

重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶 401331

在聲波和電磁波的反散射問題中，傳輸特征值的性質(zhì)可以用來估計(jì)散射體材料的性質(zhì)，并且此時(shí)的傳輸特征值問題是橢圓方程特征值問題的標(biāo)準(zhǔn)理論所沒有包含的非線性、非自伴隨特征值問題。因此，對(duì)反散射問題中的傳輸特征值的研究，引起了國內(nèi)外許多學(xué)者的興趣和關(guān)注，也成為近年來一個(gè)非?；钴S的研究熱點(diǎn)，有關(guān)這方面的詳細(xì)綜述見文獻(xiàn)［1-6］。目前已經(jīng)研究了一些關(guān)于傳輸特征值的性質(zhì)，包括傳輸特征值的離散性［7-8］、實(shí)傳輸特征值的存在性［7，9］、傳輸特征值在復(fù)平面的位置［10］和傳輸特征值在多種假設(shè)下的一般光譜性［11-12］等。同時(shí)，也涌現(xiàn)一些研究傳輸特征值問題的數(shù)學(xué)方法，包括變分法［7，13］、邊界積分方程方法［1，14-16］和半經(jīng)典分析［12，17］。尤其文獻(xiàn)［18-19］指出，從散射數(shù)據(jù)中可以確定傳輸特征值，并根據(jù)折射率可以建立傳輸特征值的單調(diào)性，這使得傳輸特征值問題的性質(zhì)分析能夠作為反散射問題研究的關(guān)鍵點(diǎn)。

本文利用邊界積分方程方法研究了可穿透非均勻介質(zhì)反散射中的傳輸特征值問題。邊界積分方程方法首先是由Cossonnière 和Haddar在傳輸特征值問題中使用，他們是利用格林公式對(duì)傳輸特征函數(shù)進(jìn)行作用，然后推導(dǎo)出一個(gè)與傳輸特征值問題等價(jià)的線性邊界積分方程組，且線性邊界積分方程組是由兩個(gè)邊界積分方程構(gòu)成，其對(duì)應(yīng)于依賴非線性特征值參數(shù)k的二乘二矩陣值算子。而本文則是只有一個(gè)線性邊界積分方程，也非線性依賴于特征值參數(shù)k，很大程度上減少了計(jì)算量。

1 可穿透非均勻介質(zhì)反散射中的傳輸特征值問題

本文的目的是從傳輸特征值的表征形式推導(dǎo)積分方程，因此根據(jù)方程組（1）～（4），定義Robin-Dirichlet 算子：

其中η＞0；根據(jù)格林積分定理可知，Re(k) ＞0，Im(k) ≥0（如果Im(k) ＜0，則可以在阻抗條件中用η＜0代替）。

引理1k是對(duì)應(yīng)于方程組（1）～（4）的傳輸特征值當(dāng)且僅當(dāng)算子

的核是非平凡的。進(jìn)一步，如果(Rk，1-Rk，n)φ= 0，那么傳輸特征值函數(shù)w，v，即方程組（1）～（4）的非平凡解是方程組（6）～（7）中任意折射率n和特殊折射率n= 1的解。

由式（7）和式（10）可知，

將式（12）代入式（11），可得

因此，Robin-Dirichlet 算子以及方程組（6）～（7）與方程組（1）～（4）是等價(jià)的，進(jìn)而可以利用Robin-Dirichlet算子以及方程組（6）～（7）去考慮傳輸特征值問題，得證。

其中“低于基本生活水平”和“窮盡其他幫助”兩項(xiàng)要件源于對(duì)法律規(guī)范的解釋，并通過政策文件的細(xì)化填充了豐富的內(nèi)容，“值得救助”源于中央與地方政策文件的內(nèi)容?？梢?，與公法上其他權(quán)利多以法律規(guī)范為根基，輔之以適當(dāng)?shù)恼呓忉尣煌?，社?huì)救助權(quán)從要件解釋到要件構(gòu)造都明顯地依賴于政策的作用，而此時(shí)的法律規(guī)范更像是一幅未完成的畫作，填充顏色或是補(bǔ)充空白均需政策予以完成。就此意義上，我國當(dāng)下的社會(huì)救助權(quán)具有強(qiáng)烈的政策意味，“法味”不足，呈現(xiàn)出以下特點(diǎn)：

為了用邊界積分算子來表示Robin-Dirichlet 算子，引入單層勢(shì)算子Sk：

其中

于是得到

其中w∈H2(D)，使得w=τ且?w/?νA= 0.

2 Robin-Dirichlet算子的相關(guān)性質(zhì)

根據(jù)Robin問題：

的唯一性，在k= i和η= i的情況下，引理3同樣成立。

通過以上分析，可以用邊界積分算子表示Robin-Dirichlet算子，即：

進(jìn)一步分析Robin-Dirichlet算子關(guān)于k，kn的差：

于是，有以下正則性結(jié)論。

引理4 線性算子

將式（20）化為

證明 對(duì)任意u，v∈H2(D)，有

其中任意u∈H2(D)，存在常數(shù)c?＞0.

進(jìn)一步得到

因此，得到邊界條件

這里令v=uˉ，將式（27）～（30）代入式（25），有

并且有

其中F(u，ui) ∈L2(D)，且