跟蹤微分器頻率特性分析

牛寶良

（中國(guó)工程物理研究院總體工程研究所，四川 綿陽(yáng) 621999）

數(shù)字微分計(jì)算是一種比較常用的運(yùn)算，比如在速度計(jì)算、數(shù)字PID伺服控制中就要用到。簡(jiǎn)單的數(shù)字微分器是全頻帶的微分，在完成微分功能的同時(shí)，也會(huì)放大信號(hào)中的噪聲，影響微分器的應(yīng)用。韓京清等在1994年提出了跟蹤微分器，具備了微分、降噪功能，但是此時(shí)的跟蹤微分器還不完善，對(duì)于階躍輸入進(jìn)入平穩(wěn)期仍然有持續(xù)的震蕩。韓京清等在1999年提出了跟蹤微分器的離散形式，其實(shí)是一種改進(jìn)版，徹底消除了震蕩，這才具有了良好的工程應(yīng)用性。此后，各種應(yīng)用逐漸增多，也有多種不同的改進(jìn)版本。文獻(xiàn)[3]列舉了4種版本，分別是開關(guān)型跟蹤–微分器（STD）、快速型跟蹤–微分器（FTD）、線性跟蹤–微分器（LTD）、離散最速型跟蹤–微分器（DFTD）。其中STD就是最早的版本，DFTD就1999年文獻(xiàn)[2]提出的改進(jìn)版。文獻(xiàn)[4]提出了自適應(yīng)TD。目前應(yīng)用最多的還是DFTD，不特別說(shuō)明的情況下，TD就是指DFTD。

TD的應(yīng)用很多，涉及控制、信號(hào)處理等眾多領(lǐng)域，也有一些關(guān)于TD頻率特性的研究，這些文獻(xiàn)揭示了TD的頻率特性。比如無(wú)共振峰，高頻段斜率是–40 dB/dec，轉(zhuǎn)折頻率附近相位滯后快速增加等，但是轉(zhuǎn)折頻率與TD的參數(shù)存在怎樣的定量關(guān)系并未涉及。

在伺服控制系統(tǒng)中，通常用頻率響應(yīng)特性來(lái)描述系統(tǒng)的快慢。一個(gè)TD用于伺服控制系統(tǒng)，希望能準(zhǔn)確知道它的頻率范圍，或者指定工作頻帶來(lái)設(shè)計(jì)一個(gè)TD，或者將一個(gè)TD用于信號(hào)分析與處理，也希望知道它適用處理什么頻率范圍的信號(hào)。本文將回答這些問(wèn)題。

1 跟蹤微分器方程

文獻(xiàn)[2,6]都有較大篇幅介紹跟蹤微分器，參數(shù)包括（速度因子），（濾波因子），積分步長(zhǎng)。參考文獻(xiàn)[6]，本文給出公式如下（文獻(xiàn)中的變量、、，用、代替，取==）：

式中：為一個(gè)常數(shù)；為采樣間隔，也是積分步長(zhǎng)，s。

式中：、、、、、、是中間變量；()是輸入信號(hào)；()是輸入信號(hào)的跟隨值，或者叫低頻分量；()是()的微分，即速度；()是()的二次微分，即加速度；表示當(dāng)前時(shí)刻，-1表示上一時(shí)刻。

把公式(2)用Simulink表達(dá)，如圖1—3所示。其中in對(duì)應(yīng)式（2）的()，acc對(duì)應(yīng)式（2）的()。

圖1 跟蹤微分器的仿真模型Fig.1 Simulink model of TD

圖2 acc Subsys模塊Fig.2 Simulink model of acc Subsys

圖3 w1 Sub模塊Fig.3 Simulink model of w1 Sub

圖1 與文獻(xiàn)中的形式有所不同，實(shí)質(zhì)未變，但是更容易分析其物理意義，而且通過(guò)仿真發(fā)現(xiàn)，這個(gè)形式在高頻優(yōu)于文獻(xiàn)中的形式。首先，用代替以往文獻(xiàn)中的、，取消，在這就是采樣間隔。當(dāng)系統(tǒng)的工作頻率范圍確定了，相應(yīng)的采樣間隔也就確定了，不用再與關(guān)聯(lián)。其次，從圖1可以看到，其實(shí)TD與單自由度系統(tǒng)的仿真模型形式上是相近的，參數(shù)實(shí)際是對(duì)計(jì)算的加速度進(jìn)行飽和限幅，它具有加速度量綱。由于acc Subsys的輸入是位移量綱，所以TD的與單自由度系統(tǒng)的彈簧剛度相當(dāng)，因此有：

這樣，就把與TD的工作上限頻率聯(lián)系起來(lái)了。

2 跟蹤微分器頻率特性分析

第1節(jié)建立了TD的參數(shù)與TD工作頻率上限的關(guān)系，本節(jié)將通過(guò)仿真來(lái)驗(yàn)證這一關(guān)系。由于TD具有強(qiáng)的非線性特性，因此用時(shí)域仿真方法來(lái)驗(yàn)證。

2.1 仿真模型簡(jiǎn)介

建立的仿真模型如圖4所示。頻率發(fā)生器、波形發(fā)生器用來(lái)產(chǎn)生掃頻信號(hào)及其對(duì)應(yīng)的微分信號(hào)。TD為跟蹤濾波器，輸出、、acc值3個(gè)信號(hào)。平滑濾波器作為對(duì)照，也輸出3個(gè)信號(hào)。平滑濾波器是一個(gè)阻尼比為1的低通濾波器，其共振頻率取TD的3（仿真發(fā)現(xiàn)3倍與TD效果接近）。波形發(fā)生器生成信號(hào)（方波、正弦），也生成相應(yīng)的理想微分信號(hào)。理想微分信號(hào)用來(lái)觀察TD微分、平滑濾波器的誤差情況。

圖4 掃頻仿真模型Fig.4 Simulink model of sweep sin simulation

2.2 方波仿真

仿真采樣間隔取50 μs。跟蹤微分器的上限頻率取10 Hz，=3 947.8。輸入信號(hào)幅值為1，頻率為4 Hz，仿真結(jié)果如圖5所示。跟蹤信號(hào)無(wú)超調(diào)達(dá)到目標(biāo)值，TD得到的速度波形是規(guī)則的等腰三角形，即0速度起始，0速度結(jié)束，過(guò)程很平穩(wěn)，它的加速度充分利用了限定的范圍(－,)。在伺服控制器輸入處，設(shè)置一個(gè)TD，它自動(dòng)按限定的加速度范圍給出最快過(guò)程曲線作為控制目標(biāo)曲線。平滑濾波器也能在相近的時(shí)間無(wú)超調(diào)達(dá)到目標(biāo)值，但是加速度已經(jīng)超出范圍。仿真表明，幅值為1、信號(hào)頻率≤，都能很好地跟隨。

圖5 TD方波仿真曲線Fig.5 Waves of square wave simulation on TD: a) displacement carve; b) velocity curge; c) acceleration curve

2.3 掃頻仿真

TD參數(shù)取10 Hz，=3 947.8。輸入信號(hào)幅值取0.1、0.25、1，頻率取5~100 Hz，得到的頻率特性曲線見圖6，特征參數(shù)見表1。設(shè)置TD的頻率上限為10 Hz，跟蹤信號(hào)在10 Hz處幅值能保持1，跟蹤信號(hào)與輸入信號(hào)的相位滯后小于30°（10.37 Hz 滯后30°）。–30°~–90°是快速變化的，即設(shè)置10 Hz上限，TD就能工作到10 Hz。隨著輸入信號(hào)幅值的減小，幅頻、相頻的截止頻率擴(kuò)大了。0.25輸入相比1輸入時(shí)擴(kuò)大了1倍，0.1輸入相比1輸入時(shí)擴(kuò)大了3.16倍。從圖6也可以看出，斜線是重合的，輸入為1時(shí)的頻率特性實(shí)際上是個(gè)包絡(luò)，其他更小幅值的輸入被限定到這個(gè)范圍。當(dāng)設(shè)置跟蹤微分器的上限頻率為其他值（不超過(guò)0.1 fs）時(shí)，所得的頻率曲線也是與圖6相似，即式（3）對(duì)于TD是普遍可用的。

圖6 TD的頻率特性（上限頻率fn=10 Hz）Fig.6 Frequency characteristics of TD (fn=10 Hz): a) nonlinear frequency characteristics; b) phase frequency charactenistics

表1 不同輸入幅值時(shí)的特征頻率Tab.1 Characteristic frequencies of TD as different input magnitude Hz

信號(hào)頻率等于TD上限頻率時(shí)的時(shí)域曲線如圖7所示。1 V輸入時(shí)，TD跟蹤信號(hào)與輸入信號(hào)有明顯可見的滯后，但是優(yōu)于平滑濾波器（截止頻率為3）輸出；微分信號(hào)滯后也小于平滑濾波器微分輸出，但是波形有失真，這是它相位上優(yōu)于平滑濾波器微分輸出的代價(jià)。在加速度波形上，兩者的區(qū)別特別顯著。0.1 V輸入時(shí)，TD跟蹤信號(hào)與輸入信號(hào)重合，平滑濾波器輸出則有明顯滯后；TD的微分信號(hào)也是與理想微分信號(hào)也是重合的；在加速度波形上，TD的加速度在峰頂峰谷有毛刺和跳變，平滑濾波器輸出則是規(guī)則正弦。這是TD相比平滑濾波器的優(yōu)點(diǎn)，信號(hào)幅值減小時(shí)，頻帶擴(kuò)大。

圖7 信號(hào)頻率等于TD上限頻率fn時(shí)的時(shí)域曲線Fig.7 Time waves while sin wave signal frequency equal TD fn: a) input 1 V; b) input 0.1 V

2.4 含有噪聲時(shí)仿真

實(shí)際信號(hào)中常常含有噪聲。為此，加入一定的白噪聲，來(lái)觀察效果。圖8a的信號(hào)頻率比較低，為TD上限頻率的1/2，TD跟蹤幅值好，相比平滑濾波器輸出占有優(yōu)勢(shì)。圖8b信號(hào)頻率達(dá)到TD上限頻率，TD跟蹤幅值較好，但是相位反而滯后平滑濾波器（無(wú)噪聲時(shí)相位是優(yōu)于平滑濾波器，可見噪聲帶來(lái)了不利影響）。從加速度曲線可以看到，正常情況下加速度直接到負(fù)最大或正最大，由于噪聲影響，從負(fù)最大到正最大震蕩一段時(shí)間才能保持在正最大。圖8c的信號(hào)頻率也TD上限頻率的1/2，信號(hào)幅值減小到0.1，輸入信號(hào)的信噪比很差，出現(xiàn)一個(gè)比較反常的現(xiàn)象，TD跟蹤信號(hào)、TD微分信號(hào)上出現(xiàn)了一個(gè)震蕩信號(hào)，震蕩信號(hào)的幅值與有用信號(hào)相當(dāng)，而平滑濾波器的跟蹤信號(hào)、微分信號(hào)更好。

圖8 有噪聲信號(hào)頻率等于TD上限頻率fn時(shí)的時(shí)域曲線Fig.8 Time waves with noise while signal frequency equal TD fn: a) input 1 V; b) input 0.1 V; c) poor signal-to-noise ratio

3 跟蹤微分器的應(yīng)用

第2節(jié)已經(jīng)分析得到，TD的上限頻率與有關(guān)，同時(shí)還與輸入幅值有關(guān)。對(duì)于輸入為1的TD，上限頻率與滿足式（3）。在工程應(yīng)用中，假設(shè)輸入信號(hào)的范圍是±，在TD的前后分別加一個(gè)比例環(huán)節(jié)，TD前的比例是1/，TD后的比例是。這樣，既能滿足輸入信號(hào)范圍，又能滿足指定的頻率范圍。

關(guān)于的取值，其實(shí)與TD的關(guān)系不大，通常由伺服控制系統(tǒng)的上限頻率決定。假設(shè)伺服控制系統(tǒng)的上限工作頻率為，則數(shù)字伺服控制系統(tǒng)的采樣頻率、采樣間隔由式（4）計(jì)算得到。

4 減小跟蹤信號(hào)滯后的改進(jìn)

TD生成的跟蹤信號(hào)，總是存在一定的滯后，信號(hào)頻率/TD上限頻率越大，滯后越大。在仿真中發(fā)現(xiàn)，一個(gè)小小改進(jìn)可以減小1拍的滯后。如圖9所示，從積分器（integrator1）輸出再接一個(gè)積分器（integrator3），積分方式選為后向歐拉法，用它來(lái)替代，比原可以提前1拍。仿真結(jié)果如圖10所示，采樣頻率為100 Hz，TD截止頻率為5 Hz，輸入方波頻率為1 Hz。

圖9 改進(jìn)后的TDFig.9 Improved TD

圖10 改進(jìn)后TD 的跟蹤信號(hào)與原信號(hào)比較Fig.10 Compare wave of improved TD with wave of TD

5 結(jié)論

本文研究了TD的頻率特性，提出了輸入幅值為1時(shí)頻率上限與TD參數(shù)之間的關(guān)系。通過(guò)時(shí)域仿真驗(yàn)證了該關(guān)系的正確性，解決了定量確定TD的參數(shù)問(wèn)題。

TD的頻率特性隨輸入信號(hào)幅值的改變而變化，幅值越小，頻帶越大，高幅值的幅頻曲線包絡(luò)低幅值的幅頻曲線。對(duì)于輸入幅值不是1時(shí)，宜進(jìn)行歸一化處理，在TD之后再恢復(fù)原量級(jí)，這樣可以達(dá)到跟蹤微分的目的，同時(shí)帶寬剛剛好，因此濾波效果好，抑制噪聲最佳。

信號(hào)頻率小于TD的上限頻率時(shí)，幅頻、相頻特性都比較好。輸入幅值為1，信號(hào)頻率等于0.62時(shí)，相位滯后不大于10°；信號(hào)頻率等于時(shí)，相位滯后26°。相頻曲線在1.1附近呈現(xiàn)快速變化的特征，1.15時(shí)滯后達(dá)90°。因此，建議信號(hào)頻率在0~0.62為佳，最多取到0~。在微分信號(hào)后新增一個(gè)后向歐拉積分器，可以獲得跟蹤信號(hào)在相位上提前1拍的效果。多數(shù)情況下，TD的幅頻、相頻優(yōu)于平滑濾波器，但是在信噪比很差時(shí)，平滑濾波器反而優(yōu)于TD。

綜上所述，明確積分步長(zhǎng)與系統(tǒng)采樣間隔相一致，建立參數(shù)與TD工作頻率上限之間的關(guān)系后，將極大方便TD的設(shè)計(jì)，也將推動(dòng)TD更多應(yīng)用。