橢圓余弦波對(duì)外圓弧透空薄壁雙圓筒柱的繞射*

黃坤輝，黃華，詹杰民，才瀚濤

中山大學(xué)航天航空學(xué)院應(yīng)用力學(xué)與工程系，廣東 廣州 510275

直立圓柱是近海離岸建筑支撐結(jié)構(gòu)的重要形式之一，剛性圓弧型薄壁則為用于抵御波浪作用的各類防波堤中的典型而簡便的結(jié)構(gòu)形式之一。外圓弧透空薄壁內(nèi)接圓柱構(gòu)成了一種新型的海工典型組合結(jié)構(gòu)，其中外接單一或不同圓心角雙層圓弧薄壁可直接提供對(duì)內(nèi)接圓柱的防護(hù)，也可由其演化出多層透空?qǐng)A環(huán)柱或單層圓弧堤內(nèi)接圓環(huán)柱等多種海工結(jié)構(gòu)，因此對(duì)其展開與波浪相互作用問題的理論研究意義十分重大。Wiegel［1］計(jì)算了半無限長薄壁直立防波堤的水波繞射問題。Losada 等［2］解析研究了斜入射線性波浪對(duì)三種不同類型直立薄板的波浪力及繞射波面。張芹等［3］用實(shí)驗(yàn)方法分別研究了規(guī)則波和隨機(jī)波浪對(duì)開口直立墻和不開口直墻波浪作用力。程建生等［4］和楚玉川等［5］各自解析分析了單一圓弧型防波堤的Airy 波防浪效果和對(duì)應(yīng)的波浪力。 此外，Chwang［6］推導(dǎo)了微幅波與透空直墻的相互作用解析解，計(jì)算了透空直板造波器上的波浪力。Darwiche 與Williams 等［7-8］對(duì)內(nèi)圓柱外接圓柱型透空防波堤結(jié)構(gòu)的波浪繞射展開了理論計(jì)算。Williams等［9］給出了微幅波對(duì)透空浮筒繞射的理論公式。劉俊和林皋［10］應(yīng)用比例邊界有限元法，對(duì)微幅短峰波與圓柱外接圓弧開孔結(jié)構(gòu)物的相互作用進(jìn)行了數(shù)值研究。林皋和劉?。?1-12］應(yīng)用同樣的數(shù)值方法模擬了Airy 波對(duì)雙層圓弧型貫底式開孔介質(zhì)防波堤以及圓柱外接同圓心角雙層防波堤的繞射。

防波堤及其所保護(hù)的柱體結(jié)構(gòu)主要設(shè)置在近岸水域。在淺水區(qū)，水波一般呈現(xiàn)非線性淺水波特征，一定條件下需要引入橢圓余弦波的淺水波模型加以研究。Issacson［13］首先給出了一階橢圓余弦波對(duì)單立大尺度圓柱繞射的解析理論；邱大洪［14］據(jù)此對(duì)橢圓余弦波作用于大尺度單柱的繞射波面分布進(jìn)行了預(yù)測(cè)；Weng等［15］推廣Airy波的柱群算法解析計(jì)算了橢圓余弦波一階分量與透空?qǐng)A環(huán)柱群的波浪力及爬高；張敖等［16］計(jì)算了橢圓余弦波對(duì)單一圓弧型防波堤的波浪作用。本文選取不同圓心角雙層圓弧型透空薄壁內(nèi)接圓柱這一經(jīng)典的海工可變組合結(jié)構(gòu)，引入淺水波中的橢圓余弦波一階分量理論，對(duì)該結(jié)構(gòu)的淺水波繞射問題展開了解析研究。

1 橢圓余弦波對(duì)外接圓弧透空薄壁之圓柱組合結(jié)構(gòu)繞射的一階波勢(shì)解

設(shè)在均勻水深為d的海域中有半徑分別為a和b的外層與內(nèi)層圓弧透空薄壁，以及半徑為c的內(nèi)圓柱的組合結(jié)構(gòu)，如圖1所示。外層與內(nèi)層薄壁透空系數(shù)分別為G1和G2。坐標(biāo)平面Oxy置于水底，原點(diǎn)置于圓心處，設(shè)置外層透空薄壁關(guān)于Ox軸對(duì)稱，圓弧兩端點(diǎn)與原點(diǎn)連線同Ox軸正向夾角分別為θ1=α1，θ1= 2π -α1，外層壁對(duì)應(yīng)的圓心角為γ1= 2π - 2α1，內(nèi)層壁對(duì)稱位于θ2=α2至θ2=2π -α2間，內(nèi)層壁對(duì)應(yīng)的圓心角為γ2= 2π - 2α2。Oz軸垂直向上，斜入射橢圓余弦波一階分量與Ox軸正向夾角為β，波高與波頻分別為H和ω。以半徑a和b劃同心圓環(huán)柱面，流場由此劃分為外流域Ω0、內(nèi)流域Ω1和Ω2。

圖1 雙層外圓弧透空薄壁圓環(huán)筒柱結(jié)構(gòu)Fig.1 Concentric cylindrical structure with double-layered arc-shaped porous outer thin wall

對(duì)于理想無粘流體，假定液體不可壓縮且運(yùn)動(dòng)無旋。設(shè)水波總速度勢(shì)Φ=Φi+Φs= Re(φ) =Re(φi+φs)，則有

其中φi和φs分別表示入射波和散射波速度勢(shì)。另φ與φs須滿足結(jié)構(gòu)表面條件與無窮遠(yuǎn)輻射條件。

根據(jù)橢圓余弦波一階分量理論［13］，沿Ox軸方向入射的橢圓余弦波一階波勢(shì)可寫為

式中

由同心圓環(huán)柱物面及非物面處的邊界條件，參考文獻(xiàn)［17］可得系數(shù)求解公式

其中

各區(qū)波勢(shì)解待定系數(shù)可由式（12）～（19）進(jìn)行聯(lián)立完備求解。在實(shí)際計(jì)算中，可根據(jù)精度要求進(jìn)行截項(xiàng)運(yùn)算。

對(duì)應(yīng)區(qū)域Ωj的繞射波面η(j)和海水動(dòng)壓強(qiáng)分別為

2 算例與分析

取內(nèi)、外薄壁圓弧張角為360°，內(nèi)圓柱半徑為c= 0，結(jié)構(gòu)即化為單層透空?qǐng)A環(huán)柱結(jié)構(gòu)，再按文獻(xiàn)［17］同結(jié)構(gòu)相同參數(shù)進(jìn)行設(shè)置。圖2給出了單層透空?qǐng)A環(huán)柱所受最大無量綱波浪力與文獻(xiàn)［17］對(duì)應(yīng)值的比較結(jié)果。由圖可知，在相同參數(shù)下兩種不同波浪繞射解對(duì)同一圓環(huán)柱的無量綱最大總波浪力（內(nèi)外柱合力）的預(yù)測(cè)結(jié)果完全吻合，說明本文所給雙層圓弧薄壁內(nèi)接圓柱的橢圓余弦波一階繞射解是正確可靠的。

圖2 透空?qǐng)A環(huán)柱的波浪力驗(yàn)證Fig.2 The verification of wave forces on a porous circular annular cylinder

圖3為單、雙層圓弧薄壁內(nèi)接圓柱與單一同徑密實(shí)圓柱的最大無量綱波浪力的比較結(jié)果。其中單層壁情形對(duì)應(yīng)外圓弧壁張角取120°，內(nèi)圓弧壁張角為0°，此時(shí)結(jié)構(gòu)化為單層圓弧透空薄壁內(nèi)接密實(shí)圓柱。

圖3 單、雙層壁內(nèi)接圓柱保護(hù)效果的比較Fig.3 Comparison of protection effects of inscribed cylinder with single-layered arc-shaped outer thin wall and double-layered arc-shaped outer thin walls

由圖可見，單一圓柱的無量綱波浪力幅值最大，單層圓弧薄壁內(nèi)接圓柱的對(duì)應(yīng)值次之，而雙層圓弧透空薄壁內(nèi)接圓柱的對(duì)應(yīng)值最小。單、雙層圓弧薄壁使其內(nèi)接圓柱所受最大無量綱波浪力較單一圓柱對(duì)應(yīng)值最大分別可減小58%和83%，說明外置透空?qǐng)A弧薄壁可以大幅度降低內(nèi)圓柱的承載，其中雙層壁降載效果更為明顯。

內(nèi)、外層薄壁不同透空系數(shù)組合形式下，雙層圓弧透空薄壁內(nèi)接圓柱組合結(jié)構(gòu)的最大無量綱波浪力如圖4所示。透空形式包括：外壁和內(nèi)壁均密實(shí)，外壁密實(shí)內(nèi)壁透空，外壁透空內(nèi)壁密實(shí)以及外壁內(nèi)壁均透空四種。由圖可知，采用外壁與內(nèi)壁均密實(shí)的結(jié)構(gòu)形式將導(dǎo)致內(nèi)、外壁以及內(nèi)圓柱結(jié)構(gòu)的無量綱波浪力幅值在kd較小時(shí)（kd＜0.5）隨kd的變化曲線均出現(xiàn)較大振蕩。而外壁密實(shí)內(nèi)壁透空時(shí)外壁曲線與雙壁均密實(shí)振蕩形態(tài)相似。同樣，內(nèi)壁密實(shí)外壁透空時(shí)內(nèi)壁曲線與雙壁均密實(shí)振蕩形態(tài)相似且波浪力幅值的振蕩幅度與最大值更大。當(dāng)kd＜0.5 時(shí)，外壁與內(nèi)壁之一密實(shí)或均密實(shí)時(shí)內(nèi)柱對(duì)應(yīng)曲線呈現(xiàn)振蕩形態(tài)且波浪力幅值整體較大。外壁與內(nèi)壁均透空時(shí)內(nèi)柱的對(duì)應(yīng)曲線隨kd變化相對(duì)平緩且無量綱波浪力幅值平均而言減小。內(nèi)外壁自身的透空也將一定程度降低它們自身結(jié)構(gòu)的波浪力幅值并明顯平緩振蕩態(tài)勢(shì)。對(duì)比四種不同透空組合形式，從三個(gè)結(jié)構(gòu)各自波浪力幅值角度考慮，采用雙壁均透空的結(jié)構(gòu)形式較為合適。

圖4 不同雙壁透空系數(shù)下組合結(jié)構(gòu)的波浪力Fig.4 The wave forces on combined bodies at different porous coefficients of double-layered walls

圖5 為波浪入射角β對(duì)雙層圓弧透空薄壁內(nèi)接圓柱組合結(jié)構(gòu)的最大無量綱波浪力的影響趨勢(shì)。由圖可見，當(dāng)kd＜2時(shí)，波浪入射角越大，內(nèi)、外層薄壁無量綱波浪力幅值越小，相反內(nèi)圓柱的對(duì)應(yīng)值越大?，F(xiàn)設(shè)內(nèi)、外層薄壁張角均等于γ，圖6為γ不同時(shí)組合結(jié)構(gòu)最大無量綱波浪力隨kd的變化趨勢(shì)。由圖可知，當(dāng)kd＞0.5 時(shí)，內(nèi)、外層薄壁張角γ變化對(duì)組合結(jié)構(gòu)各部分的波浪力幅值均影響較小。當(dāng)kd＜0.5 時(shí)，隨著張角γ的減小外壁與內(nèi)壁的無量綱波浪力幅值隨之減小，而內(nèi)圓柱的對(duì)應(yīng)值有所增加。

圖5 不同入射角β下最大無量綱波浪力隨kd的變化Fig.5 The variation of maximum dimensionless wave forces with kd at different incident wave angle β

圖6 不同張角γ下最大無量綱波浪力隨kd的變化Fig.6 The variation of maximum dimensionless wave forces with kd at different central angle γ

進(jìn)一步設(shè)內(nèi)層薄壁張角γ2= 120°保持不變，圖7為外壁張角γ1不同時(shí)組合結(jié)構(gòu)最大無量綱波浪力隨kd的變化趨勢(shì)。由圖可知：內(nèi)壁無量綱波浪力幅值基本不隨kd變化。外壁的對(duì)應(yīng)值僅當(dāng)kd＜0.5 時(shí)隨著外壁張角的減小而略微減小，同時(shí)內(nèi)圓柱的對(duì)應(yīng)值略有增加。這說明在雙層薄壁設(shè)計(jì)中可選擇較小外壁張角的外壁以明顯減小外壁弧長而節(jié)省建造成本，而此方案對(duì)組合各結(jié)構(gòu)的對(duì)應(yīng)承載均影響較小。

圖7 不同薄壁張角γ1下最大無量綱波浪力隨kd的變化Fig.7 The variation of maximum dimensionless wave forces with kd at different central angle γ1

圖8 不同kd下最大無量綱波浪力隨特征參數(shù)λ的變化Fig.8 The variation of maximum dimensionless wave forces with characteristic parameter λ at different kd

圖9為相同條件下橢圓余弦波一階繞射理論與微幅波繞射理論對(duì)雙層圓弧透空薄壁內(nèi)接圓柱組合結(jié)構(gòu)波浪力幅值的比較。對(duì)比圖中曲線可知，相較微幅波波浪模型，利用非線性波浪模型計(jì)算波載的方法所得無量綱波浪力更大，再考慮淺水波的實(shí)際波高必然大于微幅波值，則非線性波的實(shí)際最大波浪力必然大于微幅波值。這說明在淺水工況下，運(yùn)用本文方法所給結(jié)果相對(duì)更加可靠。

圖9 不同波型作用于組合結(jié)構(gòu)的波浪力對(duì)比Fig.9 Comparison of wave forces on combined bodies given by different wave theories

圖10 為橢圓余弦波與淺水條件下微幅波對(duì)雙層圓弧薄層內(nèi)接圓柱繞射的最大無量綱波面分布剖面(y= 0)比較。由圖可見，橢圓余弦波對(duì)最大波面值的預(yù)測(cè)值整體大于Airy 波理論的計(jì)算值。外流域、中層流域及內(nèi)流域分別在外層薄壁、內(nèi)層薄壁和內(nèi)圓柱的前壁面處出現(xiàn)相應(yīng)流域內(nèi)的最大波面峰值，其值分別為Airy 波對(duì)應(yīng)值的1.8 倍、1.8 倍和3.5 倍。該結(jié)論再次表明：在一定的淺水條件下，橢圓余弦波模型因考慮了淺水波綜合影響因素，其對(duì)波浪作用的估算更為安全可靠。

圖10 不同波型作用于組合結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的最大波面剖面Fig.10 Comparison of maximum wave elevations of different waves acting on the combined structure

取外圓弧張角為120°，內(nèi)圓弧張角為0°，組合結(jié)構(gòu)化為單層圓弧透空薄壁內(nèi)接密實(shí)圓柱結(jié)構(gòu)。圖11 為單、雙壁內(nèi)接圓柱結(jié)構(gòu)在橢圓余弦波作用下產(chǎn)生的最大繞射波面分布截面對(duì)比。結(jié)果表明：由于外圓弧透空薄壁對(duì)入射波浪的直接遮攔作用，相較于雙層結(jié)構(gòu)，單層結(jié)構(gòu)內(nèi)圓柱表面的最大波浪爬高以及內(nèi)圓柱前鄰近的最大波幅均有明顯降低，較好地體現(xiàn)了外層圓弧薄壁對(duì)中心區(qū)圓柱的防浪保護(hù)作用。

圖11 波浪作用于不同組合結(jié)構(gòu)的最大波面的剖面Fig.11 Comparison of maximum wave elevations distribution around different combined structures

圖12 為單層或雙層壁內(nèi)接圓柱與單一圓柱表面最大波浪爬高的比較。結(jié)果表明：由于薄壁對(duì)波浪的遮攔作用，單、雙層圓弧薄壁內(nèi)接圓柱最大波浪爬高較單一圓柱對(duì)應(yīng)值明顯減小，且雙層圓弧薄壁內(nèi)接圓柱的最大波浪爬高較單層薄壁情形的對(duì)應(yīng)值更小。

圖12 透空薄壁之內(nèi)接柱與單柱波浪爬高的對(duì)比Fig.12 Comparison of wave run-ups on a single cylinder and inscribed cylinder with single or double-layered arc-shaped outer thin walls

3 結(jié) 論

本文給出了橢圓余弦波一階分量對(duì)不同圓心角雙層透空薄壁內(nèi)接圓柱繞射的解析理論，從而在波浪類型、結(jié)構(gòu)類型以及研究方法類型上均進(jìn)行了有效拓展，主要結(jié)論包括：

1）應(yīng)用本文理論和已有的透空?qǐng)A環(huán)柱淺水波繞射解進(jìn)行了實(shí)算比較，結(jié)果良好。

2）本文方法所預(yù)測(cè)的最大波浪作用均大于同等淺水條件下微幅波模型的對(duì)應(yīng)結(jié)果，說明此方法具有一定的可靠性與實(shí)用價(jià)值。

3）相比單一圓柱，單、雙層薄壁的設(shè)置可以有效減小內(nèi)接圓柱所受到的最大波浪載荷與圓柱表面的最大波浪爬高，其中雙層壁較單層壁對(duì)圓柱波浪作用的降低效果更為明顯。

4）適當(dāng)選擇張角較小的外層圓弧薄壁可縮短外堤長度而節(jié)省成本，且對(duì)組合結(jié)構(gòu)的波載影響不大。

5）采用外壁和內(nèi)壁均透空的結(jié)構(gòu)組合形式對(duì)降低內(nèi)外層薄壁以及內(nèi)柱的最大波載相對(duì)有利。

6）淺水波入射角、薄壁張角、雙層壁透空系數(shù)以及波浪要素等均一定程度地影響波浪對(duì)組合結(jié)構(gòu)的繞射作用。組合結(jié)構(gòu)的橢圓余弦波實(shí)際最大波浪力隨淺水波特征參數(shù)的增加而增加。