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    基于整體性思維的數(shù)學(xué)起始課教學(xué)研究

    2022-06-08 18:39:43何建余李婉玥唐恒鈞
    關(guān)鍵詞:共通性發(fā)展性基礎(chǔ)性

    何建余 李婉玥 唐恒鈞

    【摘? ?要】關(guān)注起始課在單元教學(xué)和知識(shí)板塊中的價(jià)值,基于整體性思維反思起始課的教學(xué),對(duì)新課改背景下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要意義。以北師大版教材三年級(jí)下冊(cè)除法單元起始課《分桃子》為例,提出起始課要挖掘與后續(xù)學(xué)習(xí)的基本共通點(diǎn),夯實(shí)與后續(xù)學(xué)習(xí)共通的抓手,進(jìn)而奠基學(xué)生整體性知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

    【關(guān)鍵詞】起始課;基礎(chǔ)性;發(fā)展性;共通性;整體性思維

    “數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué),要注重知識(shí)的‘生長(zhǎng)點(diǎn)與‘延伸點(diǎn),把每堂課教學(xué)的知識(shí)置于整體知識(shí)的體系中,注重知識(shí)的結(jié)構(gòu)和體系,處理好局部知識(shí)與整體知識(shí)的關(guān)系,引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性……”那么,如何引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性?筆者以起始課為研究對(duì)象,從整體性思維的角度對(duì)起始課教學(xué)進(jìn)行了初步的探索,以此文與大家討論交流。

    一、起始課的重要性及學(xué)習(xí)現(xiàn)象

    起始課往往安排在數(shù)學(xué)教材每個(gè)單元的第一課,是本單元或者同板塊知識(shí)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ),所以它具有基礎(chǔ)性,同時(shí)它對(duì)學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)起著知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、方法等方面的奠基作用,因而它又具有發(fā)展性。教材在起始課中安排的內(nèi)容往往是描述性知識(shí),學(xué)生通過(guò)語(yǔ)言描述進(jìn)行識(shí)記。例如《分桃子》一課的重點(diǎn)是除法的豎式計(jì)算,難點(diǎn)是理解除法豎式每一步的意義,學(xué)生可以通過(guò)死記硬背、模仿等方式習(xí)得知識(shí)。因此,學(xué)生能正確列出除法豎式,但未必明白除法豎式這么寫的原因;學(xué)生能說(shuō)出除法豎式每一步的意思,卻未必真理解。在日常教學(xué)中,確實(shí)有部分學(xué)生對(duì)于除法豎式的正確書(shū)寫和意義描述,靠的是死記硬背和大量重復(fù)性練習(xí)。這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程讓學(xué)生的思維只是停留在知識(shí)的表面,他們看似掌握了知識(shí),實(shí)則沒(méi)有真正理解知識(shí)的來(lái)龍去脈,未能感受到數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系,不能由此及彼。因此,如何關(guān)注起始課的基礎(chǔ)性和發(fā)展性,以整體性思維進(jìn)行起始課教學(xué),值得我們研究與探討。

    二、起始課以挖掘與后續(xù)學(xué)習(xí)的共通性為設(shè)計(jì)關(guān)鍵

    數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的共通性指相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容在理解上具有相通點(diǎn),它是單元學(xué)習(xí)的基礎(chǔ),貫穿于單元學(xué)習(xí)的始終。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的理解和學(xué)習(xí)具有一致性、連貫性和階段性的特點(diǎn)。教師在單元學(xué)習(xí)的起始階段,要從學(xué)生理解的角度發(fā)掘單元學(xué)習(xí)內(nèi)容的共通性,為整個(gè)系列內(nèi)容的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。如北師大版教材三年級(jí)下冊(cè)“兩、三位數(shù)除以一位數(shù)的筆算除法”的知識(shí)、技能和數(shù)學(xué)思想方法與四年級(jí)上冊(cè)“三位數(shù)除以兩位數(shù)的筆算除法”是相通的,兩者具有一致性,這種在前后知識(shí)學(xué)習(xí)中相近或相通的知識(shí)、技能和數(shù)學(xué)思想方法體現(xiàn)了學(xué)習(xí)的共通性。本單元的學(xué)習(xí)重點(diǎn)是兩、三位數(shù)除以一位數(shù),商是兩位數(shù)的除法豎式計(jì)算。在此之前,學(xué)生在二年級(jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩位數(shù)除以一位數(shù),商是一位數(shù)的除法豎式。本單元的除法豎式,要兩步求商,在列除法豎式的過(guò)程中要思考“先寫哪步,后寫哪步”,即本課是學(xué)生探究“除法豎式從高位算起”的起始課,而學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)兩位數(shù)甚至更多位數(shù)除以一位數(shù)以及三位數(shù)除以兩位數(shù)的豎式計(jì)算,均要運(yùn)用“除法豎式從高位算起”這一運(yùn)算法則??梢?jiàn),本課探究的運(yùn)算法則與今后將學(xué)的所有除法豎式具有共通性。

    本課時(shí)教材安排的題型有兩種:(1)被除數(shù)十位、個(gè)位上的數(shù)都是除數(shù)的整數(shù)倍,如68÷2;(2)被除數(shù)十位上的數(shù)是除數(shù)的整數(shù)倍,個(gè)位上的數(shù)不是除數(shù)的整數(shù)倍,如68÷3。這兩類除法算式看起來(lái)不一樣,但它們的計(jì)算過(guò)程具有很強(qiáng)的相似性,不管先從被除數(shù)高位算起還是先從被除數(shù)低位算起,難易程度都是一樣的,這是由于這兩類被除數(shù)的十位數(shù)都是除數(shù)的整數(shù)倍,計(jì)算過(guò)程中不會(huì)產(chǎn)生“被除數(shù)的十位數(shù)有剩余,與個(gè)位數(shù)合一起繼續(xù)除”的情況,從而導(dǎo)致學(xué)生在動(dòng)手“分小棒”求商的過(guò)程中,無(wú)法區(qū)分是“從高位分到低位”還是“從低位分到高位”的情況,這對(duì)學(xué)生體驗(yàn)“除法豎式從高位算起”的必要性造成很大干擾。因此,為引導(dǎo)學(xué)生充分體驗(yàn)“除法豎式從高位算起”這一看似人為規(guī)定的運(yùn)算法則的合理性,筆者對(duì)本課教材中的“分一分”環(huán)節(jié)進(jìn)行了調(diào)整,把第二課時(shí)“被除數(shù)的十位數(shù)有剩余,與個(gè)位數(shù)合一起繼續(xù)除(48÷3)”的類型整合到本課的“分一分”環(huán)節(jié)中,引導(dǎo)學(xué)生在兩種類型的“分一分”中發(fā)現(xiàn)“先分個(gè)位數(shù)再分十位數(shù)”的局限性以及“先分十位數(shù)再分個(gè)位數(shù)”的合理性,進(jìn)而為理解“除法豎式從高位算起”建立具體、直觀的表象。

    教師設(shè)計(jì)了以下教學(xué)步驟。首先,借助情境圖引出兩個(gè)問(wèn)題:(1)有68個(gè)桃子,平均分給2只猴子,每只猴子分到多少個(gè)?(2)有48根胡蘿卜,平均分給3只兔子,每只兔子分到多少根?讓學(xué)生獨(dú)立思考。接著,請(qǐng)兩位學(xué)生用分小棒的方式展示68÷2的不同過(guò)程:一位學(xué)生先分十位再分個(gè)位;另一位學(xué)生先分個(gè)位再分十位。學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩種分法結(jié)果相同。最后,引導(dǎo)學(xué)生用分小棒的方式展示48÷3的過(guò)程,組織全班交流,總結(jié)得出:對(duì)于48÷3這一算式,先分十位上的數(shù),再分個(gè)位上的數(shù)會(huì)更簡(jiǎn)單,因此,我們?cè)诜中“魰r(shí)一般都從被除數(shù)的高位開(kāi)始分。教師板書(shū)展示分物過(guò)程(如圖1),突出不同方法之間的差異。

    由此,學(xué)生在接下來(lái)的探究除法豎式的過(guò)程中,便能較為容易地明白“除法豎式從高位算起”的合理性。這樣,對(duì)于“除法豎式從高位算起”這一運(yùn)算法則,學(xué)生不是被動(dòng)接受的,而是在經(jīng)歷了鮮明對(duì)比、充分體驗(yàn)的過(guò)程后,自然而然地接受并運(yùn)用這一運(yùn)算法則的。

    三、起始課的落實(shí)以夯實(shí)與后續(xù)學(xué)習(xí)共通的學(xué)習(xí)活動(dòng)為關(guān)鍵

    除法豎式是除法求商的基本方法,可減輕學(xué)生計(jì)算過(guò)程中的思維負(fù)擔(dān)?!斗痔易印芬徽n是學(xué)生第一次學(xué)習(xí)兩步求商的除法豎式,雖然學(xué)生不借助除法豎式也能用口算求出商,但他們后續(xù)需要學(xué)習(xí)借助除法豎式求商的除法。為此,學(xué)生是否真正理解兩步求商除法豎式的法則,影響著他們后續(xù)對(duì)除法豎式理解與掌握的程度。學(xué)生理解了除法豎式計(jì)算從“高位算起”這一運(yùn)算法則后,并不代表他們就能正確列出除法豎式。圖2呈現(xiàn)的豎式較為普遍。

    圖2中的除法豎式,把口算過(guò)程“安裝”到了豎式中,這在被除數(shù)的十位數(shù)剛好能平均分完的情況下才成立,而在被除數(shù)的十位數(shù)不能平均分完有剩余的情況下,就沒(méi)法這樣表示了。另外,這樣的豎式并不能很好地表示“先分十位數(shù)再分個(gè)位數(shù)”的平均分物過(guò)程。除法豎式在四則運(yùn)算中是較難的一種法則。歷史上出現(xiàn)過(guò)許多現(xiàn)在看起來(lái)極其煩瑣的計(jì)算方法,但不論是中國(guó)古代的“算籌計(jì)算法”、中世紀(jì)歐洲的“帆船除法”,還是現(xiàn)代的“短除法”“長(zhǎng)除法”,都將除法計(jì)算按一定順序分解為更簡(jiǎn)單的步驟,并將中間結(jié)果和最終結(jié)果記錄下來(lái),具體表現(xiàn)為“分層書(shū)寫”,這也是這方面內(nèi)容學(xué)習(xí)的重要抓手??梢?jiàn),除法豎式是程序性運(yùn)算,反映了“平均分”的過(guò)程。53C3CCE4-6F79-4661-9CCB-61C30CC11F70

    教學(xué)中,教師可以在“平均分物”的基礎(chǔ)上,引導(dǎo)學(xué)生思考怎樣用豎式把剛才的分物過(guò)程一步一步記錄下來(lái)。如,十位上的6個(gè)十和個(gè)位上的8個(gè)一,分別是怎么分的,該怎么記錄,即要分成“幾個(gè)十”和“幾個(gè)一”兩部分,這是筆算的算理,從而加深對(duì)“先分高位,再分低位;數(shù)位對(duì)齊”的算法的體驗(yàn)。

    這樣,在教學(xué)列豎式計(jì)算前,先引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作“擺小棒”,再通過(guò)語(yǔ)言表征,和同學(xué)說(shuō)一說(shuō)分物過(guò)程,最后進(jìn)行抽象歸納。學(xué)生總結(jié)形成除法豎式的書(shū)寫格式,理解和掌握除法豎式的書(shū)寫過(guò)程。這樣,學(xué)生在學(xué)習(xí)后續(xù)的除法豎式時(shí),能順利遷移相關(guān)經(jīng)驗(yàn)、方法,增強(qiáng)后續(xù)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。

    四、起始課應(yīng)基于整體知識(shí)脈絡(luò)將學(xué)生思維引向“遠(yuǎn)方”

    在面對(duì)一個(gè)新的數(shù)學(xué)研究對(duì)象時(shí),教師首先要有“整體觀”,為學(xué)生構(gòu)建研究的整體框架,再在“獲得研究對(duì)象就是要讓學(xué)生理解相關(guān)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延”“研究數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)就是探究它的要素,建立相關(guān)要素之間穩(wěn)定的聯(lián)系”“通過(guò)類比、推廣、特殊化等發(fā)現(xiàn)和提出值得研究的問(wèn)題”“通過(guò)建立相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系,使學(xué)生形成知識(shí)體系,更有效地解決問(wèn)題”等具有普遍意義的一般觀念的指導(dǎo)下,展開(kāi)學(xué)習(xí)和研究。可見(jiàn),教師基于整體性思維構(gòu)建起始課的教學(xué),將有效提升學(xué)生的系統(tǒng)思維,為學(xué)生建構(gòu)完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)奠定基礎(chǔ),并讓學(xué)生的思考得以自然拓展。

    “分步求商的除法豎式”這一內(nèi)容,類型有很多種,但前后知識(shí)間的共通性較多,不管是兩、三位數(shù)除以一位數(shù),還是三位數(shù)除以兩位數(shù),甚至是多位數(shù)除以多位數(shù),都要遵守基本的計(jì)算法則——“從高位算起”“除到哪一位,商就寫在那一位上面”“分層書(shū)寫”。因此,在單元起始課《分桃子》一課的教學(xué)中,教師可以將這些知識(shí)點(diǎn)及方法進(jìn)行滲透。比如教師提出兩個(gè)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生反思提煉:“通過(guò)這節(jié)課有什么收獲?接下來(lái)的數(shù)學(xué)課,我們會(huì)研究什么呢?”這兩個(gè)問(wèn)題不僅引導(dǎo)學(xué)生回憶了除法豎式的學(xué)習(xí)過(guò)程及每一步的意義,還由此打開(kāi)了學(xué)生的思維。學(xué)生紛紛提出:除法豎式會(huì)不會(huì)有特殊情況?三位數(shù)甚至更多位數(shù)除以一位數(shù)、三位數(shù)除以兩位數(shù)、小數(shù)除法該怎樣計(jì)算?……有學(xué)生甚至提出要教師出幾道更多位數(shù)除以一位數(shù)的除法算式題,因?yàn)樗麄冇X(jué)得可以把本課學(xué)到的知識(shí)、方法應(yīng)用到難度更大的除法豎式中。在這樣的學(xué)習(xí)狀態(tài)下,學(xué)生不僅有所得,更能將“已所得”轉(zhuǎn)化成后續(xù)學(xué)習(xí)的出發(fā)點(diǎn)和動(dòng)力,感受到數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系和發(fā)展,為建立整體性知識(shí)網(wǎng)絡(luò)打下良好基礎(chǔ)。

    從起始課的基礎(chǔ)性出發(fā),思考起始課的發(fā)展性,是整體性思維運(yùn)用于起始課教學(xué)的基礎(chǔ);進(jìn)而,挖掘起始課與后續(xù)學(xué)習(xí)的基本共通性,夯實(shí)與后續(xù)學(xué)習(xí)共通的基礎(chǔ),構(gòu)建學(xué)生的整體性知識(shí)脈絡(luò),是充分發(fā)揮起始課價(jià)值的有效之舉。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,如何利用起始課引導(dǎo)學(xué)生形成以整體性思維學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力,發(fā)揮起始課的價(jià)值,是值得我們深入研究的問(wèn)題。

    參考文獻(xiàn):

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