轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)中的應(yīng)用

梁燕冰（廣東省佛山市南海區(qū)獅山鎮(zhèn)羅村第二初級(jí)中學(xué)）

數(shù)學(xué)建模的過程是“分析問題—合理假設(shè)—分析模型—找到方法—建構(gòu)模型—檢驗(yàn)?zāi)Ｐ汀鉀Q問題”。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力是教師的重要任務(wù)之一，然而提起數(shù)學(xué)建模，很多學(xué)生不知道其中的內(nèi)涵，更不用說掌握建模的方法。下面，筆者談?wù)勅绾螌?shù)學(xué)建模問題歸類與轉(zhuǎn)化成學(xué)生熟悉的、易懂的數(shù)學(xué)問題，從而更好地幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)建模并掌握相關(guān)方法。

一、轉(zhuǎn)化為方程問題的數(shù)學(xué)建模

方程是指含有未知數(shù)的等式。在對(duì)實(shí)際問題建模的過程中會(huì)經(jīng)常涉及一些等量關(guān)系，此時(shí)可以在數(shù)學(xué)建模中構(gòu)建方程模型。

例1 現(xiàn)有兩塊大小相同的長(zhǎng)方體木板，用它們來測(cè)量桌子的高度，如圖1 放置并測(cè)量數(shù)據(jù)，然后改變木板的放置方法；如圖2 放置并測(cè)量數(shù)據(jù)，試計(jì)算桌子的高度。

圖1

圖2

教師引導(dǎo)學(xué)生先假設(shè)木塊的長(zhǎng)、寬和桌子的高度，然后讓學(xué)生小組討論并匯報(bào)。

解：設(shè)木塊的長(zhǎng)為acm，寬為bcm，桌子的高為xcm，

依題意，得b+x-a=100，a+x-b=120。

兩式相加，消元求出x=110。因此，桌子的高度為110 cm。

【反思】經(jīng)過師生共同探討，學(xué)生感受到了什么是數(shù)學(xué)建模，也體會(huì)到了求解成功的喜悅。同時(shí)，通過例題教師還總結(jié)了在生活中測(cè)量桌子高度的方法，讓學(xué)生感受到了學(xué)以致用的樂趣。

二、轉(zhuǎn)化為幾何問題的數(shù)學(xué)建模

幾何與人類的生活密切相關(guān)。實(shí)際生活中的數(shù)學(xué)建模問題，尤其涉及角度問題時(shí)，需要轉(zhuǎn)化為常見的幾何問題，利用銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)進(jìn)行求解。

例2如圖3，有一把搭在墻上的梯子長(zhǎng)4 m，其與地面所成的角度為45°。當(dāng)把它調(diào)整為與地面成60°角時(shí)，求梯子的頂端沿墻面上升了多少。

圖3

教師指導(dǎo)學(xué)生把梯子的兩種擺放情況簡(jiǎn)明地畫出來（如圖4），然后師生一起分析并完成解題過程。

圖4

解：梯子的頂端沿墻面上升的高度為BC=

【反思】教師引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)題設(shè)畫出幾何圖形，把題目中看似不容易表示的“梯子的頂端沿墻面上升了多少”等價(jià)轉(zhuǎn)化為“求線段BC的長(zhǎng)度”，化繁為簡(jiǎn)。此題是學(xué)生在學(xué)習(xí)三角函數(shù)時(shí)的常見題型，計(jì)算過程不復(fù)雜，重在讓學(xué)生學(xué)會(huì)把生活中的一些數(shù)學(xué)建模問題用幾何圖示分析并求解，讓學(xué)生不再認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)枯燥。

三、轉(zhuǎn)化為不等式相關(guān)的數(shù)學(xué)建模

對(duì)于生產(chǎn)決策、購(gòu)買方案、統(tǒng)籌安排等現(xiàn)實(shí)生活中的問題，可以通過分析數(shù)據(jù)，然后轉(zhuǎn)化為不等式進(jìn)行計(jì)算解決。

例3班主任讓小明和小紅用70 元獎(jiǎng)勵(lì)金去購(gòu)買鋼筆和筆記本共20件，獎(jiǎng)勵(lì)平時(shí)表現(xiàn)突出的學(xué)生。已知鋼筆每支5元，筆記本每本1元，班主任要求鋼筆的數(shù)量不少于筆記本的數(shù)量，共有多少種購(gòu)買方案？

教師先引導(dǎo)學(xué)生理解題意，并提醒學(xué)生注意取值范圍的限制，然后師生共同完成解答過程。

解：設(shè)購(gòu)買筆記本x本，依題意，得

教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)際情況取整并檢驗(yàn)，得出共有3 種購(gòu)買方案：鋼筆12 支，筆記本8 本；或者鋼筆11支，筆記本9本；或者鋼筆10支，筆記本10本。

【反思】涉及方案的建模題目對(duì)于很多學(xué)生來說都比較困難。此例題中，教師引導(dǎo)學(xué)生把題目中的兩個(gè)條件“購(gòu)買金額不超過70元”和“鋼筆的數(shù)量不少于筆記本的數(shù)量”直接轉(zhuǎn)化為不等式，列出不等式組來求解，而取整數(shù)其實(shí)就是對(duì)模型的檢驗(yàn)。此題讓學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)建模的整個(gè)過程，不僅讓學(xué)生體會(huì)了數(shù)學(xué)建模的含義，還讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)更有興趣和信心。

四、轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題的數(shù)學(xué)建模

在現(xiàn)實(shí)生活中，最大獲利、成本最低等問題可以嘗試構(gòu)建函數(shù)模型來求解。

例4某養(yǎng)豬場(chǎng)若每天投入3.2 元，則可讓一頭60 kg重的生豬每天增加2 kg。已知當(dāng)時(shí)生豬的市場(chǎng)價(jià)格為每千克20元，但同時(shí)估計(jì)每天每千克生豬價(jià)格下降0.4 元。對(duì)于該養(yǎng)豬場(chǎng)而言，當(dāng)時(shí)60 kg 重的生豬在什么時(shí)候出售可以獲得最大利潤(rùn)。

解：設(shè)在t天后出售生豬，養(yǎng)豬場(chǎng)能獲得最大利潤(rùn)，此時(shí)養(yǎng)豬場(chǎng)的投入為3.2t元，每頭生豬能賣( 20-0.4t)( 6 0+2t)元，最大利潤(rùn)為( 2 0-0.4t)( 6 0+2t)-3.2t=1 200+40t-24t-0.8t2-3.2t= -0.8t2+12.8t+1 200=-0.8(t2-16t)+1 200= -0.8(t-8)2+1 251.2。所以，在8 天后賣出生豬，可以獲得最大利潤(rùn)。

【反思】此題是一道關(guān)于二次函數(shù)的最值問題，教學(xué)時(shí)應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生配方，根據(jù)實(shí)際情況來檢驗(yàn)答案的合理性。此題中，經(jīng)過8 天后，雖然后來投入是8 ×3.2=25.6（元），但產(chǎn)出比原本的60×20=1 200（元）多了51.2元，因此是可行的。

五、轉(zhuǎn)化為統(tǒng)計(jì)問題的數(shù)學(xué)建模

統(tǒng)計(jì)知識(shí)在經(jīng)濟(jì)、管理等多領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用，實(shí)際生活中出現(xiàn)的個(gè)數(shù)和成績(jī)等問題，常常需要轉(zhuǎn)化為統(tǒng)計(jì)問題，再利用有關(guān)知識(shí)加以解決。

例5 在日常生活中，我們經(jīng)常會(huì)遇到用空瓶換汽水的問題。如果用m個(gè)空瓶可以換1 瓶新的汽水，當(dāng)原有n瓶汽水時(shí)，最多能喝到多少瓶汽水呢？

教師引導(dǎo)學(xué)生列舉一些簡(jiǎn)單、具體的實(shí)際情況來分析，如現(xiàn)有10 瓶汽水，用3 個(gè)空瓶可以換1 瓶新的，最多能喝到多少瓶汽水呢？師生共同探究得出答案：可以借來1個(gè)空汽水瓶，連同最后剩下的2個(gè)空汽水瓶一起再換1瓶新的，喝完后再還回去1個(gè)瓶子，所以最多能喝14+1=15（瓶）。教師引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般，共同解答此題。

解：每m個(gè)空瓶換1 瓶飲料，則當(dāng)擁有(m-1) 個(gè)空瓶時(shí)，就可以借1個(gè)瓶子從而換得新的1瓶，然后把借來的瓶子歸還。因此，當(dāng)喝完n瓶飲料得到n個(gè)空瓶后，又能得到瓶飲料，總共最多能喝（瓶），除不盡時(shí)則向下取整數(shù)。

【反思】題目中的量是抽象的m和n，沒有具體數(shù)量，看似很復(fù)雜，教師用特殊化方法，一步步地引導(dǎo)學(xué)生分析題意，找到解題方向，并解決特殊情況，然后從特殊情況出發(fā)探討一般情況，把看似困難的數(shù)學(xué)建模問題轉(zhuǎn)化為容易解決的統(tǒng)計(jì)問題。

在教學(xué)實(shí)踐中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生把生活中的問題轉(zhuǎn)化為方程、幾何、不等式、函數(shù)、統(tǒng)計(jì)類問題，并讓其經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程，從而讓學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模，不斷提高數(shù)學(xué)建模能力。