數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角下高中解析幾何教學(xué)的策略探究

夏子倫

【摘要】在核心素養(yǎng)逐漸滲透的背景下，教師要通過對教學(xué)過程的改良，幫助學(xué)生在獲取理論知識的前提下逐步深化數(shù)學(xué)解題方法和相應(yīng)的思維能力.而在高中階段，其發(fā)展尚未停止，教師要有意識地結(jié)合課程的特征和能夠培養(yǎng)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)來確定教學(xué)活動的展開形式，進而提升學(xué)生的綜合能力.本文將以解析幾何的教學(xué)過程為例，深入探究在不同類型的課程上應(yīng)當(dāng)如何達(dá)到滲透核心素養(yǎng)的效果.

【關(guān)鍵詞】高中;核心素養(yǎng);解析幾何;策略

一、引言

高中階段的學(xué)生、教師都時刻繃緊了一根弦，受到應(yīng)試教育的影響，沒能關(guān)注到能力的提升和素養(yǎng)的深化，使得教學(xué)過程并不具備高效的特點，因此，教師要致力于對課程教學(xué)活動布置的研究.解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，需要教師在不同的課程講解中滲透核心素養(yǎng)相關(guān)的內(nèi)容，以此保證學(xué)生綜合能力的提升.

二、高中解析幾何教學(xué)的基本情況

大量的研究資料表明，學(xué)生認(rèn)為高中解析幾何部分知識難度較大，面對綜合性問題往往缺失信心，不能達(dá)到解析幾何學(xué)習(xí)目標(biāo)的要求，自然難以滲透核心素養(yǎng).出現(xiàn)以上情況的原因是教師認(rèn)知上的偏差，其沒能重視能力和思維的培養(yǎng)，對于學(xué)生的認(rèn)知障礙分析不夠準(zhǔn)確，進而仍舊使用傳統(tǒng)的教學(xué)手段，機械地開展公式應(yīng)用和結(jié)論內(nèi)化的活動，不利于學(xué)生個人能力的培養(yǎng)[1].

三、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角下高中解析幾何教學(xué)的策略

（一）概念課程感悟數(shù)學(xué)思想

在概念課的講解過程中，教師要通過情境的引入，將學(xué)生快速帶入到新知的學(xué)習(xí)中，從而保證其興趣的產(chǎn)出.興趣是主動學(xué)習(xí)的關(guān)鍵點，只有在興趣被合理激發(fā)的前提下，學(xué)生才能更好地感知新知識，并形成探究的意識[2].這就要求教師在課前導(dǎo)入階段密切聯(lián)系生活實際，說明所學(xué)習(xí)的解析幾何的內(nèi)容在生活中的展現(xiàn)，為下定義和形成模型奠定基礎(chǔ).同時，教師要借助討論的方式，不斷引導(dǎo)學(xué)生自行完成對概念的修正任務(wù)，保證表示的圖形、符號、語言文字等都能夠符合嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的要求.而在概念剖析的環(huán)節(jié)，教師要有意識地利用辯證的思維，提取關(guān)鍵詞，就關(guān)鍵詞的指向、內(nèi)涵等深入研究，從而在相互給出內(nèi)涵結(jié)果的前提下內(nèi)化本質(zhì)屬性.在設(shè)計概念的過程中，教師要秉持著從特殊到一般的原則，對于與其相關(guān)聯(lián)的概念采取辨析的辦法，以此區(qū)分容易混淆的定理，為學(xué)生核心素養(yǎng)水平的提升打好基礎(chǔ).即便是打基礎(chǔ)的時期，教師也應(yīng)當(dāng)注重學(xué)生培養(yǎng)的思維和能力，可適當(dāng)利用問題情境，間斷性地提出問題，這樣就會起到回顧之前學(xué)習(xí)內(nèi)容的作用[3].

以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的教學(xué)過程為例，教師在課前導(dǎo)入階段為學(xué)生展示北斗衛(wèi)星的運動軌跡圖、橄欖球或者油儲罐的外輪廓線圖等，引導(dǎo)學(xué)生通過生活中常見的物體和形狀了解橢圓的實際應(yīng)用，以此激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情.教師由此開展新知建構(gòu)活動，通過設(shè)置小組探究活動，給出需要加以探索的主題：（1）橢圓方程的求法;（2）如何建構(gòu)坐標(biāo)系才能簡化方程的求導(dǎo)過程？（3）橢圓方程的化簡變形應(yīng)當(dāng)注意哪些問題？等等，使得學(xué)生能夠參與到新知建構(gòu)的環(huán)節(jié)中，從而對概念部分的內(nèi)容予以深化，進而強化認(rèn)知.在完成新知構(gòu)建的活動后，教師還要設(shè)計互問互答的活動，這樣有利于幫助學(xué)生加深之前學(xué)習(xí)的內(nèi)容，從而達(dá)到夯實基礎(chǔ)、體味數(shù)學(xué)思想的目標(biāo).在互問互答環(huán)節(jié)，教師具體可為學(xué)生提供自由詢問的空間，主要從標(biāo)準(zhǔn)方程書寫、焦點坐標(biāo)確定的方向給出提問的問題.接著，教師要設(shè)置能夠檢驗其成果的題目，一般以基礎(chǔ)題為主，目的是引導(dǎo)學(xué)生對橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有基本的認(rèn)識，進而才能進入到技能和題目解法的研究中.

給出變式訓(xùn)練題目：已知在橢圓x225+y216=1上有一點P，與一個焦點之間的距離是4，求點P與另一個焦點之間的距離.

變式1：同樣是這一橢圓方程，現(xiàn)有一點P，其橫坐標(biāo)為4，求出其到兩個焦點之間的距離.

變式2：還是這個橢圓方程，此橢圓上有一點P，求出以兩個焦點以及該點所組成的三角形的周長.

教師通過題目的設(shè)置使學(xué)生鞏固了知識，并從其回答中得知學(xué)生對于概念部分的問題，基于此，完善后續(xù)的方法梳理和思想內(nèi)化的過程.

（二）方程課程培養(yǎng)建模思想

解析幾何主要用代數(shù)方法研究幾何對象之間的關(guān)系與性質(zhì)，具有非常強的抽象性，如果學(xué)生不具備基本的抽象思維能力與建模能力，就很容易迷失在解析幾何的學(xué)習(xí)過程中，最終影響高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果.教師只有發(fā)展學(xué)生的建模思想，使其學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度思考問題，學(xué)會用數(shù)學(xué)語言描述問題，學(xué)會用數(shù)學(xué)模型解決問題，才能夠?qū)崿F(xiàn)解析幾何的教學(xué)目標(biāo)，幫助其又快又好地解決解析幾何難題.教師要抓住方程教學(xué)的良好時機，在方程課程中滲透數(shù)形結(jié)合思想，使學(xué)生由軌跡方程、聯(lián)立方程聯(lián)想到具體的幾何問題，在潛移默化的過程中激發(fā)其建模意識.同時，教師要注意對學(xué)生建模能力的培養(yǎng)，使其學(xué)會在閱讀題目時抓住關(guān)鍵條件，并根據(jù)具體條件搭建出軌跡方程、方程組，構(gòu)建坐標(biāo)系，掌握解析幾何的學(xué)習(xí)方法與學(xué)習(xí)技巧.教師要做好求解方程的課程教學(xué)，細(xì)心講解解方程的方法，讓學(xué)生在解方程的過程中感悟動點滿足的幾何條件與等量關(guān)系，在坐標(biāo)化操作過程中對問題進行直觀判斷，從而得出方程，然后化簡求得軌跡方程.

以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的教學(xué)過程為例，教師在課上復(fù)習(xí)提問，引入新課內(nèi)容：“前面學(xué)習(xí)了曲線方程的關(guān)系以及求曲線方程的方法，請你想一下，如何求某種條件的點的軌跡？”在回顧舊知的過程中，教師讓學(xué)生聯(lián)想建系、設(shè)點、列式、化簡四步驟：（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)曲線上任一點M的坐標(biāo)為（x，y）;（2）寫出適合某種條件P的點M的集合P={M|P（M）};（3）用坐標(biāo)表示條件，列出方程f（x，y）=0;（4）化簡方程f（x，y）=0為最簡形式;（5）證明以化簡方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點.接著，教師出示習(xí)題：圓心在原點，半徑為5的圓的方程為x2+y2=52，即x2+y2=25.如果半徑發(fā)生變化，圓的方程又是怎樣的？你能否寫出圓心在原點、半徑為r的圓的方程？教師經(jīng)過引導(dǎo)與啟發(fā)讓學(xué)生列出x2+y2=r2這一方程，并引導(dǎo)其對圓上的點的條件進行探究，使其發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：圓上的任一點到圓心的距離等于半徑，即x2+y2=r2.教師繼續(xù)追問：“x2+y2=r2表示的圓的位置比較特殊，圓心在原點、半徑為r，有時圓心不在原點，若此圓的圓心移至直角坐標(biāo)系的任意一點C（a，b），方程應(yīng)是怎樣的？”教師以上述方程為基礎(chǔ)，引發(fā)學(xué)生的思考，使其理解圓到點C（a，b）的距離等于半徑r的點的幾何意義，再對具體內(nèi)容進行推導(dǎo)，推理出（x-a）2+（y-b）2=r2這一圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.這時，學(xué)生的建模思想初步形成，教師再導(dǎo)入習(xí)題：（1）已知圓的方程是x2+y2=r2，求經(jīng)過圓上一點P（x0，y0）的切線的方程.（2）圓的方程是x2+y2=13，求過此圓上一點（2，3）的切線方程.教師通過出示以上類型的練習(xí)題深化學(xué)生的建模意識，使其在練習(xí)中找到方程的應(yīng)用規(guī)律、解方程的規(guī)律，從而提升其建模能力與方程模型應(yīng)用能力，實現(xiàn)解析幾何的有效教學(xué).51956521-FE04-4673-8EA3-369F4F68DA83

（三）方法課程培養(yǎng)邏輯思維

方法課的教學(xué)過程要利用具體的題目，借助實踐活動來達(dá)到自主發(fā)現(xiàn)并總結(jié)數(shù)學(xué)解題模型的目標(biāo).教師可在題目的講解中對之前學(xué)過的性質(zhì)、定理等原理的引導(dǎo)和啟發(fā)，為學(xué)生出示相應(yīng)的題目解決思路，然后通過小組合作或者自主探究的形式培養(yǎng)其分析問題、全面思考的能力.對于有些定理或者解題模型，學(xué)生自行發(fā)現(xiàn)才可掌握得更牢固，在運用時也能得心應(yīng)手.這就要求教師將其帶入到結(jié)論、性質(zhì)、推論的驗證過程，利用設(shè)置主題討論問題的方式，使每名學(xué)生都能夠感受到自己之于這一學(xué)習(xí)小組的價值[4].而在這個過程中，教師要做好引導(dǎo)者的角色，參與學(xué)生的討論中，感受其在問題分析過程中所遇到的困難.此時，教師不要急于給出具體的答案，而是要注重引導(dǎo)，利用學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的知識，建立起題目條件和理論間的聯(lián)系，從而保證課程推進的效果.解析幾何這部分內(nèi)容要求學(xué)生具備較強的邏輯思維能力，而學(xué)生更喜歡利用直觀的物象說明和記憶某個定理，這就要求教師要有意識地運用信息技術(shù)，將作圖過程以動態(tài)演繹的形式呈現(xiàn)在學(xué)生眼前，這樣更為直觀，也便于加深學(xué)生對變量以及不變的量的理解，這樣自然有助于學(xué)生在感官思維的輔助下逐漸生成抽象認(rèn)知，以題目為介質(zhì)，建立起模型，從而提升其核心素養(yǎng)的水平.

以點到直線的距離這一部分內(nèi)容的講解過程為例.通過問題情境導(dǎo)入這部分知識，給出題目：在平行四邊形ABCD中，已知頂點的坐標(biāo)為A（-1，3），B（3，-2），C（6，-1），D（2，4），求該平行四邊形的面積.結(jié)合這一情境，學(xué)生對于平行四邊形的知識較為了解，此時可通過問題的設(shè)置來梳理思路：要想求出面積要知道哪些量？這些量應(yīng)當(dāng)如何求出？點到其中一邊的距離應(yīng)當(dāng)怎么求解？教師以問題鏈構(gòu)建思維鏈，使學(xué)生能夠加入到自主探究中，有助于培養(yǎng)其邏輯思維，踐行核心素養(yǎng)滲透的目標(biāo)[5].接著，教師給出題目：已知直線AB：5x+4y-7=0，現(xiàn)有一點D（2，4），求其到直線的距離.解答過程不設(shè)限，學(xué)生可自由發(fā)揮，使用自己較為熟悉和能夠靈活運用的方法.有些學(xué)生應(yīng)用定義法：其通過作垂線的方式，求出對應(yīng)的垂線方程，從而將兩個方程聯(lián)立進而得到垂足坐標(biāo)，運用兩點間距離公式說明垂線段的長度.有的學(xué)生應(yīng)用構(gòu)造法：在點D處作一條平行于x軸的直線和一條平行于y軸的直線，可以發(fā)現(xiàn)兩條直線分別與原直線交于點M，N，可易求出相應(yīng)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點的坐標(biāo)求出三角形△DMN的三邊長，進而應(yīng)用面積相等的辦法解得高的長度.還有的學(xué)生利用三角法：其在點D處作垂線，與直線AB垂直，垂足為H，而后取一點N，連接DN，使得|DH|=|DN|cos θ，向量的模即為距離，從而利用向量的數(shù)量積解出相應(yīng)的數(shù)值.在完成后，教師提出討論問題：同學(xué)們所演示的解題方法哪一種最為簡便？可否總結(jié)出點到直線距離求解的一般性辦法？以此引導(dǎo)學(xué)生自行構(gòu)建由特殊到一般的解題模型d=|Ax0+By0+C|A2+B2，體現(xiàn)出對總結(jié)歸納、模型構(gòu)建等思維能力的培養(yǎng).

（四）探究課程培養(yǎng)運算能力

運算能力是高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本構(gòu)成之一，是指運用有關(guān)運算的知識進行運算、推理求得問題結(jié)果的能力.培養(yǎng)高中生的運算能力對于提升其解決解析幾何學(xué)習(xí)效果有著重要的作用.教師要轉(zhuǎn)變灌輸式教學(xué)思維，以課堂為互動教學(xué)平臺引導(dǎo)學(xué)生對問題進行探究，使其在師生對話、生生對話的過程中探究問題內(nèi)涵、探索問題解決流程、探尋問題最終結(jié)果，實現(xiàn)對其綜合運算能力的培養(yǎng).教師要將任務(wù)教學(xué)法、項目教學(xué)法融合到探究教學(xué)中，在講解完基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識后引入具體的探究任務(wù)，將課堂歸還給學(xué)生，讓其獨立思考問題條件，并應(yīng)用之前所學(xué)知識總結(jié)解決問題的規(guī)律，促進其問題思維的生成.其間，教師要結(jié)合課堂反饋情況適時提出問題，啟發(fā)學(xué)生的解題思路，使其在計算過程中抓住問題的本質(zhì)，以簡略、直接的方式得出運算答案.

以圓與圓的位置關(guān)系這一部分的運算教學(xué)為例，教師使用多媒體課件出示探究任務(wù)：已知圓C1：x2+y2+2x+8y-8=0，圓C2：x2+y2-4x-4y-2=0，試判斷圓C1與圓C2的位置關(guān)系.在學(xué)生進行任務(wù)討論之前，教師做出一點提示，引導(dǎo)其進行思考：（1）圓C1與圓C2的位置關(guān)系是怎樣確定的？它們有幾個公共點？（2）它們的方程所組成的方程組有幾組實數(shù)解？（3）如果要借助圖形，判斷兩圓的位置關(guān)系的根據(jù)是什么？在關(guān)鍵點提示的引導(dǎo)作用下，學(xué)生回顧本課所學(xué)的判斷兩圓外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含的代數(shù)方法和幾何方法：（1）代數(shù)方法.根據(jù)方程組x2+y2+D1x+E1y+F1=0，x2+y2+D2x+E2y+F2=0的解推理兩圓的位置關(guān)系.如果方程組有兩組不相同的實數(shù)解，則證明兩圓相交;如果方程組有兩組相同實數(shù)解，則證明兩圓相切（內(nèi)切或外切）;如果方程組無實數(shù)解，則證明兩圓相離（內(nèi)含或外離）.（2）幾何方法.假設(shè)兩圓的圓心距為d，半徑分別為r1，r2.如果d>r1+r2，圓C1與圓C2相離;如果d=r1+r2，圓C1與圓C2外切;如果|r1-r2|

（五）習(xí)題課程內(nèi)化數(shù)形結(jié)合

習(xí)題課不僅僅是對之前所學(xué)知識的檢驗，更是發(fā)現(xiàn)學(xué)生不足之處和思維桎梏的有力證明，此時教師要遵循習(xí)題課的設(shè)計原則，從雙基的角度出發(fā)，鍛煉其運算能力，并以小組匯報的形式說明在題目解答的過程中使用的方式方法，從而完成闡釋題目的分析解決過程，提升學(xué)生的主體地位.教師切勿代替學(xué)生思考，為其預(yù)留思考的時間，使其能夠在輕松和諧的氛圍中展開學(xué)習(xí).題目的講解要確保講練結(jié)合，精講為主，不可大量設(shè)置習(xí)題，會步入題海戰(zhàn)術(shù)的后塵，很容易被學(xué)生所厭煩.解析幾何的題目基本上都需要畫出大致的圖形，而給出圖形后往往有一定的思路，這說明教師要注重引入數(shù)形結(jié)合的思想，設(shè)計較為開放的問題[6].

題目：已知兩點A，B是圓O：x2+y2=1與x軸的交點，現(xiàn)有一點P在圓上，與A，B兩點不重合，現(xiàn)有一條直線l，其方程是x=3，其與直線AP交于點M，與直線BP交于點N，證明：以MN為直徑的圓必過定點，求此定點的坐標(biāo).此題的設(shè)計是為了保證數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)化，充分借助定點問題的求解方法的整理而提升學(xué)生的核心素養(yǎng)水平，進而提升其問題的處理能力.具體講解過程如下：詢問學(xué)生：曲線過定點是什么含義？運動的點可以依靠坐標(biāo)表示，那么運動的圓、直線等可以用什么要素來說明呢？如果想要求出定點關(guān)鍵在于什么？此時學(xué)生進入到問題的探究中，對于變動曲線方程的求解和定點之間的關(guān)系有了更深層次的認(rèn)識.此時教師要充分利用信息技術(shù)，展示不同圓心坐標(biāo)和半徑下圓的軌跡變化圖示，以此將圖形與代數(shù)信息相結(jié)合.教師提出問題后，可設(shè)置小組探究活動，讓學(xué)生說明通過何種方式求出定點的坐標(biāo).同學(xué)們一般想到的是設(shè)點和引入?yún)?shù)直線的斜率.對于引入?yún)?shù)直線斜率的解題過程而言，學(xué)生首先要設(shè)定直線的斜率為k，結(jié)合題目中的已知條件可以得出對應(yīng)的直線AP的方程，然后根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，結(jié)合教師所給出的標(biāo)準(zhǔn)圖形特征，看出直線間相互垂直，進而能夠表示出直線BP的斜率-1k，利用點斜式也能夠求出直線的方程.之后令x=3，解出M，N對應(yīng)的坐標(biāo)，應(yīng)用圓的直徑端點式，求出圓的方程，借助恒成立的理論得到定點坐標(biāo).設(shè)點的小組的解決過程是：將點P的坐標(biāo)設(shè)置為參數(shù)，然后按照與設(shè)斜率的解題過程向下捋順.還可以通過設(shè)圓的直徑端點坐標(biāo)M（3，m），N（3，n），借助直徑式方程求得圓的方程，進而結(jié)合幾何性質(zhì)，表示出參數(shù)m，n之間的關(guān)系，消去其中一個參數(shù)后，求出僅涵蓋其中一個參數(shù)的結(jié)果.

四、結(jié)束語

綜上所述，在高中階段，學(xué)生的個人思維和能力發(fā)展仍處于上升階段，要求教師能夠結(jié)合課程的基本內(nèi)容，看到其對于核心素養(yǎng)滲透的價值，從而精準(zhǔn)設(shè)置教學(xué)計劃.對于解析幾何課程而言，需要學(xué)生具備問題解決、難點分析的能力，可實現(xiàn)數(shù)學(xué)式與圖形之間的轉(zhuǎn)換，因此，教師要從滲透核心素養(yǎng)的角度設(shè)計概念課、方法課和習(xí)題課，以此達(dá)成教學(xué)的目標(biāo).

【參考文獻】

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