線性矩陣方程AXB+CXD=F的斜埃爾米特迭代解

楊 吉, 黃光鑫, 尹 鳳

(1.成都理工大學(xué) 數(shù)學(xué)地質(zhì)四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都 610059； 2.成都理工大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,成都 610059；3.成都理工大學(xué) 計(jì)算機(jī)與網(wǎng)絡(luò)安全學(xué)院(牛津布魯克斯學(xué)院),成都 610059)

針對(duì)線性矩陣方程組

AXB+CXD=F

(1)

的斜埃爾米特矩陣解的求取，提出了2個(gè)基于梯度的松弛算法，其中矩陣A、C∈r×n，B、D∈n×s和F∈r×s是已知的，而X∈Sn×n是未知的。

線性矩陣方程(1)在應(yīng)用數(shù)學(xué)和控制理論的一些領(lǐng)域中發(fā)揮著重要作用[1]。Sylvester矩陣方程在線性系統(tǒng)理論中有很多應(yīng)用，如極點(diǎn)特征結(jié)構(gòu)配置[2]、魯棒極點(diǎn)配置[3]、觀測(cè)器設(shè)計(jì)[4]、模型匹配問題[5]、廣義系統(tǒng)的正則化[6]、干擾解耦問題[7]和非交互控制[8]。Ding F.等[9]提出了一種求解矩陣方程AXB=F與Sylvester矩陣方程組(1)的迭代方法；Yuan S.F.等[10]討論了分裂四元數(shù)矩陣方程(1)的埃爾米特解；Yuan S.F.等[11]利用四元數(shù)矩陣的復(fù)雜表示，推導(dǎo)了四元數(shù)矩陣方程組(1)的2種特殊的最小二乘解：Moore-Penrose廣義逆和矩陣的克羅內(nèi)克積。

1 迭代算法

首先研究方程(1)有斜埃爾米特解的充要條件。在此基礎(chǔ)上，提出了求解方程(1)的斜埃爾米特解的改進(jìn)的梯度迭代算法。

引理1[1]矩陣方程(1)有唯一的斜埃爾米特解XS∈Sn×n的充分必要條件是矩陣方程組

(2)

有唯一的解，且通解X*∈n×n和

根據(jù)引理1，我們構(gòu)造一種改進(jìn)的梯度迭代算法來求解矩陣方程(1)的斜埃爾米特解。對(duì)于復(fù)矩陣方程AXB=F，有如下基于梯度的迭代算法[9,15]。

引理2對(duì)于復(fù)矩陣方程AXB=F，如果A是列滿秩矩陣，B是行滿秩矩陣，則基于梯度的迭代算法生成的迭代解X(k)，對(duì)于任意初始矩陣X(0)

X(k+1)=X(k)+μAH(F-AX(k)B)BH

(3)

收斂于精確解X*(limk→∞X(k)=X*)，當(dāng)且僅當(dāng)

(4)

記擴(kuò)展后的矩陣方程(1)為以下2個(gè)線性矩陣方程形式

AXB=F-CXD，CXD=F-AXB

(5)

Ding F.等[9]提出了下面這個(gè)算法求解矩陣方程組(1)。

X1(k)=X(k-1)+μAT{F-AX(k-1)B
-CX(k-1)D}BT

(6)

X2(k) =X(k-1)+μCT{F-AX(k-1)B
-CX(k-1)D}DT

(7)

這里X(k)是X1(k)和X2(k)的平均值，即

(8)

據(jù)文獻(xiàn)[9]，只要μ滿足

(9)

則(6)式和(7)式所表示的梯度迭代算法收斂。利用算法(6)式和(7)式的思想，可以得到求解矩陣方程(1)的斜埃爾米特解的改進(jìn)迭代算法。

算法1求解矩陣方程(1)斜埃爾米特解的梯度迭代算法。

步驟1： 給定任意2個(gè)初始近似解塊向量X1(0)，X2(0)，并且X(0)=(X1(0)+X2(0))/2。

步驟2： 對(duì)于k=1,2,…,n， 直到收斂。

步驟3：X1(k)=X(k-1)+μ[AH{F-AX(k-1)B-CX(k-1)D}BH+CH{F-AX(k-1)B-CX(k-1)D}DH]。

步驟4：X2(k)=X(k-1)+μ[B{-FH-BHX(k-1)AH-DHX(k-1)CH}A+D{-FH-BHX(k-1)AH-DHX(k-1)CH}C]。

步驟5：X(k)=(X1(k)+X2(k))/2。

步驟7： 結(jié)束。

定理1如果矩陣方程(1)是相容的并且有唯一解X*，那么只要μ滿足

(10)

則由算法1生成的迭代序列X(k)就收斂到X*，即對(duì)于任意初始值X(0)，limk→∞X(k)=X*或X(k)-X*收斂到0(零矩陣)。進(jìn)一步地，序列{XS(k)}收斂XS，這里XS是矩陣方程(1)的唯一斜埃爾米特解。

證明將估計(jì)誤差矩陣定義為

(11)

對(duì)于k=1,2,…,n, 并且

(12)

利用上述誤差矩陣(11)和(12)以及算法1和矩陣方程(1)，很容易得到

-CX(k-1)D}DH]

+CH{AX*B+CX*D-AX(k-1)B-CX(k-1)D}DH]

(13)

與(13)式類似，可以得到

(14)

取(13)式和(14)式兩邊的Frobenius范數(shù)，就得到下面結(jié)果

-η(k-1)}BH‖2+‖CH{-θ(k-1)-η(k-1)}DH‖2]

+ηH(k-1){-θ(k-1)-η(k-1)}]+μ2[‖AH{-θ(k-1)-η(k-1)}BH‖2

+‖CH{-θ(k-1)-η(k-1)}DH‖2]

類似地，有

那么有

證畢。

算法2求解矩陣方程(1)斜埃爾米特解的改進(jìn)梯度迭代算法(MGI)。

步驟1： 給定任意2個(gè)初始近似解塊向量X1(0)，X2(0)，并且X(0)=(X1(0)+X2(0))/2。

步驟2： 對(duì)于k=1,2,…,n, 直到收斂。

步驟3：X1(k)=X(k-1)+μ[AH{F-AX(k-1)B-CX(k-1)D}BH+CH{F-AX(k-1)B-CX(k-1)D}DH]。

步驟4：X(k-1)=[X1(k-1)+X2(k-1)]/2。

步驟5：X2(k)=X(k-1)+μ[B{-FH-BHX(k-1)AH-DHX(k-1)CH}A+D{-FH-BHX(k-1)AH-DHX(k-1)CH}C]。

步驟6：X(k)=[X1(k)+X2(k)]/2。

步驟8： 結(jié)束。

下面給出算法2的收斂性。

定理2如果矩陣方程(1)是相容的并且有唯一解X*；那么只要(滿足

(15)

則由算法2生成的迭代序列X(k)就收斂到X*，即對(duì)于任意初始值X(0)，limk→∞X(k)=X*或X(k)-X*收斂到0。進(jìn)一步地，序列{XS(k)}收斂到XS，這里XS是矩陣方程(1)的唯一斜埃爾米特解。

證明將估計(jì)誤差矩陣定義為

(16)

對(duì)于k=1,2,…,n,有

(17)

利用上述誤差矩陣(16)和(17)以及算法2和矩陣方程(1)，很容易得到

-CX(k-1)D}DH]

+CH{AX*B+CX*D-AX(k-1)B-CX(k-1)D}DH]

(18)

類似地，有

(19)

取(18)式和(19)式兩邊的Frobenius范數(shù)，則

-η(k-1)}BH‖2+‖CH{-θ(k-1)-η(k-1)}DH‖2]

+μ2{‖AH(-θ(k-1)-η(k-1))BH‖2+‖CH(-θ(k-1)-η(k-1))DH‖2}

+η(k-1)‖2

類似地，有

那么有

證畢。

2 數(shù)值實(shí)例

給出2個(gè)數(shù)值實(shí)例用于說明算法1和算法2。所有的測(cè)試都使用MATLAB R2014a實(shí)現(xiàn)。

例1算法1和算法2求矩陣方程(1)的斜埃爾米特迭代解，其中

初始矩陣選擇為

容易驗(yàn)證，該矩陣方程(1)具有唯一的斜埃爾米特解

例2考慮大型矩陣方程(1)的斜埃爾米特迭代解，其中

A=round(rand(20,20)*2)-1-i*round(rand(20,20)*5)-1;

C=round(rand(20,20)*2)-1-i*round(rand(20,20)*5)-1;

B=round(rand(20,20)*2)-1-i*round(rand(20,20)*5)-1;

D=round(rand(20,20)*2)-1-i*round(rand(20,20)*5)-1。

式中：rand(m,n)生成m×n階均勻分布的隨機(jī)矩陣；rand(k)表示對(duì)數(shù)k四舍五入取整；i為虛數(shù)單位。

圖1 GI算法和MGI算法的收斂性能Fig.1 Convergence performance of GI algorithm and MGI algorithm

圖2 GI算法和MGI算法的收斂性能Fig.2 Convergence performance of GI algorithm and MGI algorithm

3 總 結(jié)

本文提出了2種求解線性矩陣方程AXB+CXD=F的斜埃爾米特解的梯度形松弛迭代算法，即梯度迭代(GI)算法和改進(jìn)的梯度迭代(MGI)算法，并分析了算法的收斂性，數(shù)值實(shí)例說明了算法的有效性。